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UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA INTRODUCCION El diagrama de GANTT es una herramienta que le permite al usuario modelar la planificación de las tareas necesarias para la realización de un proyecto. Esta herramienta fue inventada por Henry L. Gantt en 1917. Debido a la relativa facilidad de lectura de los diagramas de GANTT, esta herramienta es utilizada por casi todos los directores de proyecto en todos los sectores. El diagrama de GANTT es una herramienta para el director del proyecto que le permite realizar una representación gráfica del progreso del proyecto, pero también es un buen medio de comunicación entre las diversas personas involucradas en el proyecto. Este tipo de modelo es particularmente fácil de implementar con una simple hoja de cálculo, pero también existen herramientas especializadas, la COSTOS, PRESUPUESTOS Y PROGRAMACION DE OBRAS Página 1

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UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

INTRODUCCION

El diagrama de GANTT es una herramienta que le permite al

usuario modelar la planificación de las tareas necesarias para la

realización de un proyecto. Esta herramienta fue inventada por

Henry L. Gantt en 1917.

Debido a la relativa facilidad de lectura de los diagramas de

GANTT, esta herramienta es utilizada por casi todos los directores

de proyecto en todos los sectores. El diagrama de GANTT es una

herramienta para el director del proyecto que le permite realizar

una representación gráfica del progreso del proyecto, pero también

es un buen medio de comunicación entre las diversas personas

involucradas en el proyecto.

Este tipo de modelo es particularmente fácil de implementar con

una simple hoja de cálculo, pero también existen herramientas

especializadas, la más conocida es Microsoft Project. También

existen equivalentes de este tipo de software que son gratis.

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METODO DE GANTT

1. GENERALIDADES

Los cronogramas de barras o “gráficos de Gantt”, procuran

resolver el problema de la programación de actividades, es decir,

su distribución conforme a un calendario, de manera tal que se

pudiese visualizar el periodo de duración de cada actividad, sus

fechas de iniciación y terminación e igualmente el tiempo total

requerido para la ejecución de un trabajo. El instrumento que

desarrolló permite también que se siga el curso de cada actividad,

al proporcionar información del porcentaje ejecutado de cada una

de ellas, así como el grado de adelanto o atraso con respecto al

plazo previsto.

Este gráfico consiste simplemente en un sistema de coordenadas

en que se indica:

En el eje Horizontal: un calendario, o escala de tiempo definido en

términos de la unidad más adecuada al trabajo que se va a

ejecutar: hora, día, semana, mes, etc.

En el eje Vertical: Las actividades que constituyen el trabajo a

ejecutar. A cada actividad se hace corresponder una línea

horizontal cuya longitud es proporcional a su duración en la cual la

medición efectúa con relación a la escala definida en el eje

horizontal conforme se ilustra.

2. EVOLUCION DE LA PROGRAMACION DE OBRAS

El trabajo de programación de obras es un arte antiguo que data

alrededor del año 2600 a.c.. Los egipcios construyeron grandes

obras como las piramides, el cual 400 000 hombres trabajaban

durante 20 años para construir esta estructura, normalmente

alguna de las actividades no se podían realizar antes de que se

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hayan terminado otras. Por esto concepto de planeación ha

acompañado al hombre desde tiempos inmemorables, pues cada

vez que se desea ejecutar un proyecto, sea constructivo, militar,

administrativo, etc. Es necesario pensar en una publicación lógica

de planeación que permita su ejecución final.

Los métodos de programación datan desde principios del siglo XX,

fue en esta época que se trató de analizar por primera vez la

relación de trabajo versus tiempo; es decir, el hombre trataba de

alguna manera de controlar la eficiencia en los proyectos

emprendidos.

Henry Laurence Gantt y Frederick W. Taylor trabajaron

intensamente en el desarrollo de métodos que permitieran agilizar

procesos administrativos que se tornaban más complejos y

difíciles; Fue entonces cuando desarrollaron un método grafico

sencillo, un método administrativo para planear y controlar

proyectos: El diagrama de Gantt.

Esta herramienta grafica fue desarrollada y popularizada entre los

años 1910 – 1915, siendo este el primer método de planeación

científica que se utilizó para representar gráficamente un proyecto.

