Fresco

n: nmero de kg que comproP: preu que pagoP

00

11.25

22.5

33.75

45

Unitat 7: Funcions

1. Introducci2. Eixos de coordenades3. Expressi de funcions4. Funcions abstractes: x i y5. Funcions lineals (de proporcionalitat directa) y=kx6. Funcions afins y=kx+a7. Funcions quadrtiques y=ax2+bx+c8. Funcions de proporcionalitat inversa y=k/x

1. Introducci

-Magnituds: Aspectes o fenmens de la realitat que sn mesurables: distncia, preu, superfcie, temperatura, volum, temps, velocitat, pressi, etc.

Sabem que n'hi ha que es relacionen entre si:

-Magnituds directament proporcionals

-Magnituds inversament proporcionals

Aquesta relaci s'expressa mitjanant

-Les funcions: Sn relacions de dependncia entre dues variables tals que cada valor de la variable independent li correspon un nic valor de la variable dependent.

2. Eixos de coordenades (el terreny de joc)

Serveixen per representar punts concrets en el pla.

-Eix x: eix abscisses.-Eix y: eix d'ordenades.-Quatre quadrants.-Origen de coordenades.

Les coordenades del punt P sn P(3,5).3 s l'abscissa (x) i 5 s la ordenada (y).

Exercici pissarra

3. Expressi de funcions

-Exemple1: kg de taronges que compro i el seu preu (m.directament prop.)

kg que compropreu que pago

11,25 euros

22,50 euros

33,75 euros

45 euros

a) Taula de valors:

b) Expressi algebraica (funci)

Si P s "preu que pago" i n s "kg que compro":

P = 1,25 n

c) Grfica en eixos de coordenades:

Variabledependent

Variableindependent

1,25 = 1,25 12,50 = 1,25 23,75 = 1,25 35,00 = 1,25 4

-Exemple 2: rea d'un quadrat i longitud del seu costat

costatrea

1m1 m2

2m4 m2

3m9 m2

4m16 m2

a) Taula de valors:

b) Expressi algebraica (funci)

Si A s "rea" i c s "costat":

A = c2

c) Grfica en eixos de coordenades:

Variabledependent

Variableindependent

1 = 124 = 229 = 3216 = 42

Exercici: Taula, expressi i grficade "litres de gasolina consumits"i "km recorreguts" d'un cotxeque gasta 7l cada 100km

-Exemple 3: Un cotxe va a 15m/s i frena uniformement, fins a aturar-se, disminuint 3m/s cada segon. Magnituds: temps i velocitat

temps (s)velocitat (m/s)

015

112

29

36

43

50

a) Taula de valors:

b) Expressi algebraica (funci)

Si v s "velocitat" i t s "temps":

v = 15 - 3 t

c) Grfica en eixos de coordenades:

Variabledependent

Variableindependent

-Exemple 4: Un venedor de cotxes t un sou fix de 900 euros i cobra a ms 50 euros per cada cotxe venut. Magnituds: sou i cotxes venuts.

cotxes venuts (n)Sou (euros)

0900

51150

101400

151650

201900

252150

a) Taula de valors:

b) Expressi algebraica (funci)

Si S s "sou" i n s "cotxes venuts":

S = 900 + 50 n

c) Grfica en eixos de coordenades:

Variabledependent

Variableindependent

Exercici: Taula, expressi i grficade "preu que pago" i "nombre deretoladors que compro" en unabotiga on els retoladors valen 2 euros.

4. Funcions abstractes: x i y

Aquestes funcions ens expressaven problemes reals.

-En una funci abstracta:la variable dependent ser yla variable independent ser x

P = 1,25 n

A = c2

v = 15 - 3 t

S = 900 + 50 n

EXEMPLE:y = 3x + 1

Variabledependent

Variableindependent

-Per representar-la grficament haurem de fer una taula de valors

4. Funcions abstractes: x i y

y = 3x + 1

xy=3x+1

-2y=3(-2)+1=-5

-1y=3(-1)+1=-2

0y=30+1=1

1y=31+1=4

2y=32+1=7

Variabledependent

Variableindependent

Exercici: dibuixar funcions en eixos

Representen parells de magnituds directament proporcionals.

5. Funcions lineals: y=kx

y = k x

kg que compropreu que pago

11,25 euros

22,50 euros

33,75 euros

45 euros

Exemple de les taronges:

1,25 : 1 = 1,252,50 : 2 = 1,253,75 : 3 = 1,255,00 : 4 = 1,25

1,25 s la constant de proporcionalitat "k".

P = 1,25 n

V. dependent

V.independent

nombre

-La v.ind. t per coeficient la constant de proporcionalitat (k).-Sempre passa per l'origen de coordenades (0,0).-Com ms gran s k, ms gran s el pendent de la funci.-Si k s positiva, la funci lineal s creixent.-Si k s negativa, la funci lineal s decreixent.

6. Funcions afins: y=kx+a

y = k x + a

V. dependent

V.independent

nombre

-La v.ind. t per coeficient la constant de proporcionalitat (k).-Com ms gran s k, ms gran s el pendent de la funci.-Si k s positiva, la funci s creixent.-Si k s negativa, la funci s decreixent.-El nombre "a" indica el valor per al qual la funci tallar l'eix d'ordenades (y)

nombre

7. Funcions quadrtiques: y = ax2 + bx + c

y = a x2 + b x + c

V. dependent

V.independent

-Les funcions quadrtiques dibuixen una corba anomenada parbola.-Com ms gran s la "a", ms apuntada s la parbola.-Si la "a" s positiva, la parbola mira cap amunt, si la "a" s negativa mira cap avall.-Si apareix "bx", la parbola es desplaa lateralment.-La "c" indica el valor per al qual la parbola tallar l'eix d'ordenades (y)

Representen parells de magnituds inversament proporcionals.

8. Funcions de proporcionalitat inversa: y=k/x

-Exemple 5: En un dmino de 28 fitxes, quantes fitxes toquen per jugador?

jugadors (x)fitxes c/jug. (y)

128

214

47

74

142

281

a) Taula de valors:

b) Expressi algebraica (funci)

Si x s "jugadors" i y s "fitxes/jug":

y = 28 / x

Variabledependent

Variableindependent

Nombre de jugadors (x) i nombre de fitxes per jugador sn mgn.inv.prop.

1 28 = 282 14 = 284 7 = 287 4 = 2814 2 = 2828 1 = 28

28 s la constant de proporcionalitat "k"

x y = 28 ; y = 28/x

c) Grfica en eixos de coordenades:

La funci forma un corba anomenada "hiprbola"

Representar 16/x i -16/x

Caracterstiques:

y = k / x

V. dependent

V.independent

nombre

-Les funcions de proporcionalitat inversa dibuixen una corba anomenada hiprbola.-La v.ind. (x) est al denominador.-Si k s positiva, la funci s decreixent.-Si k s negativa, la funci s creixent.

EN RESUM:

-Funcions lineals:

-Funcions afins:

-Funcions quadrtiques:

-Funcions de proporcionalitat inversa:

y = k x

y = k x + a

y = k x2 + bx + a

y = k / x

Recta

Recta

Parbola

Hiprbola

c: costat del quadratA: rea del quadratP

00

11

24

39

416

t: tempsv: velocitatP

015

112

29

36

43

50

n: cotxes venutsS: salariP

0900

51150

101400

151650

201900

252150