Universidad de Talca Modulo: Ecuaciones DiferencialesInstituto de Matematica y Fsica Carreras: IngenierasCampus Curico 8 de Agosto 2012

Gua N1

Ecuaciones Separables

1. Determine si la ecuacion diferencial dada es separable.

a)dy

dx= 2y3 + y + 4

b)dy

dx=yex+y

x2 + 2

c)ds

dt= t ln(s2t) + 8t2

d) (xy2 + 3y2)dy 2xdx = 0

2. Resolver las siguientes ecuaciones

a)dy

dx=

1 x2y2

b)dy

dx= y(2 + senx)

c)dy

dx+ exy = 0

d)dy

dx=

sec2y

1 + x2

e)dx

dt+ x2 = x

f) (1 + x2 + y2 + x2y2)dy = (1 + y2)dx

g) y1dy + yecosxsenxdx = 0

h) (x+ xy2)dx+ ex2(1 + y2)dy = 0

3. Resolver los siguientes problemas con valor inicial.

a) y = x3(1 y) y(0) = 3b)

dy

d= ysen y(pi) = 3

c)dy

dx=

3x2 + 4x+ 2

2y + 1y(0) = 1

d) x2dx+ 2ydy = 0 y(0) = 2

e)dy

dx= x2(1 + y) y(0) = 3

f) 1 + e3xy = 0 y(0) = 1

g) y + y2 y = 0 y(2) = 4h) eycosx+ cosx+ (eysenx+ ey)y = 0 y(pi) = 0

4. Resuelvad2y

dx2=k

1 + (dy

dx)2

a x , donde a, k son cosntantes tales que a R, k 6= 0, 1 y x < a

Sugerencia: Realice el cambio de variables: z =dy

dx,dz

dx=d2y

dx2, reduzca la ecuacion anterior y utilice

el metodo de separacion de varibles.

5. (M) (Mezclas) Suponga que una solucion salina con 0.3kg de sal por litro se introduce en unestanque que contena originalmente 400 litros de agua y 2 kg de sal. Si la solucion entra a razon de10 litros/minuto, la mezcla se mantiene uniforme revolviendola, y la mezcla sale con la misma razon,determine la masa de sal en el tanque despues de 10 minutos.Sugerencia: Sea A el numero de kilogramos de sal en el tanque, t minutos despues de iniciar elproceso y aplique el siguiente planteamiento:

razon de incremento A = razon de entrada razon de salida

1

6. (Cada Libre) Al abrir su paracadas un paracaidista esta cayendo con una velocidad 176 m/seg sila fuerza de resistencia del aire es Wv2/256lb, donde W es el peso total del hombre y del paracadasy v la velocidad con que va cayendo, hallar la velocidad en cualquier tiempo despues de abierto elparacadas.

7. (Datacicion por Carbono-14) En 1950 se hicieron excavaciones en Nipur(Babilonia), en las cualesse encuentran muestras de carbon que reportaron 4.09 desintegraciones por minuto y por gramo.Una muestra actual reporto 6.68 desintegraciones por minuto y por gramo. Se sabe que la primeramuestra se formo en la epoca del reinado de Hammurabi. Con estos datos, determine hace cuantotiempo Hammurabi reino Babilonia.

8. (Ley de Torricelli para el flujo de fluidos) Cuanto tiempo tardara el agua en salir por el agujerode radio 3 cm en el fondo de un tanque cilindrico vertical de radio 90 cm y cuya altura es 245 cm.

9. (Ley de Torricelli para el flujo de fluidos) Cuanto tiempo tardara el agua en salir por el agujerode radio 3 cm en el fondo de un tanque cilindrico horizontal de radio 90 cm y cuyo largo es 245 cm.

10. Desde la superficie de la tierra se proyecta hacia arriba un cuerpo de masa cosntante m con unavelocidad inicial v0. Si se supone que no hay resistencia del aire, pero se toma en cuenta la variaciondel campo gravitacional terrestre con la altitud, encontrar una expresion para la velocidad durante elmovimiento subsecuente. Encontrar tambien la velocidad inicial necesaria para que el cuerpo alcanceuna altitud maxima dada por encima de la superficie terrestre y la menor velocidad inical para queel cuerpo no regrese a la tierra (esta ultima velocidad es llamada velocidad de escape).

11. (Desintegracion radioactiva) Se sabe que un material radioactivo se desintegra con una rapidezproporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 mg de material y,despues de dos anos, se observa que el 5 % de la masa original se desintegro, determinar:

a) Una expresion para la masa al momento t.

b) El tiempo necesario para que se desintegre el 10 % de la masa original.

12. (Modelo Logstico) Las reservas pesqueras del halibut (especie de gran tamano, parecida al lenguado)en el Pacfico se modelan con la ED logstica con capacidad sustentable de 80, 5 106, medida en kg(biomasa), y razon de crecimiento intrnseco de 0, 71 por ano. Si la biomasa inicial es la cuarta partede la capacidad sustentable, encontrar la biomasa despues de un ano y el tiempo que debe pasar paraque la biomasa inicial se duplique, es decir, que llegue a la mitad de la capacidad sustentable.

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