g y g

104 5 Diagramas de Co'ntrol para Atributos." .4"-. "."

Los principios estadsticos que sirven de base al diagrama de control de la fraccin o propor."cin disconforme seba'sa'en la distribucin binomial. Supngase que el proceso de produccinfnciona de manera estable, de suerte que la probabilidad de que cualquier artculo no est COn-forme con las espE;fiCa~iones es p, y que 105 artculos producidos sucesivamente son indepen.dientes. Entonces cada artculo producido es una variable aleatoria de Ben;'oulli, con parmetrop. Si se selecciona una muestra aleatoria de n artculos del producto, y si O representa el nmerode artculos no conformes, entonces O tiene distribucin binomial con parmetros n y p; es decir,

v.

5.2 Diagrama de Control para la Fraccin de Disconformes

LSC = P + 3V p(1 ; p)Lnea central = p

L1C=P-3VP(1;P)

105

(5-6)

Como se indic en la Seccin 2.2.2, puede obtenerse la distribucin de la variable aleatoria pa partir de la binomial. Adems, la media y la variancia de p son

Por la Seccin 2-2.2 sabemos que la media y la variancia de la variable aleatoria O son np ynp (1 - pl, respectivamente.

La fraccin disconforme muestral se define como el cociente del nmero de artculos discon.formes O en la muestra, entre el tamao muestral n; o sea,

y la media de estas fracciones disconformes muestrales individuales es

i = 1,2, ... ,mDip=n:~.,

El manejo real de este diagrama consistira en tomar muestras subsecuentes de n unidades,calcular la fraccin muestral disconforme p, y graficar la estadstica p en el diagrama. Mientrasp quede entre los lmites de control y la sucesin de puntos ubicados no exhiba un patrn siste-mtico, se concluye que el proceso est bajo control, al nivel p. Si un punto queda fuera de loslmites de control, o si se observa un patrn no aleatorio entre los puntos, habr que concluirque la fraccin de disconformes del proceso cambi hacia un nuevo nivel y que el proceso estfuera de control.

Cuando se desconoce la fraccin no conforme p del proceso, hay que estimarla a partir delos datos observados. El procedimiento normal es seleccionar m muestras preliminares, cada unade tamao n. Como regla general, m tendra que ser igual a 20 o 25. Entonces, si hay 01 ar-tculos no conformes en la muestra i, se calcula la fraccin disconforme en la i-sima muestra como

,i,~

(5-3)

(5-2).

(5-1 )x=O,1,,,.,n

oP=-;

.=p

p{O= x} = (~)pX(1 - pr-x

5.2.1 Desarrollo y Empleo del Diagrama de Control

respectivamente. Veremos ahora cmo se puede aplicar esta teora para desarrollar un diagramade control de la fraccin no conforme. Debido a que la grfica controla la fraccin disconformep del proceso, se denomina tambin diagrama de p.

(5-7)

(5-8)

m

Lpm

LO;

LSC= 15 + 3fii1; 15)

L1C = 15 - 3V J5(1; 15)

- ;~1 = ~1P = --;;;n m

Lnea central = 15

La estadstica p estima la fraccin disconforme p desconocida. La lnea central y los lmitesde control del diagrama de control de la fraccin disconforme se calculan entonces de la manerasiguiente:

Aqu, los lmites de control obtenidos en (5-8) se consideran lmites de control de prueba.Permiten determinar si el proceso estaba bajo control cuando se obtuvieron las m muestras inicia-les. Para probar la hiptesis de un control anterior, hay que colocar en la el diagrama la fraccinmuestral disconforme para cada muestra y analizar la representacin resultante. Si todos los pun-tos ubicados caen entre los lmites de control, y n.o se manifiesta un comportamiento sistemtico,entonces concluiremos que el proceso estaba bajo control en el pasado, y que los lmites decontrol de prueba son adecuados para controlar la produccin actual y futura.

Supngase que una o ms de las estadsticas p se encuentran fuera de control, comparadascon los lmites de control de prueba. Es claro que si los lmites de control han de tener sentidopara la produccin actual o futura, deben basarse en datos de un proceso que est bajo control.Por lo tanto, cuando se rechaza la hiptesis de un control anterior, es necesario revisar los lmitesde control de prueb.a. Esto se hace examinando cada uno de los puntos fuera de control y buscan-

(5-4)

(5-5)

L1C = 'w - k(]w

LSC = 'w + k(]w

(]f=p(1-p)P n

Lnea central .= . w

y

En el Captulo 4 se estudiaron los principios estadsticos generales en los que se basa el diagrama'de control de Shewhart. Si wes una estadstica que mide una caraderstica de caljdad, la media dew es 1, Y la varianza de w es 1, entonces el modelo general para el diagrama de control deShewhart es el siguiente:

donde k es la distancia entre los lmites de control y la lnea central, expresada en mltiplos dea' desviacion estndar de w. Se acostumbra escoger k = 3. -

Supongamos que se conoce la verdadera fraccin disconforme p en el proceso de fabrica-'cin, o-qu la administracin especifica un valor estndar. Entonces, a partir de (5.5), la lnea cen-tral y los lmites de control del diagrama de control de la fraccin disconforme sern

Se construye un diagrama de control preliminar para ver si el proceso estaba bajo con-,", trol cuando se obtuvieron esos datos. Como las 30 muestras contienen I:T~O; = 347 botes

disconformes; obtenemos de la ecuacin (5-7) .~-'_"-

r'

~..f

'1.-j"I

,'1:'~-

i:i'/.f

- + 3/ P(lrio15) = 023 3 3.1 0.2313(0.7687)p - V . 1 :t V 50= 0.2313 :t 3(0.05%)

= 0.2313:t 0.1789

LSC= 15+ 3/15(1 - (5). = 0.2313 + 0.1789 = 0.4102n .

Usando p T como estimacin para la fraccin disconforme real del proceso, es posiblecalcular ahora 105 lmites superior e inferior de control como

Por lo tanto,

5.2 Diagrama de Control para la Fraccin de Disconformes 107

TablaS-' Datos para los limites de control de prueba, Ejem-plo ~-1, tamao muestral n = 50

Nmero Nmero de Fraccin disconformede mueslra disconformidades, 01 muestral,p

I

1 12 . 0.242 15 0303 8 0.164 10 0.205 4 0.086 7 0.147 16 0328 9 0.189 14 0.28

10 10 0.2011 5 0.1012 6 0.1213 17 03414 12 0.2415 22 0.44

::~ 16 8 0.1617 10 0.2018 5 01019 13 0.2620 11 02221 20 0.4022 18 03623 24 0.4824 15 03025 9 0.1826 12 0.2427 7 0.1428 13 0.2629 9 /9.1830 6 / 0.12

347 ( p=;O.2313\~

"-

ro

LO;15 = ..!..:.l- _ 347

mn - (30)(50) = 0.2313

-

108I

5 Diagramas de Control para Atributos 5.2 Diagrama de Control para la Fraccin de Disconformes 109y

Nmero Nmero de Fraccin muestralde muestra latas disconformes, O, disconforme, D1

1 9 0.182 6 0.123 12 0.244 5 0.105 6 0.126 4 0.087 5 0.108 3 0.069 7 0.14

10 6 0.1211 2 0.0412 4 0.0813 3 0.0614 6 0.1215 5 0.1016 4 0.0817 8 0.1618 5 0.1019 6 0.1220 7 0.1421 5 0.1022 6 0.1223 3 0.0624 4 0.08'

133 15 = 0.1108

Tabla 5-2 Datos de las latas de jugo de naranja concentrado, en muestras detamao n = 50

La lnea central y los lmites revisados se indican como lneas discontinuas en el diagra-ma de control de la Fig. 5.1. Observamos que ahora la fraccin disconforme de la ,nuestra21 es mayor que el lmite superior de control. Sin embargo, el anlisis de los datos no revelauna causa atribuible razonable o lgica, y se decide conservar el punto. A veces, la verifica-cin de datos de un diagrama de control proporciona informacin que afecta a otros puntosno necesariamente fuera de los lmites de control. Por ejemplo, si se hubiera encontrado queel operario temporal que estaba trabajando cuando se tom la muestra 23 laboraba real-mente durante el periodo de dos horas en el que se obtuvieron las muestras 21-24, entonceshabran tenido que descartarse las cuatro muestras, aunque slo la 21 es mayor que los lmitesde control, pues este operario sin experiencia probablemente tuvo una influencia negativaen la fraccin de disconformes durante el periodo entero.

Antes de concluir que el proceso est bajo control a este nivel, tenemos que examinarlas 28 muestras restantes para detectar corridas u otros patrones no aleatorios. La ms largaes de longitud cinco, por arriba de la lnea central, y parece no haber patrones evidentes enlos datos. No existe fuerte evidencia de otra cosa que no sea un patrn aleatorio de variacinrespecto de la lnea central.

Concluimos que el proceso est bajo control al nivel de p = 0.2150, y que deben adoptarlos lmites de control revisados para verificar la produccin actual. Sin embargo, se observaque la fraccin disconforme es demasiado grande, aunque el proceso est bajo control. Esdecir, el proceso funciona de manera estable; y no hay problemas anormales que no puedacontrolar el operario. Es decir, es improbable que se pueda mejorar la calidad del proceso

-----------------------------L1Cde prueba - 0.0524

0.00

..!l!

--"0-:05

L1C = 15- 3/15(1; 15) = D.2313 - 0.1789 = 0.0524

30115 = (28)(50) = 0.2150

LSC = 15+ 3/15(1; 15) = 0.2150 + 3{~JT50~~.7850) = 0.3893

L1C= 15- 3/15(1; 15) = 0.2150 - 3) 0.2150~~.7850) = 0.0407

Nmero de muestra

Figura 5-1. Diagrama de control de la fraccin disconforme para los datos de la Tabla 5-1;

En la Fig. 5-1 se presentan el diagrama de control con lnea central en p = 0.2313 Y loslmites superior e inferior de control, calculados anteriormente. La fraccin muestral discon-forme para cada muestra preliminar se grafica en este diagrama. Observamos que dos pun-tos, correspondientes a las muestras 15 y 23, se encuentran por arriba del lmite superior decontrol y, por lo tanto, el proceso no est bajo control. Hay que investigar estos puntos paraver si puede determinarse una causa atribuible.

El anlisis de los datos de la muestra 15 indica que se utiliz una nueva remesa de mate-ria prima de cartn en la produccin durante este lapso de media hora. El uso de nuevasremesas de materia prima provoca, a veces, una produccin irregular,y es razonable pensarque esto sucedi aqu. Adems, durante el periodo de media hora, en el que se obtuvo lamuestra 23, se haba asignado a esta mquina un operador con relativamente poca experien-cia, y ello podra explicar la alta fraccin disconforme de dicha muestra. Por consiguiente,se eliminan las muestras 15 y 23, Y se determinan la nueva lnea central y los lmites de -control revisados, como sigue:

l' -~ .

110 5 Diagramas de Control para Atributos.-r


mediante acciones al nivel del trabajador. Los envases disconformes producidos los puedecontrolar la administracin, porque se necesi~a que sta intervenga en el proceso para mejo-rar el funcionamiento. La administracin de la fbrica est de acuerdo con esta observacin,y determina que, adems de adoptar el programa de diagramas de control, el personal deingeniera debe analizar el proceso para mejorar su rendimiento. Tal estudio indica que esposible realizarvarios ajustes en la mquina, los cuales debern mejorar su funcionamiento.

Durante los tres turnos que siguen a los ajustes en la mquina y a la introduccin deldi~grama de control, se obtienen 24 muestras ms de n = 50 observaciones cada una. Enla Tabla 5.2 aparecen los datos, y las fracciones muestrales no conformes se indican en eldiagrama de control de la Fig. 5-2.

