3

AÑO

Funciones I

Par ordenado

Es un conjunto formado por dos objetos matemáticos cualesquiera "a" y "b" denotado por (a; b) que se consideran ordenados con el criterio de uno antecede al otro.

Notación:

(a; b) se lee: "par ordenado a; b"

2

da componente

1ra

componente

Ejemplos:

(2; 5); (-1; -2); (5; 0); (verde; rojo); (hoy; mañana); (vida;

muerte); (subida; bajada) etc.

Observaciones

1. Un par ordenado no es conmutativo

Así: (a; b) (b; a)

2. Igualdad de pares ordenados

Si: (x; y) = (a; b) entonces: x = a y = b

Ejemplo:

• Hallar "x" e "y" si:

Igualando los componentes:

x + 9 = 11 y + 10 = 14 x= 2 y = 4

Luego: x2 + y2 = 22 + 42 = 20

Resuelve los siguientes problemas:

1. Hallar "x" e "y", si (x + 6; 9) = (10; y - 4)

Indicar "x + y"

a) 15 b) 16 c) 17

d) 18 e) 19

2. Hallar "xy", si (2x + y; 2x - y) = (20; 12)

a) 32 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28

3. Hallar "x - y", si (2; 3) + (x; -y) = (5; 1)

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

Resolución:

(x + 3; 9) = (7; y + 4)

4. Calcular el valor de "x + y" si se cumple:

(x+3; 9) = (7; y+4) x + 3 = 7

x = 4

Ejemplo:

y + 4 = 9

y = 5

(2; 4) + (7; 6) - (5; 2) = (x - 2; y - 2) a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

• Hallar "x2 + y2" en la siguiente igualdad:

(x + 2; 6) + (7; 8) = (11; y + 10)

Resolución:

5. Dado:

(3x + 2y; 11) = (22; 4x - y)

(x + 2; 6) + (7; 8) = (11; y + 10)

Sumando los pares ordenados

(x + 2 + 7; 6 + 8) = (11; y + 10)

(x + 9; 14) = (11; y + 10)

Calcular "xy"

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

Producto Cartesiano

Dados los conjuntos A y B; A x B es el producto cartesiano que esta formado por el conjunto de pares ordenados (a; b); tales que la primera componente pertenece a "A" y la segunda componente a "B".

Es decir:

A x B = {(a; b) / a A y b B}

En caso que: A = B se define por:

2

Hallar el número de elementos del producto cartesiano A x B

Resolución:

Número de elementos de A: n(A) = 5

Número de elementos de B: n(B) = 3

Número de elementos de AxB: n(AxB) = n(A) x n(B)

= 5 x 3

= 15

Métodos para calcular el producto cartesiano Sea: A = {1; 2; 3} y B = {a; b}

A x A = A

Ejemplo:

= {(a; b) / a A b A} Hallar A x B y graficar:

A. Diagrama del árbol lógico

• Sea: A = {1; 2; 5}

B = {p; q}

Hallar:

a) A x B b)

B x A

Resolución:

a) A x B = {(1; p) (1; q) (2; p) (2; q) (5; p) (5; q)}

b) B x A = {(p; 1) (p; 2) (p; 5) (q; 1) (q; 2) (q; 5)}

Podemos afirmar: A x B B x A

• Sea: A = {1; 2; 3}

Hallar: A x A

a (1; a)

b (1; b)

1

a (2; a) 2

b (2; b)

3 a (3; a)

b (3; b)

Siguiendo el recorrido de las ramas se obtiene:

A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3; b)}

B. Diagrama sagital

Resolución: A B

A x A = {1; 2; 3} x {1; 2; 3} 1 a

2 A x A = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 1) b

(3; 2) (3; 3)} 3

Conclusiones: 1. El producto cartesiano no es conmutativo en el caso

que: A B o sea:

A x B B x A

Siguiendo el recorrido de las flechas:

A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3; b)}

C. Diagrama cartesiano

2. n(A x B) = n(A) x n(B)

Fórmula para calcular el número de elementos del producto cartesiano.

Ejemplo:

B

b (1; b)

(1; a) a

(2; b)

(2; a)

(3; b)

(3; a)

AxB

• Sea: A = {1; 2; 3; 4; 9}

B = {a; b; c}

1 2 3 A

Del plano cartesiano se tiene:

A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3; b)}

Ejemplo:

• Dados los conjuntos:

A = {x / x es par 3 x < 9} B = {x / x es impar 6 < x 11}

Hallar el producto cartesiano A x B

Resolución:

A = {4; 6; 8} y B = {7; 9; 11}

Para nuestro ejemplo utilizo el diagrama del árbol

7

9

11

4 7

6 9

11

8 7

9

11

Luego:

A x B = {(4; 7) (4; 9) (4; 11) (6; 7) (6; 9) (6; 11) (8; 7)

(8; 9) (8; 11)}

Dados los siguientes conjuntos halla los productos cartesianos correspondientes graficándolos además, por todas las formas posibles.

