fundamento economico de la tasa de interes(1)

Fundamento Económico de la Tasa de Interés

Valor del Dinero en el Tiempo

El valor temporal del dinero es uno de losconceptos más importantes en finanzas. Eldinero que la empresa posee hoy es másvalioso que el dinero que tendrán en el futuroporque el dinero que tiene hoy puede invertirsey ganar rendimientos positivos.


Valor futuro y valor presente:

Valor futuro miden por lo regular los flujos de efectivo al final de la vida deun proyecto.

Valor presente miden los flujos de efectivo al inicio de la vida de un proyecto.(tiempo cero)

El valor futuro es efectivo que se recibirá en una fecha futura especifica y elvalor presente es como efectivo que se tiene a la mano hoy.


Línea de Tiempo: Línea horizontal en la que eltiempo cero aparece en el extremo izquierdo ylos periodos futuros se marcan de izquierda aderecha; se usan para representar flujo deefectivo de inversión.

-$10.000 $3.000 $5.000 $4.000 $3.000 $2.000

0 1 2 3 4 5Fin de Año


Capitalización y Descuento: Línea de tiempo que muestra la

capitalización para calcular el valor futuro y el descuento para calcularel valor presente.


Principio básico: un dólar hoyvale más que un dólarmañana, esto por que puedoinvertirlo hoy para queempiece a generar interesesinmediatamente.


Calculo del valor futuro y del valor presente:

Inversión Inicial $ 370,000

Valor estimado actual $ 400,000

Valor estimado futuro $ 420,000

¿Ganancia? $ 50,000

¿Cuál es el valor presente de los $420,000 que sematerializarían dentro de un año?

¿Ese valor presente es mayor que $370,000?



Inversión Inicial $ 370,000

Valor estimado actual $ 400,000

Valor estimado futuro $ 420,000

¿Ganancia? $ 50,000

Bono del Tesoro Americano 10 años: 5%

Valor Futuro: $400,000 * 1.05 = $420,000 dentro de un año.

Valor Presente: $420,000 / 1.05 = 400,000

Valor del Dinero en el TiempoCalculo del valor futuro y del valor presente:

Valor Presente (VP) = Factor de Descuento * C1

C1 = Suma esperada dentro de un año.

Factor de descuento es el valor hoy de un dólar que se recibiráen el futuro:

r: tasa de descuento, tasa mínima aceptable o el costo de oportunidad delcapital (es el rendimiento sacrificado por invertir en el proyecto en lugar deinvertir en títulos)

Factor de Descuento = 1

1 + r



¿En cuanto vendo el proyecto?

¿Cual precio satisface al vendedor y alcomprador?

VP = Factor de Descuento x C1 = 1 x C1 = 420.000 = $400.000

1 + r 1.05

Valor del Dinero en el TiempoValor Presente Neto

El edificio vale mas de lo que cuesta.

C0, es el flujo de efectivo ocurrido en el tiempo cero,es la inversión.

VPN = VP - Inversion Inicial = 400.000 - 370.000 = $30.000

VPN = C0 + C1

1 + r

Valor del Dinero en el TiempoValor Presente y Tasas de rendimiento

Cualquier costo de oportunidad por debajo de 13,5% nos da pie para ejecutar elproyecto.

Dos reglas de oro:

1. Regla del valor presente neto: Aceptar inversiones que tengan valores presentesnetos positivos.

2. Regla de la tasa de rendimiento. Aceptar inversiones que ofrezcan tasas derendimiento que superen sus costos de oportunidad del capital

Rendimiento = Ganacias = 420,000 - 370,000 = 0,135 o 13,5%

inversiòn 370.000


Valuación de Activos Duraderos

¿Recordar como calcular el valor presente (VP) de un activo quegenera un flujo de efectivo (C1) al cabo de un año?

FD1 es el factor de descuento de un flujo de efectivo a un año, yr1 es el costo de oportunidad de invertir su dinero un año.

VP = FD1 * C1 = C1

1 + r1


Ejemplo:

C1 = 100 Ingreso del año.

r1 = 0.07 (Tasa de bono del tesoro a un año.

VP = FD1 * C1 = C1

1 + r1


Ejemplo:

C1 = 100 Ingreso del año.

r1 = 0.07 (Tasa de bono del tesoro a un año.)

VP = FD1 * C1 = C1 = 100 = 93,46$

1 + r1 1.07


¿Qué pasa para el flujo de efectivo, pero para dosaño?

r2 = 0.077 (Tasa de bono del tesoro a dos año.)

VP = FD2 * C2 = C2

(1 + r2)´2

VP = FD2 * C2 = C2 = 100 = 172,42$

(1 + r2)´2 (1.07)¨2

200

Valor del Dinero en el TiempoValuación de Flujos de Efectivo en varios Periodos.

El VP de un flujo de efectivo A + B es igual al VP de A más el VP del flujo de B.

Ejemplo:Flujo de Efectivo año 1: $100Flujo de Efectivo año 2: $200Tasa a un año 7%Tasa a dos años 7.7%

VP1 + VP2 = $ 93,46 + $ 172,42

VP Total = $265,88


Valuación de Flujos de Efectivo en varios Periodos.

VP = C1 + C2 = 100 + 200 = 265,88$

(1 + r1)´1 (1 + r2)´2 1.07 1,077´2

VP = C1 + C2 + C3 + …….

(1 + r1)´1 (1 + r2)´2 (1 + r3)´3

Valor del Dinero en el TiempoLa formula anterior es: FLUJO de EFECTIVO DESCONTADO (FED).

Valor Presente Neto (VPN): Se agrega el flujo de efectivo inicial, generalmentees negativo.

VP = ∑ Ct

(1 + rt)´t

VPN = C0 + VP = C0 + ∑ Ct

(1 + rt)´t


Calculo del VP y VPN.

Inversión Inicial $ 370,000Valor estimado actual $ 400,000Valor estimado futuro $ 420,000Valuación Terreno $ 50,000Primer Pago Contratista $120,000Segundo Pago Contratista $100,000Pago Final Contratista $100,000

Valor del Dinero en el TiempoCalculo del VP y VPN.

r = 5%

Periodo t = 0 t = 1 t = 2

Terreno 50.000 -

Contrucciòn 120.000 - 100.000 - 100.000 -

Ingreso 420.000

Total 170.000 - 100.000 - 320.000

C0 C1 C2

VPN = C0 + C1 + C2

(1 + r1)´1 (1 + r2)´2

VPN = 170.000 - - 100.000 + 320.000

1.05 1,05´2

VPN = 170.000 - 95.238 - + 290.249

VPN = 25.011

Valor del Dinero en el TiempoEjercicios:

1.- Un Proyecto genera un flujo de efectivo de $432 en el año 1, de $137en el año 2 y de $797 en el año 3. Si el costo de capital es de 15%, ¿Cuáles el VP del proyecto?

2.- Si $ 125 es el valor presente de $139, ¿Cuál es el factor dedescuento?

3.- Si el costo de capital es de 9%, ¿Cuál es el VP de $374 pagaderos en elaño 9?

4.- Si usted invirtiera $100 a una tasa de interés de 15%, ¿Cuánto tendríaal final de ocho años?

5.- Una inversión cuesta 1,548 y paga $138 en perpetuidad. Si la tasa deinterés 9%. ¿Cuál es el VPN?

