fundamentos de mecánica de fluidos
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Equilibrio termodinámico local
La hipótesis de equilibrio termodinámico local establece que las transformaciones se producen en equilibrio termodinámico, siendo muy graduales y reversibles. Se puede aceptar como válida a escala local, pero a escala macroscópica la acumulación de pequeños errores produce una desviación bastante considerable.
Sólo son necesarias dos variables termodinámicas independientes e intensivas para determinar el estado termodinámico de un “punto gordo ” (variables asociadas a ESE punto gordo).
Presión p [ Nm ²
] o [Pa] 1 bar = 105 Pa
Densidad ρ [ Kgm ³
] volumen másico 1ρ = V [
m ³Kg
]
Energía interna e [JKg
]
Entalpía h [JKg
] h = e + pρ
Primer principio de la termodinámica:
La variación de energía interna de un punto gordo equivale a la variación de calor y trabajo del punto gordo
Siendo dw = -p·d 1ρ Trabajo por compresión (Único trabajo intercambiado)
Segundo principio de la termodinámica:
Teniendo en cuenta que los puntos gordos están en equilibrio termodinámico con los adyacentes
La variación de entropía por la temperatura será igual a la variación de calor, y escrito de otra forma:
Variación de densidad:
de = d’q + dw
Tds = d’q
Tds = de + p·d
1ρ
Vamos a aceptar ciertas hipótesis como “aproximadas” para el punto gordo, las cuales nos reducirán considerablemente los cálculos.
Fluido Líquido perfecto
ρ = cte
Cv = Cp = C = cte
e = CvT = CT Tds = de = CdT
s – so = C ln |T/To| Por lo que si no varía la temperatura no
varía le entropía.
Fluido Gas perfecto
P=ρ Rg T Rg ≡ Constante del gas perfecto 8.314J
mol K
Cinemática de los fluidos
Formas de estudio:
-Método de Lagrange -Expresión de Euler
Esta será la forma que usaremos para estudiar la cinemática fluida
Configuraciones especiales:
-Régimen estacionario: La velocidad no depende del tiempo sino de la posición.
v=v(x)
-Movimientos planos: (bidimensionales) La componente z no tiene cabida
- Movimientos axilsimétricos: en coordenadas cilíndricas, no hay velocidades en la dirección
θ
Definición eulariana de trayectoria:
No se seguirá la pista a un único punto gordo sino a un conjunto de ellos: líneas, superficies y volúmenes fluidos.
-Linea fluida: Conjunto de puntos gordos fluidos que se mueven en línea al son del conjunto del fluido y de la corriente que la transporta. Puede parametrizarse y definirse mediante una λ, o sin parámetros de forma implícita F(x, t)=0
-Superficie fluida: Generalización cuando lo que estudiamos es una superficie.
-Volumen fluido: Idem, con volumen.
Las líneas y superficies fluidas se mantienen conexas si el campo de velocidades no presenta ninguna singularidad (un trozo de algo en medio de la corriente), nosotros nunca vamos a considerar singularidades.
Nuestros sistemas fluidos
siempre serán por lo general un volumen fluido que llamaremos Volumen de control encerrado con una superficie fluida que delimitará dicho volumen de control.
Línea de corriente instantánea:
Las líneas de corriente instantáneas ilustran la tendencia de cada punto de seguir al punto inmediatamente anterior a él. Es una forma de hacerse a la idea de cómo va el movimiento EN ESE INSTANTE DE t, puede que al instante posterior haya variado.
Es especialmente útil en régimen estacionario.
Se pueden expresar también en forma de superficies y tubos de corriente formados por líneas de corriente.
NUNCA se cruzan 2 lineas de corriente a no ser que sea un punto de velocidad nula.
Traza de corriente instantánea
La traza describe la situación en la que en un instante t’ < t la partícula fluida P ha pasado por la posición Nuevamente se trata de una situación válida SÓLO para el instante de tiempo t.
