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Maestría en Gerencia de Proyectos de Investigación y Desarrollo

Fundamentos de Estadística y Simulación Básica

Profesor: Ing. Jaime Soto (MSc)

Fundamentos de Estadística y

Simulación Básica



TEMA 4

Distribución de Probabilidades






• Distribución de Probabilidades

• Variables Aleatorias: Discreta y Continua

• Función Densidad de Probabilidad

• Distribuciones Discretas:

• Distribución Binomial o de Bernoulli

• Distribución de Poisson

• Distribuciones Continuas:

• Distribución Normal

• Pruebas de Hipótesis

• Regresión Lineal




• El azar, en el lenguaje normal, se considera como la característica de un

suceso imprevisible. En estadística esta definición se modifica añadiendo una

propiedad adicional: El azar es la característica de un experimento que

produce resultados diversos, impredecibles en cada situación concreta, pero

cuyas frecuencias, a la larga, tienden a estabilizarse hacia un valor "límite" en

el infinito.

• Los sucesos aleatorios son los resultados de un experimento cuya

variación (la de los resultados) es debida al azar.

• La probabilidad de un suceso sólo se define para el caso de sucesos

aleatorios.

Distribución de ProbabilidadesDefiniciones




Definición

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de

valores que pueden representarse como resultado de un

experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se

realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para

la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de

acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de

diversos fenómenos naturales.





Una variable aleatoria es una función cuyos valores son números

reales determinados por los elementos del espacio muestral, es decir, una

variable aleatoria es una variable matemática cuyos valores posibles son las

descripciones numéricas de todos los resultados posibles de un

experimento estadístico. A los valores posibles de la variable aleatoria se

les asigna una probabilidad que es la frecuencia del resultado al que

corresponden. Toda distribución de probabilidad es generada por una

variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el

valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

1. Variable Aleatoria Discreta

2. Variable Aleatoria Continua

Variables Aleatorias (Definición)

Variable Aleatoria Discreta (Definición)




Aquella que se define sobre un espacio muestral numerable, finito o infinito. Solo

puede tomar valores enteros.

Por ejemplo: x Variable que define el número de alumnos aprobados en la

materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).

Propiedades de una variable aleatoria discreta (x):

1. 0 ≤ p(xi) 1 Las probabilidades asociadas a cada uno

de los valores que toma x deben ser mayores o

iguales a cero y menores o iguales a 1

2. p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades

asociadas a cada uno de los valores que toma x debe

ser igual a 1.

Variable Aleatoria Discreta (Ejemplo)




Se tiene una moneda que al lanzarla puede dar sólo dos resultados:

o cara (50%), o cruz (50%). La siguiente tabla muestra los posibles resultados

de lanzar dos veces una moneda:

Al realizar la tabla de distribución del número posible de caras que

resulta de lanzar una moneda dos veces, se obtiene:

NOTA: Esta tabla no representa el resultado real de lanzar una moneda dos veces sino la

del resultado teórico es decir representa la forma en que se espera se comporte el

experimento de lanzar dos veces una moneda.

Variable Aleatoria Discreta (Ejemplos)




• El número de alumnos que asisten diariamente durante un

semestre.

• El número de accidentes automovilísticos en una ciudad por día.

• El número de piezas defectuosas por lote.

• El número de alumnos aprobados por grupo en un examen.

Variable Aleatoria Continua (Definición)




Es aquella que se define sobre un espacio asimilable al conjunto de los números

reales, es decir, un espacio no numerable. Variable que puede tomar tanto valores

enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo

intervalo.

Por ejemplo: x Variable que define la concentración en gramos de plata de

algunas muestras de mineral (14.8 gr., 12.1, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, )

Propiedades de una variable aleatoria continua (x):

1. p(x)0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los

valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho

de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá

tomar solo valores mayores o iguales a cero.

2. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad

deberá ser de 1.

Variable Aleatoria Continua




En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la

función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Sea X una va continua, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad

(FDP) de X es una función f(x) tal que, para cualesquiera dos números a y b siendo a <= b.

La gráfica de f(x) se conoce a veces como curva de densidad, la probabilidad de que X tome un

valor en el intervalo [a,b] es el área bajo la curva de la función de densidad; así, la función mide

concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.

Para que f(x) sea una FDP (FDP = f(x)) sea legítima, debe satisfacer las siguientes dos

condiciones:

1. f(x) >= 0 para toda x.

2. FDP

Variable Aleatoria Continua (Ejemplos)




• Al arrojar dos dados, sabemos que la suma X de los puntos que caen hacia

arriba debe ser un número entero entre 2 y 12, pero no podemos predecir que

valor de X aparecerá en el siguiente ensayo, por lo que decimos que X depende

del azar, por lo tanto es una variable aleatoria que toma valores entre 2 y 12.

• El tiempo de vida de un foco que se extrae aleatoriamente de un lote de focos

depende también del azar, este constituye otro ejemplo de una variable aleatoria

que varía entre el tiempo 0 y un valor indeterminado, ya que no sabemos

exactamente cuanto tiempo va durar.

• El número de varones de una familia con 5 hijos también es una variable

aleatoria que varía de 0 a 5, ya que en una familia de cinco hijos puede que no

haya ningún varón, uno, dos, tres, cuatro o cinco varones.

• Son ejemplos de vac: la estatura, el peso, la edad, el volumen, el pH, entre

otros.

Función Densidad de Probabilidad (Ejemplo)




Ejemplo: Una encuesta halla la siguiente distribución de las probabilidades para le edad de un

automóvil rentado:

El histograma de la distribución de probabilidad se muestra en la figura más abajo a la izquierda.

La curva a la derecha es la gráfica de cualquier función f, que se llama una función de densidad de

probabilidad.

Edad (Años) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

Probabilidad .10 .26 .28 .20 .11 .04 .01

Variables AleatoriasRegla de Oro




En general, la regla de oro es que todas las

variables que proceden de experimentos en los que

se cuenta son discretas y todas las variables que

proceden de experimentos en los que se mide son

continuas.

Distribuciones




E

Distribución Binomial o de Bernoulli




La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable

aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante. Esta

distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con

las siguientes condiciones:

• Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado

éxito, o su contrario A’, llamado fracaso.

• Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados

obtenidos anteriormente.

• La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del

experimento a otra.

• Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p(A’) = 1 – p = q

• En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Distribución Binomial (cont.)




En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q,

entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad

binomial y su regla de correspondencia es:

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas

para algunos valores de n y p que facilitan el trabajo. Calculo de la distribución de

probabilidad binomial por tres métodos:

a) Paquete de software

b) Utilización de la fórmula

c) Utilización de las tablas binomiales





Fórmula Binomial

Dónde:

• P(X) es la probabilidad de ocurrencia del evento

• p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)

• q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) y se define como q=1– p

• X = ocurrencia del evento o éxitos deseados (para efectos de la tabla binomial

tómese como r)

• n = número de intentos





Ejemplo

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma

moneda 6 veces?

X= 2 caras

p = 0.5 (50%) y q = 1-p = 1-0.5 = 0.5 (50%)

n = 6 intentos

Al sustituir los valores en la fórmula se obtiene:

Resolviendo:

P(2 caras) = 0.234375





Tabla Binomial

• Para una combinación de n y p, la entrada indica una

probabilidad de obtener un valor específico de r

(ocurrencia del evento).

• Para localizar la entrada, cuando p≤0.50, localizar el

valor de p a lo largo del encabezado de la tabla, y en la

columna correspondiente localizar n y r en el margen

izquierdo.

• Para localizar la entrada, cuando p≥0.50, localizar el

valor de p en la parte inferior de la tabla, y n y r arriba,

en el margen derecho.

Resolviendo el mismo ejemplo pero utilizando las

tablas binomiales se tiene que:

p = 0.50, n = 6 y r = 2P(2 caras) = 0.2344

Distribución de Poisson




Es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Siméon Denis

Poisson (1781-1840). Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de

tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado,

así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Ejemplos:

• # de defectos de una tela por m2 o # de bacterias por cm2 de cultivo

• # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto.

• # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, entre otros.

• # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, entre otros.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a

utilizar es:

Donde:

p(X) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es Lambda.

Lambda = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)

X = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Distribución Normal




La distribución normal es también un caso particular de probabilidad de

variable aleatoria continua, fue reconocida por primera vez por el francés

Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-

1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de

ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de

Gauss". La distribución de una variable normal está completamente

determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (σ).

Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:

Pruebas de Hipótesis (1)




Partes de una hipótesis

1-La hipótesis nula “Ho”

2-La hipótesis alternativa “H1”

3-El estadístico de prueba

4-Errores tipo I y II

5-La región de rechazo (crítica)

6-La toma de decisión





Estadísticamente una prueba de hipótesis es cualquier afirmación acerca de

una población y/o sus parámetros. Una prueba de hipótesis consiste en

contrastar dos hipótesis estadísticas. Tal contraste involucra la toma de

decisión acerca de las hipótesis. La decisión consiste en rechazar o no una

hipótesis en favor de la otra. Una hipótesis estadística se denota por “H” y son

dos:

- Ho: hipótesis nula es lo contrario de lo que sospechamos que va a ocurrir

(suele llevar los signos igual, mayor o igual y menor o igual)

- H1: hipótesis alternativa se llama hipótesis alternativa y es lo que

sospechamos que va a ser cierto (suele llevar los signos distinto, mayor y

menor)





Los contrastes de hipótesis pueden ser de dos tipos:

Bilateral: En la hipótesis alternativa aparece el signo distinto.

Unilateral: En la hipótesis alternativa aparece o el signo > o el signo <.

Podemos aceptar una hipótesis cuando en realidad no es cierta, entonces cometeremos

unos errores, que podrán ser de dos tipos:

Error de tipo I: Consiste en aceptar la hipótesis alternativa cuando la cierta es la nula.

Error de tipo II: Consiste en aceptar la hipótesis nula cuando la cierta es la

alternativa.

Estos errores los aceptaremos si no son muy grandes o si no nos importa que sean muy

grandes.

alfa: Es la probabilidad de cometer un error de tipo I.

beta: Es la probabilidad de cometer un error de tipo II.





De los dos, el más importante es alfa que llamaremos nivel de significación y nos

informa de la probabilidad que tenemos de estar equivocados si aceptamos la hipótesis

alternativa.

Debido a que los dos errores anteriores a la vez son imposibles de controlar, vamos a

fijarnos solamente en el nivel de significación, este es el que nos interesa ya que la

hipótesis alternativa que estamos interesados en probar y no queremos aceptarla si en

realidad no es cierta, es decir, si aceptamos la hipótesis alternativa queremos

equivocarnos con un margen de error muy pequeño.

El nivel de significación lo marcamos nosotros. Si es grande es más fácil aceptar la

hipótesis alternativa cuando en realidad es falsa. El valor del nivel de significación suele

ser un 5%, lo que significa que 5 de cada 100 veces aceptamos la hipótesis alternativa

cuando la cierta es la nula.

Modelo de Regresión Lineal (1)




El objeto de un análisis de regresión es investigar la relación estadística que

existe entre una variable dependiente (Y) y una o más variables

independientes (X1,X2,X3, ... ). Para poder realizar esta investigación, se

debe postular una relación funcional entre las variables. Debido a su

simplicidad analítica, la forma funcional que más se utiliza en la práctica es la

relación lineal. Cuando solo existe una variable independiente, esto se reduce

a una línea recta:

donde los coeficientes b0 y b1 son parámetros que definen la posición e

inclinación de la recta.

Modelo de Regresión Lineal (2)




La importancia de las distribuciones bidimensionales radica en investigar como influye una

variable sobre la otra. Esta puede ser una dependencia causa efecto, por ejemplo, la cantidad

de lluvia (causa), da lugar a un aumento de la producción agrícola (efecto). O bien, el aumento

del precio de un bien, da lugar a una disminución de la cantidad demandada del mismo.

Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar la distribución

bidimensional, obtendremos un conjunto de puntos conocido con el diagrama de dispersión,

cuyo análisis permite estudiar cualitativamente, la relación entre ambas variables. El siguiente

paso, es la determinación de la dependencia funcional entre las dos variables x e y que mejor

ajusta a la distribución bidimensional. Se denomina regresión lineal cuando la función es

lineal, es decir, requiere la determinación de dos parámetros: la pendiente y la ordenada en el

origen de la recta de regresión,

y = a + b * x




GRACIAS

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