Alexaminar la Figura 5-2, la impresin inmediata es que el proceso funciona ahora aun nuevo nivel de calidad, que es considerablemente menor que la lnea central p = 0.2150.Un punto, correspondiente a la muestra 11, se encuentra por debajo del lmite inferior decontrol. No es posible determinar una causa atribuible para esta seal fuera de control. Lasnicas razones lgicas para este cambio ostensible en el funcionamiento del proceso sonlos ajustes de mquina realizados por el personal de ingeniera y, probablemente, los opera-dores mismos. Es normal observar que el funcionamiento del proceso mejora despus de laintroduccin de procedimientos formales de control estadstico de procesos, muchas vecesporque los operadores estn ms conscientes de la calidad del proceso, y el diagrama de con-trol proporciona una representacin visual continua de su funcionamiento.

Podemos probar la hiptesis de que la fraccin disconforme del proceso durante el pe-riodo actual de tres turnos difiere de la fraccin disconforme de los datos preliminares, usandoel procedimiento de la Seccin 3-3.4. Las hiptesis son

Ha: P, = {JH,: P, > {J

"t."'o;~~

)..c

1;'

0.45

0.40

0.35'c.i!~ 0.30,El'l

Lse - 0.3893

donde PI es la fraccin disconforme del proceso tomada de los datos preliminares y P2es la fraccin disconforme del periodo actual. Podemos estimar PI por PI = P = 0.2150,Y P2 por

24

LDi_ ;-1 133{J = (50)(24) = 1200 =0.1108

(

La estadstica de prueba para la hiptesis mencionada es, a partir de las ecuaciones (3-62)y (3-63),

lo = p, - 0.p( 1 - p) (~ + ~)n, n2

donde

p = n,p, + n20.n, + n2

En nuestro ejemplo, tenemos

" - (1400)(0.2150) +(1200)(0.1108) _ 6 9p-. 1400+1200 -0.16

y

0.2150 - 0.1108 = 7.22lo = (1 1)/(0.1669)(0.8331) 1400 + 1200

Comparando esto con el punto 0.05 superior de la distribucin normal estndar, se encuen-tra que lo = 7.22 > IO~5 = 1.64?, Por consiguiente, se rechaza Ho y concluimos quehubo una disminucin sign'ificati\a~ de fallas en el proceso.

Parece lgico revisar nuevamente los lmites de control, utilizando slo los datos de esteperiodo ms reciente de tres turnos. Esto produce:

Lnea central = p = 0.1108

Ya que el lmite inferior de control calculado es menor que cero, debemos hacer L1C = O.Por lo tanto, el nuevo diagrama de control tendr nicamente lmite de control superior. Porinspeccin de la Fig. 5-2, se ve que todos los puntos seran menores que el lmite superiorde control revisado; por lo tanto, la conclusin es que el proceso est bajo control a estenuevo nivel.

El uso continuado de esta grfica para los cinco turnos siguientes se muestra en laFig. 5-3. Los datos para el proceso durante este periodo aparecen en la Tabla 5-3. El diagramano indica una falta de control. A pesar de la mejora en la produccin, despUs de los cam-bios tecnolgicos en el proceso y la introduccin del diagrama de control, el rechazo del

(0.1108)(0.8892) = 0.244050

(0.1108)(0.8892) = -0.022450

LSC = P + 3/ p(1 ; p) = 0.1108+ 3

LSC = p - 3/ P(1 ; p) = 0.1100 _ 3

,,!

..:., .. ;~...

0.10

0.05

Nmero de muestra

Figura 5-2" Diagrama de control de la fraccin disconforme, Ejemplo 5-1.

~'0.25.vES5 0.20~'Oe:g 0.15u~u..

~-'-'--

""'" '.-

~i"'

",'~-

proceso de p ~ 0.1108 es todava demasiado elevado. Se necesitan ms medidas por parte'.de la administracin para mejorar la produccin. Estas intervenciones administrativas pue.den ser ms ajustes en la mquina. Se tendra que seguir usando el diagrama de control du-rante el periodo de ajuste. Al indicar en una escala de tiempo en el diagrama de conirol cundose realiza un cambio en el proceso, la grfica se convierte en un diario, en el que se puedenencontrar fcilmente la planeacin de intervenciones en el proceso y sus efectos subsecuen-tes en el rendimiento. Este aspecto de diario en el uso de los diagramas de control es en extre-_1-mo importante.

(0.01)(0.99) = 0!11558

LSC=P+3JP(1;P) =0,01 +3


Tabla 5.3 Datos para el diagrama de control de la fraccin disconforme de la Figura 5-3, p - 50

Nmero de Nmero de Fraccin muestral demuestra disconformidades. Di lalas disconformes. Iji

1 8 0.1&2 7 0.143 5 0.104 & 0,12 .5 4 0.08& 5 0.107 2 0.048 3 0.0&9 4 0.08

10 7 0.1411 & 0.1212 5 0.1013 5 0.1014 3 0.0615 7 0.1416 9 0.1817 6 0.1218 10 0.2019 4 00820 3 0.0621 5 0.1022 8 0.1623 11 0.2224 9 0.1825 7 01426 3 0.0627 5 0,1028 2 0.0429 1 00230 4 0.0831 S 0.1032 3 0.0633 7 0.1434 6 0.1235 4 0.0836 4 0.0837 & 0.1238 8 0,1&39 S 0,1040 6 0,12

tales que la presencia de una sola unidad no conforme indicara una condicin fuera de control.Por ejemplo, si p = 0.01 Y n = 8, obtendremos como lmite superior de control

5 Diagramas de Control para Atributos

n = (0.~4 f(0.01)(0.99) = 56

pEn nuestro ejemplo, p = 0.01, o = 0.05 - 0.01 = 0.04, y si se usan lmites de tres sgmas, apartir de (5-10) tendremos

S. h .' rt' I d'sconforme en la muestra, entonces p = 1/8 = 0.1250, Y se concluye queI ay un a ICUo I l' O' b b'l'd d ..l. . . . ... 'f . de c''0' n'trol Como para cua qUler p > eXISte una pro a I I a positivae proceso esta uera '. .

d" d' I artl'culos defectuosos, no es razonable concluir, en muchos casos, que el pro-e pro UClf a gunos . , ,." f de control con base en la observaClon de un solo articulo disconforme.ceso esta uera . _ ..

-. Para evitar todo esto, se podra escoger el tamano muestral n de manera que la probabilidadde hallar por lo menos un artculo no conforme por muestra sea al menos igual ay. Por ejemplo,supngase que p ~ 0.01, Y que se desea que la probabilidad de encontrar por lo menos unartculo disconforme en la muestra sea de por lo menos 0.95. Sea O el nmero de unidadesdisconformes, Yentonces se desea determinar el valor de n de modo que P '{ O ~ 1} ~ 0.95.Mediante la aproximacin de Poisson a la binomial, se halla, a partir de la tabla de distribucinacumulativa de Poisson, que A = np debe ser igual a 3.00. Por consiguiente, como p = 0.01,esto implica que el tamao de la muestra tendra que ser igual a 300.

Duncan (1974) ha sugerido que el tamao tendra que ser suficientemente grande para teneruna probabilidad aproximada de 50% de detectar un cambio de alguna cantidad especificada enel proceso. Por ejemplo, supngase que p = 0.01, Y que se desea una probabilidad de 0.50 paradetectar un cambio hacia p = 0.05. Al suponer que se puede aplicar la aproximacin normala la binomial, habra que elegir n de manera que el lmite superior de control coincida exacta-mente con la fraccin no conforme en el estado fuerade control.l Si o es la magnitud del cam-bio en el proceso, entonces n tendr que satisfacer


n> 0.95 (3)2 = 1710.05

Por ejemplo, si p = 0.05 Y se usan lmites de tres sigmas, el tamao muestral tendr que ser

As, si n ~ 172 artculos, la grfica de control tendr un lmite inferior de control positivo.Normalmente se usan lmites de control de tres sigmas en el diagrama de control de la frac-

cin disconforme, porque han funcionado bien en la prctica. Como se argument en la Sec-cin 4-2.2, lmites de control ms estrechos hacen al diagrama de control ms sensible a pequelioscambios en p, pero al costo de ms frecuentes "falsas alarmas". Ocasionalmente, se ha visto eluso de lmites ms estrechos para tratar de forzar mejoras en la calidad del proceso. Sin embargo,hay que tener cuidado con lo anterior, porque demasiadas falsas alarmas destruirn la confianzadel personal operativo en el programa de diagramas de control.

Debe haserse notar que el diagrama de control de la fraccin disconforme no es un modelouniversal para todos los datos respecto a la fraccin no conforme. Se basa en el modelo probabi-lstico binomial; o sea, la probabilidad de ocurrencia de un artculo con disconformidad es cons-tante, y unidades sucesivas en la produccin son independientes. En procesos en que las unidadesno conformes se agrupan, o en los que la probabilidad de que una unidad sea disconforme depen-de de la conformidad (o no conformidad) de las unidades anteriores, el diagrama de control dela fraccin disconforme es muchas veces de poca utilidad.

~;>\

Interpretacin de los puntos en el diagrama de control de la fraccin disconforme.' 11 En elEjemplo 5-1 se ilustr cmo se deben manejar los puntos que se encuentran ms all de los lmi-tes de control, en el momento de elaborar el diagrama de control y durante su uso rutinario. Hayque tener cuidado con la interpretacin de los puntos que se hallan por debajo del lmite inferiorde control. Tales puntos no representan a menudo una mejora real en la calidad del proceso. Fre-cuentemente son el resultado de errores en el mtodo de inspeccin debido a que los inspectorestienen adiestramiento inadecuado o carece de experiencia, o a que el equipo de prueba e inspec-cin est malcalibrado. Tambin se han hallado casos en que los inspectores dejaban pasar deli-beradamente unidades disconformes, o comunicaban datos ficticios. El analista debe tener en cuentaestas advertencias cuando busca causas atribuibles, si los puntos se encuentran por debajo de loslmites inferiores de control. No todos los "cambios a la baja" de p se deben a una mejoradaen la calidad.

.7f.tl

(5-9)

(5-10)n=(IfP(1-P)

8 = k/ p(1 ; p)

Por lo tanto,

114

',~,

Si es pequeo el valor bajo control de la fraccin disconforme, otro criterio til es escogern suficientemente grande para que el diagrama de control tenga un lmite inferior de control posi-tivo. Esto asegura un mecanismo para obligarnos a inve'stigar una o ms muestras que contienen -""un nmero anormalmente pequeo de artculos disconformes. Se desea tener que q

Diagrama de control de np. !1 Tambin es posible basar un diagrama de control en el nmerodisconforme, en vez de en la fraccin no conforme. Esto se llama, a menudo, diagrama de np.Los parmetros de tal diagrama son

l~l = P - k/ p(1 ; p) > O (5-11 ),...,i.

lSC = np + 3np(1 - p)Lnea central = np

L1C ,;, np - 3np(1 - p)(5-13 )

Esto implica que

n> (1-P)k2p

Si no se dispone de un valor estndar para p, entonces se usarp para estimar p. Mucho personalsin formacin en Estadstica eQcuentra el diagrama de np ms fcil de interpretar que el de controlde la fraccin disconforme comn.

-lO'lPara una p aproximadamente normal. la probabilidad de que p exceda el LSC es 0.50 si el LSC es igual a la fraccin _no conforme fuera de control p, debido a la simetra de la distribucin normal. Vase en la Seccin 2.4.3 un estudio dela aproximaci6n normal a la binomial. -,: .

, \

5.2.2 Tamao Muestral Variable

En algunas aplicaciones del diagrama de control de la fraccin disconforme, la muestra es unainspeccin de 100% del rendimiento del proceso durante algn periodo. Como se podran produ-

5 Diagramas de Cont;ol para Atributos

~ >': Eo,eroE12eOuQJ

E.2eO:;::;e'O'u.- ~.'l!QJ1:l

eeouQJ1:lroE;:Ollro:;e::>;:roc.

.{,

;.~

el

.~!

.i

1)I

t[

-:

119

p- p

P(1n~P)

Nmero de muestra

l=

Lse 3.00

L1e ~ -3.00

3

2

O

-1

-2

-3

Figura 5-6. Diagrama de control estandarizado de la fraccin disconforme.

Z


en la fraccin muestral disconforme p debe interpretarse respecto a su tamao muestral. Por ejem-plo, supongamos que p = 0.20, Y que dos sucesivas fracciones muestrales disconformes son p= 0.28 Y p+ 1 = 0.24. La primera observacin parece indicar una peor calidad que la segunda,ya que Pi > Pi+l' Sn embargo, supngase que los tamaos muestrales son ni = 50 Y n'+1= 250. Expresado en unidades de desviacin estndar, el primer punto se encuentra 1.89 unida-des por arriba de la media, mientras que el segundo punto est 2.11 por arriba de la media. Osea, el segundo punto representa realmente una mayor desviacin del estndar p = 0.20 que elprimero, aunque el segundo es el menor de los dos. Esobvio que buscar corridas u otros patronesno aleatorios virtualmente no tiene sentido aquf.

Una solucin para este problema es utilizar un diagrama de control "estandarizado", dondelos puntos se representan mediante desviaciones estndares. Tal diagrama de control tiene su li-nea central en cero, y lmites 'superior e inferior de control de +3 Y -3, respectivamente. Lavariable que se grafica en el diagrama es .

donde p (o 15, si no se da un valor estndar) es la fraccin no conforme del proceso en unestado de control. El diagrama de control estandarizado para los datos de la Tabla 5-4 se muestraen la Fig. 5-6. Los clculos asociados a esta grfica se presentan en la Tabla 5-5. Se podran aplicarcon toda segurdad los mtodos para la deteccin de corridas y patrones, porque los cambios rela-tivos de un punto a otro se expresan en trminos de las mismas unidades de medida.

No es ms difcil construir o mantener el diagrama de control estandarizado que cualquierade los otros dos procedimientos estudiados en esta seccin. Sin embargo, conceptualmente la in- .terpretacin y la comprensin por el personal operativo puede ser ms difcil, ya que se "perd"la referencia hacia la fraccin no conforme real del proceso. Sin embargo, sj existe una variacingrande en el tamao muestral, los mtodos para identificar corridas y patrones slo pueden usarse

~r'l.

(0.096)(0.904) = 0.00798

(0.096)(0.904) = 0.18598

LSC = P - 3/ p(1 ; p) = 0.096'- 3

LSC = P + 3/ p(1 ; p) = 0.096 + 3

~ 0.15

0.25

',0. 0.20 I Lse ~ 0.185

~w

"E

25

~1n = 2450 = 98= 25 25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 la 12 14 16 18 20 22 24Nmero de muestra

Figura 5-5. Diagrama de control de la fraccin disconforme, basado en un. tamao muestral promedio.

0.00

w-cwE.2 0.10'6e'O.u2

5 Diagramas de Contr~1 para Atributos

l/e ~ 0.007

y

,futuros tamaos muestrales no sern muy diferentes de los observados antes. Si se utiliza este plan-teamiento, los lmites de control sern constantes, y el diagrma de control resultante no tendrun as'pecto tan formidable para el personal operativo omo el diagrama con lmites variables. Sinembargo, si hay una variacin extraordinariamente grande en el tamao de una muestra en parti-cular, o un punto cae cerca de los lmites de control aproximados, entonces se tendrn que deter-minar los limites de control exactos para este punto y examinarlo respecto a su valor. Para losdatos de la Tabla 5-4, encontrarnos que el tamao muestral promedio es

Por lo tanto, los lmites de control aproximados son

El diagrama de control resultante se presenta en la Fig. 5-5. Obsrvese que p para la muestra 11se halla cerca del lmite superior de control aproximado, pero parece estar bajo control. Sin em-bargo, al compararlo con su lmite superior de control exacto (0.180, de la Tabla 5-4), el puntoindica una condicin fuera de control. De modo similar, puntos que se encuentran fuera de loslmites de control aproximados pueden estar entre sus lmites de control exactos. En general, hayque tener cuidado con la interpretacin de puntos cerca de los lmites de control aproximados.

Tambin debe tenerse mucho cuidado con el anlisis de corridas u otros patrones aparente-mente anormales, en las grficas con tamaos muestrales variables. El problema es que un cambio

118

15 Diagramas de Control para Atributos 121

(S-14)

P = P{O < 181p} - P{O.:s; 21p}

0,01380,18920.45950,88830,98570,9%20,97120,85940,62160.33560,12730,03250,0053

P{O.:s;2Ip}

0,98620,81080,54050,11170,01420,00130,00010,00000,00000,00000,00000,00000,0000

fJ = P{p < UCllp} - P{ p 5, LCLlp}

=P{ 0< nUCLlp} - P{05, nLCLlp}

P{O.:s; 181p}

1.00001.00001,00001,00000,99990,99750,97130,85940,62160,33560,12730,03250,0053

P

0,010,030,050,100,150,200,250,300,350,400.450,500,55

5,2 Diagrama de Control para la Fraccin de Disconformes

fJ = P{0< (SO)(0,3697)lp) - P{05, (sO)(O,mm)lp)

las probabilidades de esta tabla se encontraron evaluando la distribucin binomial acumulativa, Para .p pequeo (p < 0,1) se podra usar la aproximacin de Polsson, y para valores mayores de p la aproxi-macin normal.

sin problemas en el diagrama de control estndarizado, En tal caso, podra ser aconsejable utilizarun diagrama de control con lmites de control individuales (como en la Fig, 5-4) para el personaloperativo, junto con un diagrama de control estandarizado para el ngeniero de calidad,

5.2.3 Funcin Caracterstica de Operacin

= P{ 0< 18,49Ip} - P{ O 5, 1.52Ip}

Tabla 5-6' Clculos para el trazo de la curva CO para un diagrama de control de la frac-cin disconforme, con n ~ SO,_L1C = 0,0303 .Yl5C - 0.3697

La funcin caracterstica de operacin (CO) del diagrama de control de la fraccin no conforme,es una representacin grfica de la probabilidad de aceptar incorredamente la hiptesis de uncontrol estadstico (es decir, un error tipo" o P) contra la fraccin disconforme del proceso, Lacurva CO proporciona una medida de la sensibilidad del diagrama de control; o sea, su capacidadpara detectar un cambio en la fraccin disconforme del proceso respecto al valor nominal p haciaalgn otro valor p, La probabilidad del error tipo " para el diagrama de control de la fraccinno conforme puede calcularse a partir de

Como D. es una variable aleatoria binomial'con parmetros n y p, el error p, definido en (5-14),puedobtenerse a partir de la distribucin binomial acumulativa,

En la Tabla 5-6 se ilustran los clculos necesarios con objeto de generar la curva CO parael diagrama de control de la fraccin disconforme con los parmetros n = 50, L1C = 0,,0303 YLSC = 0.3697, Al aplicar estos parmetros, con la Ecuacin (5-14) se obtiene

'l'~,.~'.

Nm~~oN,~o~o~~m~mo~~m~mo~~r r"r, Nr r r

~NM~~~~m~o~NM~~~~m~o,NM~~rrrrrrrrrrNNNNNN

8228gg88~~g~~~g222~8888~~r r"r, r"" rrrr

MN~~m~m~~~~~m~~Nm~~~~~~~Mro,~N\~~N~~OO~O~,~NN~~~\~,OOOOOOO~OO~~O~~OOO~O~OOoOI I I I I I I I I I I I I

~8~~~g;g~g~~~~~~8~~~2~28~8r,OOOrrrrOrrOOOrrOOOOOrOr0000000000000000000000000

~~M~~ro~~\rro~~~~~MM~~~~~rrNMMNNNNNMMNNNNNMMMMNNNNMM00000000000000000000000000000000000000000000000000

-

i:.-,g -~~~E;;~~1- :J

E

~~m I" ,-E elo1,

lO.

"r'lJ'l

~",00:~Q)"O

o"O

'",!:!ro"Oe~~ecouQ)"O

'"E~00

'"'OOi~'"Q."'.2"u:.~ :;;u

120.

5.3.1 Procedimientos con Tamao Muestra! Constante

Considrese la ocurrencia de no conformidades en una unidad de inspeccin del producto. Enla mayora de los casos, la unidad de inspeccin ser una sola unidad del producto, aunque nonecesariamente siempre es as. La unidad de inspeccin es sencillamente una entidad apropiadapara registrar los defectos. Podra ser un grupo de 5 artculos, 10 artculos, etctera. Supongamosque los defectos o disconformidades ocurren en esta unidad de inspeccin segn una distribucinde Poisson; es decir,

conformidades. Tambin se podran contar las no conformidades de varios tipos diferentes en unaunidad, mientras las condiciones antes mencionadas se satisfagan para cada clase de disconformidad.

En la mayora de las situaciones prcticas, estas condiciones no sern satisfechas exactamen-te. El nmero de oportunidades para la ocurrencia de no conformidades puede ser finito, o la pro-babilidad de ocurrencia de disconformidades puede ser variable. Mientras estas desviacionesrespecto de los supuestos no sean graves, el modelo de Poissn funcionar normalmente bien.Hay casos, sin embargo, en los que el modelo de Poisson es del todo inadecuado. Estas situacio-nes se analizan con ms detalle al final de la Seccin 5-3.1.

1235.3 Diagrama de Control de Disconformidades (Defectos)T

p

Figura 5-7. CUNa caracterstica de operacin para eldiagrama de control de la fraccin no conforme, con Ji~ 0.20, L1C = 0.0303 Y LSC ~ 0.3697.

fJ

I

5 Diagramas de Control para Atributos122

Sin embargo, como O tiene que ser entero, encontramos que::,;

e-CeX .p(x) = -,- x = 0,1,2, ...x.

p = P{O s 181p} - P{O s 21p}

La curva ca se grafica en la Figura 5-7.donde x representa el nmero de disconformidades y c > O es el parmetro de la distribucinde Poisson. De la Seccin 2-2.3, se sabe que la media y la variancia de la distribucin de Poissonson ambas iguales al parmetro c. Por lo tanto, un diagrama de control de no conformidades conlmites de tres sigmas2 se caracterizara por

(5-15 )

(5-16)

L1C = e - 3{C

LSC = e + 3{C

LSC = e + 3

Lnea central = e

Lnea central = e

suponiendo que se dispone de un valor estndar para c. Si estos clculos dan un valor negativopara el L1C, entonces tmese L1C = O.

Si no se da un valor estndar, se podr estimar c como la media observada del nmero dedisconformidades en una muestra preliminar de unidades de inspeccin, digamos C. En estecaso, el diagrama de control tendr los parmetros

L1C = e - 3Los lmites de control de (5-16) deben considerarse lmites de control de prueba cuando no

se dispone de un valor estndar, y es necesario examinar las muestras preliminares para detectaruna posible falta de control. El diagrama de control de disconformidades se llama a veces diagra-ma de c.

IEI riesgo P para los limites de tres sigmas no se distribuye de manera igual por arriba del LSC y debajo del L1C, porquela distribucin de Poisson es asimtrica. Algunos autores recomiendan el uso de limites probabilsticos para esta grfica, sobretodo cuando c es pequeo.

~},;

5.3 DIAGRAMA DE CONTROL DE DISCONFORMIDADES (DEFECTOS)

Un artculo disconforme o no conforme es un producto que no satisface una o ms de las especifi-caciones para tal producto. Cada punto especfico en el que no se satisface una especificacinresultaser un defecto o disconformidad. Por consiguiente, un artculo disconforme tendr por lomenos una disconformidad. Sin embargo, dependiendo de su naturaleza y su gravedad, es muyfactible que un artfculo posea varias disconformidades y, de todos modos, no sea c1asificadoco-mo disconforme. Por ejemplo, supngase que se fabrican computadoras personales. Cada unidadpodra tener uno o ms desperfectos menores en el acabado de la caja, y debido a que no afectan ...,'-seriamente su funcionamiento, se podra clasificarla como conforme. Sin embargQ, al tener dema-siados desperfectos se tendra que clasificar la computadora personal como no conforme, ya queaquellos seran evidentes para el consumidor, y podran afectar la venta de la unidad. Hay mu-chos casos prcticos en los que es preferible trabajar directamente con el nmero de defectos odisconformidades, en vez de hacerlo con la fraccin no conforme. Algunos ejemplos son la canti-dad de soldaduras defectuosas en 100 m de oleoducto; el nmero de remaches rotos en un alade un avin, la cantidad de defectos funcionales en un dispositivo lgico electrnico, etctera.

Es posible desarrollar diagramas de control para el nmero total de disconformidades en unaunidad, o bien para el nmero promedio de defectos por unidad. Para estos diagramas se supone~al;;;~-;;i~que la ocurrencia de disconformidades en muestras de tamao constante puede mo-~f-"""'''''delarse bien mediante una distribucin de Poisson. Por esto suele requerirse que el nmero deoportunidades b lugares potenciales para las disconformidades sea infinitamente grande, y que laprobabilidad de ocurrencia de una disconformidad en cualquier lugar sea pequea y constante,

.' Adems, la unidad de inspeccin tiene que ser la misma para cada muestra. Esdecir, cada unidad -~.de inspeccin tiene que representar un "rea de oportunidad" idntica para la ocurrencia de dis- ~.:.L-

t~-'-c--

l

124 5 Diagramas de Control para Atributos

Ejemplo 5.2

5.3 Diagrama de Control de Disconformidades (Defectos)

45

125

;..

\'1

,i';

"

::1.-.

" :f

182116221912149

1621

Nmero dedisconformidades

11121314151617181920

Nmerode mestra

16181215242128202519

Diagrama de control de disconformidades para el Ejemplo 5.2.Figura 5.8.

5

L1C = e - 3.[c = 19.67 - 3/19.67 = 6.37.

L1C = e + 3.[c = 19.67 + 3/19.67 = 32.97Lnea central = e = 19.67

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26Nmero de muestra

O

V>Q)'tl

'"'tl.~

-2eOii'OQJ'tl 15eQJ

.~ 10z

123456789

10

Datos adiionales para el diagrama de control de disconformidades, Ejemplo 5.2

Nmero Nmerodede meslra disconformidades

Tabla 5-8

y los lmites de control revisados son

stos sern los valores estndares para verificar la produccin del prximo periodo.Se obtuvieron subsecuentemente veinte muestras nuevas, cada una de ellas de una uni-

dad de inspeccin (es deci;, 100 tarjetas). Se anota el nmero de disconformidades .en cada(fJ muestra y se registran en la Tabla 5.8. Se grafican estos puntos en el diagrama de control

- 472 = 19.67c = 24

Tabla 5.7 Datos para el nmero de disconformidades en muestras de100 tarjetas de circuitos impresos

Nmero de Nmerode Nmero de Nmero demestra disconformidades mestra disconformidades

1 21 14 19

2 24 15 10

3 16 16 17

4 12 17 13

5 15 18 22

6 5 19 18

7 28 20 39

8 20 21 30

9 31 22 24

10 25 23 16

11 20 24 19

12 24 25 17

13 16 26 15

L1C = e - 3.[c = 19.85 - 3119.85 = 6.48

Lnea central = e = 19.85

Por lo tanto, los lmites de control de prueba son

516 = 19.85c= 26

LSC= e + 3.[c = 19.85 + 3119.85 = 33.22

En la tabla 5-7 se presenta el nmero de disconformidades observadas en 26 muestras sucesi.vas, cada una con 100 tarjetas de circuitos impresos. Obsrvese que se defini conveniente.mente la unidad de inspeccin como 100 circuitos. Ya que las 26 muestras contienen untotal de 516 disconformidades, se estimina c por

En la Fig. 5-8 se muestra el diagrama de control. Aqur se grafia el nmero de disconfor.midades observadas de las muestras preliminares. Dos puntos caen .fuera de los lmites decontrol, las muestras 6 y 20. La investigacin de la muestra 6 revel que un inspector nuevOhaba examinado las tarjetas de dicha muestra y no reconoci varios tipos de disconformida.

____ ~d_e_s.guep99ran haber estado presentes. Adems, el nmero demasiado grande de disconfor... ~~ "'-""midades e'n la'muestra 20 se debi a un problema en el control de la temperatura en la mquina"

. de soldar en onda, el cual se resolvi inmediatamente. Por lo tanto, parece razonable excl.!!!~.estas dos muestras y revisar los lmites de control de prueba. Ahora se calcula c por

5 Diagramas de Control para Atributos 5.3 Diagrama de Control de Disconformidades (Defectos)126

40

35 LSC ~ 32.97

T'. t

l'

