6. Fundamentos de la teora especial de la relatividadPor relatividad se entiende la apariencia que presenta la naturaleza a un observador y su relacin que presenta la naturaleza ante otro observador, que puede estar en movimiento con respecto al primero. Segn el principio clsico de la relatividad, todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante. La teora Especial de la Relatividad esta relacionada con todos los movimientos relativos que se efectan con velocidad constante y si la velocidad no es constante, es decir es acelerado, estamos en el campo de la Teora General de la Relatividad.6.1 TRANSFORMADAS GALILEANAS DE COORDENADASLlamaremos sistema de referencia inercial a un sistema en donde se verifican las leyes de Newton de la mecnica y todas las leyes del electromagnetismo. En un sistema de referencia un evento fsico (suceso que se realiza en el tiempo y en el espacio, es decir donde y cuando) A tiene coordenadas en el tiempo . Un observador situado en el otro sistema inercial que se mueve con velocidad constante en la direccin , encontrara que el mismo evento ocurre en el tiempo y tiene coordenadas . Se desea obtener como estn relacionadas las medidas con las .

Figura 6.2 El sistema se desplaza con respecto al sistema con velocidad constante a lo largo del eje Figura 6.1 En el origen de coordenadas los dos sistemas de referencia coinciden en

En el origen de coordenadas los dos sistemas de coordenadas coinciden en los tiempos . De los sistemas de coordenadas se observa que:

A estas relaciones de denominan transformadas galileanas de coordenadas.6.2 TRANSFORMADAS GALILEANAS DE VELOCIDADSi el evento fsico en A, que puede ser una partcula, se mueve en la direccin x en un tiempo, podemos deducir las velocidades clsicas derivando con respecto al tiempo las relaciones (6.1):

Obtenindose (6.2)Estas son las llamadas transformadas clsicas de velocidadesEsta transformacin indica que si A es una seal luminosa, la velocidad de la luz medida en los dos sistemas ser diferente. La ecuacin (6.2) tomara la forma:

Muchos experimentos demuestran que la velocidad de la luz es siempre la misma en todas las direcciones e independientemente del movimiento uniforme del observador y la fuente, estas pruebas afirman que c.Por lo tanto, las ecuaciones (6.1) y (6.2) no pueden ser exactamente correctas a pesar de nuestra convincente deduccin y es necesario modificarlas para que estn de acuerdo a los resultados experimentales. Esta modificacin se basa en la idea de suponer que los sistemas de referencia y emplean la misma escala de tiempo enunciada por . Esta suposicin no es correcta y los dos observadores deben tener escalas de tiempo diferentes.Las transformaciones galileanas son vlidas para velocidades inferiores a la velocidad de la luz c.

Ejemplo 6.1

Una estacin de radar fijada a la Tierra rastrea dos naves cohete muy rpidas que se aproximan una a la otra a velocidades de y , respectivamente. Segn las transformaciones Galileanas Cul es la velocidad con que se aproximan entre si las dos naves segn un astronauta situado en una de ellas?Solucin:

Con esto se confirma lo afirmado anteriormente, es decir que no se pueden obtener velocidades superiores a la de la luz.

6.3 INVARIANCIA DE LAS LEYES DE NEWTONConsideremos una partcula de masa con velocidades y vista desde los marcos de referencia y , respectivamente, y es la velocidad constante con que se mueve con respecto a . Por lo tanto, de acuerdo con la ecuacin (6.2):

Derivando respecto al tiempo, se transforma en:

y as y las fuerzas sern entonces:

Son las mismas en cada sistema. Por lo tanto, la segunda ley de Newton de la mecnica es invariable para todos los marcos de referencia inercial.6.4 INVARIANCIA DE LA CONSERVACIN DEL MOMENTO LINEALFigura 6.3 El momento lineal total de las partculas y es invariable cuando se transforma al sistema

En la Figura 6.3, las dos partculas de masas y forman un sistema aislado sin fuerzas externas. Sea un marco de referencia inercial y otro que se mueve con respecto a con velocidad constante . Para el sistema , la ley de conservacin del momento lineal establece que:

donde y son las velocidades de y respectivamente.Ahora sea y las velocidades respectivas de las mismas dos partculas con respecto a . De acuerdo con las transformaciones de Galileo:

Sustituyendo en la ecuacin (6.3), tenemos:

Finalmente, (6.4) Comparando las ecuaciones (6.3) y (6.4) se observa que la conservacin del momento lineal permanece invariante para todos los sistemas inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante.6.5 EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEYEn 1887 Albert Michelson y Walter Morley idearon y ejecutaron un experimento para probar la naturaleza luminfera del ter y para intentar determinar la velocidad de la luz con respecto al ter. Este instrumento ptico preciso, se denomino Interfermetro que haba sido desarrollado para observar la interferencia de las ondas de luz con un patrn con franjas oscuras desfasadas y brillantes en fase. Michelson y Morley construyeron el Interfermetro que consiste de dos espejos M y N, una fuente de luz F y una superficie semiplateada S que divide el haz de luz en dos partes iguales que se dirigen hacia los espejos M y N situados a igual distancia L. Los dos rayos se combinan y llegan a la pantalla P donde se presenta el patrn de interferencia.Figura 6.4 La luz enviada por la fuente F se divide en dos haces en el espejo semitransparente

El Haz 1 se dirige en direccin paralela a la velocidad de la Tierra con respecto al sol. Cuando el haz 1 se dirige hacia el espejo M, su velocidad es , mientras que en el regreso. Por lo tanto, el tiempo transcurrido ida y vuelta es:

El haz 2 se dirige en la direccin perpendicular a . Cuando el haz 2 se dirige de S a N y regresa a S, el interfermetro avanza de S a S con velocidad .Figura 6.5 El interfermetro avanza a la derecha con velocidad mientras que el haz viaja de S a N y N a S

Por lo tanto, el tiempo transcurrido de ida y regreso es:

Despejando

Se nota que los tiempos y son diferentes y por tanto cuando se encuentran los dos haces de luz estarn desfasados y producirn una figura de interferencia diferente de la figura de interferencia cuando est en fase.La experiencia muestra que los tiempos son iguales , el experimento se repiti de da, de noche durante todas las estaciones del ao, con diferentes tcnicas y siempre dio resultados negativos.Un conflicto surge, porque de acuerdo con las transformaciones Galileanas, un observador que efecta este experimento debera observar que y este hecho no se observ. Por tanto, si se rechaza las transformadas Galileanas de velocidades y aceptamos que la velocidad de la luz es la misma para ambos sistemas inerciales y, tendremos.

y por consiguiente .Este resultado concuerda con la evidencia experimental. Por tanto, los resultados experimentales de Michelson y Morley forzaron a lo fsicos a aceptar la invariancia de la velocidad de la luz y se puede concluir que la velocidad de la luz es la misma sin importar que esta velocidad sea medida por un observador en un sistema estacionario o por un observador en un sistema que se mueve a velocidad constante respecto a la fuente de luz. 6.6 POSTULADOS DE LA TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDADEn 1905, Albert Einstein enuncia su teora de la Relatividad especial en la cual regresa a la antigua idea que el espacio es vaco (no existe ter) y formula dos postulados:1. Las leyes de la Fsica son las mismas en todos los sistemas de referencia inercial. Esto significa que las leyes de la Fsica tienen la misma forma matemtica para todos los observadores que se mueven entre s con velocidad constante.2. La velocidad de la luz en el vaco tiene el mismo valor en cualquier marco de referencia inercialEl primer postulado, implica que el movimiento en lnea recta y a velocidad constante solo es observable si se compara con algo, es decir, no existe un sistema de referencia absoluto con respecto al cual se pueden comparar todos los movimientos.El segundo postulado contradice las transformaciones de Galileo y confirma los resultados experimentales de Michelson y Morley: si la velocidad de la luz es constante, no hay diferencia de tiempo entre los dos recorridos de la luz y no puede haber corrimiento de las franjas de interferencia al girar el interfermetro. Adems, este postulado dice que la velocidad de la luz es independiente del movimiento de la fuente o del observador.6.7 TRANSFORMACIONES DE LORENTZPara grandes velocidades , nos vemos forzados a rechazar las transformaciones de Galileo y buscar otras ecuaciones ms generales y compatibles. Estas transformaciones se denominan Transformaciones de Lorentz en honor a Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), fsico holands.Supongamos dos observadores y que se mueven con velocidad relativa . Ambos observadores ajustan sus relojes de modo que cuando coinciden en el origen comn.Figura 6.6 El sistema de referencia se mueve a velocidad constante respecto al sistema estacionario