Valor del Dinero en el TiempoEjercicios: Respuesta

1.- VP = 432/1.15 + 137/(1.15)´2 + 797/(1.15) ´3

VP = 376+104+524

VP = 1,003

2.- 139/125 = 1.11

3.- 374/(1.09) ´9 = 172

4.- 100 * (1.15) ´8 = 305.9

5.- VPN = - 1,548 + 138/0.09 = 40

Valor del Dinero en el TiempoEjercicios: Tarea

1.- El administrador Financiero de Starbuck considera realizar unainversión que requiere una desembolso inicial de $25,000 dólaresy el que espera obtener entradas de efectivo de $3,000 el primeraño, $6,000 el segundo y tercer año, $8,000 el cuarto año, $8,000el quinto año y $7,000 el sexto año.

a) Dibuje y describa una línea de tiempo que represente los flujosde efectivo de la propuesta.

b) Describa la capitalización y descuento de los flujos.

c) ¿Cuál es el método (valor futuro o valor presente) en que sebasan con mayor frecuencia los administradores financieros parala toma de decisiones? ¿Por qué?

Valor del Dinero en el TiempoEjercicios: Tarea

2.- En cada caso presentado en la tabla calcule el valor presentedel flujo de efectivo, descontado a la tasa proporcionada yasumiendo que el flujo de efectivo se recibe al final del periodoregistrado.

Caso

Flujo de efectivo

UnicoTasa de Descuento Periodo Final

A $ 7.000 12% 4

B $ 28.000 8% 20

C $ 10.000 14% 12

D $ 150.000 11% 6

E $ 45.000 20% 8

Valor del Dinero en el TiempoANUALIDADES

¿Cuánto tendrá al termino de 5 años si su empleador retiene einvierte $1,000 dólares de su bono de fin de año al termino decada uno de los próximos 5 años, garantizándole una tasa derendimiento anual del 9 por ciento?

¿Cuánto pagaría hoy, dado que puede ganar el 7% en inversionesde bajo riesgo, para recibir $3,000 dólares garantizados al final decada uno de los próximos años?


Conjunto de flujos de efectivo periódicos e iguales durante unperiodo especifico. Estos flujos de efectivo pueden ser ingresos derendimiento obtenidos por inversiones o salidas de fondosinvertidos para obtener rendimientos futuros.

Generalmente, estos flujos de efectivo son anuales, pero puedenocurrir en diferentes intervalos, como mensuales (renta, pago decuotas)


Tipos de Anualidades:

Anualidad Ordinaria: Anualidad en la que el flujo de efectivoocurre al final de cada periodo.

Anualidad Anticipada: Anualidad en la que el flujo de efectivoocurre al inicio de cada periodo.


Fin de año

Anualidad A

(ordinaria)

Anualidad B

(Anticipada)

0 -$ 1.000$

1 1.000$ 1.000$

2 1.000$ 1.000$

3 1.000$ 1.000$

4 1.000$ 1.000$

5 1.000$ -$

Totales 5.000$ 5.000$

Compraciòn de los Flujos de Efectivo

de una anualidad ordinaria y una

anualidad anticipada (1,000 dòlares,

5 años)

Flujo de efectivo anuales

Ambos flujos son iguales,la anualidad anticipadatendría un valor futuromas alto que la anualidadordinaria, por que cadauno de sus cinco flujos deefectivo pueden ganarintereses durante un añomás.

En general, tanto el valorfuturo como el presente deuna anualidad anticipadason siempre mayores queel de una anualidadordinaria idéntica.

Valor del Dinero en el TiempoCOMO VALUAR ANUALIDADES

Una anualidad es un activo que cada año genera una suma fijadurante un numero determinados de años.

Una anualidad que genera pagos durante los años del 1 al 3 esigual a la diferencia entre dos perpetuidades.

Año: 1 2 3 4 5 6 ……. Valor Presente

1. Perpetuidad A 1$ 1$ 1$ 1$ 1$ 1$ ……. 1/r

2. Perpetuidad B 1$ 1$ 1$ ……. 1/r(1+r)^3

3. Perpetuidad C 1$ 1$ 1$ 1/r - 1/r(1+r)^3

Valor del Dinero en el TiempoCOMO VALUAR ANUALIDADES

Factor de anualidad

Una anualidad equivale a la diferencia entre una perpetuidadinmediata y otra diferida.

