1.1. Enunciados y razonamientos Un enunciado es un conjunto de palabras y símbolos que de manera conjunta forman una afirmación que se puede clasificar como verdadera o falsa.

Enunciado condicional o implicación. “Si P, entonces Q”, también escrito: P => Q

P es la hipótesis y Q es la conclusión. Si P es verdad, entonces Q también será verdad Si P no es verdad entonces no se puede saber si Q es verdadero o falso Si Q no es verdad, entonces P no puede ser verdad

Ej: Razonar sobre el enunciado: Si José está en Santiago de los C entonces José está en R. Dominicana.

Razonamiento: Inducción: Viendo muchos casos particulares se llega a una conclusión general. Está peligroso, porque

podrías no haber visto un caso particular que contradijese tu conclusión. Deducción: Del análisis de un caso general, deduces una conclusión particular que se puede probar.

1.2. Geometría informal y medición Términos indefinidos: Términos que son difíciles de definir, pero que se aceptan intuitivamente.

PUNTO: Tiene ubicación, pero no dimensiones, (dimensión cero). Se nombran con una letra mayúscula. RECTA: Las rectas tienen una cualidad de “rectitud” que no se define pero que se supone. Una recta es

unidimensional; es decir, la distancia entre cualesquiera dos puntos en una recta dada se puede medir.

Para denotar a una recta que pasa por los puntos A y B usamos: ya que se extiende

indefinidamente en ambas direcciones. También a veces se usa una letra minúscula. A-X-B denota que los puntos A, X y B son colineales, están en la misma recta, con X entre A y B Los ángulos y polígonos de nombrarán en orden

Un segmento de recta es una parte de una recta consistente en dos puntos distintos de la recta y todos los

puntos entre ellos, se indica mediante ; se utiliza BC para indicar la longitud de este segmento de recta

Medición de segmentos de recta: Con una regla graduada, es siempre una aproximación. Para reproducir la medida de un segmento de recta, tomarla con un compás. Trabajaremos sólo con reglas no graduadas, sirven para trazar rectas que pasen por 2 puntos

Imagina que B sea el punto medio entre A y C:

, son segmentos diferentes; pero miden lo mismo: AB = BC. son congruentes:

Construcción de un segmento congruente a otro: medir con el compás. Construcción de un triángulo conociendo las medidas de los lados, los cuales son congruentes con 3 segmentos dados.

Construcción de la mediatriz de un segmento Recta perpendicular a un segmento por el punto medio de él

PRÁCTICA PARA CASA: Construir Triángulo de medidas: L1= 8 cm

L2= 12 cm Construcción de mediatrices, circuncentro y circunferencia circunscrita de ese triángulo

- Punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo. - Es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los 3 vértices.

Matricula 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

L3= 5 6 7 9 10 11 13 14 15 16

Medición de ángulos: Con transportador, es siempre una aproximación.

Para reproducir la medida de un ángulo, hacer la construcción correspondiente con un compás. El compás sirve para trazar círculos o arcos, en general conjunto de puntos que están a la misma

distancia de otro punto llamado centro. De manera informal (luego se definirán de forma más precisa) Las rectas paralelas se encuentran en el mismo plano y no se cruzan entre sí,

incluso si se extienden de manera indefinida..

Si r, s son dos rectas paralelas entonces r s = Cualquier ángulo de forma que R-S-T se dice llano y tiene una medida de 180°.

(salta a página siguiente)

1.3. Primeras definiciones y postulados. Un SISTEMA MATEMÁTICO se inicia a partir de términos indefinidos, difíciles de definir y que se aceptan

intuitivamente. Vimos el ejemplo de punto, recta y plano.

POSTULADOS y AXIOMAS: Son enunciados que se admiten como ciertos sin necesidad de ser demostrados y que sirve como base para otros razonamientos.

Deben ser los mínimos necesarios. Ninguno de ellos debe ser posible de deducir de los demás.

Hay una pequeña diferencia entre axiomas y postulados: Axioma: Es una proposición que se considera evidente y es aceptada sin demostración previa. Postulado: es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta, ya que no existe otro

principio al que pueda ser referida. Ejemplo:

A partir de ahí se pueden hacer DEFINICIONES, que son descripciones de términos nuevos. UNA BUENA DEFINICIÓN TENDRÁ ESTAS CUALIDADES

1. Menciona el término que se está definiendo. 2. Sitúa el término dentro de un conjunto o categoría. 3. Distingue el término definido de otros términos del conjunto sin proporcionar hechos innecesarios. 4. Es reversible.

En muchos libros es común utilizar la frase “si y sólo si” al expresar la definición de un término.

Proposiciones: Son enunciados que deben ser demostrados usando axiomas, definiciones, y proposiciones demostradas anteriormente.

Teoremas: Son proposiciones importantes

Lemas: Son proposiciones intermedias cuya finalidad es la de ayudar a demostrar proposiciones largas y difíciles de demostrar. Ver el lema de la página 181 para probar el teorema de la página 182

Corolarios: Son proposiciones muy fáciles y evidentes de demostrar.

Ejemplos: Ver páginas 178 y siguientes: Definiciones Teorema Corolarios

Dos puntos distintos determinan una recta. Dos puntos distintos determinan un único

segmento

Es el número de veces que contiene una medida llamada patrón de medida

Este es utilísimo para saber si tres puntos están alineados o no

Adelantar como saber qué figura forman 3 segmentos cualesquiera, cuyas medidas sean a, b, c..

PRÁCTICA PARA CASA: Con 3 lados tal que c = a+b comprobar que sale un triángulo degererado a segmento. Con 3 lados tal que c

2 = a

2+b

2 comprobar que sale un triángulo rectángulo.

Con 3 lados tal que c2 > a

2+b

2 comprobar que sale un triángulo obtusángulo.

Con 3 lados tal que c2 < a

2+b

2 comprobar que sale un triángulo acutángulo.

Repaso

Observar en el siguiente dibujo que no es lo mismo que

Los rayos opuestos son dos rayos con un punto extremo común que apuntan en sentidos opuestos. La unión de rayos opuestos es una línea recta.

Dibujar, medir los lados y comprobar las igualdades y desigualdades

La intersección de dos figuras geométricas es el conjunto de puntos que ambas figuras tienen en común.

Para describir que las rectas r y s se intersectan en el punto A:

r s = A

Si dos rectas comparten dos (o más) puntos, las rectas se llaman coincidentes (son la misma recta)

Para describir que las rectas r y s son paralelas:

r // s Adelantar el caso de rectas que se cruzan en el espacio. PLANO: Es un término indefinido en la geometría. Un plano es bidimensional; es decir, tiene longitud

infinita y ancho infinito, con la cualidad de “planitud”, pero no tiene espesor. Para nombrar un plano se puede emplear una letra mayúscula, en otros textos se usan letras griegas.

Un plano (al igual que una recta) es infinito, sólo se puede mostrar una parte del plano. Un plano es bidimensional, consiste en un número infinito de puntos y contiene un número infinito de rectas.

Los puntos coplanares se encuentran en el mismo plano.

Dos rectas que se cortan forman exactamente un plano Adelantar el caso de que dos rectas paralelas también forman exactamente un plano.

Posiciones de dos planos:

Construcción de un cubo en perspectiva caballera. Poner un sol en la esquina de la hoja. Colorear a

un solo color, pero más brillante o más oscura cada cara en función de si le da más o menos el sol Construcción en perspectiva caballera, en papel y en el programa Paint, de la iglesia modelo que

está la web. En el propio dibujo encontraréis más instrucciones.

PRÁCTICA PARA CASA: Ejercicios correspondientes de las sección 1.3.

1.4. Los ángulos y sus relaciones.

Mejor, ángulo es la región del espacio delimitada por dos rayos que parten de un punto común llamado vértice

Se define como ángulo llano aquel formado por dos rayos opuestos. Arbitrariamente asignamos al ángulo llano la medida de 180º

De normal consideraremos que el ángulo está entre 0 y 180º Si se considera el ángulo de 180 a 360 entonces se llama ángulo reflejo o cóncavo.

Un ángulo cuya medida es menor que 90° es un ángulo agudo. Si la medida del ángulo es exactamente 90°, se trata de un ángulo recto. Mejor estaría después Si la medida del ángulo está entre 90°y 180°, el ángulo es obtuso.

Construcción de bisectrices, incentro y circunferencia inscrita de ese triángulo

- Punto donde se cortan las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo. - Es el centro de la circunferencia inscrita (la que es interior y tangente a los 3 lados)

Cuando se pone uno a continuación de otro forman un ángulo recto

Radián: Ángulo que abarca un arco que mide lo mismo que el radio.

Cuando se pone uno a continuación de otro forman un ángulo llano Cuando dos rectas se cortan los ángulos opuestos por el vértice son congruentes dos a dos.

y Nota: Los gringos, a los ángulos opuestos por el vértice, los llaman ángulos verticales.

Pensar en la demostración, es importante PRÁCTICA PARA CASA: Ejercicios correspondientes de las sección 1.4.

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Relaciones

Escribiremos ab cuando el elemento a está relacionado con el elemento b. Hay tres propiedades que puede tener una relación.

