REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIN

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGA DE ADMINISTRACIN

INDUSTRIAL

CARRERA: INFORMTICA

SECCIN: 201A1

PROFESOR: COLQUIER VICTOR

FUNCIONES REALES

Gragirena Edgar

C.I. 24.898.160

Caracas, Abril 2015

NDICE

Pg.

Introduccin..3

Funcin..4

Tipos de Funciones...7

Grficas de Funciones.12

Conclusin....24

Bibliografa...25

2

INTRODUCCIN

La presente investigacin acerca de las funciones reales, est dirigida a brindar

informacin sobre este bsico, principal prctica que se utiliza y se realiza en la

matemtica en la cual es importante para nuestros conocimientos numricos, como

tambin lo podemos utilizar para futuros proyectos o actividades importantes que

requieran dicho tema. Adems le mostraremos algunos tipos de funciones que existen,

la importancia, en que podemos aplicar nosotros la funcin, entre otros puntos

interesantes sobre este trabajo.

Durante varios siglos se estudiaron expresiones algebraicas en las cuales

implcitamente se involucraba la idea de lo que hoy se denomina una funcin, sin que

el concepto preciso de funcin se hubiera formulado en aquel entonces. Muchas

construcciones matemticas, como el nmero, por ejemplo, evolucionaron de esa

misma manera. Al principio fueron utilizadas ampliamente y slo mucho ms tarde

surgi una reflexin acerca de la definicin formal de esas construcciones. En el caso

especfico de las funciones, ya en el siglo XVI, cuando los algebristas buscaban

soluciones para las ecuaciones polinmicas de grado 3 y 4 estaban utilizando la idea de

funcin, en el sentido siguiente: la expresin (2x3 3x2 + x 1) tomar un valor

numrico preciso cuando la x sea sustituida por un nmero cualquiera.

Por ultimo para ya comenzar la investigacin, quiero tocar los aspectos ms resaltantes

que sirvan de motivacin a futuras investigaciones sobre el tema.

3

FUNCIN

Digamos que la funcin es uno de los conceptos ms fundamentales de la matemtica,

ya que constituyen uno de los peldaos bsicos de los conocimientos matemticos

necesarios para los estudiantes en su formacin profesional. Una funcin es una

correspondencia entre dos conjuntos numricos, de tal forma que a cada elemento del

conjunto inicial le corresponde un elemento y slo uno del conjunto final que se

relacionan as dos variables numricas que suelen llamarse X (variable independiente),

Y (variable dependiente).

En lenguaje cotidiano o ms simple, diremos que las funciones matemticas equivalen

al proceso lgico comn que se expresa como depende de.

Las funciones matemticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el

costo de una llamada telefnica que depende de su duracin, o el costo de enviar una

encomienda que depende de su peso, por ejemplo:

Cul sera la regla que relaciona los nmeros de la derecha con los de la izquierda en

la siguiente lista? :

1---------------- 1

2---------------- 4

3---------------- 9

4---------------- 16

Los nmeros de la derecha son los cuadrados de la izquierda. La regla entonces seria

elevar al cuadrado X------------ X2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de

funcin). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el nmero".

4

Usualmente se emplean dos notaciones: X------ X2 o f (X)= X2. As f (3) significa

aplicar la regla f a 3 al hacerlo resulta 32=9, en la cual su frmula sera f (a) = a2.

Ahora podemos enunciar una definicin ms formal como una funcin es una regla que

asigna a cada elemento x de un conjunto X exactamente un elemento, llamado f(x), de

un conjunto Y.

Otra definicin que podamos utilizar es que una funcin (f) de un conjunto A a un

conjunto B es una regla que asigna a cada elemento de A exactamente un elemento de

B. El conjunto A se denomina dominio de la funcin y el rango de la funcin es un

subconjunto de B formado por todos los valores asignados.

Para desarrollos tericos usaremos una representacin grfica para indicar que f es una

funcin con un dominio A y codominio B se escribe:

F= A -- B

Si x est en el dominio de f entonces

decimos que f est definida en x. En una funcin, un elemento del dominio se le asocia

un solo elemento en el rango, sin embargo pudiera ocurrir que 2 elementos del dominio

se le asocien el mismo elemento del rango.