La evolución de los métodos grafos siguió en ascenso con la nueva

utilización del Método de Camino Crítico (CPM - 1957) y luego bajo

el auspicio del gobierno de EEUU se desarrolló una técnica similar

denominada Técnica de Evaluación y Revisión de Programas

(PERT - 1958). A partir del año 1960 surgieron numerosos métodos

que fueron variantes de las anteriores (PEP, LESS, IMPACT,

NASAPERT, etc).

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El diagrama de Gantt, se ha constituido en un medio fundamental

para realizar no solo la planificación en la producción industrial,

como en su principio se utilizó, sino en cualquier otro tipo de

actividad. Alguno de los primeros usos del diagrama de Gantt para

proyectos importantes de infraestructura incluye la presa Hoover.

En la actualidad se puede producir un diagrama de Gantt con una

hoja de cálculo de una manera muy sencilla, usando macros que

automatizan esta elaboración en Ms Excel. Existen también

software libre como el OpenProj, KMKey, GanttProject, Planner,

NavalPlan o via online como el Smartsheet. Estos software

desarrollados nos permiten además de ver el curso de cada

actividad, proporcionar información del porcentaje ejecutado de

cada una de ellas, así como el adelanto o atraso con respecto al

plazo previsto.

Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método

PERT (Program Evaluation and Review Technique) desarrollo por

la Armada de los Estados Unidos de América, en 1957 para

controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades

integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de

terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo

disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos

del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa

espacial.

El método CPM (Crítical Path Method), fue desarrollado también en

1957 en los Estados Unidos de América por un centro de

investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington

Rand, buscando el control y la optimización de los costos de

operación mediante la planeación adecuada de las actividades

componentes del proyecto.

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3. METODOS DE PROGRAMACION

Existen diversos tipos de técnicas de programación, unas son muy

sencillas en su elaboración y fáciles de interpretar, pero tienen

ciertas limitaciones. Otras son bastantes útiles pero complejas en

su elaboración.

Las técnicas más comúnmente usadas en la programación de una

obra son:

• Diagramas de barras

• Curvas de producción acumulada

• Método de la Ruta crítica (Critical Path Method, CPM)

• Red de precedencias

• PERT (Program Evaluation Review Technique)

• Diagramas de tiempo y espacio.

3.1. Diagrama de barras

El concepto básico del diagrama de barras es la representación de

una actividad en forma de una barra cuya longitud representa la

duración estimada para dicha actividad. Esta misma barra puede

usarse también para graficar el avance real de la actividad a través

del tiempo.

Un ejemplo básico de este tipo de diagrama se muestra a

continuación.

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Diagrama de barras de un proyecto.

Las partes sombreadas de las barras representan el progreso del

proyecto a la mitad del mes de mayo.

A pesar de que en el diagrama de barras sí se pueden relacionar

las actividades con flechas, tal como se muestra en la figura, no se

logra apreciar la ruta crítica, ni se puede percibir de manera

precisa una secuencia lógica del grupo de actividades. Por otro

lado, es posible indicar en un diagrama de barras, la productividad

de cada una de las actividades. Esto se logra utilizando más de

una barra para cada actividad, en la que una represente la

duración estimada, y en otra se grafique el avance real de dicha

actividad. Esto se hace con la finalidad de controlar la obra, sin

embargo, es una herramienta muy simple, y no permite detectar a

detalle la rapidez o retraso general en la obra, y sobretodo, no deja

ver si una actividad está atrasada, qué efecto tendrá en la duración

total del proyecto.

3.2. Curvas de producción acumulada

Para poder determinar la tasa de producción o la velocidad del

avance del proyecto es posible elaborar una curva de

producción. Esta curva representa el avance acumulado del

proyecto a través del tiempo. Esta curva relaciona unidades de

producción en el eje “y”, contra unidades de tiempo en el eje

“x”. La pendiente de la curva relaciona el incremento en

unidades de producción en la ordenada, con el incremento del

tiempo en la absisa, por lo tanto la pendiente de la curva

representa el número de unidades producidas en un

incremento de tiempo, esto es la tasa de producción. Debido a

que al inicio del proyecto el avance es lento por los procesos

de instalación de las condiciones de trabajo, el

acoplamiento de los trabajadores, así como el almacenamiento

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de los materiales necesarios, por lo que se tiene una tasa de

producción baja. A la mitad del proyecto se tiene un avance más

rápido, pero nuevamente al final del proyecto se vuelve lento el

proceso de construcción. Estos nos llevan a tener una forma

de “s” alargada, como se muestra a continuación.