~0:2=>U

~~~~~~::f!?~ag;q;~Ql;~~8;;j;;;~~RZ~g3g~or;~~&:~g,...

127

.9':;l:!'

r:,\~":t, !~ :.

... 1\),00

o-~.3lUla.

OO~ --. 'Ol

~crc:O-Ul

Soldadurajuntas fras

Soldadur:aabierta/DEWEescasa

SoldaduraTarjetaen brutodaada

Envolturade tarjetaen bruto

RE

Cdigo dedefecto

de componenteimpropio I

Componentesobrante

Componentedaado (NO)

'1

Tabla 5-9 Tabla:de defectos, clasificados por nmero de parte y por nmero de cdigo de defecto

N~ero Ide parte'frec~eQcia porcentual

Porcen;~i'e de la fila~. Porcentaje de Componente

la columna faltante

0001285 1 O OO O 1 O S 20

1.02 0.00 0.00 0.00 0.001.02 0.00 5.10 20.41

1.41 0.00 0.00 0.00 0.00 1.410.00 7.04 28.17

50.00 0.00 0.00 0.00 0.00100.00 0.00 71.43 100.00

0001481 1 2 2 63 O 1 2 O

1.02 2.04 6.12 3.06, 0.000.00 1.02 2.04 0.00

3.70 7.41 22.22 11.11 0.000.00 3.70 7.41 0.00

50.00 100.00 100.00 100.00 100.00 0.00100.00 28.57 0.00

0006429 O O O OO O O O O

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 Q.OO

Total 2 2 2 63 1 1 7 20

2.04 2.04 2.04 6.12 3.06 1.021.02 7.14 20.41

,

U1

W

lc.a3la.

OO~

-a.

OUl()

O::>O'3c.:la.

Ul

-Oro()

O-.5!2.

Unidad(es)alambradoMarca depruebaM C

Marca deprueba

bla e M

Cdigo dedefecto

ID aperadorde estampad~

Estampadofaltante

Salpicadurade soldadura

Soldadurainsuficiente

Tabla 5-9 ,Contin'uacin)

Nmero de parteFrecuencia porcentualPorcentaje de fila

Porcentaje. n a arca E incorrecto S correcta(s) Total

0001285 40 I O O O 2 140.82 0.00 1 O 710.00 0.0056.34 0.00

2.04 1.02 1.02 0.00 72.450.00 0.00 2.82 1.41 1.41

100.00 0.000.00

0.00 0.00 (>6.67 33.33 100.000001481 O S

0.001 1 1 2

0.00 5.10O O 27

1.02 1.02 1.02 2.04 0.000.00 18.52 3.70 3.70 3.70

0.00 27.55

0.007.41 0.00 0.00

100.00 100.00 100.00 33.33 66.67 0.000006429 O

0.00O O O O O

0.00 0.00O O O

0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00

0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.000.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00Total 40 S 1 1 3 3

40.82 5.101 O 98

1.02 1.02 3.06 3.06 1.02 0.00 100.00

..Nce

130 5 Diagramas de Contrl para Atributos r' 5.3 Diagrama de Control de Disconformidades (Defectos) 131

N6tese que u es una variable aleatoria de Poisson, ya que es una combinacin lineal de n varia-bles aleatorias independientes de Poisson (Seccin 3-1.3). Por consiguiente, los parmetros deldiaprama de control son

ques generales para construir la grfica revisada, una vez elegido un nuevo tama/io muestra!. Elprimero es simplemente redefinir una nueva unidad de inspeccin, que es igual a n veces la uni-dad de inspeccin anterior. En este caso, la lnea central de la nueva grfica de control es ne,y los lmites de control se localizan en nc.2: 3 ; donde e es el nmero medio observadode no conformidades de la unidad de inspeccin original. Supngase que en el Ejemplo 5-2, des-pus de revisar los lmites de control de prueba, se hubiera decidido usar un tamano muestralde n = 2.5 unidades de inspeccin. Entonces la lnea central se ubicara en ne = (2.5)(19.67)= 49.18, Y los lmites de control seran 49.18 .2: 3 49.18, o L1C = 28.14 Y LSC = 70.22.

El segundo enfoque implica elaborar un diagrama de control basado en el promedio de dis-conformidades por unidad de inspeccin. Si encontramos un total de c disconformidades en unamuestra de n unidades de inspeccin, entonces el nmero promedio de no conformidades porunidad de inspeccin ser

Cortocircuito

Figura 5-11. Diagrama de causa y efecto (o causa-efecto).

Defectos entarjetas decircuitosimpresos

eu=-n (5-17)

j

,',;

(5-18)

- ;LSC = + 3 V -;

Lnea central =

L1C = - 3{P;

Lmite central = = 1.93

Por lo tanto, los parmetros de la gr~fica de control son

Uri fabricante de computadoras personales desea establecer un diagrama de control dedisconformidades por unidad en la lnea de montaje fina!. Seseleccionan como tamao muestralcinco computadoras. Los datos respecto al nmero de no conformidades en 20 muestras, decinco computadoras cada una, aparecen en la Tabla 5.10. A partir de estos datos estimara-mos el nmero medio de no conformidades por unidad:

20

L u: = ;=1 = 38.60 = 1.93

20 20

ro {T93LSC=+3y-;;- =1.93 + 3ys-s- =3.79

ro{T93L1C =-3y-;;- =1.93-3ys-s- =0.07

donde u representa el nmero promedio observado de no conformidades por unidad en unconjunto preliminar de datos. Los lmites de control obtenidos a partir de (5-18) se consideraranlmites de control de prueba. Esta grfica se denomina diagrama de control de disconformidadespor unidad, o diagrama de u.

Ejemplo 5-3

Gi

Figura 5.12. Diagrama de concentracin de defectospara una parte de plstico moldeada por inyeccin.

-+

tes genricas principales de disconformidades: materiales, operadores y equipo. Otro enfoque tiles organizar el diagrama segn el flujo del material a travs del proceso.

El diagrama de concentracin de defectos se usa para determinar si las no conforrnidades ..,.se localizan en la misma rea del producto. Este diagrama es normalmente un bosquejo o esque-ma del producto, en el que se indica la frecuencia media de ocurrencia de no conformidades me-diante zonas sombreadas. La Fig. 5.12 es un diagrama de concentracin de defectos que sirvepara examinar las burbujas en una pieza de plstico. obtenida por inyeccin, y que se utiliza enuna impresora de grficas. La ubicacin de las burbujas indica que la mayor parte se encuentraliado derecho. Su origen se hall subsecuentemente en un calentamiento irregular en el molde.

Seleccin del tamao muestral: Diagrama de u. El Ejemplo 5.2 ilustra un diagrama de con.trol de disconformidades con tamao muestral exactamente igual a una unidad de inspeccin.Se escoge dicha unidad por su sencillez operacional o su facilidad de obtener los datos. Sinembargo, no hay razn alguna para restringir el tamao muestral a una unidad de inspeccin.

L-.-En realidad, preferiramos mucha.s veces utilizar va.rias unidades de inspeccin en la muestra,aumentando as el rea de oportunidad para la ocurrencia de disconformidades. Se tendra que -escoger el tamao muestral conforme a consideraciones estadsticas, por ejemplo especificar un

. tamao muestral suficientemente grande para asegurar un limite inferior de calidad positivo opa._. atener una probabilidad particubi de detectar un cambio en el proceso. Por otro lado, factores_

~

_ _ econmicos podran influir en la determinacin del tamao de la muestra.- -~ -, Supngase"que decidimos basar el diagrama de control en un tamaomuestral de n unidades-

1'.' - de i.nSlJeCci~~.. .N.te.se q.ue n no necesariamente fiene que ser entero. Para il.ustrar esto, supngase--1'- que en el Ejemplo 5.2 se hubiera especificado un tamao de los subgrupos igual a n = 2.5 unida.G des dECinspeccin. Entonces el tamao m:estral sera (2:~1:~ ~o~rj~tas. EXisten.dos enfo; _L. :


En una fbrica de acabado de tejidos, se inspeccionan telas teidas para detectar los defectosen 50 metros cuadrados. Los datos para diez rollos de tela se presentan en la Tabla 5-11.Utilizaremos estos datos para elaborar una grfica de control de disconformidades por unidad.

La lnea central de la grfica debe ser el nmero medio de no conformidades por unidadde inspeccin; es decir, el promedio del nmero de no confOrmidades por 50 metroscuadrados. Esto se calcula de la manera siguiente:

153TI= 107.5 = lA2

5.3.2 Procedimientos con Tamao Muestral Variable

Modelos probabilsticos alternativos para datos de recuento En la mayora de las aplicacio-nes del diagrama de c supone que la distribucin de Poisson es el modelo probabilstico correctopara el proceso. Sin embargo, no es el nico que se podra utilizar como modelo para datos de"recuento" o datos del tpo disconformidades por unidad. Varios fenmenos pueden producirdistribuciones de defectos que no se modelan bien con una distribucin de Poisson. Por ejemplo,supngase que las no conformidades tienden a ocurrir en cmulos o conglomerados; es de-cir, si hay una disconformidad en cierta parte del producto, entonces es probable que hayams. Ntese que aqu hay por lo menos dos procesos aleatorios; uno que genera el nmero yla ubicacin de los conglomerados, y otro que genera el nmero de disconformidades dentro decada cmulo. Si el nmero de conglomerados tiene distribucin de Poisson, y el nmero de dis-conformidades dentro de cada cmulo tiene una distribucin comn (por ejemplo, f), entoncesel nmero total de disconformidades tiene distribucin de Poisson compuesta. Hay muchos tiposde distribuciones compuestas o generales que se podran utilizar como un modelo para datos derecuento. Por ejemplo, si el nmero de conglomerados tiene distribucin de Poisson, y el nmerode disconformidades dentro de cada uno es tambin de Poisson, entonces la distribucin tipo A deNeyman modela el nmero total de no conformidades. Por otro lado, si la distribucin de los con.glomerados es la de tipo gamma, y el nmero de disconformidades dentro de cada uno de elloses de Poisson, la distribucin binomial resultar negativa. Johnson y Kotz (l969) hacen un buenresumen de stas y otras distribuciones discretas que podran ser tiles para modelar datosde recuento.

'Mezclas de varios tipos de no conformidades pueden llevar a situaciones en las que el nme-ro total de disconformidades no es modelado adecuadamente por la distribucin de Poisson. Si-tuaciones similares se presentan cuando los datos de recuento tienen demasiados o muy pocosceros. El artculo de Jackson (1972) es un buen anlisis de este problema general. Schaeffer yLeavenworth (1976) estudiaron el uso de la distribucin binomial negativa para modelar datosde recuento en unidades de inspeccin de tamao variable.

Ocasionalmente se construyen diagramas de control de disconformidades usando una inspeccinal 100% del producto. Al hacer uso de este mtodo de muestreo, el nmero de unidades de ins-peccin en una muestra normalmente no ser constante. La inspeccin de rollos detela o de pa-pel lleva tambin a una situacin en la que el tamao muestral v~ra, porque no todos los rollostienen la misma longitud o anchura. Si se usa un diagrama de control de disconformidades (dia-grama de c) en esta situacin, la lnea central y los lmites de control variarn con el tamao dela muestra. Podra ser difcil interpretar esta grfica de control. El procedimiento correcto es utili-zar un diagrama de control de no conformidades por unidad (diagrama de u). ste tendr una l-nea central constante; sin embargo, los lmites de control variarn en forma inversamenteproporcional al tamao n del subgrupo.

Ejemplo 5.4

Tf

j'lumero tOdl ~(;:disconformidades, c

Nmero de muestra

Figura5-13, Diagramade control de disconformidades porunidad.

lamaomuestral, n

5 10 2,05 12 2A5 8 1.65 14 2,85 10 2.05 16 125 11 2,25 7 lA5 10 2,05 15 105 9 1.85 5 1,Q5 7 lA5 11 2,25 12 2A5 6 1.25 8 1.65 10 2.05 7 1.45 5 1.0

193 38.6

5

~-g' 4-o

'"~o'"~-o~-oE.Ec:o:,(i:5

123456789

1011121314151617181920

Tabla 5-10

Nmerode muestra

"

El diagrama de control se muestra en la Figura 5-13. Los datos preliminares no presentan unafalta de control estadstico; por lo tanto, se adoptaran los lmites de control de prueba par,__el contmlaCtual. Una ve~~is, nt5eque el 'nmero medio de disconformidades por unidades demasiado alto,-aunque el proceso se encuentre bajo control. An cuando se trata de dis-'-conformidades no funcionales o de apariencia, hay demasiadas. La administracin debeemprender acciones para' mejorar el proceso.

1

5 D,iagramas de Control para Atributos~-::'---"'.--;

134I

5 Diagramas de Control para Atributos ~r-'~ 5.3 Diagrama de Control de Disconformidades (Defectos) 135

(5-19)

(5- 20)ou=-n

0= 100cA + sOcs + 10cc + Co

Defectos Clase C: Moderadamente importantes. La unidad probablemente fallar durante elservicio, causar problemas menos graves que una falla de operacin, tendr tal vez duracin re-ducida, producir un aumento en los costos de mantenimiento, o bien tendr un defecto impor-tante en el acabado, la presentacin o la cal idad del trabajo .

Defectos Clase B: Graves. La unidad sufrir tal vez una falla Clase A durante el servicio, gene-rar seguramente problemas operacionales menos graves, o con seguridad reducir su duracino incrementar los costos de mantenimiento.

Defectos Clase A: Muy graves. La unidad es completamente inadecuada para el uso, o fallaren servicio de tal manera que no se pueda reparar con facilidad en el lugar de trabajo, o bienocasionar lesiones personales o daos materiales.

1!1

En el caso de productos complejos, como automviles, computadoras o aparatos mayores, sueleobservarse que pueden ocurrir muchos tipos de disconformidades o defectos. No todos los defec-tos tienen la misma importancia. Probablemente una unidad del producto con un defecto muygrave se clasificara como no conforme respecto a los requisitos, pero una unidad con varios de-fectos menores no necesariamente tendra que ser disconforme. En tales situaciones, necesitamostener un mtodo para clasificar las no conformidades o defectos de acuerdo con su gravedad, yponderar los diversos tipos de defectos de alguna manera razonable.

Un posible esquema de demritos es el siguiente:.:._"

5.3.3 Sistemas de Demrito

Obsrvese que u es el cociente del nmero total de no conformidades observadas entreel nmero total de unidades de inspeccin o inspeccionadas.

Los lmites de control para esta grfica se calculan a partir de la Ecuacin (5.18), cam-biando n por ni' La amplitud de los lmites de control variar de manera inversamente pro-porcional a ni' que es el nmero de unidades de inspeccin en el rollo. Los clculos de loslmites de control se representan en la Tabla 5-12. En la Fig. 5-14 se muestra el diagramade control.

Defectos Clase D: Poco importantes. La unidad no fallar durante el servicio, pero presentadefectos menores en el acabado, la presentacin o la cal idad del trabajo.

Sean CA, Cs, Cc Y CD el nmero de defectos Clase A, Clase B, Clase C y Clase D, respecti-vamente, en una unidad de inspeccin. Supngase que cada clase de defecto es independiente,y que la ocurrencia de las disconformidades en ida clase se modela bien mediante una distribucinde Poisson. Entonces definimos el nmero de demritos en la unidad de inspeccin como

Las ponderaciones o pesos de los demritos d las Clases A-lOO, Clase B-50, Clase C-l0 yClase D-1 se emplean mucho en la prctica. Sin embargo, se podra utilizar tambin cualquierconjunto razonable de ponderaciones, apropiadas para un problema especfico.

Supongamos que se utiliza una muestra de n unidades inspeccionadas o de inspeccin. En-tonces el nmero de demritos por unidad es

.:.;t~~.

Figura 5-14. Diagrama de control de discon-formidades por unidad, con tamao muestralvariable,Ejemplo 5-4.

Tabla 5-12 Clculo de los lmites de ontrol, Ejemp!o 5-4

Nme;delrollo, n UCL = + 3//n LCL = - 3//n

1 10.0 2.55 0.292 8.0 2.68 0.163 13.0 2.41 0.434 10.0 2.55 0.295 9.5 2.58 0.266 10.0 2.55 0.297 12.0 2.45 0398 10.5 2.52 0329 12.0 2.45 039

10 12.5 2.43 0.41

.Tabla 5.11 Ocurrencia de disconformidades en telas teidas

Nmero . Cantidadde Nmero total Nmerode unidadesde Nmerode disconformidades

de rollo metros cuadrados de disconformidades inspeccinpor rollo, npor unidadde inspeccin

1 500 14 10.0140

2 400 12 8.01.50

3 650 20 13.0 1.54

4 500 11 10.0 l10

5 475 7 9.5 0.74

6 500 10 10.0 lOO

7 600 21 12.0 1.75

8 525 16 10.5 1.52

9 600 19 12.0 1.58

10 625 23 12.5 1.84

153 107.50

.... ~....,.

.~,3.5-.0

~ 3.0-g~"O 2.5'"~oa.~v"O."O.~

'"eO~i5

,11

1i

~

i!;

}I

~.

{!l

'jtl

'":'!:'

Wj

~

";,

~,:Ir,


donde O es el nmero total de demritos en todas las n unidades inspeccionadas. Ya que u eslll1a combinacin lineal de variables aleatorias ind~pendientes de Poisson, podemos usar este he-cho para definir el diagrama de control. Se podra representar la estadstica u en un diagrama decontrol con los parmetros siguientes:

137

Figura 5-15 Curva CO para una grfica c con UC : 6.48y LSC - 33.22.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1.000.900,80

f3 0.700.600.50

0,400.30

0.20

0.100.00


(5-23)

(5-22)

(5- 21)(5- 22)

LSC '" u + 3auLnea central'" u

L1C '" u - 3au,

U'" 100uA + sOua + 10uc + UD

au'" [ (100)2uA + (sO)2~a + (10)2uc + UDt2Y

donde'

136

donde x es una variable aleatoria de Poisson con parmetro c.

P"'P{x< LSC,lc}-P{x~ utlc}

Ya que el nmero de no conformidades tiene que ser entero, esto equivale a

P = P{x ~ 331e} - P{x ~ ?le}Estas probabilidades se evalan en la Tabla 5-13. En la Figura 5-15 se muestra la curva ca.

Para la grfica de u es posible trazar la curva ca a partir de

P = P{x < 33.22lc} - P{x ~ 6.48lc}

P = P{x < LSC Iu} - P{ x ~ L1CIu}= P{ e < n LSC u} - P{ e ~ n uc u}= P{ n LSC < e ~ n UC Iu}

[n~C] e-nu(nu)C,= i... -c~l~ (5-25)

c=(nllC} .

donde ) denota el menor entero que es mayor que o igual a y, y [y] denota el mayor entero quees menor que o igual a y. Los lmites de la sumatoria en (5-25) provienen del hecho de queel nmero total de disconformidades observadas en una muestra de n unidades de inspeccindebe ser entero. Ntese que n no se restringe a un valor entero.

Generaremos la curva ca para la grfica de e del Ejemplo 5-2. En este caso, como L1C= 6.48 y LSC = 33.22, la ecuacin (5-24) es

p = P{x ~ 331e} -' P{x ~ 71e}'0.0010.0120,1340.4020.7780.9810.9950..9450.7090.500OJ70.1310.037

P{x ~ 71e}

0.9990.9880.8660.5980.2220.0180.0000.0000.0000.0000.0000,0000.000

P{ x ~ 331e}e

Se pueden obtener las curvas caradersticas de operacin (Ca) para el diagrama de c y para elde u a partir de la distribucin de Poisson. Para la grfica de c, la curva ca representa la probabili-dad del error tipo 11,~ contra la media verdadera del nmero de defectos c. La expresin para ~ es,

Tabla 5-13' Clculo de la curva CO para un diagrama de c, con LSC = 33.22 YUC - 6.48

5.3.4 Funcin Caracterstica de Operacin

liA, li

B, Uc, y UA representan el nmero medio de defectos de Clases A, B, C y D por unidad. 't'

Se obtendrn los valores de UAr UB, U Y uAa partir del anlisis de datos preliminares, obtenidos"C1elproceso que se supone bajo control. Pueden utilizarse valores estndares parauA, UB, U YUA cuando estn disponibles.

Hay muchas variaciones posibles para esta idea. Por ejemplo, podemos clasificar las dis-conformidades como defectos funcionales o de aspecto si se prefiere un sistema de dos clases.Tambin es prctica comn manejar separadamente diagramas de control para cada clase dedefectos, en vez de combinarlos en uno solo.

1 1.0003 1.0005 1.0007 1.000

10 1,00015 0.99920 . 0.99525"'--' - 0.945

",:';'".-.-30_' __ .~' 0.70933 0.50035- -,~' OJ740 0.13145 0.037

5.3 Los datos que siguen corresponden a los resultados de la inspeccin de todas las unidadesde una computadora personal, producidas en los ltimos 10 das. Parece estar bajo controlel proceso?

5.4 Se quiere controlar un proceso mediante un diagrama de la fraccin no conforme .. lnicial-mente, 'se toma una muestra de tamao 100 cada da, durante 10 das, y los resultados sepresentan a continuacin.

1


Q 5.4. EJERCICIOS 1e JV A,-~.1- os datos expuestos a continuacin .se refieren al nmero de montajes disconformes d,e coji_

Nmero de Nmero de interruptores Nmero de Nmero de interruptoresmuestra disconformes demuestra disconformes--- ---

1 8 11 62 1 12 O3 3 13 4

4 O 14 O'S 2 15 3

L 6 4 16 1I1

I 7 O 17 158 1 18 29 10 19 310 6 20 O

Nmero de la muestra Nmero de unidades disconformes

1 32 23 64 2

5 7

6 27 1

8 29 O10 5

(a) Establezca un diagrama de control para verificar la produccin futura.lb) Cul es el menor tamao muestral que se podra utilizar para este proceso y todava

garantizar un lmite inferior de control positivo?


5.7 Un diagrama de control indica que la fraccin no conforme del proceso actual es 0.02. Sise inspeccionan 50 artculos cada da, cul es la probabilidad de detectar un cambio enla fraccin no conforme hacia 0.04 en el primer da despus del cambio? Al final del tercerda despus del cambio?

140 ...,2500 ~

5.5 Un proceso pruduce bandas de goma en lotes de tamao 2 300. Los registros de la inspec_P;;: cin de los ltimos 20 lotes revelan proporcionan' los datos siguientes:~ 1

5.4 Ejercicios 141

Nmero Nmero de bandas Nmero de Nmero de bandasde muestra disconformes lote disconformes

u--1 230 11 4562 435 12 3943 221 13 2854 346 14 3315 230 15 1986 327 16 4147 285 17 1318 311 18 2699 342 19 22110 308 20 407

5.8.

5.9

BG~IO

Una compaa compra pequeos soportes metlicos en envases con 5 000 de ellos. Diezcajas llegaron a las instalaciones de desembarque, y se seleccionan al azar 250 soportes decada caja. La fraccin no conforme en cada muestra es: O, O, 0.004,0.008, 6, 0.Q20, 0.004,O, O Y 0.008. indican los datos de este embarque un control estadstico?

Se producen artculos en lotes de tamao 1 000. Se desea controlar el proceso de fabrica.cin de' estos artculos tomando muestras de tamao 64 de cada lote. Si el valor nominalde la fraccin disconforme es p = 0.10, determine los parmetros del diagrama de controladecuado. A qu nivel debe incrementarse la fraccin no conforme para que el riesgo psea jgual a 0.50? Cul es el mnimo tamao muestral necesario para tener un lmite inferiorde control positivo en este diagrama?

Se us~ un diagrama de control para el nmero de disconformes en un proceso con np= 16.0. Se toma diariamente una muestra de tamao 100 para su anlisis.

(a) Cul es la probabilidad de que un cambio en el promedio del proceso hacia np = 20.0sea detectado en el primer da despus del cambio? Qu probabilidad hay de que sedetecte el cambio por lo meno, al final del tercer da?

(b) Encuentre el menor tamao muestral que da un lmite inferior de control positivo.

\.

-

5-6

(a). Determine los lmites de control de prueba para una grfica de control de la fraccin noconforme.

(b) Si quisiera trazar un diagrama de control para controlar la produccin futura, cmo utili:zaria los datos anteriores para obtener la lnea central y los lmites de control?

Considere los siguientes datos. Qu recomendara como lnea central y como lmites de ,.control para una grfica de np, basndose en tales datos?_ .

Da Nmero de unidades disconformes

1 5

2 4

3 34 2

5 6

6 18

7 5

8 8

9 210 2

5.11 Se tiene que elaborar una grfica de control de la fraccin no conforme, con la lnea centralen p = 0.10. Qu tamao muestral se necesita para poder detectar un cambio en la frac-cin no conforme del proceso hacia 0.16, con una probabilidad de 0.50?

5.12 Se vigila un proceso mediante un diagrama de control de la fraccin no conforme, conlmites de tres sigmas, n = 100, LSC - 0.161, lnea central = 0.080 Y L1C _ O.

(a) Trace el diamgrama de control equivalente del nmero de disconformes.(b) Utilice la aproximacin de Poisson a la binomial para hallar la probabilidad de un error

tipo 1.

(c) Use la aproximacin correcta para obtener la probabilidad de un error tipo 11,si la frac-cin no conforme del proceso cambia hacia 0.2.

(d) Cul es la proeabilidad de detectar el cambio del inciso (c) para a ms tardar la cuartamuestra despus del cambio?

5.13 Se controla un proceso mediante un diagrama de control de la fraccin disconforme. Elpromedio del proceso resulta ser igual a 0.07. Se emplean limites de control de tres sigmas,y el procedimiento necesita muestras diarias de 400 artculos.

(a) Calcule los lmites superior e inferior de control.(b) Si el promedio del proceso cambiara de repente hacia 0.10, cul sera la probabilidad

de detectar el cambio en la primera' muestra subsecuente?(c) Qu probabilidad hay de que se detecte el cambio del inciso (b) en la primera o la

segunda muestra despus del cambio?

5.14 Cul es el tamao muestral necesario para producir un lmite inferior de control positivoen el diseo de un diagrama de control de la fraccin no conforme, con la lnea central enp = 0.20 Ycon lmites de control de tres sigmas? Cul es el valor de n que se necesita paratener una probabilidad de 0.50 de detectar un cambio en el proceso hacia 0.26?

! !':1

J f, 5.4 Ejercicios 143142 5Diagrari,~s de Control para Atributos"-,. -. . -:. d' ama'para controla'r la fraccin no conforme de un proceso. Diez subgrupos

Nmero de Tamao Nmero de Nmero de Tamao Nmero de

. " 5.15c> Se usa un lagr, "c' ":r". .""...... ,~, prducn los datos siguientes:

muestra muestral disconformes muestra muestral disconformes

; '.;.14'; '1'. .~ '. --,J

--- --- --- --- ---,r ~..' /' :1 ' .~. -'o;,

1 200 6 11 100 1Nmero de muestra Tamao muestral I Nmero de disconformes

2 250~ 8 12 100 O1 100 20 3 250" 9 13 100 12 100 25 4 250 v 7 14 200 ~ 43 100 35 5 200 3 15 200~ 54 100 10 6 200 4 16 200. 35 100 30 .7 150 2 17 200 106 100 5 8 150 1 18 200 47 100 45 9 150 O 19 250 78 100 20 10 150 2 20 250 69 I 100 1010 100 10

~.

1,.1

(a) Si se emplean lmites de tres sigmas, encuentre el tamao muestral para la grfica de control.(b) Utilice la aproximacin de Poisson a la binomial para obtener la probabilidad de error

tipo 1.

(e) Use la aproximacin de Poisson a la binomial para determinar la probabilidad del errortipo 11,si la fraccin defectuosa del proceso es realmente p ~ 0.20.

(a) Encuentre los lmites de control de prueba para este proceso.(b) Trace una grfica de control para vigilar la produccin futura,

LSC = 0,0609Lnea central = 0,0500

L1C ':' 0,0391

lSC = 0,0962Lnea central = 0.0500

L1C = 0.0038

Analice los datos del Ejercicio 5-19, utilizando un tamao muestral promedio,

Trace una grfica de control estandarizada para los datos del Ejercicio 5-19,

Un diagrama de control de la fraccin no conforme tiene su lnea central en 0,01, su LSC~ 0.0399, L1C - OY n ~ 100, Si se usan lmites de tres sigmas, determine el tamao mues-tral ms pequeo que producir un lmite inferior de cor.trol positivo,

Por qu el diagrama de control de np no es adecuado con un ta'mao muestral variable?

Una grfica de control de la fraccin no conforme con n ~ 400 tiene los siguientes parmetros:

(a) Encuentre la amplitud de los lmites de control en unidades de desviacin estndar,

(b) Cules sern 10'5 parmetros correspondientes de una grfica de control equivalentebasada en el nmero de disconformes?

(e) Cul es la probabilidad de que se detecte un cambio en la fraccin no conforme delproceso hacia 0,0300 en la primera muestra despus del cambio?

5.19 Se dispone de los siguientes datos de un proceso:

5.25 Un diagrama de control de la fraccin no conforme con n = 400 tiene los siguientes par-metros:

5.23

5.24

5.20

5.21

r 1if--.\p o'~ 5.22

(a) Trace un diagrama de control del nmero no conforme en muestras de n ~ 100,(b) Cul es la probabilidad, para la grfica del inciso (a), de detectar un cambio en el proce-

so de la fraccin no conforme hacia 0.30 en la primera muestra despus de la ocurrenciadel cambio?

(a) Encuentre los limites de control de tres sigmas para la grfica.

(b) Cul es la probabilidad de que un cambio en el promedio del proceso hacia 0.08 seadetectado en la primera muestra subsecuente? Cul es la probabilidad de detectar estecambio por lo menos en la cuarta muestra despus del cambio?

5.16 Un diagrama de control de la fraccin no conforme indica que el promedio actual del proce-so es 0,03. El tamao muestral de 200 unidades es consta me,

5.17 (a) Se tiene que elaborar una grfica de control del nmero de disconformes, basada en mues-tras de tamao 400. Para empezar la grfica de control se seleccionaron 30 muestras,y se determin el nmero de disconformes en cada muestra, lo que produjo L?~1DI~ 1 200, Cules son los parmetros de la grfica de np?

(b) Suponga que el promedio de la fraccin no conforme del proceso cambi hacia 0.15,Cul es la probabilidad de que se detecte el cambio en la primera muestra subsecuente?

~ Se usa un diagrama de control de la fraccin no conforme, con lnea central 0.10, LSC~ ~ 0.19 Y L1C ~ 0,01, para controlar un proceso,

lOC/

5.31 Considere el diagrama de control de la fraccin no conforme del Ejercicio 5-5. Determinela grfica de np equivalente.

5.32 Trace un diagrama de control estandarizado para 105 datos del Ejercicio 5-3.

5.33 Se contaron 105 defectos en la superficie de 25 placas rectangulares de acero. Establezcaun diagrama de control de disconformidades usando estos datos. Parece estar bajo controlestadstico el proceso de fabricacin de las placas?

Nmero de Nmero de Nmero de Nmero deplaca disconformes placa disconformes--

1 1 14 O2 O 1S 23 4 16 14 3 17 35 1 18 56 2 19 47 5 20 68 O 21 39 2 22 1

10 1 23 O11 1 24 212 O 25 413 8


(a) Determine la amplitud de 105 limites de control en unidades de desviacin estndar.(b) Suponga que la fraccin no conforme del proceso cambia hacia 0.15. Qu probabilidad

hay de detectar el cambio en la pFimera muestra subsecuente?

5.26 Se tiene que elaborar una grfica de control de la fraccin no conforme con lnea centralen 0.01 y limites de control de dos sigmas.

(a) Cun grande tendra que ser el tamao muestral para que el limite inferior. de controlfuera diferente de cero?

(b) Qu tan grande tendra que ser el tamao muestral si quisiramos tener una probabili-dad de 0.50 de detectar un cambio hacia 0.04?

5.27 Se usa el siguiente diagrama de control de la fraccin no conforme con n ~ 100 para vigilarun proceso:

LSC = 0.0750. Lnea central = 0.0400

L1C = 0.0050

(a) Utilice la aproximacin de Poisson a la binomial para encontrar la probabilidad de unerror tipo 1.

(b) Use la aproximacin de Poisson a la binomial para obtener la probabilidad de un error'tipo 11,si la verdadera fraccin disconforme del proceso es 0.0600.

(c) Trace la curva CO para este diagrama de control.

5.28 Se controla un proceso mediante un diagrama de la fraccin no conforme, usando un tama-o muestral n ~ 100 Y una linea central p - 0.02.

(a) Determine 105 lmites de tres sigmas para este diagrama.(b) Analice 105diez nuevos subgrupos (n - 100) que se presentan a continuacin para un .

control estadstico. Qu conclusiones puede hacer ahora acerca del proceso?

-r~5.4 Ejercicios 145

Una fbrica de papel utiliza un diagrama de control para vigilar 105defectos en rollos depapel termnados. Se inspecciona la salida de la produccin durante 20 das, y 105 datosresultantes se muestran a continuacin. Use estos datos para establecer un diagrama decontrol de disconformidades por rollo de papel. Parece estar bajo control estadstico el pro-ceso? Qu lnea central y qu lmites recomendara para controlar el proceso actual?

5.34

'-sr

Nmero de Nmero derollos Nmero total de rollos Nmero total de

Da producidos defectos Da producidos defectos- --- - --- --1 18 12 11 18 82 18 14 12 18 143 24 20 13 18 94 22 18 14 20 105 22 15 15 20 146 22 12 16 20 137 20 11 17 24 168 20 15 18 24 189 20 12 19 22 20

10 20 10 20 21 17{ ..j,j !'l

5

23

8

4

1

26

34

Nmero de disconformes

1

23

4

5

67

8

9

10

Nmero de subgrupo

Considere una grfica de np con lmites de control de k sigmas. Obtenga una frmula gene-ral para determinar el mnimo tamao muestral que asegura un lmite inferior de control~positivo para la grfica.

Considere el diagrama de control de la fraccin no conforme del Ejercicio 5.4. Obtenga la,;grfica de np equivalente.

5.4 Ejercicios 147

5.38 Considere los datos del Ejercicio 5.36. Suponga que se define una nueva unidad de inspec-cin de 2 500 m de cable.

(a) Cules son la lnea central y los limites de control para un diagrama de control, basadoen el nmero total de disconformidades en la nueva unidad de inspeccin, para vigilarla produccin futura?

Cules son la lnea central y los lmites de control para una grfica de control de discon-formidades por unidad que se utilizar para vigilar la produccin futura?

5.39 Un fabricante de automviles quiere controlar el nmero de disconformidades en un reade montaje parcial que produce transmisiones manuales. Se define la unidad de inspeccincomo cuatro transmisiones, y los datos de 16 muestras (de tamao 4 cada una), se presentana continuacin.

Nmero demuestra


Nmero demuestra


--

5.37 Considere los datos del Ejercicio 5-35. Suponga que se desea definir una nueva unidad deinspeccin de cuatro grabadoras de casetes. - -;--.,

(a) Cules son la linea central y los lmites de control para un diagrama de control, basadoen el nmero total de defectos en la nueva unidad de inspeccin, para vigilar la produc'cin futura?

(b) Cules son la lnea central y los limites de control para una grfica de control de no.conformidades por unidad, usada para vigilar la produccin futura?

1 2 9 22 4 10 13 3 11 34 1 12 45 O 13 16 2 14 57 1 15 28 8 16 3

(a) Obtenga una grfica de control de disconformidades por unidad.lb) Provienen estos datos de un proceso bajo control? Si no es as, suponga que se pueden

encontrar causas atribuibles para todos los puntos fuera de control, y calcule los parme-tros revisados del diagrama de control.

Ic) Suponga que se vuelve a definir la unidad de inspeccin, ahora como de ocho transmi.siones. Disee una grfica de control apropiada para vigilar la produccin futura.

5.40 Encuentre los lmites de control de tres sigmas para:

(a) Una grfica de c, con el promedio del proceso igual a cuatro disconformidades.(b) Una grfica de u con c - 4 Y n ~ 4.

5.41 Determne los lmites probabilsticos de 0.900 y 0.100 para una grfica de c, cuando elpromedio del proceso es igual a 16 disconformidades.

5.42 Obtenga los lmites de control de tres sigmas para:

(a) Un diagrama de c, con el promedio del proceso igual a nueve disconformidades.(b) Un diagrama de u, con c ~ 16 Y n ~ 4.

5.43 Encuentre los lmites probabilsticos de 0.980 y 0.020 para una grfica de control de discon.formidades por unidad, cuando u - 6.0 Y n - 3.

5.44 Determine los lmites probabilsticos de 0.980 y 0.020 para una grfica de control de dis-conformidades, cuando c ~ 7.6.

5 Diagramas de Control. para Atributos

(a) Halle los lmites de control de dos sigmas y comprelos con los lmites encontrados enel inciso (a) del Ejercicio 5-51.

(b) Determine el riesgo a para el diagrama de control con los lmites de control de dossigmas y comprelo con el resultado del inciso (b) del Ejercicio 5-51.

(e) Obtenga el riesgo ~ para c = 6.0 es el caso del diagrama con lmites de control de dossigmas, y comprelo con el resultado del inciso (c) del Ejercicio 5-51.

se desea obtener un diagrama de control de disconformidades conjuntamente con la inspec-cin final de un radio. La unidad de inspeccin ha de ser un grupo de cuatro radios. Elpromedio del nmero de las disconformidades por radio ha sido, en lo pasado, igual a cua-tro. Encuentre los lmites de control de tres sigmas para una grfica de c, basados en estetamao de la unidad de inspeccin.

Se utiliza una grfica de control de disconformidades para un proceso en el que se fabricancalculadoras de mesa. Se define la unidad de inspeccin corno dos calculadoras. Se estimaen ocho el nmero medio de disconformidades por mquina, cuando el proceso est bajocontrol.

(a) Determine los lmites de control de tres sigmas apropiados para este tamao de la unidadde inspeccin.

(b) Cul es la probabilidad del error tipo I para este diagrama de control?

149

En una lnea de produccin se arman relojes elctricos. Se estima en cuatro el nmero me-dio de disconformidades por reloj. El ingeniero de calidad desea establecer un diagrama dec para esta operacin, utilizando una unidad de inspeccin de seis relojes. Halle los lmitesde tres sigmas para este diagrama.

Suponga que se quiere disear un diagrama de control de disconformidades por unidad, conlmites de k sgmas. Obtenga el tamao muestral ms pequeo que conduce a un lmite infe-rior de control positivo.

(b) Cul es el riesgo a para esta grfica de control?

(e) Cul ser el riesgo ~ si el nmero medio de defedos es realmente del (es decir, si c = 6.0)?

c::.5.52 Considere la situacin descrita en el Ejercicio 5-51.

5.53

5.54

5.55

5.56

5.4 Ejercicios

/ \

Nmero de subensambles Nmero totalDa inspeccionados de disconformidades-1 2 102 4 303 2 184 1 105 3 20

(a) Encuentre el LSC.

(b) Cul es la probabilidad del error tipo I si se supone que el proceso est fuera de controlnicamente cuando dos puntos consecutivos caen fuera de los lmites de control?

Una fbrica de textiles quiere establecer un procedimiento de control para los defectos enlas toallas que produce. Utilizando una unidad de inspeccin de 50 piezas, los datos de las'-", ~inspecciones anteriores muestran que 100 unidades de inspeccin contenan un total de850 defectos. Qu tipo de diagrama de control es apropiado? Disee la grfica de controlde manera que tenga lmites probabilsticos bilaterales de a = 0.06, aproximadamente. Ob-tenga la lnea central y los lmites de control.