5

F(x) representa un valor del rango, ste es el valor de la funcin en el punto x. Por

ejemplo si f(x)=x2, entonces

F (1)=1

F (2)=22=4

F (3)=32=9

Tenemos que 1, 4, 9 son valores del rango de esta funcin. Si el dominio est dado por

todos los nmeros reales entonces el rango son los reales no negativos.

6

TIPOS DE FUNCIONES

-Funciones Polinmicas.

Se llama funcin polinmica si se puede ser escrita en la forma

f(x)=cn-1xn-1++c1x+co, donde n es un entero no negativo y los coeficientes

cn, cn-1, co son nmeros reales.

Si cn 0, entonces n es el grado de la funcin polinmica y cn es el coeficiente principal.

El dominio de las funciones polinmicas son todos los nmeros reales.

Hay funciones polinmicas especiales, algunas de ellas son:

a- Funcin constante: es una funcin de la forma f(x)=k, con k una constante. El

grado es 0. Por ejemplo f(x)=2. Es una funcin que siempre asume el valor 2.

Por ejemplo f (-1)=2; f(200)=2.

b- Funcin lineal: es de la forma f(x)=ax+b, donde a y b son constantes, con a

0. El grado es 1. Por ejemplo f (x)=4 -

3 es una funcin lineal, donde a= -

1

3 .

c- Funcin cuadrtica: es un polinomio de grado 2. Esto es f (x)=ax2+bx+c, con a

0.

-Funciones Racionales.

Se llama funcin racional si se puede ser escrita como un cociente de polinomios.

Ejemplo: Determine si las siguientes funciones son funciones reales.

a) f(x) = 31

2+3 . Es el cociente de polinomios y por lo tanto es una funcin

racional.

b) f(x) = x x1 es una funcin racional. Observe que puede ser reescrita como

f(x) = 1

.

7

-Funcin definida por partes.

En algunas ocasiones hace falta ms de una frmula para poder definir una funcin. El

siguiente ejemplo ilustra una funcin definida por partes.

F(x) = {2 , 5 < 00, 0 < 12 + , 1 5

}

Claramente si f no est en ninguno de estos conjuntos de xs la funcin no est definida.

En este ejemplo, el dominio de f es el intervalo [-5,5]. Si queremos evaluar la funcin,

tenemos que determinar en que regin est el valor a evaluar para usar la frmula

correspondiente. Este tipo de funcin, efectivamente, define una regla. La regla en este

ejemplo es:

Si x est en el intervalo [-5, 0) usamos la frmula x2 para evaluar la funcin.

Si x est en el intervalo [0, 1) la funcin esta definida por f (x)=0 y por ltimo

Si x est en el intervalo [1, 5) usamos la frmula 2 x para evaluar la funcin.

-Funcin valor absoluto.

La funcin f (x)=|| es llamada funcin valor absoluto. Esta funcin tambin la

podemos escribir por partes:

F(x)= {, < 0, 0

}

Por ejemplo; para la siguiente funcin determine su dominio y evale f (-2) y f (3)

F (x) = {2 1 0

1 0 < < 43 4

} R: Dom= R; 3; 2

8

-Funcin compuesta.

Imaginemos que se tiene una cantidad en funcin de una variable y y est variable

tambin puede ser expresada en trminos de una segunda variable x, entonces

podramos estar interesados en expresar la cantidad directamente en funcin de x. por

ejemplo la utilidad depende de la demanda q del mercado y a su vez la demanda

depende del precio p que se coloca al consumidor. En definitiva podemos expresar la

utilidad tambin en trminos del precio p. la situacin descrita tiene que ver con la

operacin entre funciones conocida como la composicin.

Dadas dos funciones f y g, se define la

funcin compuesta f con g, denotada por fog, como (fog)(x) = f (g(x)).

El dominio de (fog) es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que g(x)

pertenece al dominio de f.

Tambin fog se llama la funcin f compuesta con g, o sencillamente la composicin

entre f y g quedando claro el orden de la composicin por la sola notacin.

Para calcular (fog) primero se puede sustituir g(x), y luego se evala f en la frmula de

g(x), esto es f(g(x)). En este caso decimos que f es la funcin externa y g es la funcin

interna.