Esquematización de una curva “s”. (Elaboración propia.)

Estas curvas pueden aplicarse para todo el proyecto en general, o

en su defecto por grupos de actividades. En el primer caso se

puede observar la velocidad de avance del proyecto, y para su

elaboración se parte de la ayuda del diagrama de barras.

Por ejemplo, suponiendo que se tiene un proyecto pequeño que se

completaría en un mes, si se tienen tres actividades, al final de la

primer semana se suma el porcentaje de avance de todas las

actividades que terminaron en esa semana, para el final de la

segunda semana se suma el porcentaje de avance de todas las

actividades que concurren en ese tiempo y así sucesivamente,

obteniendo un control de avance real contra el estimado por

semana.

A continuación se explica el cálculo del porcentaje de avance de la

primera semana de un proyecto de tres actividades.

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Progreso planeado contra progreso actual para la semana 1.

(Elaboración propia)

En la figura, la parte de color verde representa el progreso

planeado, mientras que el recuadro gris representa el progreso

actual al final de la primera semana. Como se observa, las

actividades A y C sufren un retraso, mientras que la actividad B

avanza más allá de lo estimado en la planeación. Teniendo

que el costo total del proyecto es de $122,000, se pueden

hacer los siguientes cálculos:

Comparación de porcentajes de avance planeado y real

de un proyecto de 3 actividades.

Act A A Total % de Avance

planeado

Avance real

12000.00 7894.74 16750.00 36

644.74

30.04

10000.00 6000.00 14350.00 30

350.00

24.88

Fuente: Elaboración propia.

Una vez calculados estos valores se puede obtener un diagrama

de curva S, que nos compare el avance planeado contra el real.

Esto se ilustra a continuación.

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Comparación de curvas de producción planeada y actual.

(Elaboración propia).

Se pueden también generar curvas por grupos de actividades en

vez de todo el proyecto. Éstas curvas permiten controlar las

actividades de tal forma que el desarrollo de una no vaya a

interrumpir el avance de la que le sigue. Es decir, en una serie de

actividades, unas dependientes de otras, la actividad B debe

avanzar a cierto ritmo siempre atrás de la actividad A de la cual

depende, porque de lo contrario, si la actividad B alcanza a la

actividad A, se tiene que detener, y esperar a que la actividad

A le genere otra vez condiciones de trabajo a la actividad B. Esto

se ve por ejemplo en un proceso de colado de losas. Es necesario

preparar la cimbra, armar, y luego colar. Si el proceso de colado

avanza a un ritmo mayor al de armado o el de cimbrado, llegará

un momento en que la gente encargada del colado tenga que

detenerse, mientras espera que la cimbra o el armado este listo.

Esto se puede observar claramente en la figura.

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Curvas S para secuencia de actividades.

(Elaboración propia)

Los procesos deben ser coordinados de tal manera que se eviten

las intersecciones entre las curvas de producción. Puesto que

estas intersecciones implican como en el caso del ejemplo, un

retraso en la actividad o actividades subsecuentes.

Intersección entre dos curvas de avance.

(Elaboración propia)

.Estos puntos de intersección indican que el proceso B no

puede continuar hasta cierto tiempo después de que el proceso A

le ha generado las condiciones de trabajo necesarias.

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3.3. CPM (Critical path method) Método de la ruta crítica

Existen dos tipos de redes dentro del método de la ruta crítica:

a. Diagrama de flechas.

b. Redes de precedencia.

Tanto el diagrama de flechas como las redes de precedencia nos

sirven para determinar la ruta crítica de un proyecto. Dado que las

dos tipos de redes se calculan de manera diferente, las redes de

precedencia merecen una mención especial.

3.4. EL METODO DE PERT

Es una técnica que le permite dirigir la programación de su

proyecto. El método PERT consiste en la representación gráfica de

una red de tareas, que, cuando se colocan en una cadena,

permiten alcanzar los objetivos de un proyecto.

Fue diseñada por la marina de los Estados Unidos para permitir la

coordinación del trabajo de miles de personas que tenían que

construir misiles con cabezas nucleares POLARIS.

En su etapa preliminar, el método PERT incluye lo siguiente:

Desglose preciso del proyecto en tareas,

Cálculo de la duración de cada tarea,

La designación de un director del proyecto que se haga cargo

de asegurar la supervisión de dicho proyecto, de informar, en

caso de ser necesario, y de tomar decisiones en caso de que

existan variaciones de las proyecciones.

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3.5. RED PERT

La red PERT (a veces denominada gráfico PERT) consta de los

siguientes elementos:

Tareas (a veces denominadas actividades o etapas),

representadas por una flecha. Se le asigna a cada una de las

tareas un código y una duración. Sin embargo, la longitud de la

flecha es independiente de la duración de la tarea.

Etapas, es decir, el inicio y el final de la tarea. Cada tarea tiene

una etapa de inicio y una de finalización. Con excepción de las

etapas iniciales y finales, cada etapa final es una etapa de inicio

de la siguiente tarea. Las etapas generalmente están numeradas

y representadas por un círculo, pero en algunos otros casos

pueden estar representadas por otras formas (cuadrados,

rectángulos, óvalos, etc.).

Tareas ficticias, representadas por una flecha punteada que

indica las limitaciones de las cadenas de tareas entre ciertas

etapas.

4. PROCESO DE ELABORACIÓN PARA UN DIAGRAMA DE

BARRAS.

En un diagrama de GANTT, cada tarea es representada por una

línea, mientras que las columnas representan los días, semanas, o

meses del programa, dependiendo de la duración del proyecto. El

tiempo estimado para cada tarea se muestra a través de una barra

horizontal cuyo extremo izquierdo determina la fecha de inicio

prevista y el extremo derecho determina la fecha de finalización

estimada. Las tareas se pueden colocar en cadenas secuenciales o

se pueden realizar simultáneamente.

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Si las tareas son secuenciales, las prioridades se pueden

confeccionar utilizando una flecha qué desciende de las tareas más

importantes hacia las tareas menos importantes. La tarea menos

importante no puede llevarse a cabo hasta que no se haya

completado la más importante.

A medida que progresa una tarea, se completa proporcionalmente

la barra que la representa hasta llegar al grado de finalización. Así,

es posible obtener una visión general del progreso del proyecto

rastreando una línea vertical a través de las tareas en el nivel de la

fecha actual. Las tareas ya finalizadas se colocan a la izquierda de

esta línea; las tareas que aún no se han iniciado se colocan a la

derecha, mientras que las tareas que se están llevando a cabo

atraviesan la línea. Si la línea está cubierta en la parte izquierda, la

tarea está demorada respecto de la planificación del proyecto

idealmente, un diagrama como este no debe incluir más de 15 ó 20

tareas para que pueda caber en una sola hoja con formato A4. Si el

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número de tareas es mayor, es posible crear diagramas adicionales

en los que se detallan las planificaciones de las tareas principales.

4.1 PROCESO

1. Dibujar los ejes horizontal y vertical.

2. Escribir los nombres de las tareas sobre el eje vertical.

3. En primer lugar se dibujan los bloques correspondientes a las

tareas que no tienen predecesoras. Se sitúan de manera que el

lado izquierdo de los bloques coincida con el instante cero del

proyecto (su inicio).

4. A continuación, se dibujan los bloque correspondientes a

las tareas que sólo dependen de las tareas ya introducidas

en el diagrama. Se repite este punto hasta haber dibujado todas

las tareas.

En este proceso se han de tener en cuenta las consideraciones

siguientes:

a. Las dependencias fin-inicio se representan alineando el final

del bloque de la tarea predecesora con el inicio del bloque de la

tarea dependiente.

b. Las dependencias final-final se representan alineando

los finales de los bloques de las tareas predecesora y

dependiente.

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c. Las dependencias inicio-inicio se representan alineando los

inicios de los bloques de las tareas predecesora y

dependiente.

d. Los retardos se representan desplazando la tarea dependiente

hacia la derecha en el caso de retardos positivos y hacia la

izquierda en el caso de retardos negativos.

5. VENTAJAS Y DESVENTAJAS

La ventaja principal del gráfico de Gantt radica en que su trazado

requiere un nivel mínimo de planificación.

Los gráficos de Gantt se revelan muy eficaces en las etapas

iniciales de la planificación. Sin embargo, después de iniciada la

ejecución de la actividad y cuando comienza a efectuarse

modificaciones, el gráfico tiende a volverse confuso. Por eso se

utiliza mucho la representación gráfica del plan, en tanto que

los ajustes (replanificación) requieren por lo general de la

formulación de un nuevo gráfico. Para superar esa deficiencia se

crearon dispositivos mecánicos, tales como cuadros magnéticos,

fichas, cuerdas, etc., que permite una mayor flexibilidad en las

actualizaciones. Aún en términos de planificación, existe todavía

una limitación bastante grande en lo que se refiere a la

representación de planes de cierta complejidad.

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El Gráfico de Gantt no ofrece condiciones para el análisis de

opciones, ni toma en cuenta factores como el costo. Es

fundamentalmente una técnica de pruebas y errores. No permite,

tampoco, la visualización de la relación entre las actividades

cuando el número de éstas es grande.

En resumen, para la planificación de actividades relativamente

simples, el gráfico de Gantt representa un instrumento de bajo

costo y extrema simplicidad en su utilización. Para proyectos

complejos, sus limitaciones son bastantes serias, y fueron éstas

las que llevaron a ensayos que dieron como resultado el desarrollo

del CPM, el PERT y otras técnicas conexas. Estas técnicas

introdujeron nuevos conceptos que, asociados más tarde a los de

los gráficos de Gantt, dieron origen a las denominadas “redes-

cronogramas”.

Podemos concluir que:

VENTAJAS DESVENTAJAS

- Nos da una idea clara

de cómo planear,

programar y controlar

procesos productivos en

forma rápida y sencilla.

- En la planificación de

procesos productivos

complejos presenta

deficiencias y limitaciones.

- Mezcla la planeación y la

programación del proyecto

- El proyecto solo puede ser

descompuesto en actividades

de gran volumen.

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6. APLICACIÓN DEL METODO DE GANTT EN OBRAS CIVILES

Al ser una popular herramienta gráfica cuyo objetivo es mostrar el

tiempo de dedicación previsto para diferentes tareas o actividades

a lo largo de un tiempo total determinado. Es altamente aplicado en

la gestión de proyectos civiles.

La gestión de proyectos es el conjunto de tareas que hay que

realizar para garantizar que el proyecto se lleva acabo con los

recursos previstos y con los resultados esperados. Por ello es de

mucha importancia trazar un cronograma de actividades.

Las tareas de gestión de proyectos son muy variadas y algunas

muy complejas. Pero podemos resumirlas en un conjunto de tareas

muy simples pero esenciales para la gestión de proyectos. Estas

tareas son:

Descomponer el proyecto:

En una serie de tareas y subtareas. Estas tareas normalmente

tendrán unas precedencias entre ellas, de forma que algunas

tareas no podrán empezar hasta que hayan acabado otras previas.

Asignar recursos a las tareas:

En concreto, establecer las fechas de inicio y final de cada tarea y

especificar qué miembro o miembros del grupo deben realizarla.

Generar informes y diagramas:

Reflejen las decisiones tomadas, y que permitan realizar un

seguimiento efectivo del proyecto.

Aplicación en una obra civil:

Para lograr la mejor combinación de los recursos, el proceso

constructivo se divide en actividades. Estas a su vez indicarán

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requerimientos de los recursos. Primero se identifican todas

las tareas o actividades asociadas con el proyecto y sus

interrelaciones.

Por ejemplo, se supondrá la programación de un proyecto

(construcción de una vivienda unifamiliar). Deberá indicarse la

duración aproximada y la precedencia de las actividades.

Vivienda unifamiliar; área de construcción 68,5 m2

Pavimentación de la calle San Carlos etapa II

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Se observa las partidas y el cronograma de actividades.

7. EJEMPLO DE APLICACIÓN EN INGENIERIA

1.- De las siguientes actividades mostradas construir el diagrama

de Gantt y cuantos días durara todo el proyecto

ACTIVIDAD DESCRIPCION PREDECESOR DURACION (Semanas)

A Cimientos, paredes - 4

B Plomería, electricidad A 2

C Techos A 3

D Pintura exterior A 1

E Pintura interior B,C 5

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2.- PAVIMENTACION.

Se colocan las partidas.

Se ubican fechas de inicio y final de cada partida del proyecto.

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8. RUTA CRITICA ANALISIS

8.1 DEFINICION:

El método de Ruta Crítica es un proceso administrativo de

planeación, programación, ejecución y control de todas y cada

una de las actividades componentes de un proyecto que debe

desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.

La ruta crítica es la ruta más larga a través de la red

Determina la longitud del proyecto

Toda la red tiene al menos una ruta critica

Es posible que haya proyectos con más de una ruta crítica.

8.2 USOS:

El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran

flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño.

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Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos

que posean las siguientes características:

1. El proyecto debe ser único, no repetitivo, en algunas partes o

en su totalidad.

2. Se debe ejecutar todo el proyecto o parte de él en un tiempo

mínimo, sin variaciones. Es decir, en tiempo crítico.

3. Se desea el costo de operación más bajo posible dentro de un

tiempo disponible.

Dentro del ámbito aplicación, el método se ha utilizado para la

planeación y control de diversas actividades tales como

construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación,

construcción de casas y edificios, reparación de barcos,

investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios

económicos regionales, auditorias, planeación de carreras

universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones,

ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas,

planes de venta, censos de población, entre otras

¿Cómo encontrar la ruta crítica?

Es necesario agregar a la red los tiempos de cada actividad

Los tiempos se agregaran en cada nodo

Las flechas solo representan la secuencia de las actividades.

ACTIVIDAD

DESCRIPCION PREDECESOR DURACION (Semanas)

A Cimientos,

paredes

- 4

B Plomería,

electricidad

A 2

C Techos A 3

D Pintura exterior A 1

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E Pintura interior B,C 5

CONCLUSIONES

Una de las principales metas de un proyecto es llegar al alcance

establecido dentro del costo y tiempo programado, para lograr este

objetivo es necesario recurrir a la planeación.

Cuando queremos realizar algún proyecto de manera organizada,

la mejor forma de hacerlo es dividiéndolo en actividades, pudiendo

así mismo dividir las actividades en sub-actividades,

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permitiéndonos trabajar de una manera flexible y ordenada, en

caso existiera retrasos realizar acciones correctivas.

RECOMENDACIONES

Además de tener la programación de obra es necesario realizar

una ruta critica, ya que con ella se puede observar que actividades

se pueden aplazar sin ningún problema de retraso o que otras

actividades definitivamente no se pueden recorrer ya que esto

ocasionaría que el proyecto no se termine en tiempo y forma.

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Se debe tener siempre en cuenta cuáles son los recursos con los

que se cuenta para realizar cada actividad es decir, para realizar un

cronograma es necesario tener en cuenta el personal necesario, el

material y equipo para poder ejecutarlo de manera eficiente.

BIBLIOGRAFÍA

http://www.youtube.com/watch?v=6mpQbsMwyHg

http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_civil/ rutacriticaobras/default.asp

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INDICE

INTRODUCCION……………………………………………………....1

GENERALIDADES…………………………………………………..…2

EVOLUCION DE LA PROGRAMACION……………………..……...2

METODOS DE PROGRAMACION DE OBRAS……………...……..5

Diagrama de barras………………………………….…………6

Curvas de producción acumulada………….…………………7

Ruta critica……………………………………………………..11

Método de pert………………………………………………...11

Red de pert………………………………………………........12

PROCESO DE ELABORACION DE DIAGRAMA DE BARRA……12

Proceso…………………………………………………………14

VENTAJAS Y DESVENTAJAS……………………………………….15

APLICACIÓN EN OBRAS CIVILES………………………………….16

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EJEMPLO DE APLICACIÓN EN OBRAS DE INGENIERIA………19

RUTA CRITICA………………………………………………………..21

Definición y usos…………………………………………….…21

CONCLUSIONES……………………………………………………...23

RECOMENDACIONES………………………………………………..23

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………25

INDICE…………………………………………………………………..26

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