Un fabricante'quiere establecer un diagrama de control para la estacin de inspeccin final.de un calentador de gas para agua. Se verifican los defectos en la fabricacin y calidad de'aspecto. Para los ltimos 22 das laborales, se revisaron 176 calentadores y se informaron924 disconformidades.

(a) Qu tipo de grfica de control recomendara en este caso, y cmo la utilizara?(b) Utilizando dos calentadores como unidad de inspeccin, calcule la lnea central y los

lmites de control congruentes con los datos de inspeccin de los 22 das.(c) Cul es la probabilidad del error tipo I para la grfica de control del inciso (b)?

Despus del montaje, se someten a una inspeccin final televisores porttiles para detectardefectos en la superficie. Se establece un procedimiento de control, basado en el requisitode que la probabilidad de concluir que el proceso est bajo control es de 0.99, si el prome-dio del nmero de disconformidades por unidad es 8.0. No debe haber un lmite inferiorde control. Cul es el tipo apropiado de diagrama de control, y cul el lmite superior decontrol? - ... 'I~-'

Se tiene que elaborar un diagrama de control para un proceso en el que se fabrican refrigera.-dores. La unidad de inspeccin es un refrigerador, y se quiere utilizar una grfica de control _de disconformidades. En la inspeccin de 30 refrigeradores se encontraron 360 no confor.~.midades, como datos preliminares.

(a) Cules san los lmites de control de tres sigmas?

5.45 En un diagrama de control de disconformidades por unidad se usan los lmites probabilsti_cos de 0.95 y 0.05. La lnea central se encuentra en u = 1.4. Determine los lmites decontrol si el tamao muestral es n = 10.

5.46 El nmero de disconformidades observadas en la inspeccin final de montajes parciales escomo sigue. Parece estar bajo control el proceso?

5.47 Se tiene que trazar una grfica de control de disconformidades con c = 2.0, L1C = O Y unLSC tal que la probabilidad de ubicar un punto fuera de los lmites de control sea de slo0.005 cuando c ~ 2.0.

5.50

5.48

GG-74

5.51

~r~Y,

148

T Captulo 6Diagramas de Control deVariables

6.1 INTRODUCCiN

't.

i..~

Muchas caractersticas de calidad se pueden expresar en trminos de una medida numrica. Porejemplo, podra medirse el dimetro de un cojinete con un micrmetro y expresarse en milme-tros. Una caracterstica de calidad medible, como dimensin, peso o volumen, se llama variable.Los diagramas de control para variables se usan ampliamente. Suelen permitir el uso procedimientosde control ms eficientes, y proporcionan ms informacin respecto al rendimiento del procesoque 10'5' diagramas de control de atributos.

Cuando se trata con una caracterstica de calidad que es una variable, es una prctica estn-dar controlar el valor medio de la caracterstica de calidad y su variabilidad. El control de la mediadel proceso, o del nivel de calidad promedio, suele ejercerse con el diagrama de control de me-dias, o diagrama de X. Es posible controlar la variabilidad o dispersin del proceso medianteun diagrama de control de la desviacin estndar, llamado diagrama de S, o con un diagramade control de la amplitud, llamado diagrama de R. Este ltimo es ms usado. Por lo general seutilizan diagramas de x y de R por separado para cada caracterstica de calidad que interese(sin embargo, si dichas caractersticas estn estrechamente relacionadas, esto puede llevar a vecesa resultados errneos; vase la Seccin 7-4). Los diagramas de x y de R (o S) se hallan entre lasms importantes y tiles tcnicas de controlestadstico de procesos en lnea.

Ntese que es importante mantener el control de la media del proceso y su variabilidad. Enla Fig. 6-1 se ilustra el rendimienio de un proceso de fabricacin. En la Fig. 6-1a, la media/L yla desviacin estndar u estn bajo controlen sus valores nominales (digamos /Lo YUo); por consi-guiente, la mayor parte de la salida del proceso cae dentro de los lmites de especificacin. Sinembargo, en la Fig. 6- 1b la media se transform en un valor /Ll > /Lo, lo que genera una mayorfraccin de productos disconformes. En la Fig. 6-1 c, la desviacin estndar del proceso cambia un valorlr1 >

153

(6-2)

(6-3)

(6-4)R

0=-d2

= x1 + x2 + ... + xmx=------m

- R +R + ... +RR = 12mm

6.2 Diagramas de Control de x y R

De modo que se utilizara x como la linea central del diagrama X.Para fijar los lmites de control se necesita un estimador de la desviacin estndar . Es posi-

ble evaluar. a partir de las desviaciones estndares o de las amplitudes de las m muestras. Porel momento nos concentraremos en el mtodo de la amplitud. Si xl' x

2, , \ es una muestra

de tamao n, la amplitud R de la muestra es la diferencia entre la mayor y menor observa-ciones; o sea,

n Eficiencia relativa

";: ..R=x.-x.max mm

En la prctica, habitualmente se desconocen JL y (J. Por lo tanto, hay que estimarlas a partirde muestras preliminares, tomadas cuando se considera que el proceso est bajo control. Estasestimaciones suelen basarse en por lo menos 20 a 25 muestras. Supongamos que se dispone dem muestras, cada una con n observaciones de la caracterstica de calidad. Por lo general n serpequeo, muchas veces igual a 4, 5 o 6. Estos tamaos muestrales pequeos resultan de la cons-truccin de subgrupos racionales, y del hecho de que los costos de muestreo e inspeccin asocia-dos a mediciones de variables, son, por lo regular, relativamente altos. Sean xl' x

2, ... , x

mlas

medias de las muestras. Entonces, el mejor estimador de JL, la media del proceso, es el "granpromedio" o promedio agregado, digamos .

2 1. flo (e) Desvia-cin estndar del proceso "1 >"0

(JJL + Z./t'x = JL + Z./2 {

(J

JL - Z./t'x = JL - Z./2 {

"limitesuperior de

especificacin

lmitesuperior de

espeCificacin

1'0

(a)

1'0

(e)

6 Diagramas de Control de Variables

y se sabe que x tiene distriqucin normal, con media JL y desviacin estndar a, = al I.ms la probabilidad de que cualquier media muestral se halla entre

y

Limiteinferior de

especificacin

Limiteinferior de

especificacin

152

es , -a. Por lo tanto, si se conocen JL y (J se podran utilizar las ecuaciones (6-' a) y (6-' b) comolmites superior e inferior de control en un diagrama de control para medias muestrales. Co-mo se hzo notar antes, se acostumbra reemplazarZ./2Por 3, de manera que se usan lmites detres sigmas. Si una media muestral cae fuera de estos limites, ello indica que la media del

--------y-a-nc} es~"gual a }.L.Se ha supuesto aqu que la distribucin de la caracterstica de calidad es normal. Sin

go, los resultados anteriores son aproximadamente correctos aunque la dstribucin subyacenteno sea normal, por el teorema central de lmite. En la Seccin 6-2.5 se analizar el efecto desuposicin de normalidad en as grficas de control de variables.

r::~'1S4 6 Diagramas de Control de Variables 6.2 Diagramas de Cor.tiui de x y R 155En el caso de valores moderados eJen, digamos n ~ 10, la amplitud pierde rpidamente su efi-ciencia pues no tom.a en cuenta toda la informacin en la muestra, entre Xma' y xmn. Sin embar_gO,para los valores pequeos de los tamaosmuestrales que se usan a menudo en los diagramasde control de variables (n ~ 4, 5, o 6), es del todo' satisfactorio.

Si se utiliza x como un estimador de ia, y Rldl como un estimador de a, los parmetrosdel diagrama de Ji son

Por lo tanto, los parmetros del diagrama de R, con los lmites de control de tres sigmas habitua-les, son

3 -LSC = x+ dl R

Lnea central = x (6-S)

- - RLSC = R +30R = R +3d3d

1

Lnea central = R- - R

L1C = R -30R = R -3d3d1

Si se toma

(6-9)

es una constante que depende nicamente del tamao muestral y, por lo tanto, es posible volver" expresar (6-5) como

(6-10)

d30=1 - 3-d3 2

d304 = 1 + 3d1

LSC = R04Lnea central = R

L1C = R03

y

pueden redefinirse los parmetros de la grfica de R como

6.2.2 Desarrollo y Uso de los Diagramas de x R

Las constantes DJ y 04 se dan en la Tabla VI del Apndice para varios valores de n.Cuando se Usan muestras preliminares para construir los diagramas de Ji y de R, se acos-

tumbra tratar los lmites de control como valores de prueba. Luego se grafican los valores mediosy las ampltudes de la muestra m en los diagramas, y se investiga cualquier punto que caiga fuerade los lmites de control. En caso de que puedan hallarse causas atribuibles para tales puntos,stos se descartan y se determinan nuevos lmites de control de prueba.

En la seccin anterior se presentaron las bases estads5icas para los diagramas de control de Ji y R.Se ilustra ahora la construccin y la aplicacin de estos diagramas. Tambin se examinarn algu-nas directrices para su uso la prctica.

(6-7)

(6-6)

3 -= _.- RL1C = x - dl

3Al = dl

UCL = x + AzI?Lnea central = x

LCL = x - AlR

R= Wo

Se observa que la cantidad

Ja desviacin estndar de R es.

La constante Al se encuentra tabulada en la Tabla VI del Apndice para distintos tamaos mues-trales.

Se vio que la amplitud muestral est relacionada con la desviacin estndar del proceso. Porconsiguiente, la variabilidad del proceso puede controlarse representando los valores de R de mues-tras sucesivas en un diagrama de control, el cual se llama diagrama de R. Es posible determinarcon facilidad los parmetros de dicho diagrama. La lnea central corresponder a R. Para ob-tener los lmites de control se necesita un estimador de aR Suponiendo que la caracterstica decalidad est distribuida normalmente, puede encontrarse aR a partir de la distribucin de la am-plitud relativa W = R/a. La desviacin estndar de W, digamos d3, es una funcin conocida dtn. As, puesto que

0R = d,o

Como se.desconoce 0, es posible estimar 0R :con

RR = d3 d

l

__ t~

(6-8)

-,

Ejemplo 6.1

'Se fabrican anillos de pistn para motor de automvil mediante un proceso de forjado. Sedesea controlar ste por medio de diagramas de Ji y de R. Se tomaron 25 muestras de

',A

j

'-1'

'1-1.' .J-':1

'.-";1!-~-,'

157

Nmero de muestra

Figura 6-2. Diagrama de R para el Ejemplo 6-1.

o

0.05 I LSC=0.049

0.06

0.01

0.02

R

y

El diagrama de R se presenta en la Figura 6-2. Cuando se grafican las 25 amplitudes en estediagrama no hay indicios de una condicin fuera de control.

Como el diagrama de R indica que la variabilidad del proceso est bajo control, puedetrazarse ahora el diagrama de X. la lnea central es

2S

LXx = ;=1 = 1850.024 = 74001

25 25 .

L1C = x - AR = 74.001 - (0.577)(0.023) = 73.988

LSC = x + A2R = 74.001 +(0.577)(0.023) = 74.014

Con el fin de determinar los lmites de control del diagrama de Ji se utiliza A =0.577de la Tabla VI del Apndice para muestras de tamao n ~ 5, Y la ecuacin (6-7), lo que da

En la Figura 6-3 se presenta el diagrama de Ji. No se observa indicio alguno de una con-dicin fuera de control cuando se grafican las medias muestra/es preliminares en este diagra-ma. Por consiguiente, se concluye que el proceso est controlado a los niveles establecidos, yaque ambos diagramas indican, y se adoptan los lmites de control de prueba para utilizarlosen el control en lnea del proceso.

Los diagramas de Ji y R proporcionan informacin sobre la capacidad de funciona-miento del proceso. Con el diagrama de Ji se puede estimar el dimetr9 medio de los anillos

6.2 Diagramas de Control de x y R

Tabla 6-1 Datos acerca de los anillos de pistn forjados, Ejemplo 6-1

Nmero demuestra Observaciones ~j R

1 74.030 74.002 74.019 73.992 74.008 74.010 0.0382 73.995 73.992 74.001 74.011 74.004 74.001 0.0193 73.988 74.024 74.021 74.005 74.002 74.008 0.0364 74.002 73.996 73.993 74.015 74.009 74.003 0.0225 73.992 74.007 74.015 73.989 74.014 74.003 0.0266 74.009 73.994 73.997 73.985 73.993 73.996 0.0247 73.995 74.006 73.994 74.000 74.005 74.000 0.0128 73.985 74.003 73.993 74.015 73.988 73.997 0.0309 74.008 73.995 74.009 74.005 74.004 74.004 0.014

10 73.998 74.000 73.990 74.00

g y g

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