9

La funcin (fog) en general es distinta a la funcin (gof), en esta ltima se evala g en

f, esto es g(f(x)). En los ejemplos se remarcar esta observacin. El dominio puede ser

expresado a travs de operaciones conjuntistas como:

Dom (fog) = {/ () () ()}

El dominio de la composicin es el conjunto de los x en el dominio de la interna tal que

el rango de valores de la interna est en el dominio de la extrema.

-Funciones inversa.

En esta seccin estamos interesados en definir la funcin inversa de una funcin, es

decir aquella funcin que hace regresarnos al x de partida.

Muchas veces tenemos el precio p en funcin de la demanda existente. Al expresar la

demanda q en funcin del precio p estamos obteniendo la funcin inversa de la anterior

No todas las funciones se les pueden definir una funcin inversa.

10

Por ejemplo si hay un y que es imagen de dos puntos a y b, no vamos a poder definir

una funcin que diga plenamente cmo es el regreso al conjunto de salida, sin dejar de

ser funcin.

La existencia de la funcin inversa de f la podemos establecer mediante la grfica de

la funcin. Si existe una recta horizontal que corta la grfica en dos puntos entonces no

existe la funcin inversa.

Una funcin f tiene inversa si toda recta horizontal corta la grfica de f a lo sumo en un

punto. Una funcin con esta caracterstica la llamaremos biunvoca.

11

GRFICAS DE FUNCIONES

La representacin grfica entre x y f (x) puede ayudar a interpretar mejor las relaciones

x y f (x). La grfica de una funcin es el conjunto de todos los puntos (x, f (x)) de x

est en el dominio de f. siguientemente la tcnica de esta seccin consiste en darle

valores a x y calcular el valor y= f (x). Es claro que los valores a escoger deben estar

en el dominio de la funcin, luego estos puntos son representados en el plano y

finalmente se hace un trazo suave que una esos puntos. La escogencia de los valores x

se hace a conveniencia: que sea fcil calcular el valor de y, que nos de una idea de la

forma de la grfica.

Ejemplo: considere f (x) = . Calcular el dominio de f y trazar la grfica de f.

El dominio de f en este caso son los x tales que x 0. Como se est interesado en el

trazo de la funcin y resulta imposible conseguir todos los puntos de la grfica, slo se

determinarn algunos puntos de ella, los necesarios para hacerse una idea de la forma

de la grfica. Damos valores a x para obtener el valor de y a travs de la frmula

y =

12

-Simetras. Para graficar funciones es til tomar en cuenta las posibles simetras. Esto

se determina estudiando si la funcin es par, impar o ninguna de las anteriores.

Una funcin es par si f(-x) = f(x) para todo x perteneciente al Dominio de f e impar si

f(-x) = -f(x).

Si una grfica es par y (x, y) es un punto de la grfica entonces (-x, y) tambin est en

la grfica. Esto significa que la grfica es simtrica con respecto al eje y. Es decir, si

doblamos el papel a lo largo del eje y entonces el trozo de la grfica de la derecha

coincide con el de la izquierda.

Similarmente vemos que si f es impar y (x, y) es un punto de la grfica de f entonces

(-x, y) es tambin un punto de la grfica de f. La grfica de una funcin impar

permanece igual atrs la rotacin de 1800 en torno al origen.

Por ejemplo: para cada una de las siguientes funciones determine si es par, impar o

ninguna de las anteriores. A) f1 (x) = 2x2 + 2; B) f2 (x) = 3x

3 x C) f3 (x) = 3x+1

En todos los casos debemos evaluar la funcin en x.

a) f1 (-x) = 2(-x)2 +2 = 2x2 +2 = f1 (x), por tanto la funcin es par.

b) f2 (-x) = 3(-x)3 (-x) = -3x3 + x = -(3x3 x) = -f2 (x), por tanto la funcin es

impar.

c) f3 (-x) =3 (-x) +1 = -3x +1, lo cual es distinto de f3(x) y de f3 (x), por tanto la

funcin no es ni par ni impar.