Diferencia entre trayectoria y línea de corriente
Magnitud cualquiera
Vamos a calcular (nunca mejor dicho) la
“diferencia” entre las magnitudes en coordenadas cartesianas
dx = udt dy = vdt dz= wdt
Derivada sustancial
La derivada sustancial mide lo que varía cierta magnitud por unidad de tiempo y espacio
Si llamamos
Variación sustancial de magnitudes:
-Aceleración (derivada sustancial de la velocidad)
-Superficies fluidas
La derivada sustancial de la superficie fluida sería:
La derivada sustancial de la superficie fluida para toda superficie fluida es NULA
Ejemplo: Globo esférico
Flujo convectivo
-Consideramos una magnitud medida en [JKg ]
-dΩ pequeño trozo de volumen ρdΩ masa ΦρdΩ energía
-Consideramos una superficie ∑ por la que atraviesa la masa fluida
El volumen del cilindro que se ha generado sería:
El flujo convectivo de la propiedad Φ a través de la superficie ∑ sería:
Las superficies de control ∑ deben ser lo más colineales posible con la corriente de fluido, cuanto
más cercana
esté
de
Cinemática Local
Analicemos la diferencia:
Cogemos un cubito infinitesimal
-Dilataciones:
Una divergencia tal que = 0.03 s-1 significa que el volumen aumenta un 3% cada segundo. Algo que se dilatase a un 1% de LONGITUD por segundo aumentaría su área total un 2% por segundo y su volumen total un 3% por segundo.
-Dislocaciones:
Tomamos el valor de la semisuma de los ángulos de las caras del octaedro para representar la deformación (En el caso de que ambas α1,2 y α2,1
sean parecidas).
En el caso de que una de las alfas sea mucho mayor que la otra:
Con todo esto
podemos decir finalmente:
Tipos de campos fluidos:
-Dilatación pura:
-Deformación pura:
Sin cambio de volumen
Sin rotación
-Rotación pura:
Todos los campos fluidos pueden desarrollarse como una combinación de dilatación, deformación y rotación pura. Puesto todo en una misma expresión:
Variación de volumen fluido:
Fuerzas en 3D:
-Fuerza másica fm Fm
[ NKg
= ms-2]
gravedad
-Fuerza volumétrica fv Fvol
[ N
m3]
Fuerza electromagnética (volumétrica)
fe = ρe·E + J ᴧ B
Fuerzas másicas asociadas al sistema de coordenadas:
La fuerza másica asociada será:
Nosotros sólo vamos a tener en consideración las dos primeras, ARRASTRE y CENTRÍFUGA las demás sólo se considerarán en problemas a escala astronómica (que no vamos a ver)
-Fuerzas de superficie (2D):
Son fuerzas de contacto
-Simplificaciones:
Superficie diferencial m=0
Superficie ABC
Se mide en N
m2 Pa
Cubo de dimensiones muy pequeñas
Para el caso del reposo (Problema trivial) No hay esfuerzos cortantes
→El tensor de esfuerzos es una matriz diagonal negativa (reposo)
En otro caso es simétrica
Fluidostática:
La fluidostática se encarga del estudio de los fluidos en reposo.
Puede haber estratificaciones, pero no pueden variar con el tiempo.
Cantidad de movimiento en fluidostática:
Para que no haya movimiento se tiene que ejercer la misma presión en todas direcciones.
Paso a derivadas parciales porque la variación con respecto al tiempo se produce SIN variación de x
La presión crecerá hacia donde crece la fuerza
Ejemplos:
FS
CCM
Condición necesaria pero no suficiente. Con esto podemos afirmar que la fuerza másica es COMPATIBLE con el reposo.
Las fuerzas másicas que derivan de potencial cumplen esta condición.
El potencial gravitatorio sería:
El potencial de arrastre sería:
IMPORTANTE: La U tiene siempre valor negativo
Conservación de la cantidad de movimiento para fuerzas que derivan de potencial:
También es una superficie U=cte, ISOPOTENCIAL y ρ=cte, ISOCORA.
El fluido está estratificado, organizado en capas isóbaras, isopotenciales e isocoras.
La presión, el potencial y la densidad sobrellevan una relación biunívoca
Se usa para aproximar comportamientos “no exactamente” fluidostáticos con esta ecuación.
En el caso de que el fluido sea un líquido: