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Fundamentos Matemáticos
Semana 6 - Clase 1
Plano cartesiano
Distancia entre dos puntos y punto medio.
Pendiente y ecuación de la recta.
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Las noticias nos proporcionan información sobre el huracán Claudius. El huracán se encuentra cerca de la intersección de la línea vertical que indica los 91o de longitud y la línea horizontal que señala los 25o de latitud. Este punto se puede identificar asignándole un par ordenado de números, conocidos como coordenadas, que muestran primero la longitud y después la latitud.
De este modo, el huracán Claudius tendría las coordenadas: (91; 25).
91: es la longitud (unidades a la derecha o a la izquierda)
25: es la latitud (unidades hacia arriba o hacia abajo)
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3
2
1
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
b
a
-
-
Sistema coordenado rectangular
X
Y
a: abscisa de Pb: ordenada de P
P(a,b)..( + , + ).( - , + )
.( - , - )
.( + , - )
II
III IV
I
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Ejemplo
Ubique cada uno de los puntos siguientes en el plano cartesiano:
A(0; -2), B(10; 0), C(3; -2); D( 3 ; 5),
E(-1,5; 2)
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Ejemplo:
• Si a y b son números reales tales que: a>0 y b<0, determine a que cuadrante pertenecen los siguientes puntos:
1. P (a; b)2. Q (b; -a)3. R (-a; a)4. S (-a;-b)
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Distancia entre dos puntos
x
y
.
.P1
P2
y1
y2
a
d(P1, P2) = |y1 - y2|
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Ejemplo:
• Determinar la distancia entre el punto F = ( 2 ; 5 ) y el punto M = ( 2 ; - 3 )
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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
x
y
x1 x2
b ..P1 P2
d(P1, P2) = | x1 - x2 |
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Ejemplo:
Determinar la distancia entre el punto P = ( 3 ; 17 ) y el punto Q = ( 17 ;17)
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Distancia entre dos puntos
x
y
.P1
.P2
x1 x2
y2
y1 |x2 - x1 |
|y2 - y1 |
d(P1, P2) = ( ) ( )x x y y1 22
1 22
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Ejemplo:
• Determinar la distancia entre el punto M = ( 4,7 ; - 5,2 ) y el punto F = ( - 1,3 ; 2,8 )
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Fórmula de punto medio de un segmento
x
y
x1 x2
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
.M(x,y)
xx1 + x2
2
M = (---------, ---------)y1 + y2
2
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Ejemplo:
Determinar el punto medio de los siguientes segmentos:
1.( 2 ; 7 ) y ( - 2 ; 4 )2.( - 3,14 ; 1,42 ) y ( 3,14 ; - 1,42 )3.( 0,75 ; 1,72 ) y ( 0,25 ; - 6 )
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¿Qué significan estas señales de tránsito?
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L1
L2
0 x
yPendiente de una recta l
• ¿Cuál de las rectas está más inclinada?
• ¿Cómo medimos esa inclinación?
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La pendiente m de la recta l es:La pendiente m de la recta l es:
Cambio en y yCambio en x xm = =
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Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).
y2 - y1
x2 - x1
m =
Cálculo de la pendiente de una recta
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0 x
y
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
x=x2 - x1
y=y2 - y1
y2 - y1
x2 - x1m =
Cálculo de la pendiente de una recta
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Ejemplos• Ubique los puntos en el plano y determine la
pendiente de estos segmentos:1. A(-6; 1) y B(1; 2)
2. C(-1; 4) y D(3; 1)
3. E(4; 2) y F(6; 2)
4. G(2; 1) y H(2; -3)
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mAB = 1/7
mCD = -3/4
mEF = 0
mGH = ¿?
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Conclusiones
1. Si m>0 la recta l es creciente
2. Si m<0 la recta l es decreciente
3. Toda recta horizontal tiene m = 0
4. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.
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La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x1, y1) es:
(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)
X
Y
Ecuación de la recta 1.
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La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:
by = mx + b
X
Y
Ecuación de la recta 2.
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Ecuación de la recta 3.
• ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
• La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By = C, es una recta,
• y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal:Ax + By = C
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m1 = m2
Rectas paralelas
• Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma pendiente.
• Es decir:
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m1 . m2 = -1
Rectas perpendiculares
• Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
• Es decir:
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recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b
recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a
b
a
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Determinar la ecuación de las rectas bajo las siguientes condiciones:
A. Conociendo dos puntos de paso.
1. A (-2,4) ; B(3; 7)
2. A(-4;-6) ; B(6; 8)
B. Conociendo un punto y su pendiente.
1. A(5, -3) y m = -2
2. A(-1, 8) y m = 3
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Grafica de una recta
• Graficar las rectas determinadas anteriormente
Sugerencia:
Encontrar los puntos de intersección con los ejes coordenados y unirlos.
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Interceptos con los ejesInterceptos con los ejesInterceptos con los ejesInterceptos con los ejes
• Los puntos de intersección de la gráfica de una ecuación con los ejes coordenados X e Y son:
Con eje X: (a, 0)Se obtiene haciendo y = 0Con eje Y: (0, b)Se obtiene haciendo x = 0
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4xyc)
y4b)
32xya)
x
Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:
Dibujar las siguientes gráficas dando los interceptos con los ejesDibujar las siguientes gráficas dando los interceptos con los ejes
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Tarea
(¡¡recuerden este jueves es el CC4!!)
Ej. I y II Pág. 87.
*Revisaremos el jueves la PC2