VP = 1 - 1

r r(1 + r)´t

Valor del Dinero en el TiempoCOMO VALUAR ANUALIDADES, Ejemplo:

Comercializadora de autos ofrece “pago facil” para adquirir el ultimoVolvo S60. Este financiamiento es sin pie y con 5 pagos anuales de$5,000 al final de cada año. ¿Cuál es el costo real?

Tasa 7%

Como se presenta en la línea del tiempo ? (1/r¨t)

VP = 5,000(1/0.07 - 1/0.07(1.07)^5)

VP = 5,000 * 4.1

VP = 20,500


Se acaba de ganar el Kino con $295,700 millones, pero el premiose pagara en 25 anualidades de $11,828 millones. Si el primerpago ocurriera al final del primer año, ¿Cuál sería el valor presentedel premio a una tasa de interés del 5.9%?

VP = 11,828 * factor de anualidad de 25 años

VP = 11,828 * (1/0.059 - 1/0.059(1.059)^25)

VP = 5,000 * 12.9057

VP = 152,6 millones

11,828

Valor del Dinero en el TiempoAnualidad Anticipada:

¿Cuánto cambiaria el valor del premio, si el pago se realiza alprincipio de cada año?

Aumenta en (1+r), esto es $152,6*(1+r) = 152,6*1.059 = $161,6 MM

Una seria de pagos constantes que empieza inmediatamente seconoce como anualidades anticipada y vale (1+r) veces el valor deuna anualidad vencida.


Usted tiene un crédito hipotecario de $250,000 para undepartamento con pagos a 30 años. El banco debe establecer lospagos de tal forma que su suma tenga un valor presente de$250,000.

VP = pago Hiotecario * Factor de anualidad de 30 años = 250,000

Pago Hipotecario = 250,000 / Factor de anualidad de 30 años

Tasa 12%

Factor de Anualidad de 30 año = (1/0.12 - 1/0.12(1.12)¨30 = 8.055

y

Pago Hipotecario = 250,000 / 8.055 = $31.037

Valor del Dinero en el TiempoDesarrollo de deuda, Ejemplo:

Año Saldo Inicial Intereses Cuota Amortizaciòn Saldo Insoluto

1 1.000,00 100,00 315,47 215,47 784,53

2 784,53 78,45 315,47 237,02 547,51

3 547,51 54,75 315,47 260,72 286,79

4 286,79 28,68 315,47 286,79 0,00

Tasa 10%

Valor del Dinero en el TiempoEjercicio: Valor futuro de una anualidad

Desea compra en el futuro un Audi A4, y con el ahorro anual de sutrabajo ($20,000) lo invierte a una tasa de 8%.

¿Cuál será su saldo disponible después de 5 años?

Antes de nada nos debemos de dar una idea de cuanto vale susahorros hoy. Si guarda $20,000 anual durante 5 años, ¿Cuál es el valorpresente de esta anualidad?

VP = 20,000 * factor de anualidad de 5 años

VP = 20,000 * (1/0.08 - 1/0.08(1.059)^5)

VP = $79,854

Valor del Dinero en el TiempoEjercicio: Valor futuro de una anualidad

¿Cuánto tendría después de 5 años si invirtiera $79,854 hoy?

Valor al Final de año 5 = $79,854 * 1,08 ^5 = $117,332

Nos podríamos comprar un auto por $ 117,332

Valor Futuro de la Anualidad = 1 - 1 * (1 * r)´t = (1 * r)´t - 1

r r(1 + r)´t r{ }

Valor del Dinero en el TiempoPerpetuidad Creciente

Veamos como evaluar flujos que se incrementan a una tasaconstante.

Tenemos un plan de donación de $10,000 millones paraeducación en zonas de riesgo social en un plazo de 10 años. Perono tomo en cuenta los incrementos de salarios y otros costos, loscuales promediarían 4% al año a partir del año 1. Por lo tanto , enlugar de donar $1,000 millones anuales, deberá donar $1,000 enel año 1, 1.04*$1,000 millones el año 2, y así sucesivamente.

Valor del Dinero en el TiempoPerpetuidad Creciente

g = tasa de crecimiento anual (4%)

Por lo tanto la cantidad a donar será de $16,667 millones

Valor Presente de la perpetuidad creciente = C1

r - g

VP = $ 1,000 = $ 16,667

0.10 - 0.04

Valor del Dinero en el TiempoAnualidad Creciente

Supongamos que se desea comprar una membrecía al club de Golf, la cual es tiene un costo anualde $5,000, pero una membrecía de tres años costaría solamente $12,750 pagados por adelantado.¿Cuál es la mejor alternativa?, esto depende que tan rápido se incremente las cuotas los próximosaños.Supongamos se pagan al final de cada año y se espera que aumente un 6% por año.

Tasa de descuento de 10%

Si recordamos Una anualidad equivale a la diferencia entre una perpetuidad inmediata y otradiferida.

VP = 1 - 1

r r(1 + r)´t

Valor del Dinero en el TiempoAnualidad Creciente

Entonces el valor presente de una anualidad creciente es igual a ladiferencia entre dos perpetuidades creciente:

Factor de anualidad

Es mejor pagar los tres años hoy.

VP = $1 - $1 * (1+g)´t

(r - g) (r - g) (1 + r)´t

VP = 2.629 * $5,000

VP = $ 13,146

Valor del Dinero en el TiempoTasas de Interés Compuesta y Valores Presentes

Tasa de Interés Compuesta: Cada pago de interés se re-invierte.

Tasa de Interés Simple: El pago de interés no re-invierte.

Normalmente siempre las empresas suponen interéscompuesto.


Año Saldo Inicial + Intereses = Saldo Final Saldo Inicial + Intereses = Saldo Final

1 100 + 10 = 110 100 + 10 = 110

2 110 + 10 = 120 110 + 11 = 121

3 120 + 10 = 130 121 + 12 = 133

4 130 + 10 = 140 133 + 13 = 146

10 190 + 10 = 200 236 + 24 = 260

100 1.090 + 10 = 1.100 1.252.783 + 125.278 = 1.378.061

200 2.090 + 10 = 2.100 17.264.116.042 + 1.726.411.604 = 18.990.527.646

230 2.390 + 10 = 2.400 301.248.505.631 + 30.124.850.563 = 331.373.356.194

Valor de $100 invertidos a tasas de interes compuestas y simples de 10%

Interes Simple Interes Compuesto

Valor del Dinero en el TiempoEl descuento es un proceso de interés compuesto, por esto podemos sustituir la pregunta: ¿cuál es el valor presente de $100 a recibir en 10 años a partir de ahora si el costo de oportunidad del capital es de 10%?, por la pregunta:¿cuánto tendría que invertir ahora para recibir $100 después de 10 años dada una tasa de interés del 10%?

La primera pregunta se responde como:

VP = 100/(1.10)´10 = $38.55

Y la respuesta a la segunda pregunta es:

Inversión * (1.10)´10 = $100

Inversión = 100/(1.10)´10 = $38.55

El descuento es un viaje en reversa a lo largo de la línea inferior, desde el valor futuro hasta el valor presente.

Valor del Dinero en el TiempoCapitalización Continua:

Se utiliza para la capitalización durante un año.

r = tasa anualm = veces al año

Tasa Efectiva anual o equivalente = [1+ (r/m) ] ´m -1

Ejemplo: Usted tiene un crédito hipotecario de $250,000 para un departamento con pagos a 30 años. (caso anterior)Supongamos que el banco sugiere pagar una tasa mensual de 1%, en ves de pagar una tasa anual de 12%.