1. A = {x/x IN 1 < x < 4}

B = {x/x IN 3 x 5}

2. A = {x/x es una vocal}

B = {x/x ZZZ -1 x 2}

3. A = {x/x ZZZ -1 x 1}

B = {x/x IN 2 < x < 4}

4. A = {x/x es un día de la semana}

B = {x/x ZZZ 7 x 10}

5. A = {x/x es par 2 x 10}

B = {x/x es impar 6 x 11}

6. A = {y/y IN; y = x + 2 1 < x 4}

B = {y/y IN; y = 2x 6 < x < 10}

7. A = {y/y IN; y = 3x + 1 2 < x < 7}

B = {x/x ZZZ ; x = y - 3 -1 < y 1}

Relación binaria

Dados dos conjuntos no vacios A y B. "R" es una relación de A en B, si "R" es un subconjunto del producto cartesiano A x B y cumple una regla de correspondencia.

R: A B R A x B

* Ejemplo: • Sea: A = {1; 2; 3}

B = {1; 2; 4}

Encontrar la siguiente relación:

R = {(x; y) A x B / x > y}

Regla de correspondencia

Resolución:

A x B = {(1; 1) (1; 2) (1; 4) (2; 1) (2; 2) (2; 4) (3; 1)

(3; 2) (3; 4)}

x > y: Indica que debemos buscar en A x B los pares

ordenados donde la primera componente es mayor que la segunda.

Luego la relación pedida es:

R = {(2; 1) (3; 1) (3; 2)}

* Ejemplo: • Dado A = {1; 2; 3}

Hallar: R = {(x; y) A x A / x + y 4}

Resolución:

A x A = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 1)

(3; 2) (3; 3)}

Luego la relación pedida es:

R = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (3; 1)}

Dominio y rango de una relación - Llamamos dominio de una relación, al conjunto formado

por las primeras componentes de los pares ordenados de dicha relación.

- Llamamos rango de una relación, al conjunto formado

por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación.

* Ejemplo:

A f B

1 0

1 3

7

9 10

Ejemplo: • Dada la relación: R = {(0; 3) (-1; 2) (-2; 1)}

Establecemos luego:

Dominio de la relación: D(R) = {0; -1; -2} Rango de la relación: R(R) = {3; 2; 1}

Función

Una función "f" de A en B, es un conjunto de pares ordenados donde no existen dos pares ordenados con la misma primera componente.

* Ejemplo:

• R

1 = {(2; 0) (2; 6) (3; 1)} no es una función pues

existe 2 pares ordenados con la misma primera componente

• R

2 = {(3; 6) (5; -1) (2; 4)} es una función

Expresado de otro modo:

Una función "f" es una correspondencia entre dos conjuntos A y B tales que a cada elemento x A se le asocia un único elemento y B tal que y = f(x)

Ejemplo:

No es función pues al elemento 1 se le asocia dos elementos a la vez

f = { (1; 0) (1; 1) (3; 10) (9; 7)}

Propiedad

Si (a; b) f y (a; c) f entonces b = c * Ejemplo: • Hallar "a" para que el conjunto de pares ordenados:

f = {(2;3) (-1; -3) (2; a+5)}

Sea una función

Resolución:

Buscando dos pares ordenados que tienen la misma componente:

(2; 3) f y (2; a + 5) f

Igualando las segundas componentes:

3 = a + 5 luego a = -2

Propiedad

Si el par ordenado (a; b) "f" entonces podemos

A f

2

4

6

conjunto

de partida

B

1

7

6 conjunto

de llegada

escribirlo así: b = f(a) y diremos que "b" es imagen de "a" vía la función "f"

* Ejemplo:

Sea la función:

f = {(2; 3) (3; 4) (7; 3) (-2; 6) (4; 1)}

Hallar:

Es una función pues cumple con la definición, luego:

f = {(2; 7) (4; 1) (6; 6)}

f(7) f(3) f(2)

K f(2) f(4)

Resolución:

(2; 3) f 3 = f(2)

(3; 4) f 4 = f(3)

(7; 3) f 3 = f(7)

(-2; 6) f 6 = f(-2)

(4; 1) f 1 = f(4)

Reemplazando en "K":

* Ejemplo:

Calcular la regla de correspondencia del gráfico mostrado.

A f B

5 4

4 16

2 25

K 3 4 3

6 1

10 2

5

Resolución: Del gráfico

K = 2

Dominio de una función

Se designa "Df " y se define como el conjunto:

Df = {x A / ! y; tal que (x; y) f}

Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados.

* Ejemplo:

Dada la función:

f = {(3; 1) (4; -1) (6; 2) (1/2; -2)}

Entonces el dominio de la función es:

Df = { 3; 4; 6; 1/2}

Rango de una función (o imagen)

Se designa "Rf" y se define como el conjunto:

Rf = {y B / x ; tal que (x; y) f}

Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados

* Ejemplo:

Dada la función:

f = {(6; 4) (7; 3) (9; 4) (-7; 3) (4; 1/2)}

Entonces el rango de la función es:

Rf = {4; 3; 1/2}

f(5) = 25 = 52

f(4) = 16 = 42

f(2) = 4 = 22

Entonces la regla de correspondencia es:

f(x) = x2

* Ejemplo: Determinar la regla de correspondencia de la

función "f" tal que:

f = {(1; 2) (2; 5) (3; 8) (4; 11) (5; 14) (6; 17)}

Resolución:

f(1) = 2 f(1) = 3(1) - 1

f(2) = 5 f(2) = 3(2) - 1

f(3) = 8 f(3) = 3(3) - 1

f(4) = 11 f(4) = 3(4) - 1

f(5) = 14 f(5) = 3(5) - 1

f(6) = 17 f(6) = 3(6) - 1

Luego: f(x) = 3x - 1, es la regla de correspondencia.

Gráfica de una función

La gráfica de una función "f" está formada por un

conjunto de puntos (x; y) en el plano donde los pares ordenados correspondientes a estos puntos los obtenemos asignando a "x" cualquier número real, lo que reemplazamos en la regla de correspondencia para obtener los respectivos valores de "y", esto lo anotamos en una tabla como la siguiente: Graficar: y = x + 1

Dando valores a "x" obtenemos:

Regla de correspondencia

x -4 -3 -2 -1 1 2 3

La regla de correspondencia de una función es la relación

que se establece entre la variable independiente ("x") y la

y -3 -2 -1 0 2 3 4

variable dependiente ("y")

Ubicamos los puntos en el plano cartesiano

Luego la gráfica de: y = f(x) = x + 1 será un trazo continuo de infinitos puntos generando una recta.

Nivel I

Problemas para la clase

1. Si se cumple: (2x - 1 ; 8) = (5 ; y + 5)

y Indicar "x2 + y2 "

-4 -3 -2

4

3

2

1 2 3 x -1

-2

-3

a) 12 b) 36 c) 18 d) 24 e) 6

2. Dados los conjuntos:

A = {1; 5}

B = {4; 6}

Calcular "A x B"

a) {(1; 4) (1; 6) (5; 4) (5; 6)} b) {(1; 4) (5;6)}

Propiedad de las funciones

Una gráfica cualquiera será función; si y solo si, al trazar una paralela al eje "y" corta a la gráfica en un sólo punto.

y

f

x

"f "; si es función

y

"h"

x

"h" no es función pues la recta corta a la gráfica en más de un punto.

c) {(4; 1) (4; 5) (6; 1) (6; 5)}

d) {(4; 1) (6; 5)}

e) {(1; 4) (4; 5) (5; 4) (5; 6)}

3. Dado el conjunto: A = {2; 3}

Hallar A x A y señale la suma de los elementos de los pares ordenados.

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

4. Dados los conjuntos:

A = {1; 2; 3; 4}

B = {a; b}

Hallar "A x B" y señale el número de elementos.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

5. Siendo:

A ={x/x IN 1 < x < 4} B ={x/x IN 3 < x < 5}

Determinar "A x B" y señalar el número de elementos.

a) 4 b) 2 c) 6

d) 8 e) 9 6. Dados: A = {1 ; 2}

B = {1 ; 2}

Hallar: M = {(x ; y) A x B / y = 2x}

Señalar la suma de los elementos de los pares ordenados de "M".

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Sea: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} y las relaciones en "A". 10.¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función?

F = {(x; y) A x A / x < y} G = {(x; y) A2 / x + y = 5} y y

¿Cuántos elementos tiene F G? a) b)

x x a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

8. ¿Cuántas de las relaciones siguientes son funciones? y y

c) d)

R1

= {(2 ; 2) , (3 ; 2) , (4 ; 2)} x

R2

= {(1 ; 0) , (1 ; 2) , (3 ; 3)}

R3

= {(-1 ; 0) , (-1 ; 1) , (2 ; 3)} y

R4 = {(1 ; 0) , (1 ; 1) , (1 ; 2)}

R = {(-1 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 1)} e)

5

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2

9. ¿Cuál de los diagramas sagitales no representa una función?

f g

1 4 1 2

2 5 3 4

3 6 5 6

h

Nivel II 1. Si:

F = {(2 ; a+3) , (2 ; 2a - 1) , (4 ; b+3) , (a ; 3b - 1)};

es función, calcular "ab"

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

2. Sea la función:

f = {(1; 5) (2; 4) (3; -1) (6; 9)}

3 1 Hallar:

4 5

f (6)

f (1) f (2)

f (3)

a) 0 b) 1 c) 2 2 6 d) 3 e) 4

a) Solo f b) Solo g c) Solo h d) f y g e) f y h

3. Dada la función: f(x) = x - 3a

Además: f = {(12; b) (4a; 6) (c; 12)}

Hallar "a + b + c"

a) -1 b) 0 c) 6 d) 29 e) 30

4. Si se cumple:

( x

y ; 12) = (6 ; x - y)

Hallar "xy"

a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7 ,

5. Dada la función:

F = {(5 ; 3) , (2m+3 ; 1) , (6 ; 3m-1) , (6 ; 8)}

Señalar la suma de los elementos del dominio.

a) 18 b) 25 c) 20 d) 30 e) 26

6. Hallar el rango de la función:

G = {(1 ; b) , (1 ; b2 - 2) , (b ; - 2) , (-1 ; 3)}

a) {3} b) {-1 ; 2 ; 3} c) {-1 ; 3} d) {-2 ; 2; 3} e) {-1 ; 2 ; -2 ; 3}

7. Hallar el dominio D

f y el rango R

f de la función:

F = {(b ; a-1) , (9 ; b+3) , (a+1 ; 2a-7) , (2a-1 ; a) , (a+1 ; 3)}

Luego, indicar "D

f Rf".

a) {3} b) c) {2}

d) {2 ; -1} e) {2 ; 3}

8. Calcular la función lineal que tenga: f(1) = 3 además f(2) = 2f(3). Hallar f(100)

a) -100 b) -96 c) -92 d) -91 e) -94

9. Sea la función:

H = {(6 ; b) , (3a ; 9) , (c ; 12)}

Con regla de correspondencia: H(x)

= x - 2a

Hallar "a + b + c"

a) 47 b) 27 c) 20 d) 26 e) 19

10.Sea:

Nivel III 1. Dada la función "H", tal que: H

(x) = ax +b.

Hallar "a - b", conociendo la siguiente tabla para esta:

x 3 5 y 2 1

a) -3 b) -2 c) -4 d) -1 e) 6

2. Sea: A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }; y "F" una función definida en

"A por A".

F = {(1 ; 3) , (2 ; m) , (m+1 ; 2) , (1 ; n - 1)}

Calcular "F(1)

- F(2)

+ F(4)

"

3. Sean las funciones:

F = {(x ; y) R2/f(x)

= 3x+2} G = {(4 ; n) , (7 ; n+1) , (n+1 ; 5)}

Si: F(4) + G(G(a) )

=19, hallar "a"

a) 4 b) 7 c) 11 d) 5 e) 9

4. Sea la función: f

(x) = mx + n, tal que:

f(5)

= 17 f(2) = 6 + f

(0)

Calcular "f(7)

"

a) 12 b) 38 c) 23 d) 42 e) 28

5. Si el par ordenado (3 ; 26) pertenece a la función:

f(x) = 2x + x + m

x 2 5, Si : x 4

Hallar el par ordenado de abcisa dos que pertenece a f .

f( x ) 2x 2,

Si : x 4 (x)

Si : x 4

Calcular "f

(5) + f( f(3) )

"

a) 12 b) 25 c) 24 d) 27 e) 28

a) 12 b) 18 c) 15

d) 24 e) 23

6. Si las funciones:

f(x)

= - x + 3 g(x) = x2 + 2x - 7

Se intersecan en los puntos (m ; n) y (p ; q). Hallar "mp + nq"

a) 4 b) 10 c) -2 d) -8 e) 6

7. Señale la suma de los elementos del rango de la función:

f(x)

= 2x + 3; siendo: x = {1 ; 2 ; 3}

9. Encontrar la función lineal f(x) = ax + b, tal que se

cumple:

a) 21 b) 18 c) 14 d) 10 e) 6

8. Sea la función F: A B

Siendo: F = {(1; 2), (3;4), (6; 7), (8; 9), (10; 6)}

Hallar: F(1) + F(3) - F(6) - F(8) - F(10)

a) -15 b) -16 c) -14 d) -13 e) -12

f(2) = 3 ........ (1)

f(3) = 2f(4) ..... (2)

a) f(x) = -2x + 1 b) f(x) = -x + 4 c) f(x) = -x + 5 d) f(x) = -3x - 4 e) f(x) = -x

10.Hallar la suma de los elementos del rango de la función F = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b - a), (a + b2; a)}

a) 6 b) 5 c) 4 d) 8 e) 7

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

Autoevaluación

1. Calcular "x + y", si:

(2x - 1; 3y + 1) = (7; 10)

a) 1 b) 3 c) 4 d) 7 e) 12

2. Cuántos elementos tiene A x B, si:

A = {x IN / 99 x < 101} B = {x IN / 2 000 < x 2 002}

a) 2 b) 4 c) 6 d) 2 000 e) 2 008

3. Si:

A = {x/x IN 11 < x < 15}

B = {x/x IN 1 x 2}

Indicar el número de elementos de A x B

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

4. Hallar el valor de "a - b" si la siguiente relación es una

función real:

R = {(3; -7) (2; a + b) (5; 7) (2; 3-a) (2; 2)}

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4 5. Si A = {x ZZ/ 4 x 7}

B = {x ZZ/ 2 x 5} C = {x ZZ/ 10 x 14} D = {x ZZ/ 13 x 16}

Calcular (A B) x (C D) Dar como respuesta el número de elementos del producto

cartesiano.

