INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL

INSTITUTO TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO

MATERIA:CALCULO VECTORIAL

UNIDAD 4 FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

TEMAS:4.5 DERIVADA DIRECCIONAL.

4.6 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

INGENIERIA PETROLERA A/NOVIEMBRE/2014, CERRO AZUL,VER

4.5 DERIVADA DIRECCIONAL

4.5 DERIVADA DIRECCIONAL

Para calcular la pendiente en un punto de una superficie definimos un nuevo punto de derivadas, la derivadas direccional sea z=f(x,y) una superficie y

P( )un punto en el dominio de f. la ”dirección” de la derivada direccional le da un vector unitario.

U=cos

Donde denota el ángulo del vector con el semejante x positivo. Con el fin de hallar la pendiente deseada, reducimos el problema a dos variables, tomando la intersección de la superficie con el plano vertical que pasa por el punto P y es paralelo al vector U. Este plano vertical corta a la superficie en una curva C .

la pendiente de la superficie ( ) en la dirección de U se define como la pendiente de la curva C en ese punto.

Puede expresarse la endiente de la curva C como un límite análogo a los que hemos usado en el cálculo de una variable. El plano vertical usado para definir C

Corta el plano xy en una recta L, de las ecuaciones paramétricas.

x= y= De manera que, para cada valor de t, el

punto de Q(x,y) esta es la recta L.A cada uno de los puntos P y Q, le corresponde a un punto de la superficie

( ) Punto sobre P( ) Punto sobre Q

Además, coma la distancia entre P y Q es

Podemos escribir la pendiente de la secante que pasa por ( )) y ( ) como

Finalmente, haciendo tender t hacia 0, llegamos a la definición siguiente

DEFINICION DELAS DERIVADAS DIRRECIONAL

Sea f una función de dos variables, x e y , y sea

U= cos un vector unitario. La derivada direccional de f en la dirección de U, que se denota ,

se define como

Siempre que es el límite existe.El cálculo de derivadas direccionales

mediante esta definición es análogo al cálculo de la derivada de una función de una variable utilizando el proceso de límite. Una fórmula más sencilla para calcular derivadas direccionales la proporcionan las derivadas parciales y .

DERIVADA DIRECCIONAL Si f es una función diferenciable de x e y, su

derivada direccional en la dirección del vector unitario

U= cos es

Demostración: para un punto fijado( ), sea x= e denotemos g(t)=f(x,y). Al ser f diferenciable,

podemos aplicar el teorema del que se deduce

(x,y)

(x,y)

Si t =0, entonces , , luego

Por la definición es cierto asimismo que

En consecuencia,

Hay infinitas derivadas direccionales en un punto de una superficie, tantas como direcciones especificadas por u. dos de ellas son las derivadas parciales y .

1.- Direcciones del semieje x positivo u = cos 0i + sen 0j = i

2.- Direcciones del semieje y positivo : u

EJEMPLOCalcular la derivada direccional de

Superficie en (1,2) en la dirección de

direcciónSolución: puesto que y son continuas

es diferenciable

Evaluando esta expresión en e se obtiene

4.6 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

4.6 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

DERIVADAS SUPERIORES Si f es una función derivable, entonces se

deriva f´ también es una función, así que f puede tener una derivada de sí misma, señalada por (f´)=f´´. Esta nueva función f´´ se denomina segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f. Utilizando la notación de Leibnie, la segunda derivada de y-f(x) se escribe como

EJEMPLOSi f(x) , halle e interprete f´´(x)SOLUCIÓN obteniendo la primera derivada f´(x), así que

la segunda derivada es: