Funciones y GraficasFunciones y Graficas

Relaciones de correspondencia …Relaciones de correspondencia …

xx F(x)F(x)

-2-2 -4-4

00 00

11 22

xx F(x)F(x)

11 11

22 44

33 99

xx F(x)F(x)

11 33

22 77

33 1717

Después de observar las tablas anteriores trata de encontrarla regla de correspondencia que relaciona las columnas en cada Tabla.

y x2y 2x y ?

xx F(x)F(x)

-2-2 -4-4

00 00

11 22

xx F(x)F(x)

11 11

22 44

33 99

xx F(x)F(x)

11 33

22 77

33 1717

Relaciones de correspondencia …Relaciones de correspondencia …

Relaciones de correspondencia…Relaciones de correspondencia…

0.5 1 1.5 2x

-1

-0.5

0.5

1

y

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

y x

y x2

La Figura 1 muestra la expresión que resulta de extraerle la raíz cuadrada a un número real positivo o cero. La Figura 2 representa el resultado de elevar al cuadradoCualquier número real.¿Te fijaste en cuantos la recta vertical anaranjada corta a la grafica de la Figura 1?¿En cuantos corta a la grafica de la Figura 2?¿Podrías concluir algo?

Figura 1 Figura 2

FunciónFunción

A continuación se te presentan ejemplos de A continuación se te presentan ejemplos de relaciones de correspondencia que son relaciones de correspondencia que son funciones y otros que no lo son, observa bien funciones y otros que no lo son, observa bien las características de los ejemplos, semejanzas las características de los ejemplos, semejanzas y diferencias y trata de expresar con tus y diferencias y trata de expresar con tus propias palabras qué es lo que hace que una propias palabras qué es lo que hace que una correspondencia sea una función:correspondencia sea una función:

X F(x)

a

b

c

1

2

3

si es funciónsi es función

Una vez analizados los ejemplos anteriores ¿podrías identificar cuáles de las tablas siguientes representan funciones?

XX F(x)F(x)

-2-2 -4-4

00 00

11 22

XX F(x)F(x)

11 11

22 44

33 99

XX F(x)F(x)

11 33

22 77

33 1717

Función …Función …

0.5 1 1.5 2x

-1

-0.5

0.5

1

y

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

y x

y x2

¿ Y de estas gráficas habrá alguna que no sea función?

Sí es funciónSí es funciónNo es funciónNo es función

{(-2, 4), (0, -1), (1, 3), (2, 5) } { (-1, 0), (2, 6), (4, 9), (-1, -1) }

No es funciónNo es funciónSí es funciónSí es función

Para finalizar te presentamos ejemplos de conjuntos de pares ordenados, uno de los cuales es función y el otro no.

Función …Función …

Ahora el momento importante Ahora el momento importante ha llegado, te toca a ti ha llegado, te toca a ti

decirnos qué es una función. decirnos qué es una función.

Función …Función …

Definición de funciónDefinición de función

Una Una funciónfunción f f es una regla de es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento correspondencia que asigna a cada elemento xx de un conjunto de un conjunto X,X, exactamente un único exactamente un único elemento, elemento, f(x), f(x), de otro conjunto de otro conjunto F(x)F(x). .

x ff (x)

Ejemplos de funcionesEjemplos de funciones Función lineal Función lineal ( y = m x+b )( y = m x+b )

Otros ejemplosOtros ejemplos

x F (x)

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2x

1.5

2

2.5

3

3.5

4

y0 21 32 43 54 65 7

y = x + 2

y = 2x – 2y = -3x +2

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones …

Función cuadrática Función cuadrática (y = a (y = a x2+b x+c))

Otros ejemplos:Otros ejemplos:

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

0 01 12 43 94 165 25

x F (x)

y = x2

y = x2 – 2 x + 1y = - 3 x2 +2 x + 3

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones … Función polinomialesFunción polinomiales

Otros ejemplos:Otros ejemplos:

y = x3

-4 -2 2 4x

-2

-1

1

2

y

-4 -2 2 4x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

y

y = x3 +x2

xxxy

xxxy

34

23

7

11023

-4 -2 2 4 6 8 10x

-4

-2

2

4

y

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones … Función definidas por partesFunción definidas por partes

Otros ejemplosOtros ejemplos

y = x2 y = Cos[x]

y = x

0)cos(

02

24

)( 2

xSix

xSix

xSix

xf

0

0)(

xSix

xSixxxf

22

20

02

)( 3

xSix

xSix

xSix

xf

RECTA.RECTA.

xmy

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

SECCIONES CÓNICAS …SECCIONES CÓNICAS …

PARÁBOLA.PARÁBOLA.

pyx 42 pxy 42

52.50-2.5-5

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

54.543.532.521.510.50

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

x

y

x

y

SECCIONES CÓNICAS …SECCIONES CÓNICAS …

Funciones de uso prácticoFunciones de uso práctico

Las funciones se utilizan en todas las Las funciones se utilizan en todas las ramas de la ingeniería para describir el ramas de la ingeniería para describir el comportamiento de una variable con respecto comportamiento de una variable con respecto a otra. Entre algunas de las aplicaciones a otra. Entre algunas de las aplicaciones podemos mencionar los circuitos eléctricos, podemos mencionar los circuitos eléctricos, mecánica de fluidos, transferencia de calor y mecánica de fluidos, transferencia de calor y electrónica.electrónica.

Funciones de uso práctico …Funciones de uso práctico …

Otros ejemplosOtros ejemplos Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )

Ley de la gravitación UniversalLey de la gravitación Universal

t

dtfV

t

ddfV

)(

)(

221)(

r

qqkrfF

EjemplosEjemplos1.1. Considere la siguiente función cuadrática:Considere la siguiente función cuadrática:

a) Exprese la función en su forma estándara) Exprese la función en su forma estándarb) Trace la gráfica de b) Trace la gráfica de f.f.c) Determine el valor mínimo de c) Determine el valor mínimo de f.f.

2.2. Dada la funciónDada la función

a) Exprese la función en su forma estándara) Exprese la función en su forma estándarb) Trace la gráfica de b) Trace la gráfica de f.f.c) Determine el valor máximo de c) Determine el valor máximo de f.f.

49305)( 2 xxxf

Valores extremos de funciones cuadráticas … Valores extremos de funciones cuadráticas …

2)( 2 xxxf

Valor máximo y mínimo de una Valor máximo y mínimo de una función cuadráticafunción cuadrática

El valor máximo o mínimo de una función El valor máximo o mínimo de una función cuadrática cuadrática f(x)=axf(x)=ax22+bx+c +bx+c ocurre enocurre en

Si Si a > 0a > 0, entonces el , entonces el valor mínimovalor mínimo es es

Si Si a < 0a < 0, entonces el , entonces el valor máximovalor máximo es es

ab

f2

ab

x2

ab

f2