Usted liquidaría mensual mente , y los pago hipotecarios serían deducidos de su cuenta bancaria. Se calcula el pago del dividendo el valor del préstamo entre el factor de anualidad de 360 meses:

Factor de anualidad de 360 meses = [1/0.01 – 1/(0.01(1.01) ´360 ] = 97.218


Abono Hipotecario mensual = Monto del préstamo / factor de anualidad de 360 meses

= 250,000/97.218 = $2,575

Por lo tanto los pagos anuales se reducirían de $31,037 a solo 12 * $2,572 = $30,864

Si aquí se ignora el valor del dinero en el tiempo, es cierto que el pago del plan mensual es menor, por que comienza antes. Pero la tasa anual del 1% mensual no es 12% si no:

Tasa Efectiva anual o equivalente = [1+ (r/m) ] ´m -1

1.01^12 -1 = 12.68%


Tasa Efectiva anual o equivalente = [1+ (r/m)] ´m -1(También conocida como tasa anual nominal o efectiva)

Habría realizar demasiados cálculos para encontrar una tasa de interés capitalizable continuamente, pero esto se puede simplificar de la siguiente manera:

Algunos recuerdos de algebra:

Conforme m se aproxima al infinito [1+ (r/m)] ´m se aproxima a (2,7183)´r.

2,718 se conoce como e = base del logaritmo natural

Por lo tanto un dólar o peso invertido a una tasa r capitalizable continuamente crecerá hasta e ´r = (2,7183)´r al final del primer año y hasta e ´rt = (2,7183)´rt.


Ejemplo 1: Se invierte un dólar a una tasa capitalizable continuamente de 11% (r=0.11) por un año (t=1)

e´0,11 = 1.12 = 11,63%; es decir invertir a 11% durante un año capitalizable continuamente es exactamente lo mismo que invertir a 11,63% durante un año capitalizable anualmente.

Ejemplo 2: Se invierte un dólar a una tasa capitalizable continuamente de 11% (r=0.11) por dos año (t=2)

e ´rt = (2,7183)´0.22 = 1,25 = 24,6%;

Valor del Dinero en el TiempoResumen de formulas y ecuaciones

Definiciòn de Variable

e = funciòn exponencial = 2,7183

TEA = Tasa Efectiva Anual

FVn = Valor Futuro o monyo al final del periodo n

FVAn = Valor futuro de una anualidad de n años

i o r = tasa de interes anual

m = numero de veces al año en que se compone el interes

n = numero de periodos, generalmente años, durante los cuales el dinero gana rendimiento.

PMT = monto depositado o recibido al final de cada año.

PV = Principal inicial o valor presente

PVAn = Valor presente de una anaualidad de n años.

t = indice de numero de periodos.

Resumen de formulas y ecuaciones

Formulas del Factor de Interes

Valor Futuro de un monto unico con una capitalizaciòn anual

FVIF i,n = (1 + i)´n

Valor Presente de un monto unico

PVIF i,n = 1

(1 + i)´n

Valor Futuro de una anualidad ordinaria

n

FVIFA i,n = ∑ (1 + I)´t-1t = 1

Valor Presente de una anualidad ordinaria

n

PVIFA i,n = ∑ 1t = 1 (1 + i)´t

Valor Presente de una perpetuidad

PVIFA i,∞ = 1

i

Valor Futuro con una capitralizaciòn y con una frecuencia mayor que la anual

FVIF i,n = 1 + i

m

Para calcular una capitalizaciòn continua m = ∞

FVIF i,n ( capitalizaciòn continua ) = e

Para Calcular la tasa efectiva anual

TEA = 1 + i -1

m

m * n

i * n

m

Ecuaciones Básicas

Valor Futuro (monto únicos) FVn = PV * (FVIF i,n)

Valor Presente (monto únicos) PV = FVn * (PVIF i,n)

Valor Futuro (anualidad) FVAn = PMT * (FVIFA i,n)

Valor Presente (anualidad) PVAn = PMT * (PVIFA i,n)

fundamento economico de la tasa de interes(1)

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