En el tiempo se emite un destello de luz en la posicin comn. Despus de un tiempo el observador notar que la luz ha llegado al punto A y as podemos escribir la magnitud del vector de posicin:6.7)donde es la velocidad de la luzPero, (6.8)Elevando al cuadrado (6.7) y reemplazando (6.8) obtenemos:(6.9)Similarmente el observador O2 notar que la luz llega al mismo punto A en un tiempo t2, pero con la misma velocidad . El vector de posicin para el observador O2 es:(6.10)Similarmente, (6.11)Por simetra

Lorentz supuso que existe una relacin entre las coordenadas del sistema S1 y S2 de la siguiente forma:

donde es una constante a determinarse. Similarmente para el tiempo y teniendo en cuenta que t1 t2

donde y son constantes a determinar.De las ecuaciones (6.12) y (6.13) se puede observar que si y obtenemos las transformaciones de Galileo.Sustituyendo las ecuaciones (6.13), (6.12) y (6.11), tenemos:

Comparando esta ultima ecuacin con la ecuacin (6.9) e igualando coeficientes, obtenemos:

Resolviendo este sistema de ecuaciones para , y se obtiene finalmente:

Reemplazando los resultados (6.17) y (6.18) en las ecuaciones (6.12) y (6.13), obtenemos las Transformadas de Lorentz:

Ejemplo 6.2Resolver el sistema de ecuaciones planteado en las ecuaciones (6.14), (6.15) y (6.16)

Solucin:De la ecuacin (6.15) despejamos

Reemplazo la ecuacin (6.21) en (6.14), obtenemos

Factorizando

De la ecuacin (6.15)

De la ecuacin (6.15)

Sustituyendo la ecuacin (6.15) en (6.16)

Factorizando

Igualando las ecuaciones (6.22) y (6.24), se obtiene Reemplazando en (6.23)

Sustituyendo en (6.22)

Por ltimo,

Reemplazando las ecuaciones (6.25) y (6.26) en (6.12) y (6.13) obtenemos:

Estas transformaciones se conocen como transformaciones de Lorentz.En 1923, Niels Bohr propuso el Principio de Correspondencia. Este establece que cualquier teora nueva en la fsica debe reducirse a la bien establecida teora clsica correspondiente, cuando la nueva teora se aplica a la situacin especial en que la teora menos general se acepta como vlida.Este principio se aplica si la velocidad es mucho menos que , y entonces las ecuaciones (6.27) y (6.28) se transformaran en: y que son las transformadas clsicas de Galileo.COMPOSICIN DE LAS VELOCIDADES DE LORENTZDe acuerdo con la Figura 6, la velocidad de A medida por el sistema es:

y la velocidad de A medida por el sistema S2 es:

Diferenciando las ecuaciones de Lorentz, obtenemos:

Sustituyendo (6.35) y (6.36) en las ecuaciones (6.32), (6.33) y (6.34), obtenemos:

Se puede observar que si , obtenemos

que corresponden a las transformaciones de Galileo para las velocidades. En este caso, tambin se aplica el Principio de Correspondencia.Se obtiene las transformaciones inversas de velocidades intercambiando los subndices 1 y y reemplazando por .

Ejemplo 6.3Un cohete A pasa por la Tierra a una velocidad de . Un tiempo ms tarde decide explorar y enva de regreso hacia la Tierra un pequeo cohete explorador que se mueve con respecto al cohete A, a una velocidad de . Hallar la velocidad del cohete explorador con respecto a la Tierra.Solucin:

Ejemplo 6.4Un cohete de longitud L (medido en el sistema del cohete) sale de la Tierra a una velocidad de . Una seal luminosa se produce en la cola del cohete cuando . De acuerdo a los relojes que hay en la Tierra y el cohete:a) Hallar el tiempo para que la seal luminosa llegue a la cabeza del cohete, de acuerdo con el reloj del coheteb) Hallar el tiempo para que la seal luminosa llegue a la cabeza del cohete, de acuerdo con el reloj ubicado en la Tierra.c) La seal se refleja sobre un espejo en la cabeza del cohete y regresa a la cola. De acuerdo con el reloj del cohete Cunto tiempo emplea la seal en llegar a la cola?d) De acuerdo con el reloj de la Tierra Cunto tiempo se denomina la seal en llegar a la cola del cohete?Solucin:a)

b)

c)

d)

Ejemplo 6.5Use la transformada de Lorentz para mostrar que si en , entonces en .Solucin:Reemplazando en

Pero , entonces:

Finalmente, 6.8 CINEMTICA RELATIVISTADILATACIN DEL TIEMPOUn reloj en reposo con respecto a un observador inercial mide intervalo de tiempos mayores que otro reloj en movimiento uniforme con respecto al mismo observador y para el mismo suceso fsico. Esto significa que los relojes en movimiento andan ms despacio.Supongamos un reloj especial que consta de dos espejos colocados uno en frente del otro del otro y separados una distancia y un haz de luz que realiza un recorrido de ida y vuelta desde el espejo inferior al superior.

