geometr a moderna i · geometr a moderna i notas de clase ... grupos y el algebra computacional....

Geometra Moderna I

Notas de clase

Curso 2019-1

Rodolfo San Agustn Chi

Departamento de matematicasFacultad de Ciencias

Universidad Nacional Autonoma de [email protected]

31 de julio de 2018

ii Rodolfo San Agustn Chi

Por que Geometra Moderna?

Se puede interpretar el termino Moderno de maneras muy diversas. Esto, aun dentro dela geometra, tampoco es la excepcion. Citemos brevemente algunas de estas intepretaciones:

1. En su libro Vorlesungen uber neuere Geometrie Moritz Pasch 1 utilizo el terminogeometra moderna en el sentido siguiente:

Para que la geometra sea verdaderamente deductiva, el proceso de infe-rencia debe de ser independiente en todas sus partes del significado de losconceptos geometricos, tal y como debe serlo de los diagramas. Todo lo quedebe considerarse son las relaciones entre los conceptos geometricos. [...]

2. Vincenzo de Risi 2 considera una de las acepciones mas recientes del termino en suproyecto Modern Geometry and the Concept of Space:

Although a divide between ancient and modern geometry can be framedin different ways, the most useful one may well be the emergence of theconsideration of space itself as an object of geometrical investigation. Greekmathematics understood geometry as a study of straight lines, angles, cir-cles and planes, or in more general terms as a science of figures conceivedagainst an amorphous background space whose definition lies outside the li-mits of the theory. This understanding was superseded by a conception ofspace (and spaces, now plural for the first time) itself endowed with geo-metrical properties. The main concern of this new geometrical science is tocharacterize the structures and features of geometrical space in axioms anddemonstration. Although it is quite clear that this revolution in geometryhelped shape the scientific world such that contemporary mathematics re-mains incomprehensible without it, the questions of when, why and how thisrevolution took place are still to some extent obscure.

http://www.mpiwg-berlin.mpg.de/en/staff/members/vderisi

3. Tambien se denomina de esa manera a la geometra cuyo desarrollo siguio al rena-cimiento europeo (mediados del siglo XV), tuvo un gran desarrollo durante el sigloXVIII y que llego hasta principios del siglo XIX. Esto es, grosso modo, la llamada

1Moritz Pasch (1843 Wroc law (Breslau), Prusia oriental - 1930 Bad Homburg, Alemania). Vorlesungenuber Neuere Geometrie, Leipzig, Springer, 1882.

2Max Planck Institute for the History of Science. http://[email protected]

i

ii Rodolfo San Agustn Chi

epoca moderna en la historiografa europea, pero, sobre todo, la francesa, incluyendo,en particular, las epocas de la ilustracion y la napoleonica 3.

Y as podriamos continuar con algunas interpretaciones mas. Sin embargo, en estasnotas basicamente nos enfocaremos al estudio de la geometra moderna en el sentido delinciso 3 anterior.

Pero... por que se ha elegido precisamente esa y no alguna otra interpretacion? Permi-tamos esta vez que la geometra moderna (ahora s, sin cursivas) se exprese por s misma:

Tolomeo. ABCD es un cuadrilatero cclico si y solamente si

AB CD +BC DA = AC BD.

Problema. Dadas dos rectas y un punto que no se encuentra sobre ningunade ellas, con regla solamente, trazar una recta a traves del punto dado ydel punto de interseccion de las dos rectas dadas, sin usar este punto deinterseccion.

?

3

El progreso y el perfeccionamiento de las matematicas estan ntimamente ligados a la prosperidaddel Estado.

Napoleon BonaparteAs, citando diversas fuentes:

...Cuando [Napoleon] llego a emperador, apoyo vigorosamente la ciencia francesa tratandoque compitiera exitosamente con la inglesa.

...Fue el quien impulso la educacion superior y sometio a las escuelas a un control centra-lizado ampliando el sistema educativo libre, de manera que cualquier ciudadano pudiera accedera la ensenanza secundaria sin que se tuviera en cuenta su clase social o religion.

...Cualquiera que haya sido la capacidad geometrica de Napoleon, es merito suyo haberrevolucionado de tal forma la ensenanza de las matematicas en Francia, que segun varios histo-riadores,

...sus reformas fueron las causantes de la floracion de matematicos orgullo de la Franciadecimononica.

Notas de Geometra Moderna I iii

Feuerbach. Los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y lospuntos medios de los segmentos que unen los vertices al ortocentro de un trian-gulo cualquiera estan en una circunferencia.

Euler. El ortocentro H, el circuncentro O, el gravicentro G y el centro de lacircunferencia de los nueve puntos J de un triangulo estan alineados.

A

B CD

E

F

L

MN

G

H J

O

Figura 1: La circunferencia de los nueve puntos y la recta de Euler.

Tambien habemos de considerar, de alguna manera, el enfoque de Pasch. Sin embargo,un desarrollo con apego estricto a los fundamentos de la geometra resultara prohibitiva-mente extenso, aunque tambien muy formativo e interesante (y mas adecuado para un cursodevoto de los fundamentos de la geometra), para un curso semestral. As mismo, ante labrevedad que nos hemos impuesto para estas notas solamente trataremos de aclarar, hastaun cierto punto, las bases que empleamos en nuestro estudio de la geometra. Por ejemplo,con los grupos de axiomas de incidencia y de congruencia del sistema de Hilbert podremosanalizar, con algun detenimiento, la manera en que trabaja el ya mencionado principio desuperposicion.

No parece necesario remarcar, una vez mas, el como las aplicaciones, tanto dentro comofuera de la matematica 4, han puesto de relieve los aspectos combinatorio y computacionaltanto de la geometra clasica como de las geometras emergentes (v.g. las geometras finitas

4Baste mencionar la teora de codigos y la criptografa y la mecanica cuantica, as como los disenoscombinatorios, la robotica, la vision computarizada, la demostracion automatica de teoremas, la teora degrupos y el algebra computacional.

iv Rodolfo San Agustn Chi

o combinatorias, geometra cuantica, estructuras de incidencia, etc). No queremos hacer, nisiquiera, una introduccion a estas otras disciplinas; solamente destacaremos, en su momento,algunos de esos puntos de contacto cuya relevancia, belleza o, incluso, por mera casualidad,han llamado nuestra atencion.

Prefacio

La unica forma de aprender matematicas es resolver diez problemas todos losdas de la semana, ... y veinte los domingos.

atribuida a G.H. Hardy 5

You dont understand anything until you learn it more than one way.

Marvin Minsky 6

Lo mas sencillo es pensar en un musico de jazz. Parece que esta improvisando,jugando. Como puede hacerlo? Sabe 500 melodas de memoria y usa trozos deesas piezas de forma elegante. Lo ha repetido tantas veces que parece que lo hacesin esfuerzo. La teora es necesaria para que surja la creatividad.

Inger Enkvist (1947)

Muchos cursos y textos tanto de geometra como de otras ramas de la matematicaacogen con particular interes la resolucion de problemas y este, si comprendemos de algunaforma a Hardy, no es la excepcion. Nuestra idea es la de enfatizar, con ello, el caracterautoformativo as como la parte creativa que tiene este tipo de estudios. Es decir, en estasnotas seguiremos un formato parecido al de los muchos problemarios que ofrece la literatura(v.gr. [AC07], [BG02a] y [BG02b] en la bibliografa al final de estas notas).

Desde la epoca de Euclides, y quizas ya anteriormente, el llamado metodo o principiode superposicion ha sido una herramienta didactica muy fructfera, directa e intuitiva parainiciarse en el estudio de la geometra7. Sin embargo, en tanto que el material (tambien)esta dirigido a quien estudia una carrera cientfica, hemos considerado una presentacion untanto mas formal del asunto haciendo referencia explcita a los sistemas de Euclides, por unaparte, y al de Hilbert, por la otra. Ademas, as como el material expositorio, el que se dejaa las secciones de ejercicios tambien se presenta como problemas, teoremas, construcciones,etc. requiriendo, por supuesto, de sus respectivas demostraciones o justificaciones.

5Godfrey Harold Hardy (1877-1947).6Marvin Minsky (1927 - 2016). Managing an Information Security and Privacy Awareness and Training

Program Rebecca Herold. Hoboken; CRC Press, (2005) p. 101.7 Por otra parte, es muy interesante que recientemente se ha argumentado, por ejemplo, en el libro de

Cromwell ([Cro97], p. 221) la reserva que aparentemente tenia el mismo Euclides para emplear este metodo(de hecho, pareciera que lo eluda cuando tena alguna otra posibilidad).

v

https://elpais.com/economia/2017/07/10/actualidad/1499687476_336740.htmlhttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hardy.htmlhttps://en.wikipedia.org/wiki/Marvin_Minsky

vi Rodolfo San Agustn Chi

Despues de varios milenios de desarrollo, es muy basto el conocimiento que se tiene dela geometra sintetica 8. Nuevamente, el reto de mantener en un rango manejable el volumende estas notas nos ha obligado a seleccionar muy rigurosamente el material que se pudierahaber incluido. Es por esto que para cada captulo damos solamente las definiciones maspertinentes, los teoremas estructurales y algunas construcciones basicas, ejemplos o casosilustrativos. y algunas aplicaciones clasicas o de nuestro agrado particular. As mismo, hemospreferido hacer mencion unicamente a algunas de nuestras fuentes mas directas. Estas, a suvez, llevaran al lector a sus propias fuentes y as, sucesivamente. Ademas, huelga escribir,tambien en este aspecto la web esta con nosotros; algunos de nuestros sitios favoritos son cutthe knot, la enciclopedia de los centros del triangulo y, particularmente, en muchas ocacionessin mencion explcita, la wikipedia y la enciclopedia britanica.

No obstante lo anterior y, para compensar, aunque sea parcialmente las limitacionesmencionadas, incluiremos, al final de los diversos captulos, algun material y ejercicios com-plementarios. Insistimos: la pretencion de ser exaustivos esta muy, pero muy lejos de siquieracontemplarse.

El captulo introductorio de estas notas es, por una parte, precisamente eso: una intro-duccion donde se recopilan muchos de los resultados basicos de la geometra que se podrantratar, en aras de la brevedad, sin hacer un mayor ahondamiento en ellos. Por la otra, tam-bien se presentan algunos resultados elementales los cuales seran requeridos mas adelantepero que tambien admiten alguna demostracion muy elemental. Inicia con una presentaciondel postulado V de Euclides y algunas de sus equivalencias para seguir con un estudio de lacongruencia de triangulos llegando hasta el Teorema de Pitagoras. En seguida consideramosangulos inscritos en una circunferencia y damos una primera caracterizacion de los cuadrila-teros cclicos. En la cuarta parte de este captulo entramos a la geometra moderna mediantela aritmetica de segmentos orientados en una recta. Finalmente, incluimos un apendice aeste captulo, como referencia, con una lista completa de los postulados de Euclides y losaxiomas de Hilbert.

Puede decirse que el captulo segundo es el corazon de estas notas: en este captulo seestudia la semejanza de triangulos la cual gua no solo a dicho captulo, sino a todos lossubsiguientes en estas notas. Esencialmente revisaremos los teoremas estructurales de estateora, con algunas de sus aplicaciones inmediatas, as como algunos resultados ya de mayoralcance en el curso, como el teorema de Tolomeo (2.6.3) y el problema de Apolonio (2.12.4),as como la teora de homotecia, la cual tambien tiene gran importancia para el mismo.

Aun cuando hemos identificado la geometra moderna con estudios que se han reali-zado a partir de la epoca llamada de la ilustracion, el captulo tercero de estas notas giraen torno a trabajos matematicos iniciados algunos de ellos mucho antes de esa epoca ysiguiendo, cada uno de ellos, sus propositos particulares. Sin embargo, dado que queremosver estos teoremas como algunos otros criterios de colinealidad (de puntos) y concurrencia(de rectas), su tratamiento completo, incluyendo casos lmite con puntos ideales y tambiencasos degenerados, se obtiene con el manejo adecuado de razones de segmentos orientados.Ya en este contexto, este material se puede enmarcar en la teora de configuraciones, la cual

8Como una referencia, ([Eve69], p. 63) En 1906 Max[imilian] Simon (en su libro Uber die Entwickelungder Elementar-geometrie im XIX Jahrhundert [Kessinger Legacy Reprints, Sept. 10, 2010]) intento la for-macion de un catalogo de aportaciones a la geometra elemental hechas durante el siglo XIX; se ha estimadoque este catalogo contiene mas de 10,000 referencias!...

https://www.cut-the-knot.org/https://www.cut-the-knot.org/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/etc.htmlhttps://www.wikipedia.org/https://www.britannica.com/https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geometry-pythagorean-theorem

Notas de Geometra Moderna I vii

tuvo un auge en la segunda mitad del siglo XIX y, tambien, a partir de la segunda mitaddel siglo XX. Los ejercicios adicionales de este captulo muestran algunos de los desarrollosque ha tenido esta teora desde aquel entonces.

[Captulo IV][Captulo V]

viii Rodolfo San Agustn Chi

Notacion general

Un idioma es una tradicion, un modo de sentir la realidad, no un arbitrariorepertorio de smbolos.

Jorge Luis Borges 9

Hemos preferido conservar una simbologa no muy copiosa a fin de evitar, razonable-mente, la irrupcion de demasiados smbolos en nuestro ambito discursivo. Sabemos que,por diversas razones, esto no es la practica matematica mas favorecida. Sin embargo, lageometra que abordaremos permite una comunicacion muy fluida, aun dentro de las de-mostraciones y los algoritmos, desplegando expresamente terminos muy naturales y clasicos(como lo son punto, recta, angulo, etc) en lugar de recurrir a terminologa categorica y deotros tipos.

Denotaremos, tal como es muy frecuente en el caso de la geometra plana, a los puntoscon letras mayusculas: A, B, C, etc., a las rectas con letras minusculas: a, b, c, etc. y a losangulos con letras griegas , , , etc. Sin embargo, particularmente para el caso de lostriangulos, tambien ha sido muy comun, si A, B y C se refieren a los vertices de uno deellos, denotar con a, b y c a las magnitudes de los lados opuestos, , y a las magnitudesde los angulos corespondientes, etc. Nos apegaremos mayormente a esta nomenclatura sobretodo en el ultimo captulo de estas notas.

El smbolo denota

Congruencia, tanto de segmentos y de angulos, como de triangulos.

(ABC) Area del triangulo con vertices A, B y C.

Semejanza de triangulos.

. . .2 Fin de la demostracion.

AB CD Las rectas AB y CD son paralelas.

4( )El triangulo definido por las condiciones ( );

analogamente ( ), circ( ), etc.

9Jorge Francisco Isidoro Luis Borges (Buenos Aires, Argentina 1899 - Ginebra, Suiza 1986). El oro de lostigres, Ed Emece, 1972, prefacio.

ix

https://www.biografiasyvidas.com/biografia/b/borges.htm

x Rodolfo San Agustn Chi

El smbolo se utiliza consistentemente en fsica para referirse a la proporcionalidadde dos cantidades; por ejemplo, presion y temperatura.

Para muchos matematicos, el smbolo que emplearemos para indicar el final de cadademostracion (2), es de la autora de Paul R. Halmos 10; algunos otros se lo atribuyen aJohn H. Conway 11.

Invocaremos 12 las formulas siguientes: Con respecto a la nocion de area, solamenteemplearemos que el area de un rectangulo de lados a y b se puede calcular como a b y, deaqu, que el area de un triangulo sera:

(triangulo) = 1/2 base altura (1)

sen() =Cateto opuesto

Hipotenusa(2)

Recordemos que, siguiendo a Hilbert 13, se puede manejar al segmento AB con larelacion indefinida estar entre y los axiomas de orden (ver el apendice al final del captuloI) o bien, conjuntistamente, como sigue:

AB :=AB

BA

sin embargo, a lo largo de estas notas practicamente no sera necesario recurrir a esta nota-cion.

10Paul Richard Halmos (1916 - 2006) A este matematico tambien se le atribuye la abreviatura iff de laexpresion en ingles if and only if.

11 John Horton Conway (Liverpool, Gran Bretana, 26 de diciembre de 1937).12Nuevamente, dado que haremos un uso muy limitado de estas formulas y en aras de la brevedad, no nos

ha parecido excesivo eludir un tratamiento mas formal de ellas.13David Hilbert (1862, Konigsberg, Prusia Oriental - 1943, Gottingen, Alemania).

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Halmos.htmlhttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Conway.htmlhttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hilbert.html

Indice general

1. Introduccion 1

1.1. Algunas equivalencias del postulado V de Euclides . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Congruencia de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1. El teorema de Pitagoras y su recproco. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Cuadrilateros cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1. Para cuadrilateros en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2. Angulos inscritos en una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.3. Cuadrilateros cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7. Segmentos dirigidos en una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7.1. Razon de particion de un segmento de recta . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9. Material adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Relaciones de semejanza 47

2.1. Semejanza de triangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5. Teorema de Tolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.7. Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8.1. Algunas propiedades basicas de la homotecia: . . . . . . . . . . . . . 57

2.9.1. Circunferencias homoteticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.10.1. Puntos homologos y antihomologos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.11.1. Circunferencia de similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.12.1. Circunferencia de Apolonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3. Relaciones de concurrencia y de colinealidad 69

3.2. Teoremas de Ceva y Menelao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5. Triangulos en perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.7. Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4. Relaciones armonicas 93

4.1. Division armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4. Transversal de un haz armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.6. Hileras armonicas en perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.7. Rectas conjugadas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.8. Curvas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.10. Cuadrangulos y cuadrilateros completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.11. Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

xi

xii Rodolfo San Agustn Chi

5. La circunferencia de los nueve puntos y la recta de Simson 1095.1. Sistemas ortocentricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3. La circunferencia de los nueve puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.5. Recta de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.8. La recta de Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.11. Material adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.11.1. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.11.2. Sistemas ortocentricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.11.3. La circunferencia de los nueve puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.11.4. La recta de Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Captulo 1

Introduccion

En este captulo reunimos algunos resultados de geometra elemental que nos seran deutilidad.

Antes que nada, debo decir que, personalmente, al igual que algunos otros colegas,tambien estoy muy agradecido a Euclides por haber enunciado el 5 postulado sin ha-ber tratado de probarlo pues fue hasta finales del siglo XIX que se demostro que esindependiente de sus demas postulados1.

Iniciamos con un pequeno estudio, suficiente para nuestras necesidades, de los teoremasprincipales de congruencia de triangulos. Daremos, por supuesto, alguna demostracion, deentre las muchas que hay, del llamado teorema de Pitagoras. En segundo lugar, revisamosalgunas propiedades de los angulos inscritos en una circunferencia, definimos los cuadri-lateros cclicos y, tras algunas consideraciones de tipo combinatorio sobre dichos objetos,llegamos a una primera caracterizacion de ellos.

El uso de los segmentos dirigidos (u orientados) precede, historicamente hablando, al delos vectores 2. En cursos como los de geometra analtica y mecanica vectorial se acostumbrahacer una presentacion de los segmentos dirigidos como una introduccion al estudio de losvectores y sus aplicaciones. De acuerdo a Howard Eves ([Eve69] p. 64):

Una de las inovaciones de la geometra moderna elemental es el empleo,cuando es util, de magnitudes con sentido, [...]. La extencion del sistema numeri-co a la inclusion de numeros tanto positivos como negativos fue lo que condujoa este paso [...] en la geometra 3.

1 Alexander Bogomolny (freelance mathematician and educator), de su pagina web (al 12 enero 2018):

Its hard to add to the fame and glory of Euclid who managed to write an all-time bestseller,a classic book read and scrutinized for the last 23 centuries. However insignificant the followingpoint might be, Id like to give him additional credit for just stating the Fifth Postulate withouttrying to prove it. For attempts to prove it were many and all had failed. By the end of thelast century, it was also shown that the fifth postulate is independent of the remaining axioms,i.e., all the attempts at proving it had been doomed from the outset. Did Euclid sense that thetask was impossible?...

2Por ejemplo, la ley del paralelogramo para la suma de vectores, tan intuitiva que no se conoce su origen,ya se encuentra en la Mecanica de Heron de Alejandra (10 - 70 D.C.).

3 ... aunque Albert Girard (1595 - 1632), Rene Descartes (1596 - 1650) y otros introdujeron en la geo-

1

https://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/Attempts.shtml

2 Rodolfo San Agustn Chi

As, a partir de la penultima parte de este captulo, quedaremos plenamente instaladoen la geometra moderna una vez que consideremos como dirigidos a los segmentos sobreuna recta. Daremos algunas identidades fundamentales en la aritmetica de segmentos enuna recta.

En geometra es comun el uso de nociones como las que siguen:

El punto medio del segmento AB.

El punto que esta a dos terceras partes del camino que va de A a B.

El punto que divide al segmento AB en la razon aurea.

Esto nos lleva a buscar alguna referencia de los puntos sobre la recta AB indepen-dientemente de la orientacion y la unidad de medida que se pudieran adoptarsobre dicha recta. Dicha busqueda se resuelve con la nocion de razon de particion de unsegmento de recta, con lo cual concluimos este captulo.

En geometra, como en tantas otras cosas de la vida, puede ser muy util el suponer opostular como verdadero algo que parece serlo. Si, ademas, esto que postulamos as es oparece ser de lo mas simple, tenemos un ambiente de trabajo que nos permite referirnosclaramente a estos principios4. Esta parece haber sido la idea de Euclides 5 al redactar susElementos 6,7. Considero un conjunto de 5 postulados y 5 ((axiomas))8 para deducir, a partirde ah, el corpus de su geometra.

