funciones trigonometricas (parte 2) josé david ojeda marín

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

(Parte 2)

José David Ojeda Marín

Razones trigonométricas para

ángulos notables

Razones trigonométricas de ángulos notables

ANGULOS DE 30° Y 60°Para determinar las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, se utiliza una construcción auxiliar de un triangulo equilátero.


60°

30°

l

l /2

h

A

C

B


• Como el ABC es equilátero, se observa que A = B = C = 60° ; CD es la altura sobre AB, mediatriz de AB y bisectriz de C.

• Por lo anterior CDB = 90° , DCB = 30° y

DB = además:l

2

1


22

2

2h

ll

Por Pitágoras

lll

lh2

3

4

3

4

222

Despejando h y simplificando


• Ahora podemos calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60° del triangulo.

230csc 3

3

3

130tan

3

32

3

230sec

2

330cos

31

330cot

2

130

sen


3 1 3 60 cot 60

2 331

cos60 sec 60 22

3 2 2 3tan60 3 csc 60

1 33

sen

Razones trigonométricas de ángulos notablesANGULOS DE 45°

Para determinar las razones trigonométricas del ángulo de 45°, se utiliza un triangulo rectángulo isósceles.


45°

45°

l

lA B

C


• Como el ABC es rectángulo se verifican , entre otras, las siguientes propiedades:

B = 90°, A = C = 45°, AB = BC = l

Además:

2 2 2 22

2

h l l l

h lPor Pitágoras


• Ahora podemos calcular las razones trigonométricas del ángulo de 45°.

1 2 45 tan45 1 sec45 2

22

1 2cos45 cot 45 1 csc45 2

22

sen

Razones trigonométricas de ángulos notablesÁNGULOS de 0° y 90°

Recordemos que según los visto en el tema de funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales:

0 0 tan0 0 sec0 1

cos0 1 cot 0 csc0

90 1 tan90 sec90

cos90 0 cot 90 0 csc90 1

sen

I nd I nd

sen I nd I nd


Nota: Recordar siempre las siguiente equivalencias:

tan

coscos

cot

1sec

cos1

csc

sen

sen

sen


Ejemplo: Determinar el valor de la siguiente expresión:

Solución: como yentonces.

) 30 60a sen sen

1

302

sen 3

602

sen

1 3 1 3 30 60

2 2 2sen sen


Ejemplo 2: Determinar el valor de la siguiente expresión:

Solución: Sabemos por conversión de ángulos del sistema cíclico a sexagesimal que:

) tan sec

3 6b

603

306

rad

rad


Entonces:

entonces

tan sec tan30 sec303 6

0 3 3

tan sec 3

3 6


Ejercicios: Hallar el valor de las siguientes expresiones

) 45 60° ) sen 90° tan45

2 45°c) tan sec d)

4 3 30°

a sen sen b

sensen

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