Figura 6.7a. Observador en reposo

Figura 6.7b. Reloj en movimiento respecto al observador

El intervalo de tiempo del haz de la luz en el recorrido completo es:

Donde se denomina el tiempo propioConsideremos ahora el mismo reloj especial pero en movimiento con velocidad constante con respecto a un observador en Tierra. El intervalo de tiempo entre dos seales consecutivas es . la mitad del tiempo se emplear para llegar al espejo superior y la otra mitad para regresar al inferior y emitir la seal luminosa. Pero mientras el haz de la luz viaja al espejo superior y regresa, el espejo se mueve horizontalmente hacia la derecha y la luz deber recorrer una distancia mayor que cuando el espejo estaba en reposo, este recorrido triangular del haz de la luz se muestra en la Figura 8.Figura 6.8 Triangulacin del recorrido del haz cuando el espejo est en movimiento

Al realizar la solucin para el tiempo t, obtenemos:

Al sustituir (6.43) en (6.45) obtenemos:

Como el factor entonces se concluye que . Esto significa que el reloj se atrasa cuando se encuentra en movimiento relativo. Si no existe dilatacin del tiempo ya que tiende a cero. Adems se concluye que el tiempo no es absoluto.CONTRACCIN DE LA LONGITUDOtra consecuencia de los postulados de la Teora de la Relatividad especial es la contraccin de la longitud lo que significa que las dimensiones de los objetos paralelas a la direccin del movimiento relativo se contraen.Consideremos el mismo reloj construido para la dilatacin del tiempo, pero ahora se mover en direccin paralela a la longitud de la barra.El espejo tiene una longitud cuando esta en reposo. Sea su longitud observada cuando se encuentra en movimiento y el tiempo durante el cual se observa el movimiento del haz de luz en ir y volver del espejo de la izquierda al espejo de la derecha. Sea el intervalo de tiempo necesario para que la luz llegue al espejo de la derecha y el intervalo de tiempo necesario para que el haz de la luz regrese al espejo de la izquierda.

Figura 6.9. La luz sale del espejo de la izquierda

El tiempo para ir y volver ser:

De la Figura 9, se observa que:

Sumando d1 + d2 y restando d1 - d2, se obtiene:

Realizando simplificaciones y sustituciones, obtenemos:

Realizando la solucin para C, se tiene:

Pero el tiempo es el mismo intervalo de tiempo calculado mediante las ecuaciones (6.45) y (6.46). Si reemplazamos (6.48) en (6.45) y (6.46) se obtiene:

Llegamos de este modo a la sorprendente conclusin de que la longitud observada desde cualquier marco en movimiento con respecto al marco inercial parece ser mas corta. As que como el factor , entonces es menor que

Donde se denomina longitud propiaEsta conclusin tiene aplicaciones an ms generales, ya que puede aplicarse a cualquier objeto, es independiente de la naturaleza del objeto y debe aplicarse, por lo tanto al espacio mismo.Albert Einstein propuso que la transformacin de Lorentz se considera una ley fundamental de la naturaleza, que reemplazar a las ecuaciones de Galileo, cuando la velocidad se vuelve lo suficientemente grande para ser medida en trminos de .Ejemplo 6.6 La longitud medida de una nave en movimiento es igual a la mitad de su longitud propia.a) Hallar la velocidad de la nave relativa a un observador en Tierrab) Hallar la dilatacin del tiempo de la naveSolucin:a) Sea L la longitud en movimiento y Lo la longitud propia

Resolviendo para , obtenemos:

b)

Ejemplo 6.7Una nave en reposo mide 100m, se mueve con respecto a la Tierra con una velocidad de . En la nave hay dos relojes sincronizados, ver Figura 10. Un observador en la Tierra tambin tiene un reloj, y en el momento en que la parte delantera de la nave cruza frente a l, tanto el reloj en la nave como el del observador indican a) En el instante , Qu tiempo marca el reloj que se encuentra en la parte trasera de la nave?b) Cunto tiempo se requiere para que la parte trasera de la nave pase frente al observador?c) En ese instante, Qu tiempo indicarn los relojes en la nave?

Figura 6.10 Una nave con velocidad con dos relojes A y B sincronizados con un reloj ubicado en Tierra

Solucina)

b)

c)

Ejemplo 6.8Una persona viaja a la rapidez de 0.6C. Cuando regresa nota que su hermano gemelo de la Tierra ha envejecido 10 aos. Cunto envejeci l?Solucin:

Ejemplo 6.9Una nave espacial e acerca a la Tierra con una velocidad de 0.6C. Un observador de la Tierra mide la longitud de la nave y encuentra que es 80 m. despus enva un mensaje al piloto de la nave durante 16 minutos, segn su reloj.a) Cul es el tamao de la nave para el piloto?b) Cunto tiempo dur el mensaje para el piloto?Solucin:a)

b)

Ejemplo 6.10Una barra rgida AB de longitud est en reposo respecto al sistema . Si la barra hace un ngulo de con respecto a . Hallar la longitud y la orientacin de la barra con respecto a cuando .Figura 6.11 Una barra AB inclinada 45 con respecto al sistema

Solucin:Las componentes paralelas a los ejes y medidas por son:

La componente vertical es perpendicular a la velocidad y no experimentar ninguna contraccin cuando se ve desde S1. Por lo tanto:

La componente horizontal es paralela a y segn la ecuacin (49)

La longitud de la barra medida por O1 ser:

Reemplazando los valores:

Para hallar el ngulo de inclinacin respecto al sistema S1

6.9 CANTIDAD DE MOVIMIENTO RELATIVISTALas expresiones clsicas para el momento lineal y la energa deben ser reemplazadas con expresiones relativistas ante de ser convertidas en leyes de conservacin del momento y conservacin de la energa. De acuerdo con la mecnica clsica, el momento lineal de un cuerpo con masa inercial y se define por:

Para un sistema aislado de partculas 1, 2, 3,, n sobre el cual no actan fuerzas, el sistema evolucionar en el espacio y el tiempo, as:

Las nuevas expresiones relativistas deben cumplir dos condiciones:1. Deben conservarse de la misma manera que lo hacen clsicamente2. La nueva expresin debe cumplirse que para las velocidades pequeas comparadas con la luz C, reproduzca la expresin clsica.

CONDICIONES CON EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIAConsideremos una colisin totalmente inelstica entre dos partculas A y B que en reposo con respecto al observador tienen a misma masa, y se mueven con la misma velocidad, el uno hacia el otro. La colisin se realiza en un marco de referencia inercial en movimiento relativo con velocidad constante con respecto a otro marco de referencia inercial , desde donde se observa tambin la colisin (Ver Figura 12a).Por simplicidad supondremos que la velocidad de las partculas y la velocidad relativa del sistema son iguales ()Figura 6.12a Colisin inelstica vista desde el marco de referencia Figura 6.12b Colisin inelstica vista por un observador en movimiento relativo con respecto a

Para el observador ubicado en el sistema se cumple la conservacin de la cantidad de movimiento:

Pero, al observar la misma colisin desde el sistema de referencia no se puede asegurar que las masas de las partculas en movimiento siguen siendo las mismas ya que sus velocidades son distintas.As, mientras que el observador ve las dos masas, cuando chocan, en reposo, el observador la ve movindose con velocidad .Sean y las masas de las partculas en movimiento y la masa de la partcula en reposo (Ver Figura 12b). La partcula A se mueve con velocidad y la partcula resultante despus de la colisin se mover con velocidad .Para el observador en el sistema se cumple la ley de conservacin del momento.

De acuerdo con las transformadas de velocidades, ecuaciones (6.40), (6.41) y (6.42)

Observe que si , entonces Adems, de acuerdo con la ley de conservacin de la masa:

Dividiendo (6.50) por (6.52), obtenemos:

Se observa que depende de Resolviendo para de la ecuacin (6.51), obtenemos

Puesto que debe ser igual a cuando , el signo apropiado es el signo menos.

Reemplazando este resultado en (6.53)

Obteniendo finalmente

Por lo tanto, la masa de un cuerpo no es, en general, una constante ni la misma para todos los observadores, sino que es una cantidad que:1. Depende del sistema de referencia desde el cual es observado el cuerpo y2. Es menos o igual a cuando el cuerpo est en reposo en el marco de referencia desde el cual el cuerpo es observado. 6.10 MOMENTO RELATIVISTALa expresin relativista para el omento lineal se obtiene de la expresin clsica al reemplazar la masa relativista.

donde es la velocidad del objeto.Ejemplo 6.11Una partcula en reposo se mueve con velocidad de 0.6C en sentidos opuestos para realizar una colisin frontal inelstica con otra partcula idntica en reposo.a) Hallar la velocidadb) Cul es la masa en reposo de la partcula resultante?Solucin:a) Como la colisin es inelstica se conserva la cantidad de movimiento y la energa por la ley de conservacin del momento lineal, tenemos:

Pero , entonces:

Por la ley de conservacin de la energa, obtenemos:

Pero y , entonces al reemplazar obtenemos:

Dividiendo las ecuaciones (6.56) y (6.57), obtenemos:

b) Reemplazamos en la ecuacin (6.56), obtenemos:

6.12 FUERZA RELATIVISTADe acuerdo con la segunda ley de Newton clsica, y considerando que la fuerza acta en la direccin x, tenemos:

Finalmente,

donde y es la aceleracin en la direccin x.6.13 ENERGA CINTICA RELATIVISTACuando la velocidad de una partcula se aproxima a valores relativistas, la expresin para la energa cintica clsica debe ser cambiada a una forma relativista.A fin de encontrar una expresin para la energa cintica relativista, calcularemos el trabajo hecho para aumentar la velocidad de una partcula desde O hasta un valor final . Por simplicidad, supondremos que la fuerza y el desplazamiento estn en la misma direccin.

Derivando el momento lineal con respecto a la velocidad , obtenemos:

Al reemplazar esta ultima expresin en la integral para el trabajo , obtenemos:

Para resolver esta integral, realizamos la sustitucin:Sea , , Sustituyendo, obtenemos:

sta ltima expresin se denomina energa cintica relativista, conocida tambin como la ecuacin de Einstein.

Ejemplo 6.12Un protn se mueve con una rapidez de 0.95C. Calcular la energa total, la energa en reposo y la energa cintica.Solucin: Energa total

Energa en reposo

Energa cintica

Ejemplo 6.13La masa de un viajero espacial que viaja a la velocidad es de su masa en reposo Hallar la energa cintica y la velocidad de este viajero.Solucin:

Al solucionar para , obtenemos:

Ejemplo 6.14Hallar la velocidad de un electrn cuya energa cintica es igual a su energa en reposoSolucin: Como la energa cintica es igual a su energa en reposo, entonces:

Resolviendo para , obtenemos:

Ejemplo 6.15A partir de la energa relativista obtener la expresin para la energa cintica clsica.Solucin:Si es una cantidad muy pequea, , usamos la serie binomial para obtener:

Utilizando la aproximacin, obtenemos:

Ejemplo 6.16Un cubo de lados volumen , masa en reposo y densidad , se mueve hacia la derecha con velocidad . Para el observador ubicado en el sistema . Hallar:a) El volumenb) La masac) La densidadd) La densidad si Figura 6.13 Cubo con movimiento en la direccin respecto al observador

Solucin:a) Sea el volumen del cubo para el observador ubicado en el sistema con movimiento nicamente en la direccin .La longitud del cubo se contrae en la direccin , es decir,

Para el sistema , el volumen del cubo ser:

b) La masa ser:

c) La densidad para el sistema ser:

d) Si , entonces el factor Por lo tanto:

Ejemplo 6.17Demostrar que la velocidad de un cuerpo que tiene un momento lineal y una masa en reposo es:

Solucin:Partimos de la expresin para el momento lineal relativista y luego solucionamos para la velocidad .

Finalmente, obtenemos:

Ejemplo 6.18Mostrar que la relacin energa-momento es:

Donde es la energa total, el momento lineal, la masa en reposo.

Solucin:La masa en reposo se transforma en:

Multiplicando ambos lados de esta ecuacin por elevando al cuadrado y simplificando, obtenemos:

Ya que , se escribe finalmente

Anlisis de la ecuacin (6.60)Si un cuerpo se mueve a altas velocidades, entonces es despreciable comparado con y entonces:

A altas velocidades, es pequea comparada con la energa cintica y por lo tanto la energa total es Se convierte en O tambin Las partculas a altas velocidades se encuentran en la regin Relativista extrema.