Funciones Potenciales

Integrantes:Belén CayoCamila LescaffetteFlorencia RamosFabricio NolascoCarolina GonzalesJuan Manuel Fascio

1°1ª Economía

Las funciones potenciales, son funciones de la forma y= k.xn ; donde k es un numero real y n es un numero racional.

Para graficar las funciones potenciales podemos hacer una tabla de valores.

¿Cómo es la forma de las funciones potenciales? Podemos distinguir dos grandes grupos, los de exponente PAR y los de exponente IMPAR.

Exponente PAR, graficamos por ejemplo:

X Y

-2 (-2)2=4

-1 1

0 0

1 1

2 4

y = x2

y = x4

X Y

-2 (-2)4=16

-1 1

0 0

1 1

2 16

Observamos que cuando el exponente es par el grafico es como una U o una copita y que cuando mayor sea el exponente, mas angosto en el grafico.

Los dos ejemplo anteriores tienen K=1

Entonces, trabajemos con exponentes pares pero con K distinto de 1

Por ejemplo:

1>K, y = 2x2

X Y

-2 8

-1 2

0 0

1 2

2 4

Y=x2 Y=2x2

0<1<k, y = 1/2x2

X Y

-2 2

-1 0.5

0 0

1 0.5

2 2

Y=x2Y=1/2x2

Vemos que cuando K es positivo, si K es mayor que 1 la función es mas angosta y cuando esta entra 0 y 1 la función se hace mas ancha.

Ahora, ¿ que sucede con los negativos?

Primero grafiquemos y= -x2

X Y

-2 -(-2)2=-4

-1 -1

0 0

1 1

2 -4

Notamos que cuando K es negativa la parábola esta hacia abajo

Otro ejemplo: -1<K<0 , y=-1/2x2

X Y

-2 -2

-1 -0.5

0 0

1 -0.5

2 -2

Y=-1/2x2 Y= -x2

X Y

-2 -2

-1 -0.5

0 0

1 -0.5

2 -2

K<-1, y=-2x2

y= -x2 y= -2x2

Además tenemos que si K esta entre -1 y 0 el grafico es ancho, en cambio si es menor a -1 el grafico es angosto.

Con lo analizado anteriormente podemos sacar las siguientes conclusiones:

El dominio de una función potencial es el conjunto de números reales (es decir que x puede tomar cualquier valor real, sin condiciones).

Si el exponente es par, la grafica es una parábola.

Si el valor de K es positivo la grafica va hacia arriba, es decir que la imagen de la función es [0,∞). En cambio si K es negativa la función se grafica hacia abajo y su imagen es (-∞, 0).

Cuando K es mayor que 1o menor que -1, el grafico es angosto. Cuando esta entre -1 y 1 el grafico es ancho.

Las funciones potenciales de orden par tienen una parte creciente y una decreciente, los intervalos se modifican según K sea positivo o negativo.

Si k es positivo tenemos los siguiente intervalos

Crecimiento: (0, ∞) Decrecimiento : (-∞, 0) Si k es negativo los intervalos son al revés,

es decir: Crecimiento : (-∞, 0) Decrecimiento: (0, ∞)

Ahora veamos cuando el exponente es IMPAR, grafiquemos x ejemplo:

y = x3

X Y

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

y = x5

X Y

-2 -32

-1 -1

0 0

1 1

2 32

Podemos observar que cuando mayor es el exponente, mas finita es la grafica, pero en ambos casos la función entre es creciente.

Los dos ejemplos tienen k=1, ¿que sucederá cuando el exponente es impar y los valores de k cambian.

Ejemplo:

y=2.x3

X Y

-2 -16

-1 -2

0 0

1 2

2 16

y=2x3

y=x3

X Y

-2 -4

-1 -0.5

0 0

1 0.5

2 4

y=1/2x3

y=x3

y=1/2x3

¿Que sucede cuando k toma valores negativos? veamos cuando k=-1

y=-x3

X Y

-2 8

-1 1

0 0

1 -1

2 -8

Vemos que cuando k<0, la grafica de la función se invierte, convirtiéndose en decreciente.

y=-2x3

X Y

-2 16

-1 2

0 0

1 -2

2 -16

y=-x3 y=-2x3

y=-1/2x3

X Y

-2 4

-1 0.5

0 0

1 -0.5

2 -4

y=-1/2x3 y=-x3

Acá también podemos observar que cuando k es menor que -1, la grafica es mas finitas

y cuando esta entre -1 y 0 es mas ancha.

Con lo analizado anteriormente podemos sacar las siguientes conclusiones:

El dominio de una función potencial es el conjunto de números reales (es decir que x puede tomar cualquier valor real, sin condiciones.

Cuando el exponente es impar la imagen es el conjunto de numero reales.

Como el valor de k es negativo la función es decreciente.

Cuando k es mayor que 1 o menor que -1, el grafico es angosto. Cuando esta entre -1 y 1 el grafico es ancho.

Bibliografía

Fotocopias de la profesora sobre Funciones Potenciales.

Programa: Graphmatica para realizar las graficas.