Incluimos un apendice a este captulo con los postulados y ((axiomas)) de Euclides ascomo los axiomas de David Hilbert9 para la geometra euclideana.

metra [el empleo de] segmentos negativos durante el siglo XVII la idea de las magnitudes con sentido fueexplotada sistematicamente por primera vez a principios del siglo XIX por Lazare Nicolas Marguerite Carnot(1753-1823, Geometrie de position, 1803) y August Ferdinand Mobius (1790-1868, Der barycentrische Calkul,1827).

4y, en ultima instancia, remitir las indagaciones sobre estos principios a una parte que podramos llamarde fundamentos de la teora.

5 Euclides de Alejandra, ca 300 A.C.6 Stoicheia (o, en griego clasico).7 Sir Thomas L. Heath escribe en la introduccion de la reimpresion de 1932 de los elementos (No 891 in

the Everymans Library):

The simple truth is that it was not written for schoolboys or schoolgirls, but for the grown manwho would have the necessary knowledge and judgment to appreciate the highly contentiousmatters which have to be grappled with in any attempt to set out the essentials of Euclideangeometry as a strictly logical system, and, in particular, the difficulty of making the best selectionof unproved postulates or axioms to form the foundation of the subject....

8Aqu cabe recordar que Euclides mismo no utilizo el termino axioma, sino el de nocion comun(o o). Es a partir de Proclo, uno de sus comentadores, que se empieza a utilizar, matemati-camente, ese termino.

9 David Hilbert (1862 Wehlau, cerca de Konigsberg, Prussia (ahora Kaliningrado, Rusia) - 1943).

Notas de Geometra Moderna I 3

1.1. Algunas equivalencias del postulado V de Euclides

Como ultimo de sus postulados tenemos el

Quinto postulado de Euclides. Si una recta incidente con dos rectas hace angulosinternos y de la misma parte menores que dos rectos, prolongadas esas dos rectas al infinitocoincidiran por la parte en que esten los angulos menores que dos rectos.

Figura 1.1: + <

Vemos directamente que este postulado no es ni tan simple ni tan evidente comolos demas. En efecto, por mucho tiempo se trabajo, en diferentes direcciones, sobre lasrelaciones de este con los demas postulados de Euclides. Particularmente,

1. Surgieron varias formulaciones equivalentes a el.

2. Se trato (inutilmente, por cierto) de obtener este postulado como una consecuenciade los otros postulados.

3. Se trato (y se logro) probar su independencia respecto de los otros demas.

4. En algunas areas de la geometra, se le sustituyo por algunas de sus negaciones logi-cas10.

Respecto del primer punto anterior tenemos el famoso teorema de los angulos internosde un triangulo:

Postulado V (i). Los angulos internos de un triangulo suman dos rectos.

Esto es, podemos decir que un atributo del plano euclideano es que los angulos inter-nos de cualquier triangulo suman dos rectos. Desde un punto de vista mas practico, conesta version del quinto postulado tenemos que en dos triangulos cualesquiera, basta saberque dos pares de angulos correspondientes son congruentes, para que los terceros pares deangulos tambien sean congruentes entre s. As aplicaremos este razonamiento, sin mayorargumentacion, por ejemplo, en la prueba del Teorema (1.3.3).

Otras formulaciones de uso frecuente del quinto postulado son las siguientes:

10 Lo cual dio lugar, entre otras cosas, al surgimiento de las geometrias no euclideanas.


Postulado V (ii). [Playfair 11, 12] Por un punto dado no incidente con una recta,tambien dada, solo se puede trazar una paralela a ella.

Postulado V (iii). Los angulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Figura 1.2:

Postulado V (iv). Un angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los dosinteriores no adyacentes a el.

Figura 1.3: = + .

En el libro de Howard Eves ([Eve69], p. 320 y siguientes, incluyendo ejercicios) hay masequivalencias del quinto postulado junto con una excelente discusion al respecto 13.

Por ejemplo, uno puede probar lo siguiente:

Q = (ii) = (iii) = (iv) = (i) = Q

Finalmente (Scott E. Brodie), en un triangulo rectangulo (vease la subseccion 1.4.1):

Postulado V (v). [teorema de Pitagoras 14] El cuadrado de la hipotenusa es igual ala suma de los cuadrados de los catetos.

11John Playfair, 1748-1819. Es curioso que el nombre de Playfair este asociado a este axioma, dado que,como el mismo senala, lo obtuvo de Proclo.

12Proclo, 410-485 D.C.13Tambien esta pagina electronica, entre otras, da muy buena cuenta de ello.14Bogomolny op. cit. (al 2 de febrero de 2018):

https://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtmlhttps://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/Attempts.shtmlhttps://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtml


1.2. Congruencia de triangulos

En esta seccion se presentan los teoremas estructurales de la congruencia de triangulos.Dado que en estas notas no queremos extendernos demasiado en el estudio de los funda-mentos de la geometra euclideana, hemos preferido eludir los tratamientos mas clasicos deltema y, en su lugar, damos demostraciones breves de dichos teoremas aunque ello signifiquesaltar un poco en el tiempo 15. En particular, incluimos una demostracion de Hadamard 16

del Teorema (LLL).

Siguiendo a Hilbert (axiomatizacion, [Hil71]), el smbolo denotara congruencia tantode segmentos como de angulos.

En principio, podriamos considerar que la nocion de congruencia se refiere a figurasiguales; es decir, a figuras que tienen la misma forma y el mismo tamano. Uno podria,incluso, hacer una teora de figuras congruentes considerando inicialmente las figuras massimples en el plano: los triangulos.

Para ello, recordemos que Hilbert (op. cit.) declara la congruencia entre segmentos(y angulos) como una relacion indefinida y la reglamenta mediante los axiomas correspon-dientes. Nos resultara particularmente util el Axioma III.5, el cual establece una relacionentre ciertos objetos unidimensionales, los segmentos de recta y los angulos, con objetosbidimensionales, los triangulos:

En dos triangulos ABC y ABC , si AB AB,AC AC y

BAC BAC entonces ACB AC B.

Observacion 1.2.1. Desde un punto de vista practico observamos que los lugares de lossmbolos B y C son simetricos en esta formulacion por lo que los puntos correspondientesson intercambiables (B C) y, as, tambien se tiene que ABC ABC .

Nota 1.2.1. Por otra parte, desde el punto de vista de los fundamentos de la geometra,la importancia de este axioma empezara del modo siguiente:

15 En el texto [LdlEA77] hay una presentacion de ellos basada en problemas topograficos la cual, talcomo muchos textos elementales de geometra, emplea el llamado metodo o principio de superposicion. Estemetodo consiste en la colocacion ideal de un objeto en la posicion de otro para demostrar que los doscoinciden. Euclides solamente empleo este procedimiento en I.4, I.8 y III.24, aunque pudo usarlo en muchasotras proposiciones tambien.

16 Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) matematico frances que trabajo en las universidades de Bur-deos y la Sorbona de Pars. Entre muchas otras cosas, su logro mas conocido es la demostracion del llamado(en su tiempo) teorema de los numeros primos: El numero de primos n tiende a con n/ logn.

Dio su nombre a las matrices de Hadamard, al Teorema de Cauchy-Hadamard y se utiliza en criptografala pseudo-transformacion de Hadamard. En su libro Psicologa de la invencion en el campo matematico,Hadamard usa la introspeccion para describir el proceso mental matematico. Describe su propio pensamientomatematico como mayormente sin palabras, acompanado a menudo de imagenes mentales que condensan laidea global de una prueba, en franca oposicion a autores que identifican el lenguaje y la cognicion. Realizouna encuesta entre 100 de los fsicos mas relevantes del momento (ca. 1900), preguntandoles como realizabansu trabajo. Muchas de las respuestas fueron identicas a la suya; algunos informaron que vean los conceptosmatematicos como colores. Einstein comento sensaciones en sus antebrazos.


B C B C

A A

Figura 1.4: Axioma III.5: ACB AC B.

El Axioma III.1 nos da la posibilidad de construir segmentos congruentes a segmentosdados. Sin embargo la unicidad de estas construcciones solo se obtiene hasta que se considerael Axioma III.5. 6

Esta situacion es notoriamente contrastante con la de la construccion de angulos pues,en este otro caso, la construccion y unicidad se requieren conjuntamente en el axiomacorrespondiente (III.4) (fig. (1.5)):

Sean (h, k) un angulo en un plano y a una recta en un plano ; se fija unlado de a en . Sea h un rayo de la recta a el cual parte del punto O. Entonces,en el plano , hay uno y solo un rayo k tal que el (h, k) es congruente al(h, k) y a la vez que todos los puntos interiores del (h, k) estan en el ladodado de .

k

h

h

k

O

a

Figura 1.5: Axioma III.4: ! h tal que (h, k) (h, k).

Simbolicamente:

(h, k) (h, k).

As, llegamos a la definicion principal de este captulo:

Definicion 1.3. Dos triangulos son congruentes si sus lados correspondientes son con-gruentes y sus angulos correspondientes tambien son congruentes.


De acuerdo a esta definicion, extendemos el significado del smbolo para parejas detriangulos en esta relacion.

El lema siguiente se extrajo de alguna demostracion del teorema (1.3.2) (ALA). Estetipo de procedimientos se emplea frecuentemente en matematicas pues permite ver conmayor nitidez el resto de la demostracion mencionada.

Lema 1.3.1. Si

(1) CBA C BA ,(2) BC BC y(3) ACB AC B

Entonces

AB AB.7

Demostracion. En la figura (1.6), con las hipotesis (1), (2) y (3) :

A

A

A

CCB B

Figura 1.6: BC A BC A = A = A.

(4) Sea A BA tal que AB AB Axioma III.1.

As, basta ver que A = A

(5) BCA BC A Axioma III.5 en (2), (1) y (4).(6) BC A BC A de (3) y (5).(7)

C A =

C A Axioma III.4 en (6).

(8) A = A Axioma I.2 en (4) y (7)

Nota 1.3.1. De acuerdo a la nota (1.2.1), el segmento AB que construimos en el inciso

(4) anterior pudiera no ser unico. Sin embargo, como la rectaC A =

C A s es unica, el

argumento marcha perfectamente.

Por otra parte, el ultimo punto de esta demostracion se puede argumentar de la formaque sigue: Si los puntos A y A fuesen diferentes, entonces las rectas AB y C A (las cualesson distintas) pasaran por ambos puntos, lo cual contradice al Axioma I.2.

Teorema 1.3.2 (ALA). Si


(1) CBA C BA ,(2) BC BC y(3) ACB AC B

Entonces

ABC ABC .

Demostracion. Nuevamente, en la figura (1.6),

(4) AB AB Lema 1.3.1.(5) AC AC Lema 1.3.1, con B C.(6) CAB C AB Axioma III.5 en (2), (1) y (4).

Teorema 1.3.3 (LAL). 17 Si

(1) AC AC ,(2) ACB AC B y(3) CB C B.

Entonces

ABC ABC .

Demostracion. De acuerdo al teorema anterior ((ALA) (1.3.2)), basta verificar, por ejemplo,que ABC ABC . Esto es consecuencia inmediata del Axioma III.5.

Observacion 1.3.4. La denominacion LAL del Teorema 1.3.3 se refiere a que, en lashipotesis, el angulo de referencia es precisamente el incluido entre los otros dos lados. Enestos terminos, un teorema ALL, por ejemplo, no es posible (cf. ejercicio 2): En la figura 1.7,Z es el centro de una circunferencia que pasa por Y y Y ; as, los triangulos XY Z y XY Zsatisfacen las hipotesis ALL pero no son congruentes (si Y 6= Y ). As mismo, en el TeoremaALA (1.3.2), por la version (i) del quinto postulado, esta distincion resulta inmaterial.

X

Y

Y

Z

Figura 1.7: Contraejemplo a un supuesto teorema ALL.

17De los tres teoremas de congruencia, este es el Euclides utilizo con mayor frecuencia, incluso en laproposicion XI.4 y muchas otras del libro XI, donde los triangulos estan en planos diferentes.


La demostracion que daremos del Teorema (LLL) se basa en que la mediatriz de labase de un triangulo isosceles pasa por el tercero de sus vertices (Corolario 1.4.2). A suvez, esta propiedad se relaciona directamente con el Teorema I.5 de Euclides. A este ultimose le conoce como Pons Asinorum (PA) pues, supuestamente, es difcil hacer que unburro pase por un puente18 o, probablemente, por la figura que aparece en la complicadaprueba de Euclides mismo. Posteriormente (ca. 340 d.C.) Pappus 19 dio una prueba massimple. En 1956, un programa de Marvin Minsky 20 encontro la demostracion que damosa continuacion. Curiosamente, dicha demostracion sigue la lineas de la demostracion dePappus. En ambos casos, la idea es considerar al triangulo dado, ABC, con AB AC,digamos, como si se tratase de los dos triangulos distintos ABC y ACB. Posteriormente,en 1960, Herbert Gelernter 21 publico una prueba similar realizada con un demostradorautomatico de teoremas de geometra basado en el programa de Minsky.

Teorema 1.3.5 (PA). En un triangulo cualquiera los angulos opuestos a lados congruentesson congruentes.

A

CB C

A

B

Figura 1.8: (ALA) (PA).

Demostracion. En la figura 1.8, sea ABC un triangulo tal que

18 De la Wikipedia: It takes its name as the first real test in the Elements of the intelligence of the readerand as a bridge to the harder propositions that followed. Its location in that text is much more advancedthan where the problem is posed in present-day geometry textbooks for high-school students.

19Pappus de Alejandra, ... Se sabe que vivio en el siglo IV, pues describio un eclipse solar que habaobservado el 18 de octubre del ano 320 d.C. Probo el primer teorema de lo que ahora llamamos geome-tra poyectiva: ... H.S.M. Coxeter, The Pappus configuration and the self-inscribed Octagon. I, Ind. Math.(Proc.) Vol. 80 (4), 1977, p. 257.

Su obra mas conocida es un libro llamado Synagoge, tambien conocido como Coleccion matematica. Con-servaremos la grafa Pappus en vez de la tambien usual Papus por no confundir con el seudonimo deGerard Anaclet Vincent Encausse (1865 - 1916), fundador de la orden Martinista.

20Marvin Lee Minsky (1927 - 2016) trabajo en el area de inteligencia artificial, fue co-fundador del labo-ratorio de inteligencia artificial del MIT en 1959. Escribio varios textos en inteligencia artificial y filosofa.

21Herbert Gelernter (1929 - 2015). ...[In 1958] Herbert Gelernter and Nathan Rochester (IBM) describeda theorem prover in geometry that exploits a semantic model of the domain in the form of diagrams oftypical cases.

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/1385725877900221


(1) AB AC. HipotesisEntonces,

(2) ABC ABC Axioma III.5 en 4ABC y 4ABC ,considerando como4ABC al mismo 4ACB.

Tambien se tiene el teorema recproco (1.3.6). Su demostracion, as como las de los doscorolarios que le siguen (1.4.1 y 1.4.2), quedan como ejercicios:

Teorema 1.3.6. En un triangulo cualquiera los lados opuestos a angulos congruentes soncongruentes.

Definicion 1.4. La mediatriz de un segmento de recta BC es la recta

1. perpendicular a la recta BC

2. que pasa por el punto medio del segmento BC

Observacion 1.4.1. La mediatriz de un segmento de recta separa a los extremos de dichosegmento en dos semiplanos distintos 22

Mas adelante usaremos este concepto como un lugar geometrico: el lugar equidistantede dos puntos.

Corolario 1.4.1. La mediatriz de un segmento de recta BC es el lugar equidistante de losextremos de dicho segmento.

(ejercicio 1).Esto es, se trata del lugar geometrico siguiente:

{X|BX XC}

En particular,

Corolario 1.4.2. En un triangulo isosceles, la mediatriz de la base pasa por el tercer verticedel triangulo. De hecho, es la bisectriz del angulo en dicho vertice.

(ejercicio 4).

Teorema 1.4.2 (LLL). Si

22Esta proposicion es equivalente al Axioma II.4, tambien llamado de Pasch. el cual establece que si unarecta intersecta interiormente a algun lado de un triangulo, tambien debe intersectar interiormente a otrode los lados de dicho triangulo. En muchos estudios de los fundamentos de la geometra euclideana se ledenomina

Postulado de separacion del plano: Dada una recta en el plano, los puntos del plano queno estan en dicha recta forman dos conjuntos tales que: (i) cada uno de ellos es convexo y (ii)si P esta en uno de ellos y Q en el otro, entonces el segmento PQ intersecta la recta.


(1) AB AB,(2) BC BC y(3) CA C A

Entonces

4ABC 4ABC .

Demostracion. (Hadamard)

As, en la figura (1.9), con las hipotesis (1), (2) y (3), sea X un punto en el mismosemiplano que A determinado por BC tal que

X

A

B C

Figura 1.9: Si los puntos X y A son distintos, entonces la recta BC los separa.

(4) ABC XBC y Axioma III.4.(5) BX BA. Axioma III.1.(6) XC AC Lema (1.3.1) en (1), (4), (5) y (2).(7) Si X 6= A, la mediatriz del segmento XA Corolario 1.4.2 en (1) y (5)

es la recta BC ; y en (3) y (6).(8) Pero dicha recta no separa en semiplanos Observacion 1.4.1

distintos a los puntos X y A.

Observacion 1.4.3. Los teoremas de congruencia de triangulos justifican el principio desuperposicion.

En efecto, consideremos primeramente que el cuarto postulado de Euclides (cosas quecoinciden entre s son iguales) se puede ver como la intencion de levantar y mover una figurapara superponerla a otra para, as, verificar la igualdad o congruencia de ambas.

A continuacion, vemos que los teoremas de congruencia que ya hemos demostrado estanbasados en los axiomas III.1, III.4 y III.5.

Con ello vemos, primeramente, que el Axioma III.1 se referira a la superposicion desegmentos:

Si A y B son dos puntos en alguna recta a y A es un punto en la misma o enotra recta a entonces siempre es posible hallar un punto B en un lado dado dela recta a tal que el segmento AB sea congruente con el segmento AB.


Es decir,

si superponemos el punto A al punto A y la semirecta (o rayo)AB al lado dado

de la recta a entonces el punto B se superpone al punto B.

Analogamente, el Axioma III.4 se referira a la superposicion de angulos y, finalmente,el Axioma III.5 se referira, en ultima instancia, a la superposicion de triangulos.

Esto nos lleva directamente a pensar en las transformaciones rgidas; esto es, aquellasque preservan las magnitudes de segmentos y de angulos; por ejemplo, las reflexiones, rota-ciones y translaciones. Felix Klein 23 desarrollo estas ideas en su programa de Erlangen, elcual consiste, basicamente, en el estudio de las diversas geometras a traves de los invariantesde sus grupos de transformaciones.

Por ejemplo, la aseveracion euclideana:

dos triangulos son iguales si podemos superponer uno en el otro.

se leera, en estos otros terminos, como sigue:

dos triangulos son iguales si alguna reflexion o composicion de reflexiones mandauno en el otro.

1.4.1. El teorema de Pitagoras y su recproco.

Este es un teorema muy importante en la geometra euclideana. Es la base para definirla distancia entre dos puntos en esta geometra. Sus aplicaciones y generalizaciones vandesde la misma geometra euclideana, pasando por el teorema de Fermat y llegando hastala criptografa mediante las llamadas ternas pitagoricas primitivas. Seguramente se trata delteorema que tiene mas demostraciones24 (seguido del teorema de la reciprocidad cuadratica(L. Euler, 1783) en teora de numeros). Por otra parte, tambien se tienen evidencias (enmesopotamia, Egipto y China, por ejemplo) de que ya haba enunciados similares o decasos particulares desde aproximadamente 1000 anos antes de la existencia de la hermandadpitagorica25, 26.

23Felix Klein (1849 - 1925). En 1872, tras ingresar como profesor a la Universidad de Erlangen, dio unaconferencia inaugural en la que propuso el estudio de la geometra desde el punto de vista de la teora degrupos, lo cual se conoce como el programa de Erlangen. En 1895 impulso el proyecto de la Encyklopadie derMathematischen Wissenschaften, la cual superviso hasta su muerte. Tambien destaco por sus iniciativas enpro de la reforma educativa en Alemania.

24En la pagina electronica 1966-2016 Alexander Bogomolny se encuentran muchas referencias de esteteorema y, hasta ahora (7 de junio de 2018), 122 pruebas del mismo. El libro The Pythagorean Propositionde Elisha Scott Loomis (1a edicion 1927; reedicion 1968) incluye 370 demostraciones.

25 Pitagoras de Samos (ca. 569 - 475 a.c.) o en griego jonico. Aqu se puede encontrar unabiografa muy completa (J.J. OConnor y E.F.Robertson JOC/EFR January 1999)

26de la Enciclopedia britanica:

...Pythagoras soon settled in Croton (now Crotone, Italy) and set up a school, or in modernterms a monastery (see Pythagoreanism), where all members took strict vows of secrecy, andall new mathematical results for several centuries were attributed to his name. Thus, not only

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/01611194.2014.915257#.U5tvAvldXkghttps://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/dont-fall-for-babylonian-trigonometry-hype/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086009000081?via%3Dihub https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-zhoubi-suanjinghttp://www.cut-the-knot.org/pythagorashttps://files.eric.ed.gov/fulltext/ED037335.pdfhttps://www.amazon.com/Pythagorean-Proposition-Elisha-S-Loomis/dp/0873530365http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Pythagoras.htmlhttps://www.britannica.com/topic/Pythagorean-theorem


Para algunos no ha de ser tan sorprendente que este teorema tambien sea equivalenteal quinto postulado sino que esto se halla publicado hasta tan recientemente. En este mismotenor, habra que mencionar que D.E. Dobbs, en 2001, demuestra aqu que

Si una geometra neutral contiene al menos un triangulo rectangulo que satisfacela conclusion del teorema de Pitagoras entonces dicha geometra es euclideana27.

Teorema 1.4.4 (Pitagoras). En un triangulo rectangulo de lados a, b y c. Si el lado c estaopuesto al angulo recto, entonces

a2 + b2 = c2

La prueba que daremos es similar a las que utilizan cuatro triangulos en la paginaelectronica 1966-2016 Alexander Bogomolny.

Demostracion. Primeramente, en la parte derecha de la figura 1.10, sobre cada lado delcuadrado exterior marcamos un punto que lo divida en segmentos de longitudes a y b,respectivamente.

Por el Teorema (LAL), los cuatro triangulos a la vista son congruentes entre s. Conesto, la figura central sera, en principio, un rombo. Ademas, sus angulos internos son todosiguales entre s; ergo, se trata de un cuadrado.

Figura 1.10: (a+ b)2 = 2ab+ c2.

Esta demostracion se basa en calcular el area de la figura de dos maneras diferentes:

is the first proof of the theorem not known, there is also some doubt that Pythagoras himselfactually proved the theorem that bears his name. Some scholars suggest that the first proofwas the one shown in the figure 1.10.

27[...] if a neutral geometry G contains at least one right triangle which satisfies the conclusion of thePythagorean Theorem, then G is (isomorphic to) Euclidean geometry and, hence, satisfies Playfairs form ofthe parallel postulate.

https://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtmlhttps://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/002073902320300865http://www.cut-the-knot.org/pythagoras


(1) Area de la figura completa = (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(2) Area de los 4 triangulos = 2ab (2).

(3) Area de la figura central = c2

(4) Area de la figura completa = 2ab+ c2 (2) y (3).(5) a2 + b2 = c2 (1) y (4).

Para terminar de analisar la figura 1.10: en su lado izquierdo tenemos una recomposicionde las partes al lado derecho de tal figura. Esta es otra forma de proceder (por recomposicionde las partes de la figura) en muchas demostraciones que involucran la comparacion de areas;particularmente en demostraciones de este teorema (vease Bogomolny op. cit.).

Una pareja de puntos, digamos B y C, determinan (postulado 1 de Euclides) una recta:la recta BC.

Tambien determinan una segunda recta: la mediatriz m del segmento BC (corolario1.4.1).

Los puntos B y C son simetricos respecto de la recta m pero tambien m esta simetri-camente situada respecto de B y C.

De manera semejante: Una pareja de rectas, digamos b y c, determinan una recta: larecta equidistante de b y c.

Si las rectas b y c se cortan la recta equidistante es la bisectriz del angulo que forman:

Tal como en el corolario 1.4.1, es muy facil ver que los puntos de la bisectriz de unangulo equidistan de las rectas que forman dicho angulo. Ahora bien, utilizando el teoremade Pitagoras 1.4.4, tambien se puede verificar muy facilmente (ejercicio 6) la afirmacionrecproca; esto es,

Afirmacion 1.4.3. La bisectriz de un angulo es la recta equidistante de los lados queforman dicho angulo.

Consideremos dos rectas que se cortan y alguno de los angulos que as se forman,digamos . Cualquiera de los otros dos angulos adyacentes al angulo es su suplementoy se le llama angulo exterior de . La bisectriz de dicho angulo tambien se llama labisectriz exterior del angulo ; en este caso, para evitar mas confusiones, la bisectriz delangulo se renombra como la bisectriz interior de .

De acuerdo a esto es propio decir que

El lugar equidistante de un cierto angulo esta formado por sus dos bisectrices,la interna y la externa.

Si las rectas b y c no se cortan aun tiene sentido hablar del lugar geometrico anterior.Se trata de la paralela comun equidistante a b y a c (vease la figura (1.11).

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras


Figura 1.11: En cualquiera de los dos casos las rectas dadas son simetricas respecto de sulugar equidistante.

1.5. Cuadrilateros cclicos

El teorema de Tolomeo es uno de los resultados mas interesantes acerca de los cuadrila-teros cclicos. La demostracion que haremos esta basada completamente en propiedades desemejanza de triangulos, por lo que pospondremos su exposicion hasta el proximo captulode estas notas. Sin embargo se puede realizar un cierto estudio previo de los cuadrilateroscclicos con los elementos que ya tenemos a la mano.

1.5.1. Para cuadrilateros en general

Consideremos un conjunto, digamos c, de cuatro puntos en el plano.Estos puntos determinan un cuadrilatero

una vez que se les ha ordenado cclicamente.

As, los lados del cuadrilatero son los segmentos de recta determinados por verticesconsecutivos (o adyacentes) ante alguno (cualquiera) de estos ordenamientos. Analoga-mente, dos lados que comparten un vertice son adyacentes.

Dos vertices que no comparten ninguno de los lados del cuadrilatero son opuestos;en este caso, el segmento de recta que ellos determinan es una diagonal del cuadrilatero.Tambien, dos lados que no comparten ninguno de los vertices del cuadrilatero son opuestos.

Un cuadrilatero es cruzado si dos lados opuestos se cortan.Un cuadrilatero es convexo si dos vertices opuestos estan en semiplanos distintos

determinados por los otros dos vertices. Equivalentemente: uncuadrilatero es convexo si dosvertices adyaccentes estan en el mismo semiplano determinado por los otros dos vertices.

Nota 1.5.1. Un poco mas adelante, en la demostracion del corolario 1.6.2, utilizaremos queun cuadrilatero es convexo si cada uno de sus vertices esta separado de su vertice opuestopor la recta determinada por los otros dos vertices.


Figura 1.12: Un cuadrilatero que no es ni cruzado ni convexo.

Nota 1.5.2. Es comun el tratar de seguir la nomenclatura siguiente cuando tratamos deidentificar a algun polgono 28:

1. Por sus lados: le denominamos trilatero, cuadrilatero, . . . , n-latero.

2. Por sus vertices: triangulo, cuadrangulo, pentagono, . . . .

As, para cualquier conjunto c de cuatro puntos distintos en el plano,

Pregunta 1.5.3. Cuantos cuadrilateros distintos determinan dichos puntos?

Algunas respuestas29:

Hay seis formas de ordenar cclicamente a los elementos de c. Sin embargo, tambiennos interesa identificar cada uno de estos ordenamientos con su correspondiente or-denamiento retrogrado 30 (i.e., en realidad estamos considerando los ordenamientosdihedricos de dichos puntos). Consecuentemente,

cada conjunto c determina tres cuadrilateros distintos.

Los seis segmentos de recta que unen a dichos puntos se distribuyen en tres pares desegmentos opuestos y, entonces, cada cuadrilatero tiene dos pares de lados opuestos yun par de diagonales.

Los papeles de par de lados opuestos y par de diagonales se van intercambiando deacuerdo al orden dihedrico que se vaya dando a los puntos del conjunto c.

De dichos cuadrilateros, si uno de ellos es convexo, los otros dos son cruzados. Si unode ellos es cruzado, otro de ellos tambien lo es y el tercero es convexo.

Si uno de ellos tiene la forma de la figura 1.12, los otros dos tambien.

28 Sin embargo, como tambien hemos de ver en estas notas, historicamente se ha arraigado una serievariopinta de terminos. Por ejemplo: es muy comun decir triangulo aun en aquellas ocasiones en las cualessera un poco mas correcto decir trilatero o bien cuadrilatero cuando tratamos mas bien con un cuadrangulo.Tal es el caso de los cuadrilateros cclicos.

29 Se puede bajar un archivo pdf (6.95 mb) de la pagina ENCYCLOPEDIA OF QUADRI-FIGURES(EQF) con un estudio muy amplio respecto de figuras que consisten de 4 puntos o 4 rectas.

30Este procedimiento es esencialmente el mismo que se utiliza para contar (y generar) los ciclos hamilto-nianos en una grafica completa.

https://chrisvantienhoven.nl/mathematics/encyclopedia


1.5.2. Angulos inscritos en una circunferencia

El angulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene su vertice en dicha cir-cunferencia. El angulo central es el que tiene su vertice en el centro de una circunferenciadada. Los lados de cada uno de dichos angulos abarcan o subtienden cierto arco de lacircunferencia. Por ejemplo, en cualquiera de los dos casos de la figura (1.13), el anguloAOC abarca el arco AC de la circunferencia que no pasa por B.

Teorema 1.5.1. El angulo inscrito en una circunferencia es la mitad del angulo central.

BD

A

C

O

A

C

BDO

Figura 1.13: Los dos casos de la demostracion del Teorema 1.5.1.

Demostracion. En la figura (1.13), sea ABC un angulo inscrito y sea O el centro de lacircunferencia. Consideramos el diametro BD.

(1) 2ABD + BOA = = AOD + BOA el triangulo ABO es isosceles.(2) ABD = 1/2AOD (1).

(3) DBC = 1/2DOC analogamente.

(4) ABC = 1/2AOC (2) y (3).

El corolario que sigue nos sera de utilidad en lo subsecuente. La segunda parte delcorolario mencionado se puede ver como un caso lmite del teorema anterior (el caso generico,diramos); sin embargo, requiere de una demostracion (ejercicio) diferente.

Corolario 1.5.4.

1. Angulos que subtienden el mismo arco son iguales y angulos que subtienden arcossuplementarios son suplementarios.

En particular, los angulos que subtienden un diametro son rectos.

2. En la figura (1.14), OP es tangente a la circunferencia.

Entonces (ejercicio),OPC PDC


y recprocamente.

P

OC

D

Figura 1.14: OPC PDC OP es tangente a la circunferencia.

1.5.3. Cuadrilateros cclicos

Definicion 1.6. Un cuadrilatero es cclico si todos sus vertices estan en una misma cir-cunferencia.

Primeramente vemos que

Lema 1.6.1. Un cuadrilatero cclico solamente puede ser cruzado o convexo.

Demostracion. Sean A, B y C vertices consecutivos del cuadrilatero. Ellos parten a la cir-cunferencia en los tres arcos AB, BC y CA y, consecuentemente, D, el cuarto vertice delcuadrilatero cclico, podra estar en cualquiera de dichos arcos.

C

A

B

?

Figura 1.15: El cuarto vertice del cuadrilatero cclico puede estar en cualquiera de los arcosAB, BC o CA.


1. Si D esta en el arco AB, entonces los vertices C y D estan en arcos distintos AB dela circunferencia y de aqu que los segmentos AB y CD se corten.

2. Analogamente, si D esta en el arco BC los segmentos BC y AD se cortan.

3. Finalmente, si D esta en el arco CA, ninguno de los segmentos CD y DA corta aninguno de los segmento AB y BC. Este es el caso del cuadrilatero convexo.

Del inciso 1 del Corolario (1.5.4) tenemos el resultado clasico que sigue:

Corolario 1.6.1. En un cuadrilatero cclico los pares de angulos opuestos son iguales osuplementarios.

As, por el Lema (1.6.1), el caso cruzado corresponde al de angulos opuestos iguales.

El resultado recproco tambien es verdadero:

Corolario 1.6.2. Un cuadrilatero convexo o cruzado es cclico si sus angulos opuestos soniguales o suplementarios.

Nuevamente, por el Lema (1.6.1), el caso cruzado corresponde al de angulos opuestosiguales.

Demostracion.

1er. caso ABCD es un cuadrilatero convexo.

Esto es, ABC+CDA = . Es decir, el punto D esta en el semiplano determinadopor la recta AC y el cual, ademas, no contiene al punto B.

(1) Sea D el otro punto de interseccion de la recta AD con la circunferenciaque pasa por los puntos A, B y C.

(2.1) Si ABCD es convexo (i.e., si D AD), entonces,

por el corolario 1.6.1, CDA+ ABC = .y CDA CDA.

(2.2) Si se diera que ABCD es cruzado, (i.e., si A DD),

nuevamente, por el corolario 1.6.1, ABC ADCy CDA+ CDA = .

(3) As, en cualquiera de los dos subcasos (2.1 y 2.2), en 4CDD, D = D.

Observamos que, en este caso (D ), si D esta, ademas, en el semiplano determi-nado por la recta tangente al circuncrculo ABC en el punto A y el cual, ademas, nocontiene al circuncrculo ABC, el cuadrilatero ABCD siempre es cruzado (y recpro-camente) por lo que el subcaso (2.2) realmente no puede ocurrir.

Sin embargo, si D esta fuera de dicho semiplano , estamos ante el unico caso factibley, ahora, el cuadrilatero ABCD es convexo.


B

A

D

D

C

D

B

A

D

C

Figura 1.16: Los dos subcasos cuando el cuadrilatero ABCD es convexo.

2o. caso Si ABCD es cruzado.

Ahora, D debe estar en el semiplano determinado por la recta AC y el cual, estavez, contiene al punto B; pero tambien debe estar fuera del 4ABC.La demostracion es muy similar a la del 1er. caso y se deja como ejercicio.

El teorema de la bisectriz (1.6.3) se puede probar directamente a partir de la ley de lossenos. Damos una demostracion de ella (1.6.2) a continuacion.

Nota 1.6.3. Este lema se puede deducir tambien del ejercicio 10 de este captulo.

Lema 1.6.2 (Ley de los senos). En un triangulo ABC,

AB

senACB=

BC

senBAC=

CA

senCBA(1.1)

Demostracion. Por la simetra del argumento que usaremos, basta demostrar que

AB

senACB=

CA

senCBA.

As, en la figura (1.17), sea D el pie de la altura por el vertice A.

(1) senCBA =DA

BAy senACB =

AD

CADefinicion del seno de un angulo.

(2) AB senCBA = CA senACB Por (1).

(3)AB

senACB=

CA

senCBA. Por (2).

Teorema 1.6.3 (de la bisectriz). Si la bisectriz del angulo BAC corta en un punto L alsegmento de recta BC, entonces

BL

LC=BA

AC. (1.2)


B D C

A

Figura 1.17:AB

senACB=

CA

senCBA

A

B CL

Figura 1.18: Si AL es bisectriz del BAC, entoncesBL

LC=BA

AC.

En la seccion que sigue, con ayuda del concepto de segmentos dirigidos, daremos unageneralizacion (Teorema 1.8.2) de este ultimo teorema.

1.7. Segmentos dirigidos en una recta

Desde que se tiene referencia escrita (digamos, en los Elementos de Euclides) hasta,por lo menos, el texto Lecons de geometrie elementaire de Jacques Hadamard 31 [Had08](1988, ultima reimpresion de la 13a edicion, en frances) la costumbre en geometra fuedenominar indistintamente a los segmentos de recta y a sus magnitudes correspondientes.As, en una cierta indagacion geometrica, el smbolo AB podia referirse tanto a un segmentode recta (considerado como un conjunto de puntos, digamos) como a la magnitud o medidade dicho segmento de recta. Normalmente, esta ambiguedad se resuelve en el contextomismo de la discusion. Sin embargo, para realizar algunas pruebas, pongamos por caso,de la ecuacion (1.5), lo comun era proceder caso por caso; es decir, se hacian, para cadaproposicion, tantas demostraciones y tantas figuras como configuraciones hubiese (seis, enel caso propuesto). La nocion de segmento dirigido logra reducir el numero de casos a tratar(muchas veces a uno solo de ellos) por lo que el empleo de esta nocion ha representado ungran avance en ese sentido.

31Jacques Salomon Hadamard (1865 - 1963). Su nombre esta asociado, por citar algunos ejemplos, a losteoremas de Cartan - Hadamard y de Cauchy - Hadamard, al producto de Hadamard, al codigo de Hadamard,a los sistema dinamicos de Hadamard, al metodo del desenso (de Hadamard), a las matrices de Hadamard,al teorema de los tres crculos (de Hadamard), etc..

https://www.britannica.com/biography/Jacques-Salomon-Hadamard


El uso de los segmentos dirigidos (u orientados) precede, historicamente hablando, al delos vectores 32. En cursos como los de geometra analtica y mecanica vectorial se acostumbrahacer una presentacion de los segmentos dirigidos como una introduccion al estudio de losvectores y sus aplicaciones. De acuerdo a Howard Eves ([Eve69] p. 64):

Una de las inovaciones de la geometra moderna elemental es el empleo,cuando es util, de magnitudes con sentido, [...]. La extencion del sistema numeri-co a la inclusion de numeros tanto positivos como negativos fue lo que condujoa este paso [...] en la geometra 33.

As, quedaremos plenamente instalado en la geometra moderna una vez que conside-remos como dirigidos a los segmentos sobre una recta.

Sin embargo, tal y como en el caso de los angulos, nuestras consideraciones al respectotendran que ver mayormente con la orientacion relativa de dos o mas segmentos ubicadossobre una misma recta. Es decir, esencialmente consideraremos si dos segmentos en la mismarecta tienen o no la misma orientacion.

Por ejemplo: el hecho de que los segmentos orientados AB y BA sean iguales en mag-nitud pero de sentidos contrarios se indica con la ecuacion (entre magnitudes orientadas)que sigue:

AB = BA

o, equivalentemente, pero escrito de manera mas simetrica:

AB +BA = 0. (1.3)

Es decir, de acuerdo al Axioma III.1 de Hilbert (y a la unicidad de la construccion desegmentos, cf Nota 1.2.1): dado el segmento AB, para construir el segmento AB := BA,si tomamos a = a, A = B y elegimos el lado de A desde el punto B, entonces tendremosque B = A.

Nota 1.7.1. Por supuesto, el caso A = B arroja que AA = 0:

AA = AA AA = 0.

Consideremos ahora el Axioma III.3 de Hilbert:

Este nos dice, por una parte, que la magnitud del segmento AC, vista como la sumade las magnitudes de los segmentos AB y BC, esta bien definida y que, en consecuencia, laexpresion que sigue:

32Por ejemplo, la ley del paralelogramo para la suma de vectores, tan intuitiva que no se conoce su origen,ya se encuentra en la Mecanica de Heron de Alejandra (10 - 70 D.C.).

33 ... aunque Albert Girard (1595 - 1632), Rene Descartes (1596 - 1650) y otros introdujeron en la geo-metra [el empleo de] segmentos negativos durante el siglo XVII la idea de las magnitudes con sentido fueexplotada sistematicamente por primera vez a principios del siglo XIX por Lazare Nicolas Marguerite Carnot(1753-1823, Geometrie de position, 1803) y August Ferdinand Mobius (1790-1868, Der barycentrische Calkul,1827).


AB +BC = AC (1.4)

en tanto referida a magnitudes de segmentos, tiene sentido 34.

Tal como tenemos en la Formula (1.3), la Formula de Chasles35 (1.5) expresa de maneramuy simetrica la aditividad de magnitudes de segmentos orientados en una recta indepen-dientemente del requerimiento de consecutividad en el axioma III.3 de Hilbert36:

Teorema 1.7.1 (Formula de Chasles). Si A, B y C son tres puntos alineados, entonces

AB +BC + CA = 0 (1.5)

Demostracion. Observemos primeramente que la ecuacion (1.5), en contraste con el AxiomaIII.3, indica la simetra de las funciones que desempenan los puntos A, B y C en dichaecuacion. Explcitamente:

La ecuacion (1.5) es invariante ante permutaciones de A, B y C.

Esto es, dicha ecuacion se conserva ante cada una de las permutaciones de los smbolosA, B y C (seis en total). Podemos identificar las disposiciones relativas de A, B y C(tambien son seis) con dichas permutaciones y, con la observacion que hicimos, tenemos quela argumentacion que sigue37 sera valida en todos los casos si lo es en alguno (cualquiera)de ellos.

Directamente: cuando B es un punto interior del segmento AC, el Axioma III.3 deHilbert nos da que

AB +BC = AC

y, con la Formula (1.3) tenemos que

AB +BC + CA = AC + CA = 0

34 Por otra parte, el axioma mencionado tambien nos dice que el segmento AC, visto como la ((adicion)) delos segmentos AB y BC, tambien tiene sentido. Es decir, dicho axioma determina la aditividad de segmentos((consecutivos)).

35Michel Chasles (1793-1880). De el se ha dicho que

..., as a mathematician, he synthesized and generalized the whole geometric knowledge ofhis time (projective geometry, conic sections, duality and homography) ...

Tambien se reconocen sus contribuciones a la geometra algebraica, como el, erroneamente llamado paraalgunos, teorema (o formula) de Cayley-Bacharach y el principio de correspondencia Chasles-Cayley-Brillentre otros.

El suyo es uno de los 72 nombres de cientficos, ingenieros y matematicos que figuran en la Torre Eiffel.36Es decir, si interpretamos al segmento dirigido AB como el recorrido desde el punto A hasta el punto B

(a lo largo de la recta AB, por supuesto), en la Formula (1.3) tendramos que, si hacemos primeramente elrecorrido a partir del punto A hasta el punto B y luego de regrezo, el recorrido total sera nulo. As mismo,en la ecuacion (1.5) tendramos que el recorrido que parte del punto A pasando por B y C, dos puntosintermedios en el recorrido, antes de regrezar al punto de partida tambien sera nulo independientemente dela posicion relativa de dichos puntos sobre la recta.

37Aqu seguimos la demostracion del propio Chasles

https://perso.univ-rennes1.fr/christophe.ritzenthaler/divers-loisirs/chasles2.pdfhttps://www.msri.org/~de/papers/pdfs/1996-001.pdfhttp://www.numdam.org/article/SMJ_1937-1938__5__A4_0.pdfhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_72_noms_de_savants_inscrits_sur_la_tour_Eiffelhttps://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805529h/f96.image.texteImage


Observacion 1.7.2. La desigualdad del triangulo:

Si A, B y C son (tres) puntos en el plano: |AB| + |BC| |AC| donde dichospuntos estan alineados si y solamente si |AB|+ |BC| = |AC|.

Podriamos relacionar la formula de Chasles (en su version (1.5)) con esta ultimadesigualdad ?

Una generalizacion de la ecuacion (1.5):Si A0, A1, ..., An son puntos en una recta, entonces

A0A1 +A1A2 + +An1An +AnA0 = 0 (1.6)

Emplearemos algunas veces la reformulacion siguiente del Teorema 1.7.1:

Corolario 1.7.2. Si O es cualquier punto sobre la recta AB, entonces 38

AB = OB OA. (1.7)

La formula que sigue tambien se puede ver como una extencion de la Formula deChasles:

Teorema 1.7.3 (Formula de Euler). 39

Si A, B, C y D son cuatro puntos alineados, entonces

AB CD +AC DB +AD BC = 0 (1.8)

Esta formula se puede probar utilizando la ecuacion (1.4) para reescribir el termino dela izquierda como sigue:

(AD +DB) CD + (AC +DC) DB + (BD +DC) AD

posteriormente, desarrollando y simplificando, se concluye.

El teorema de Stewart, en su formulacion original, establece una relacion entre laslongitudes de los lados de un triangulo y la longitud de una ceviana de dicho triangulo:

Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triangulo. Sea d la longitud de unaceviana al lado de longitud a. Si la ceviana divide a dicho lado en segmentos delongitudes m y n, con m adyacente a c y n adyacente a b, entonces:

b2m+ c2n = a(d2 +mn).

38De hecho, esta formula aparece como el COROLLAIRE II. en el trabajo citado de Chasles (op. cit. p.3).

39 Leonhard Euler (Basilea 1707 - 1783). Esta considerado como el matematico mas prolfico, de acuerdoa ciertos criterios. Hay, por lo menos, otras dos formulas de Euler muy conocidas:

para cualquier numero real x, eix = cosx+ isenx.en el contexto de los poliedros convexos, v a+ c = 2.

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805529h/f97.image.texteImagehttp://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805529h/f97.image.texteImagehttps://www.youtube.com/watch?v=xjNFfjP5q1Yhttps://www.euler-2007.ch/doc/EulerLec.pdfhttps://en.wikipedia.org/wiki/List_of_things_named_after_Leonhard_Eulerhttps://www.youtube.com/watch?v=yRIJww3xOREhttps://www.youtube.com/watch?v=T7Ix60POY4A


b cd

nm

Figura 1.19: a = m+ n = b2m+ c2n = a(d2 +mn).

En el caso particular en que la recta de magnitud d es una mediana del triangulo (i.e.m = n), la formula resultante se atribuye a Apolonio40 y sera la que sigue:

b2 + c2 = 2d2 + a2/2.

Esta formula es equivalente a la ley del paralelogramo, la cual es valida en cualquierespacio de Hirbert.

Por otra parte, si el triangulo es isosceles, la formula se reduce al teorema de Pitagoras.

Es por esta formulacion original del teorema que algunos llaman a la ceviana recta deStewart. Se deja como ejercicio adicional su demostracion.

Regresando al caso general, esta formula se puede expresar de forma muy simetrica enel contexto de segmentos de recta dirigidos:

Teorema 1.7.4 (Stewart 41). 42:

Si A, B y C son tres puntos colineales y D es cualquier cuarto punto en el plano,entonces

40Apolonio de Perga ('Aoo), ca. 262 a.C. Perga (hoy Murtina, Antalya, Turkia)- ca. 190 a.C.Alejandria, Egipto.

41Matthew Stewart (1717-1785) probo este teorema en 1746 (Proposition II, Some general theorems ofconsiderable use in the higher parts of mathematics) (arxive.org). El caso en que D esta en la misma rectase trata en el libro Synagoge (coleccion, tratado o antologia matematica)(ca. 340) de Pappus.

42En esta pagina electronica:

...Choose a Cartesian coordinate system with the directed line l as the first axis, and letthe points involved have the coordinates A = (a, 0), B = (b, 0), C = (c, 0), P = (x, y). Stewartsidentity is essentially just the polynomial identity

(1) (xa)2(cb) + (xb)2(ac) + (xc)2(ba) + (cb)(ac)(ba) = 0 ,which is easily verified.

[...]The identity (1) is a generic polynomial identity, which means that it is an identity in

the ring Z[a, b, c, x] of polynomials in (formal) variables a, b, c, x with integer coefficients, andtherefore instantiates to an identity when the variables are replaced by elements of an arbitrarycommutative ring. This observation tells us that Stewarts theorem is valid in the Euclideanplane geometry over any commutative ring, in particular over any field.

http://barnyard.syr.edu/parallelogram.pdfhttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Stewart.htmlhttps://www.amazon.com/General-Theorems-Considerable-Higher-Mathematics/dp/1165795523https://www.amazon.com/General-Theorems-Considerable-Higher-Mathematics/dp/1165795523http://www.historyofinformation.com/expanded.php?id=1729https://math.stackexchange.com/questions/46616/proving-stewarts-theorem-without-trig


DA2 BC +DB2 CA+DC2 AB +AB BC CA = 0 (1.9)

La demostracion queda como ejercicio (15).

1.7.1. Razon de particion de un segmento de recta

En geometra es comun el uso de nociones como las que siguen

El punto medio del segmento AB.

El punto que esta a dos terceras partes del camino que va de A a B.

El punto que divide al segmento AB en la razon aurea.

Esto nos lleva a buscar alguna referencia de los puntos sobre la recta AB indepen-dientemente de la orientacion y la unidad de medida sobre dicha recta.

As, sobre una misma recta: dados un punto y un segmento de recta orientado, conside-raremos algun numero que ubique la posicion de dicho punto con respecto a dicho segmento:

Definicion 1.8. Si A, B y P son tres puntos (no necesariamente distintos) alineados,

AP

PB

es la razon en que el punto P divide al segmento orientado AB.

As, tenemos que para cualquier punto P sobre la recta AB (P 6= B), la razon r = APPB

esta definida. Recprocamente,

Teorema 1.8.1. Dada una razon r (6= 1) hay exactamente un punto que divide a unsegmento dado en dicha razon.

Demostracion.

Unicidad: Sea AB el segmento orientado dado (A 6= B).

(1)AP

PB=AQ

QB= AP QB = AQ PB

(2) AP QB +AQ BP +AB PQ = 0 por la Formula de Euler (1.8).(3) AB PQ = 0 de (1) y (2).(4) PQ = 0 pues AB 6= 0 al ser A 6= B.(5) P = Q

Existencia: Sea x := AP .

(1) PB = AB x por la formula (1.6).

(2)AP

PB=

x

AB x(= r) r esta dado as.

(3) y de aqu que x =r AB1 + r


Es decir, el punto P esta determinado por las dos condiciones que siguen:

1. Se encuentra a una distancia x (=r AB1 + r

) del punto A y

2. P esta entre A y B r > 0.

Notese que hay dos puntos posibles que satisfecen la primera de las dos condicionesanteriores, de aqu que no baste esa sola condicion para determinar al punto P . Sin embargo,la segunda condicion resuelve tal ambiguedad.

Por otra parte, si extendemos la Definicion 1.8 de la forma que sigue:

AP

PB:=

{ si P = B1 si P =

(donde el segundo smbolo se refiere al punto al infinito de la recta AB) tendremosentonces una funcion biyectiva (ver la figura (1.20)):

AB {} R {}

P 7 APPB

A B

Figura 1.20: Grafica de la funcion P 7 APPB

, con | AB |= 1.

As, el teorema anterior nos da la certeza de que tal punto existe y es unico, pero nonos indica de ninguna manera como construirlo. Como se podra construir dicho punto? Ental caso, se podra hacer esto utilisando unicamente la geometra que hemos desarrolladohasta ahora? Podramos plantear las cosas de la manera siguiente:


Problema 1.8.1. Construir el unico punto que divide en una razon dada a un segmentode recta dado.

Teorema 1.8.2 (de la bisectriz generalizado). Si el vertice A del triangulo ABC estaunido a cualquier punto L de la recta BC, entonces

BL

LC=BA

AC senBAL

senLAC.

Demostracion. En el 4ABL de la figura (1.21), por el lema (1.6.2) tenemos que

AB

senALB=

BL

senBAL.

Y analogamente en el 4ALC:

LC

senLAC=

CA

senCLA

Ya que los angulos ALB y CLA son iguales o suplementarios (dependiendo estoultimo de que el punto L este fuera (L en la figura (1.21)) o dentro del segmento BC),tenemos que

senALB = senCLA

y, de aqu, la afirmacion

Es decir, ya que

AL es la bisectriz de BAC si y solo sisenBAL

senLAC= 1

podemos decir que dicho factorsenBAL

senLACmide en cuanto se desva la recta AL de ser la

bisectriz del angulo BAC.

A

B C LL

Figura 1.21: Teorema de la bisectriz generalizado.


Ejercicios

1. Probar que la mediatriz de un segmento BC (B 6= C) es el lugar equidistante de lospuntos B y C.

2. Demostrar que el teorema (ALL) es valido solamente si A = /2.

3. Probar el recproco de Pons asinorum (Teorema 1.3.6): En un triangulo cualquieralos lados opuestos a angulos congruentes son congruentes.

4. Probar que en un triangulo isosceles, la mediatriz de la base pasa por el tercer verticedel triangulo.

5. Probar que la figura (1.22) representa un cuadrado:

l

l

l

Figura 1.22: Construccion de un cuadrado.

6. Probar el recproco del Teorema de Pitagoras (1.4.4): En un triangulo de lados a, b yc, si

a2 + b2 = c2

entonces, el angulo opuesto al lado c es un angulo recto.

7. Probar que el lugar equidistante de un cierto angulo esta formado por sus dos bisec-trices, la interna y la externa.

8. Probar el Corolario (1.14): En la figura (1.14), si OP es tangente a la circunferencia,entonces,

OPC PDC.

9. Utilizando el Corolario (1.14): construir la tamgente a una circunferencia dada por unpunto dado.

10. Demostrar que si R es el circunradio de un triangulo ABC, entonces

AB

senACB= 2R.

11. a) Identificar las zonas del plano, para el punto D, que corresponden a los dossubcasos del del primer caso del Corolario 1.6.2


b) Demostrar el segundo caso del Corolario 1.6.2:

1) Un cuadrilatero cruzado ABCD tal que ABC CDA, es cclico (ver lafigura (1.23)).

C

D

A

B

D D

A

C

B

D

Figura 1.23: Los dos subcasos del Corolario (1.6.2) cuando el cuadrilatero ABCD es cruzado.

2) Determinar cual de los dos subcasos, en este segundo caso, del Corolario(1.6.2), realmente no es posible y cual si.

12. A partir de la ley de los senos, demostrar el Teorema de la Bisectriz (1.6.3):

Si la bisectriz del angulo BAC corta en un punto L a la recta BC, entonces

BL

LC=BA

AC.

13. Las rectas de dos haces con vertices diferentes estan en correspondencia biunvocade tal manera que las intersecciones de rectas correspondientes son colineales. En-contrar un par de rectas perpendiculares en uno de los haces para el cual las rectascorrespondientes en el otro sean tambien perpendiculares.

14. Demostrar que, si A, B, P y M son puntos colineales tales que AM = MB, entonces

PM =PA+ PB

2.

15. Probar el Teorema de Stewart (1.7.4) :

Si A, B y C son tres puntos colineales y D es cualquier cuarto punto en el plano,entonces

DA2 BC +DB2 CA+DC2 AB +AB BC CA = 0Sugerencia. Considerar primero el caso en que D esta en la misma recta. Despuesdibuja una perpendicular desde D a la recta.

16. Si A, B y C son puntos colineales y si P , Q y R son los puntos medios de BC, CA yAB respectivamente, demostrar que el punto medio de CR coincide con el de PQ.

17. Haz una construccion geometrica para los puntos que dividen a un segmento de recta

dado en las razonesa

by a

b(a y b positivos).


Apendice

De acuerdo a Aristoteles, el conocimiento cientfico (episteme = ) se debeexpresar en afirmaciones que se sigan deductivamente de una lista finita de afirmacionesautoevidentes (los axiomas) y emplear unicamente terminos que se sobreentiendan (losterminos primitivos).

La primera axiomatizacion en estos terminos es de Pasch43 en 1882, quien vio a lageometra como una ciencia natural cuyo exito radica

exclusivamente en que los objetos geometricos coinciden exactamente con losobjetos empricos

(Pasch op.cit. p. iii).Parafraseando a Pasch (p. 98): Si la geometra ha de ser verdaderamente deductiva, el

proceso de inferencia debe ser independiente del significado de los conceptos geometricos,as como de los diagramas.

La primera axiomatizacion que se ajusta a estos requerimientos fue la de Hilbert44

en 1899. En ella, se invita al lector a considerar tres colecciones arbitrarias de objetos,llamados puntos, rectas y planos as como cinco relaciones indefinidas entre ellos. Las con-diciones prescritas en estos axiomas bastan para caracterizar dichos objetos y relaciones,salvo isomorfismo.

Se dice que Euclides recopilo en los Elementos, en el siglo III a. C., el conocimientoque hasta entonces se tena sobre la geometra 45. En todo caso, se tratara de un desarrollosistematico de aquellos conocimientos a partir de un reducido conjunto de principios, loscuales se expresan en las definiciones, nociones comunes (o axiomas) y postulados. Losprimeros definen los objetos de la geometra: punto, recta, angulo, etc., las nociones comunesestablecen algunas reglas muy generales de operacion y en los postulados se establecen lasrelaciones fundamentales entre los objetos de la geometra.

Damos, a continuacion, una traduccion casi literal de los postulados y axiomas deEuclides (ver [Euc92]):

43Moritz Pasch (1843 Breslau, Prusia (ahora Wroc law, Polonia) - 1930). Vorlesungen uber neuere Geome-trie [Teubner, Leipzig, 1882],

44 D. Hilbert Grundlagen der Geometrie [Leipzig: Verlag von B. G. Teubner, 1899],45Contrario a las impresiones mas generalizadas, muchas de las proposiciones (de un total de 465) de

Euclides tratan, no de geometra, sino de teora de los numeros y de algebra (ver [Eve69], pp. 19 y sigs.).

http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/


Principios de Euclides

Postulese:

1. Trazar una lnea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera.

2. Prolongar por continuidad en lnea recta una lnea recta delimitada.

3. Para cada centro y radio describir un crculo.

4. Que todos los angulos rectos son iguales entre s.

5. Que, si una recta incidente con dos rectas hace angulos internos y de la misma partemenores que dos rectos, prolongadas esas dos rectas al infinito coincidiran por la parteen que esten los angulos menores que dos rectos. 1, 3

Axiomas o nociones comunes

1. Las cosas que son iguales a la misma cosa tambien son iguales entre s.

2. Si a cantidades iguales se suman otras tambien iguales, los totales seran iguales.

3. Si se restan cantidades iguales de otras tambien iguales, los residuos seran iguales.

4. Las cosas que coinciden entre s son iguales entre s.

5. El todo es mayor que una parte.


Axiomas de Hilbert

Se consideran tres conjuntos distintos de objetos: puntos, rectas y planos.

Se considera que dichos objetos guardan entre s las relaciones que llamaremos estaren, estar entre, ser congruente (). La descripcion precisa y matematicamente completa deestas relaciones se sigue de los axiomas de la geometra.

Primer grupo: axiomas de incidencia.

Los axiomas de este grupo establecen una relacion incidencia entre los puntos-rectas-planos como sigue:

I.1 Para cada dos puntos A y B hay alguna recta a que contiene a cada uno de los puntosA y B.

I.2 Para cada dos puntos A y B no hay mas que una recta que contiene a cada uno de lospuntos A y B.

I.3 Hay al menos dos puntos en cada recta.

Hay al menos tres puntos que no estan en la misma recta.

I.4 Para cada tres puntos A, B y C que no esten en la misma recta hay un plano quecontiene a cada uno de los puntos A, B y C.

Cada plano contiene algun punto.

I.5 Para tres puntos A, B y C que no esten en una y la misma recta no hay mas que unplano que contiene a cada uno de los puntos A, B y C.

I.6 Si dos puntos A y B de alguna recta a estan en algun plano entonces cada punto dea esta en el plano .

I.7 Si dos planos y tienen un punto comun A entonces tienen al menos otro puntocomun B.

I.8 Hay al menos cuatro puntos que no estan en un [mismo] plano.

Segundo grupo: axiomas de orden.

Estos axiomas definen el concepto de estar entre, para los puntos de una recta.

II.1 Si B esta entre A y C, entonces A, B y C son tres puntos distintos de una recta ytambien estara B entre C y A.

II.2 Para dos puntos A y C siempre hay al menos un punto B en la recta AC tal que Cesta entre A y B.

II.3 De entre tres puntos de una recta no hay mas que uno que esta entre los otros dos.


II.4 Sean A, B y C tres puntos no colocados en lnea recta y sea a una recta en el planoABC, que no pasa por ninguno de los puntos A, B, C. Si la recta a pasa por algunpunto [interior] del segmento AB, pasara tambien por algun punto del segmento ACo bien, por algun punto del segmento BC.

Tercer grupo: axiomas de congruencia.

III.1 Si A y B son dos puntos en alguna recta a y A es un punto en la misma o en otrarecta a entonces siempre es posible hallar un punto B en un lado dado de la recta a

tal que el segmento AB sea congruente con el segmento AB.

En smbolos

AB AB

III.2 Si un segmento AB y algun otro segmento AB son congruentes a el mismo seg-mento AB entonces el segmento AB tambien es congruente al segmento AB,

O, brevemente, si dos segmentos son congruentes a un tercero son congruentes entres.

III.3 Sean AB, BC dos segmentos sin puntos comunes excepto por B sobre la recta a.Ademas sean AB, BC dos segmentos sobre la misma o sobre otra distinta a igual-mente sin puntos comunes excepto por B. En ese caso, si

AB AB y BC BC

entonces

AC AC .

23

III.4 Sean (h, k) un angulo en un plano y a una recta en un plano ; se fija un lado dea en . Sea h un rayo de la recta a el cual parte del punto O. Entonces, en el plano, hay uno y solo un rayo k tal que el (h, k) es congruente al (h, k) y a la vez quetodos los puntos interiores del (h, k) estan en el lado dado de . Simbolicamente:

(h, k) (h, k).

Todo angulo es congruente consigo mismo, esto es: vale siempre

(h, k) (h, k).

III.5 En dos triangulos ABC y ABC , si


AB AB,AC AC y

BAC BAC entonces ABC ABC .

Cuarto grupo: axioma de paralelismo

IV.1 (Axioma de Euclides) Sea a una recta y A un punto fuera ella. Entonces hay a lo masuna recta en el plano determinado por a y A que pasa por A y no intersecta a a.

Quinto grupo: axiomas de continuidad

V.1 (Axioma de Arqumedes) Si AB y CD son dos segmentos hay un numero [natural]n tal que n segmentos CD construidos consecutivamente desde A a lo largo del rayodesde A por B pasaran mas alla del punto B.

V.2 (Axioma de la completez de la recta) Una extencion de un conjunto de puntos en unarecta con sus relaciones de orden y congruencia que preserve las relaciones entre loselementos originales as como las propiedades fundamentales de orden y congruenciaen una recta que se siguen de los grupos de axiomas I-III y V.1 es imposible. 4


1.9. Material adicional

Una aplicacion (ejercicio) de los corolarios 1.6.1 y 1.6.2 es el teorema que sigue (veasela figura (1.24)):

Sea ABC un triangulo cualquiera y sean A, B y C otros puntos sobre (las rectas de)los lados BC, CA y AB, respectivamente. Considerense los circuncrculos de los triangulosABC , ABC y ABC, respectivamente.

A

B CA

B

C

M

Figura 1.24: Los tres crculos tienen uno (y solo un) punto en comun.

Teorema 1.9.1. Estos tres crculos tienen uno y solo un punto en comun.

Ademas,

Corolario 1.9.1. Si M es ese punto comun, los angulos MAB, MBC y MC A son todosiguales (entre s).

(as como sus suplementos respectivos: MAC, MBA y MC B).

Aun cuando se dice que William Wallace (en 1799) y Jacob Steiner ya lo haban men-cionado, la demostracion del Teorema 1.9.1 (recproco 2, p. 486 en la publicacion original),as como del corolario (1.9.1), se deben a Auguste Miquel46.

Tradicionalmente se ha denominado crculos de Miquel a los crculo ABC , ABC

y ABC y punto de Miquel al punto M de dicho teorema. Debido a algunas generali-zaciones, de las cuales trataremos mas adelante, ahora tambien se se llama 3-punto deMiquel a dicho punto M .

Por otra parte, respecto del enunciado del Teorema 1.9.1,

46Auguste Miquel (1816 - 1851) Journal de mathematiques pures et appliquees: On recueil mensuel dememoires sur les dive

geometr a moderna i · geometr a moderna i notas de clase ... grupos y el algebra computacional....

Documents