13

Para determinar la paridad de la funcin se evala f en x. De ah uno pasa a determinar

cual relacin se cumple: f (-x) = f (x) o f (-x) = -f (x) o ninguna de las anteriores.

-Intersecciones con los ejes. es una caracterstica que se toma en cuenta en muchas

aplicaciones. Las intersecciones con el eje y es el punto donde la grfica de la funcin

corta el eje y.

Para obtenerla colocamos x=0 en y= f (x) dando un valor de y=b. El valor b es conocido

como ordenada en el origen y el punto (0, b) es el punto en el cual la grfica corta el

eje y.

Las intersecciones con el eje x son los puntos donde la grfica de f corta el eje x. Estos

puntos son donde la coordenada y es 0, entonces para obtener estos punto planteamos.

f(x) = 0 y despejamos x.

14

-Prueba de la recta vertical. recordamos que en ocasiones a una funcin se la puede

definir a travs de una ecuacin en dos variables. Esto es vlido siempre y cuando para

cada x en la ecuacin corresponda un solo valor de y. Por ejemplo la ecuacin

x2 + y2 =1 no define una funcin pues al despejar y, obtenemos para una misma x dos

valores de y: y = 1 2. Una manera alternativa para determinar si una ecuacin

define una funcin o no es a travs del grfico de la ecuacin mediante la prueba de la

recta vertical.

Una ecuacin en dos variables x y y define a y como funcin de x si cada recta vertical

corta la grfica de la ecuacin en a lo sumo un punto.

Si una recta vertical corta en dos puntos o ms la grfica de la ecuacin entonces la

ecuacin no define a y como una funcin de x.

15

Si una funcin define a y como funcin de x y y no est dada explcitamente (no est

despejada), diremos que y es una funcin implcita de x.

-Dominio y rango a travs de la grfica de la funcin.

La figura que est a continuacin muestra la grfica de una funcin y = f (x). Se puede

observar que f (2) = 1. El 2 es un elemento del dominio de f. El dominio de

la funcin es el conjunto (-2, 5], pues all la funcin est definida, ya que todos estos

elementos tienen asignados un valor y y cualquier otro valor de x fuera de este intervalo

no tiene asignado ninguna imagen.

Tambin decimos que 1 es la imagen de 2, el 1 es un elemento del rango del f. en la

grfica podemos ver que el rango de f es el conjunto [-2, 4], pues estos puntos y slo

estos imgenes de alguna x.

Geomtricamente podemos determinar el dominio y el rango de una funcin. Observe

en la prxima grfica que el dominio de f es la proyeccin del grfico sobre el eje x.

16

-Grfica de una funcin definida por partes.

Grafique la siguiente funcin definida por partes. Diga el dominio y el rango de la

funcin.

F(x) = {2 < 0

1 0 < < 2 1 2 4

}

El dominio es el conjunto donde est definida la funcin, en este caso (-, 0) (0, 4].

Para trazar la grfica de la funcin haremos tres tablas de valores correspondientes a

las tres partes de la funcin. Se tomarn los valores extremos de los intervalos de las

partes as no estn contenidos en las partes. Valores dentro de parntesis indicara que

la funcin no toma valor pero podemos conseguir valores de esa parte de la funcin

que se aproximan al punto tanto como se quiera.

Proceso1: x en (-, 0)

Si x 0, entonces f(x) = -x2, esto resulta un trozo de parbola.

Recordemos que normalmente se toman como valores de x los extremos del intervalo

a graficar y si hace falta, algn punto extra. En este caso no hay extremo izquierdo, se

tomaron dos valores en el interior de la regin: -2 y -1. En este parte 0 es el extremo

derecho, evaluamos 0: f (0) = -02 = 0. De nuevo remarcamos que el punto

(x, y) = (0, 0) no est en la grfica pero la grfica se aproxima a este punto, en el

momento de graficar este punto se sealar con un crculo agujereado y se llevar la

grfica hasta este punto. Para recordar que este punto no est en la grfica en la tabla

de valores lo colocamos entre parntesis.

17

Tabla de la primera parte: x en (-, 0)

Dibujamos esos puntos en el plano cartesiano donde se realizar la grfica de la

funcin, recordando que el punto (0, 0) deber colocarse con un circulo agujereado y

se unirn estos puntos con un trazo suave, terminando en el lado derecho y en el lado

izquierdo se colocar una flecha indicar que la grfica continua.

