Universidad de Talca Modulo: Ecuaciones DiferencialesInstituto de Matematica y Fsica Carreras: IngenierasCampus Curico 1 de Octubre 2012

Gua N4

1. Utilice el metodo de Euler para aproximar la solucion del problema con valor inicial dado, en lospuntos x = 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4; y 0, 5.

a) y =x

y, y(0) = 1

b) y = xy, y(0) = 4

c) y = y(2 y), y(0) = 3

d) y = x + y, y(0) = 1

2. Utilice el metodo de Euler con tamano del h = 0, 2 para aproximar la solucion del problema convalor inicial.

y =1

x(y2 + y), y(1) = 1

en los puntos x = 1, 2; 1, 4; 1, 6 y 1, 8

3. Utilice el metodo de Euler con tamano del h = 0, 1 para aproximar la solucion del problema convalor inicial.

y =1

x2 yx y2 y(1) = 1

en el intervalo 1 x 2. Compare estas aproximaciones con la solucion real y = 1x

graficando la

aproximacion poligonal y la solucion real en el mismo sistema de coordenadas.

4. Utilizar el metodo de Euler mejorado para obtener la solucion aproximada de las ecuaciones delejercicio 1.

5. Usar el metodo de Runge-Kutta para:

a) y = 2xy, y(1) = 1 h = 0, 1 N = 5

b) y = 1 + y2, y(0) = 0 h = 0, 1 N = 5

c) y = (x + y 1)2, y(0) = 2 h = 0, 1 N = 5, con cuatro cifras decimales.

6. Hallar la aproximacion de la solucion de las ecuaciones del ejercicio 1 mediante el metodo detrapecio, tomando tres terminos del desarrollo.

7. Dado el problema de valor inicial {y + y x 1 = 0y(0) = 1, x [0; 0, 5]

a) Aproxima la solucion usando el metodo de Euler de 5 pasos.

b) Calcula la solucion exacta.

(a) Calcula los errores de truncamiento locales y el error de truncamiento global.

c) Aproxima la solucion usando el metodo de Euler modificado de 5 pasos

1

d) Calcula los errores de truncamiento locales y el error de truncamiento global.

8. Determine las formulas recursivas para el metodo de taylor de orden 2 para el problema con valorinicial

y = xy y2, y(0) = 1

9. Use el metodo de taylor de orden 2 con h = 0, 25 para aproximar la solucion del problema con valorinicial

y = x + 1 y, y(0) = 1

10.

11. Dado el problema de valor inicial {y = 1 +

y

xy(1) = 2, x [1, 2]

a) Aproxima la solucion usando el metodo de Taylor de segundo orden con 4 pasos.

b) Calcula la solucion exacta.

c) Calcula los errores de truncamiento locales y el error de truncamiento global.

12. Utilizar el metodo de Picard con los problemas de valores iniciales{y = sin(x) + cos(y)y(0) = 0{

y = 2x + yy(0) = 1{y = x2 + y2

y(0) = 1

13. () Considere el siguiente problema inicial:

y = x y + 1, y(0) = 1. ()

a) Hallar las primeras aproximaciones sucesivas de Picard y0(x), y1(x) y el valor y1(1/2).

b) Aproxime y(1/2) usando el metodo de Euler con el paso h = 1/4.

c) Derive ecuacion () para calcular las derivadas y(0), y(0).d) Use (c) para escribir la suma y3(x) de los tres primeros terminos en la formula de Taylor (con

x0 = 0) para y(x) (de modo que y(x) = y3(x)+ el resto). Calcule y3(1/2).

e) Explique porque el problema inicial () tiene una unica solucion (local), justifique su respuesta.

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