- Reflexiva: aA, aa

- Simétrica: a1,a2 A, si a1a2 a2a1 Si cumple estas 3 propiedades, se dice que es - Transitiva: si a1a2 a2a3 a1a3 una RELACION DE EQUIVALENCIA

Ejemplos: Ser igual a ser proporcional a tener mismo color de ojos Terminar con la misma letra ser paralela a ser congruente a Todos los elementos que están relacionados entre sí forman una CLASE de EQUIVALENCIA, en esa clase, todos los elementos son equivalentes entre sí. Ejemplo: Conjunto con 10 bolas de 3 colores.

El conjunto cociente es el conjunto formado por todas las clases de equivalencia. Las clases de equivalencia son conjuntos disjuntos, forman una partición del conjunto original.

Construcciones: Perpendicular a una recta r por un punto P de ella Perpendicular a una recta r por un punto P exterior a ella. Comentar como hacer una demostración. Ver Tabla 1.9 pag.63 de resumen del tema 1. Ver ejercicios de repaso desde el 11, en la pagina 65.

TEMA 2.- RECTAS PARALELAS

2.1. La palabra perpendicular puede relacionar también rectas y planos.

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La palabra paralelo también se puede utilizar para describir relaciones entre rectas y planos. Sin embargo, las rectas paralelas se deben encontrar en el mismo plano

Dos rectas en un plano, una recta y un plano o dos planos son paralelos si no se intersecan.

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Pregunta 1: ¿Cómo son las rectas s y t, si r s y r t ?

Pregunta 2: Sean P, Q, planos paralelos, sea U un plano que los corta en las rectas r y s. ¿Cómo son r y s?

Una transversal es una recta que interseca dos (o más) rectas en puntos distintos;

todas las rectas se encuentran en el mismo plano. Los ángulos que se forman entre r y s son ángulos internos;

aquellos fuera de r y s son ángulos externos.

Dos ángulos que se encuentran en las mismas posiciones relativas

respecto a la transversal y a cada una de las rectas se denominan ángulos correspondientes para estas rectas

Dos ángulos internos que tienen vértices diferentes y se encuentran en lados opuestos de la transversal son ángulos alternos internos.

Dos ángulos externos que tienen vértices diferentes y se encuentran en lados opuestos de la transversal son ángulos alternos externos.

CASO DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

2.2.

No va en P1

2.3. Demostraciones de que dos rectas son paralelas

Todo lo que hemos visto de los ángulos de rectas paralelas cortadas por una transversal, postulado11, T.2.1.2 y T.2.1.3., tienen su correspondiente teorema inverso,ejemplos: si dos rectas son cortadas por una transversal, y los ángulos correspondientes son congruentes, entonces esas rectas son paralelas. si dos rectas son cortadas por una transversal, y los ángulos correspondientes son congruentes, entonces esas rectas son paralelas. si dos rectas son cortadas por una transversal, y los ángulos correspondientes son congruentes, entonces esas rectas son paralelas.

Como excepción, este teorema 2.3.6 es válido aunque esas tres rectas no sean coplanares

2.4. Los ángulos de un triángulo

Saber clasificación según lados: Escaleno, isósceles, equilátero Saber clasificación según ángulos: acutángulo, rectángulo, obtusángulo

, , < 90º = 90º > 90º a

2+b

2 < c

2 a

2+b

2 = c

2 a

2+b

2 > c

2

No va en P1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------- COMIENZA P2 Pasa a P2: (que estaba en P1) Reduccion al absurdo: Planos paralelos cortados por otro plano dan rectas paralelas Construcción: Paralela por un punto externo Ortocentro ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Congruencia de triángulos (postulados):

LLL LAL ALA

Teoremas: AAL Recordar que no hay más +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Falta resumen porque los que deberíais hacer el resumen sois vosotros +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ SEMEJANZA. + Estuvimos hablando de las medidas de una hoja de papel de la norma DIN. Con esa norma al doblar una hoja de papel por la mitad se obtiene otra hoja semejante, con las mismas proporciones. + Se habló de la relación áurea.

Ver ejemplo 2, pagina 229 Ver ejemplo 3, pagina 230, de las dos formas Hacerlo con triangulo rectángulo y alturas. Explicar como hacer dibujos a escala y acotar.

6.- a) Di a qué escala están los siguientes cuadrados.

b) Las vistas de un cuadernillo, a escala E=1:2 son las que se ven. Se trata de poner las medidas que faltan en el

dibujo.

c) Dibuja un rectángulo de medidas 2'5cm x 1'5 cm que esté a escala E=3:1.

Ejemplo 6

Ejemplo 1, pag 236

Pitagoras Ejemplo 5, pag 247 Diagonal del cuadrado y del cubo en función del lado Putnam Piramide Tripletas pitagóricas Pitagoras para construir números irracionales