Proceso2: x en (0, 2)

Si x est entre 0 y 2 los valores de la funcin son siempre 1. De nuevo se insiste que el

punto (0,1) no est en la grfica, para indicar esto colocamos un crculo agujereado en

este punto, es necesario calcular el valor del extremo para indicar que la funcin arranca

desde all en esta parte (o bien termina). El punto (2, 1) no pertenece a esta parte de la

grfica, pero luego verificaremos que pertenece a la grfica por ser un punto de la

tercera parte.

Tabla de la segunda parte: x en (0, 2)

Dibujamos estos puntos en el plano donde se est realizando la grfica de la funcin y

se unen estos puntos mediante un segmento de recta que termina justo en los puntos

(0,1) y (2, 1). Recuerde que en esta parte la grfica corresponde a un trozo de recta.

18

Proceso3: x en [2, 4]

Por ltimo, si x est entre 2 y 4 entonces f (x) = x -1. La representacin grfica es un

trozo de recta, es suficiente evaluar la funcin en los extremos de los intervalos para

conseguir esta parte de la grfica.

Tabla de la tercera parte: x en [2, 4]

De nuevo se grafican los puntos y se unen, en este caso como la representacin es una

recta, los unimos mediante un segmento de recta que va de (2, 1) hasta (4, 3).

El punto (2, 1) est incluido en la grfica porque

est en la tabla de valores de la tercera frmula. La flecha en la parte izquierda de la

curva indica que la grfica contina. El punto relleno en la derecha indica que la grfica

termina all y ese punto pertenece a la grfica. Por medio de la grfica podemos

determinar el rango de la funcin f, recuerde que es el conjunto de valores y que son

imagen de algn x en el dominio. En este caso Rango f= (-, 0) [1, 3].

19

A menudo se define nuevas funciones a partir de otras. Por ejemplo suponga que las

funciones f (t) y g (t) representan el nmero de mujeres y hombres respectivamente

trabajando en un pas en el momento t. La suma f (t) + g (t) representa la cantidad total

de personas trabajando en el momento t.

Podemos considerar la suma como una nueva funcin que la representamos como

f + g o (f + g), definida por (f + g) (x) = f (x) + g (x).

Igualmente podemos definir f-g, fg y

como siguen:

(f g)(x) = f (x) g(x)

(f . g)(x) = f (x) . g(x)

(

) (x) =

()

()

Los dominios de f + g, f-g y fg son la parte comn del dominio de f y g, esto es la

interseccin de ambos dominios, pues debe estar definida para f y g simultneamente.

El dominio de

es igualmente la parte comn de los dominios menos los xs tales que

g (x) = 0, esto es con el fin de evitar la divisin entre 0. En notacin conjuntista el

dominio de la funcin cociente est dado por:

Dom

= Dom (f. g) - { / () = 0}.

-Operaciones geomtricas de grficas. En este caso estudiaremos como graficar

funciones a partir de las grficas de funciones conocidas mediante operaciones

geomtricas de traslacin, reflexin, contraccin y alargamiento.

Anteriormente se ha obtenido el trazo de una serie de grficas muy usadas en el clculo.

Estas grficas conviene siempre tenerlas en mente. Ellas sern la base graficar una

familia de funciones.

20

Suponga que la grfica de y= f(x) es conocida y c una constante. A continuacin

veremos como obtener las grficas de y= f(x) + c; y= f(x+c); y= -f (x) y y = cf(x) a

partir de la grfica de f.

Funcin y= f(x)+c, con c > 0. Si un punto (x, y) est en la grfica de y= f(x), entonces

(x, y+c) est en la grfica de y= f(x)+c. De aqu que la grfica de y= f(x)+c es la grfica

de y= f(x) trasladada verticalmente c unidades hacia arriba.

Y= f(x) c, c > 0. Por un razonamiento anlogo, la nueva grfica se consigue

trasladando verticalmente la original c unidades hacia abajo.

-Resolucin geomtrica y analtica de sistemas no lineales. Existe una gran variedad

de sistemas de ecuaciones no lineales. En esta seccin mostraremos como obtener una

solucin aproximada mediante la graficacin de las ecuaciones del sistema. Tambin

daremos recomendaciones analticas para resolver de manera exacta algunos sistemas

de dos ecuaciones con dos incgnitas.

21

Por ejemplo: resolver el siguiente sistema { 2 + 2 = 0

+ 2 = 6

a) analticamente

b) geomtricamente

a) Para resolver este sistema la recomendacin es despejar una de las variables y

sustituirla en la otra ecuacin. Si hay una ecuacin lineal, siempre podemos despejar

cualquiera de las variables y sustituirla en la otra. Despejamos y en la segunda

ecuacin: y= 6 -2x y la sustituimos en la primera: (6 -2x) x2 + 2 =0.

Quedo una ecuacin de segundo grado, la cual resolvemos por factorizacin:

X2 +2x -8=0

(x -2)(x +4)=0

X=2 y x=4.

Ahora cada solucin de x encontrada la sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones

y obtenemos as para cada x su y correspondiente.

Para x=2: sustituimos en la segunda ecuacin y=6 -2.2 = 2. As que una solucin es

(2, 2).

Para x= -4: sustituimos en la segunda ecuacin y=6 -2 . (-4)=14. As que la otra solucin

es (-4, 14).

b) Se grfica las dos ecuaciones lo ms preciso posible. En el eje y se ha escalado de 2

en 2 unidades. En el eje x se ha mantenido la escala unitaria por considerarlas las

mejores escalas.

22

La recta se ha graficado determinando cortes con los ejes. La parbola y=x2 -2 se ha

graficado a partir de la grfica de y=x2. Siempre es conveniente obtener algn punto

ms sobre la grfica. En este caso al dar el valor x=2 obtenemos que y=2, as el punto

(2, 2) est sobre la grfica de y=x2 -2. En la grfica se puede estimar las intersecciones

de las dos curvas, ellas coinciden con las soluciones analticas (-4, 14) y (2, 2).

El sistema tiene dos soluciones dadas por (x1, y1)= (2, 2) y (x2, y2)= (-4, 14).

23

CONCLUSIN

Para finalizar con esta breve investigacin acerca de la funcin debemos recordar que

el tema abarca mucho ms contenido comparado con lo que se realiz en este trabajo,

se demostr como realizar las diferentes graficas segn los diferentes tipos de

funciones, las diferentes frmulas con sus respectivas funciones. Son muy importantes

tanto para las matemticas como para muchas otras ciencias, en especial la fsica y la

qumica.

Tambin se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones

en la vida diaria y, al haber tambin estudiado las ecuaciones matemticas, nos queda

un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemtica.

Creo que el resultado obtenido tras el trabajo de investigacin fue positivo, ya que se

cumple la consiga en cuanto a la informacin terica, y creemos que tambin est

investigacin nos ser til en la prctica, espero que esta investigacin les sea til y

muchas gracias.

24

BIBLIOGRAFA

Carreiras Alejandro, (2007). Microsoft Encarta (Enciclopedia), (1999). Anlisis

matemtico I, Notas de Teora y prctica; 2da edicin. Clarn (Enciclopedia), Tomo

20. Disponible en http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml (2015, 30

de abril). Hora: 4:00 p.m.

Prof. Morales Esther, (2015). Ctedra de matemtica I (Sitio Acadmico Oficial),

(UNEXPO). Disponible en

https://sites.google.com/site/matematicasiunexpo/4-unidades/unidad-3-funciones-

reales (2015, 22 de abril) Hora: 1:00 p.m.

Dunham, W. (1994). The Mathematical Universe. New York: Jhon Wiley & Sons,

Inc. Kline, M (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New

York: Oxford University Press. Disponible en

http://www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/matematica/tema11/Tema11.html (2015, 22 de

abril). Hora: 1:40 p.m.

Funciones Reales. Disponible en

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/funciones1/quince

na8_contenidos_1a.htm (2015, 22 de abril). Hora: 2:00 p.m.

Funciones. Disponible en

http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_vict

oria/funciones.pdf (2015, 23 de abril). Hora: 3:00 p.m.

25