Claves

1. d

2. b

3. c

4. a

5. b

3 AÑO

Funciones II

Cálculo del Dominio y Rango de Funciones

Recordando que el dominio de una función "f" es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función.

Asi:

Df = {x A / ! y; tal que (x; y) "f"}

También el rango de una función "f" es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función.

Asi:

Rf = {y B / x; tal que (x; y) "f"}

* Ejemplo:

1. Dominio y Rango de la función lineal

y = f(x) = ax + b / a IR b IR

Como a cada valor de "x" le corresponde un valor de "y" entonces si a "x" le asignamos valores reales obtendremos para "y" también valores reales.

Luego el Dominio y Rango de la función lineal será:

Df = IR y Rf = IR

* Ejemplo:

La función f(x)

= 2x - 5 por ser lineal, su dominio y rango será: Df = IR y Rf = IR.

* Ejemplo:

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 9; 16} La f un ci ón

f 1

x

La relación: f = {(2; 4) (3; 9) (4; 16)} es una función

1

( x )

1

5 3 es l in e al p ue s

f( x ) x , luego su Dominio y Rango será f: A B con dominio D

f = {2; 3; 4} y Rango R

f = {4; 9; 16} 3 5

Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (D

f) y una regla que

permita asignar para cualquier x Df

y pueda encontrarse su imagen f

(x).

Df = IR y Rf = IR. 2. Dominio y Rango de la función racional

* Ejemplo: Dada la función: f

(x) = 2x2 + x - 3

y = f (x) =

ax + b cx + d

Donde x {-1; 2; 4} Hallar el rango de la función

Resolución:

Como x {-1; 2; 4} D

f = {-1; 2; 4}

Ahora para cada "x" obtenemos su imagen f(x) ó simplemente el rango de la función.

• El Dominio de la función (Todos los valores de "x") es el conjunto de los números reales IR menos el conjunto de valores de "x" que anulen al denominador.

Df: IR - {cx + d = 0}

* Ejemplo:

x = -1 f(-1) = 2(-1)2 + (-1) - 3 = 2 - 1 - 3 f(-1) = -2

Hallar el dominio de la función: f(x) 2x 1

4x 8

x = 2 f(2)

= 2(2)2 + 2 - 3 = 8 + 2 - 3 f(2)

= 7

x = 4 f(4)

= 2(4)2 + 4 - 3 = 32 + 4 - 3 f(4)

= 33

Finalmente la imagen o rango de la función será:

Rf = {-2; 7; 33}

Resolución:

El dominio de la función se obtendrá así:

Df: x IR - {4x - 8 = 0}

Resolviendo la ecuación: x = 2 x IR - {2}

Observación: el dominio de la función:

y f(x)

2x 1

4x 8 x

6y 4 3y 1

lo podemos encontrar de la siguiente manera:

y IR 4x - 8 0 4x 8

x 2

Df: x IR - {2}

Como: x IR 3y - 1 0

3y 1

y 1 3

* Ejemplo:

Hallar el Dominio de la siguiente función

el rango de la función será:

1

Rf: y IR

y f(x)

4x 1

x 2

6

3x 9

3

Método práctico: Sólo para hallar el rango de la función

Resolución:

y IR x - 2 0 3x + 9 0 x 2 3x -9

f(x)

x 4

3x 6

x 2 x -3

Df: x IR - {-3; 2}

Dividiendo los términos lineales del numerador

y denominador.

x 1 Así: R f : y IR y IR

Para hallar el rango de la función racional: y

se despeja "x" en función de "y"

ax b

cx d

* Ejemplo:

3x 3

Hallar el Dominio y Rango de la función:

* Ejemplo:

Hallar el rango de la función: f(x)

Resolución:

x 4

3x 6

Resolución:

f(x)

10x 1

5x 1

Como: y = f

(x) entonces

y x 4 3x 6

Cálculo del Dominio: 5x + 1 0 5x -1

x 1 5

y(3x - 6) = x + 4

Efectuando la multiplicación:

D

f:

x IR

1

5

3yx - 6y = x + 4 Cálculo del Rango: (Utilizo el método práctico)

R : y IR 10x

Despejando "x"

3yx x 6y 4 común: x

f 5x

y IR - {2}

x(3y - 1) = 6y + 4

f

3. Dominio y Rango de la función cuadrática

y = f(x)

= ax2 + bx + c; a 0

• El Dominio de la función está representado por todos los números reales es decir D

f = IR

• Los valores de "y"; es decir el rango de la función

cuadrática se obtiene despejando "x" en función de "y"

Ejemplo:

Hallar el Dominio y Rango de la función cuadrática:

f(x)

= 2x2 + 3x + 2

Ejemplo: Calcular el rango de la función cuadrática

f(x) = 3x2 - 5x + 1; x IR

Resolución: Como y = f(x) entonces y = 3x2 - 5x + 1 la ecuación de 2do grado será:

3x2 - 5x + (1 - y) = 0 Así como el problema anterior para encontrar el rango de la función, resolveremos:

Resolución:

Cálculo del Dominio: x IR

Cálculo del Rango: y = 2x2 + 3x + 2

Formando una ecuación de 2do grado

2x2 + 3x + (2 - y) = 0

Usando la fórmula general para despejar "x" en función de "y"

ax2 + bx + c = 0 (a 0)

b2 4ac 0

discriminante de la ecuación de 2do. grado

a = 3 ; b = -5 ; c = 1 - y

(-5)2 - 4(3)(1 - y) 0

25 - 12(1 - y) 0

Despejando "y"

25 - 12 + 12y 0

13 + 12y 0

x b

b2 4ac

12y -13

2a

b2 4ac

discriminante

y 13 12

de la ecuación R f

13 ;

12

3 x

9 4(2)(2 y)

2(2)

4. Dominio y Rango de la función Raíz cuadrada

Para que x IR lo que esta dentro de la raíz cuadrada o sea la discriminante () deberá ser una cantidad no negativa, es decir:

= 9 - 4(2)(2 - y) 0

Resolviendo:

9 - 8(2 - y) 0 +9 - 16 + 8y 0

-7 + 8y 0 8y 7

y = f(x)

• Al resolver la inecuación f

(x) 0 obtendremos el Dominio

de la función. • El rango de la función se obtiene construyendo la función

a partir del dominio.

Ejemplo:

Hallar el Dominio y Rango de la función:

y 7

Resolución:

f(x) x 5

7 R =

8

8

;

Cálculo del Dominio:

x - 5 0

x 5

Df = [5; +

C ál cu lo d el R an go : Co ns tr uy en do l a fu nc ió n Resolviendo las inecuaciones:

y f (x)

x 5 , partiendo del Dominio. x -4 6 x

Dominio: x 5

Resto 5: x - 5 5 - 5

x - 5 0

Graficando:

x -4 x 6

Dominio

Extraemos : x 5 0

-4 6

como: y x 5 x [-4 ; 6]

y 0 Rf = [0; +

Ejemplo:

Hallar el Rango de la función: f(x)

x 2 6

Los valores enteros son: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

Número de elementos = 11 Ejemplo:

Calcule el Dominio y Rango de la función:

Resolución:

Cálculo del Dominio:

x + 2 0

Resolución:

f (x) x 2 10 x 21

Cálculo del Rango:

x -2 D

f = [-2; +

Cálculo del Dominio: -x2 + 10x - 21 0 Multiplicando por (-1):

x2 - 10x + 21 0 x -7

Dominio: x - 2 x + 2 0

x -3 (x - 3)(x - 7) 0

extraemos : x 2 0

Restando 6: x 2

6 0 6

3 7 como: y x 2 6

Df: 3 x 7 ó [3; 7]

Luego: y -6 R

f = [-6; +

Ejemplo:

Cálculo del Rango:

f (x)

x 2

10 x 21

Calcular el Dominio de la función: Completando cuadrados:

f(x)

x 4

4 6 x

f (x)

x 2 10 x 25 4

Indicar el número de elementos enteros.

Resolución:

Cuando el radical es de índice par lo que esta dentro de la raíz debe ser una cantidad no negativa, es decir:

Luego:

-x2 + 10x - 25 = -(x2 - 10x +25)

= -(x - 5)2

x + 4 0 6 - x 0

f (x)

(x 5)2 4

2

Recordamos que para hallar el Rango de la función

debemos partir del Dominio para construir la función f(x):

Df: 3 x 7

Restando 5:

3 - 5 x - 5 7 - 5 -2 x - 5 2

Al cuadrado:

Sumando 4:

- 4 + 4 -(x - 5)2 + 4 0 + 4

0 -(x - 5)2 + 4 4

Extraemos :

0 - (x - 5)2 4 4

0 (x - 5) 22

0 - (x - 5)2 4 2

0 (x - 5)2 4

Multiplicando por - 1:

Como: y f(x)

- (x - 5)2

4

- 4 -(x - 5)2 0 entonces: 0 y 2

Rf = [0; 2]

Dominio y Rango

la

función

Lineal Racional

(x)

Cuadrática

2

Raíz cuadrada

f = ax + b a 0

f(x) = ax + b cx + d

f(x) = ax + bx + c

a 0 y = f(x)

Dominio Dominio Dominio Dominio

x IR x IR - {cx + d = 0} x IR

Se resuelve

la inecuación

f(x) 0

Rango Rango Rango Rango

y IR

y IR a

c

Se resuelve

la inecuación

0

Se debe construir la función a partir

del dominio

: discriminante

a) [3 ;+ [ b) [2 ; + [ c) ] ; 2] d) IR e)

a) 9 b) 10 c) 14 d) 16 e) 18

a) IR -

b)

c) 4 d) IR+ e) IR

Problemas para la clase 9. Hallar el rango de la función: G

(x)= 3x + 2

Nivel I

1. Señale la suma de los elementos del rango de la función:

f(x) = x2 + 2, siendo: x = {-2; -1; 1; 2}

10.Hallar el rango de la función: H( x )

x 2

a) [2 ; + [ b) [0 ; + [ c) ] ; 2] d) IR e)

2. Hallar el dominio de la función: f(x) = 4x - 1 Nivel II

1. Calcular el rango de la función: G(x) x 2

3. Hallar el rango de la función: f(x) = 4x - 1

a) IR - b) c) 4

d) IR+ e) IR

a) [-2 ; 2] b) [0 ; +[ c) [2 ; +[ d) ]- ; -2] e) [-2 ; +[

2. Calcular el rango de:

4. Hallar el dominio de:

F(x)

7x 3

F(x)

2x 5

x 3

x 7

a) IR b) IR - {8} c) IR - {7}

d) IR - {1} e) IR - {-7}

5. Hallar el rango de:

a) [3 ; +[ b) IR - {3} c) IR - {2} d) ]- ; 2] e)

3. Hallar el dominio: y = 2001x + 2002

a) 2001 b) 2002 G(x)

5x 3

x 6 c) [2001; +[ d) [2002; +[ e) IR

a) IR - {5} b) IR - {-6} c) IR - {-5}

d) IR - {1} e) IR - {-7}

6. Hallar el dominio de la función:

4. Hallar el dominio:

h : R R; h

(x)

2

x 2 4

F(x)

x 4 a) IR - {-2 ; 2} b) -2; 2

c) [-2 ; 2] d) IR - {2}

a) IR+ b) IR c) 4 ; e) IR

d) [ _ 4 ; e) 5. Hallar el dominio:

G : R R ; G

1 (x)

7. Hallar el dominio de la función: F(x) x 6 3 x

a) IR+ b) IR - {1} c) [0;

a) [6;+ [ b) [-6 ; + [ c) [0 ; + [ d) IR e)

8. Hallar el rango de la función: F(x) = x2 + 3x + 1

d) ;0] e) IR - {0}

6. Hallar el dominio:

5 5 G : R R ; G( x ) x 1 4 x 3

a) ; b) ;

4

5 c) ;

4

4 d) IR

a) [1; + b) [3; + c) ; 1

d) ; 1] e) [1 ; 3]

e)

a) - ; 6] b) [6; + c) -; -6]

d) -; 10] e) -; -4]

a) IR b) [5; + c) [4; +

d) ; 5] e) d) 0; 4 e)

a) IR b) IR - {1} c) [5; +

d) [-5; + e) IR - {5}

4 4

7. Hallar el dominio: 4. Hallar "", si el dominio de la función:

F : R R ; F(x)

x 1

4 6 _ x

f (x)

(x 2

1)

4x 2 1

a) [1 ; 6] b) 1 ; 6

c) IR - {1 ; 6}

es: x [;] [; ]

d) IR+ e) IR

8. Hallar el rango:

a) 1 b) 1 c) 3

2 2

1

f( x ) x

d) 2 e) 1 3 6

a) IR b) IR - {1} c) IR - {0}

5. Obtener el número de elementos enteros del dominio de:

d) IR+ e) IR - F(x) x 3 3 x

9. Hallar el rango de la función:

F(x) = -x2 + 2x - 5; x IR

x 2 1

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

6. Calcular el rango de la función:

10.Hallar el rango de la función:

F(x)

0 ;

1

x 2 4

1

F(x)

= x2 - 4x + 9 a)

0 ;

1

b)

c) -1; 0

Nivel III

1. Hallar el rango de: g

(x) = |x + 7| + 5

_1 ; 0 4

7. Hallar el dominio y rango de la función:

y

10

8

2. Hallar el dominio de la función:

x 2

g(x)

x

x 2 1

-5 6

-3

a) IR b) IR - {1} c) IR - {1 ; -1} a) x [-5 ; 6 ; y 8 ; 10] d) e) [-1 ; 1] b) x -5 ; 6 ; y [8 ; 10

3. Hallar el dominio de la función: c) x [-5 ; 6 ; y [-3 ; 10

d) x -5 ; 6 ; y [-3 ; 8]

f (x)

(x 2)(x 5) 3

x 3

e) x IR{-5 ; 6} ; y [-3 ; 10

8. Hallar el rango de la función:

a) -; -5] [2 ; + - {3}

b) -; -4 [4 ; + - {5}

c) -; -5] 3 ; +

d) -; -5] [2 ; +

F(x)

x 2

5x 2 64

e) IR 1 a) 0 ; b) ;

1

c) [0; 5

5 5

1 d)

5

; e) IR

a) IR - {4} b) IR - {2} c) IR - {-2} d) IR e) IR - {1/2}

5

9. Hallar el valor mínimo de la siguiente función:

3. Calcular el dominio de la función:

F(x)

= 2x2 - 4x + 7

a) 0 b) 1 c) 5

g(x) 4x 1

x 2

8

x 5

d) -1 e) -5 10.Dada la función:

F(x)

Calcular "Df Rf"

2 x 3

a) IR - {-5; 2} b) IR - {5; 2} c) IR

d) IR - {2} e) IR - {-5}

a) -3; 2] b) [-3 ; 2 c)

d) [-3 ; 2] e) IR

Autoevaluación

1. Si el conjunto de pares ordenados representa una

función. Calcular "xy"

F = {(2; 4), (3; x+y), (5; 6), (3; 8) (2; x - y)}

4. Calcular el rango de la función:

h(x) 8x 1 4x 2

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

2. Calcular el dominio de la función: f (x) 5

x 2 4

5. Calcular el rango de la función: f(x) = 5x2 + 2x + 1

a) IR - { 2} b) IR - {-2; 2} c) IR

d) -2; 2 e) IR - {-2} a) ;

4

4 b)

5

;

c) IR

d) ; 1] e) [-1; +

Claves

1. c

2. b

3. a

4. b

5. b

f

3

AÑO

k

0 1 2 3

Funciones III

Problemas resueltos

Ejemplo:

• Graficar la siguiente función:

F = {(1; 3) (2; 5) (3; 4) (5; 2)}

Resolución:

Ubicando los pares ordenados en el plano cartesiano.

Funciones especiales 1. Función Identidad: f = {(x; y) IR2 / y = x}

Significa que todos los pares ordenados de la función tienen componentes iguales.

Así: f = { ... (0; 0) (1; 1) (2; 2) (3; 3) ... }

La gráfica es una recta:

y y

5 3

4 2

3 1

2 45°

0 1 2 3 x 1

1 2 3 4 5 x

Del gráfico: Df = IR Rf = IR

• Ejemplo:

Si: f: IR IR graficar la función: f(x) = 2x + 1

2. Función constante: f = {(x; y) IR2

/ y = k ; k IR}

Resolución:

Se trata de una relación en IR2 y que los pares ordenados que se logren darán lugar a puntos que al graficarlos quedarán ubicados unos a continuación de otros constituyendo una línea que en este caso es una línea recta, dando valores a "x" mediante la regla de correspondencia y = 2x + 1 llenamos la siguiente tabla.

x -2 -1 0 1 2 3 4 ...

y -3 -1 1 3 5 7 9 ...

Ubicando los puntos correspondientes a cada par ordenado en el plano cartesiano se obtiene:

y

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Esto significa que todos los pares ordenados tienen segunda componente igual a "k".

Así: f = { ... (0; k) (1; k) (2; k) ...}

La gráfica en este caso será una recta horizontal paralela al eje x.

y

x

Del gráfico: Df = IR R

f = {k}

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = 3

Resolución:

En el plano cartesiano: y = 3 ó f(x) = 3

y

3

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 x

-1

-2

-3

x

Luego: Df = IR R = {3}

3. IR

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = -6

Resolución:

En el plano cartesiano

y

x

-6 y = -6 ó f(x) = -6

Luego: Df = IR Rf = {-6}

* Ejemplo: Calcular la función lineal que tenga las

ecuaciones.

f(1) = 3 ............ (1)

f(2) = 2f(3) ......... (2)

Resolución:

Definamos la función lineal como: f(x) = ax + b como: f(1) = 3 f(1) = a + b = 3 ...... ()

Además:

f(2) = 2f(3) 2a + b = 2(3a + b)

Reduciendo:

b = -4a ...... ()

2

F u n c i ó n l i n e a l : f = { (x ; y ) / y = ax + b} De y :

a b 3

Es una función con dominio y rango en todos los reales y la regla de correspondencia es y = f(x) = ax + b, donde "a" y "b" son constantes cualesquiera (a 0), su gráfica es una recta.

* Ejemplo:

Graficar la función: f(x) = 3x + 6

Resolución:

b 4a

se tiene: a - 4a = 3

a = -1 b = 4

f(x) = -x + 4

4. Función valor absoluto: f = {(x; y) IR2 / y = |x|}

Definiendo el valor absoluto de un número real "x":

f(x) = 3x + 6 y = 3x + 6

| x |

x, si : x 0

si: x = 0 entonces:

y = 3(0) + 6

x, si : x 0

y = 6 luego un punto de la recta es (0; 6)

si: y = 0 entonces:

0 = 3x + 6

x = -2 luego el otro punto de la recta es (-2; 0)

Con estos dos puntos pertenecientes a la recta ya podemos trazar su gráfica.

Esto significa que: f = {... (-2; |-2|) (-1; |-1|) (0; |0|) (1; |1|) (2; |2|) ...} f = {...(-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) ...} La gráfica son dos rectas con un punto común formando la letra "V"

y y

(0; 6)

(-2; 0) x

45° x

-2 -1 0 1 2

Del gráfico: Df = IR R

f = IR

Del gráfico: Df = IR Rf = IR+ {0}

2 2

2 2

5. Función raíz cuadrada: f = {(x; y) IR2 / y = x }

Significa que:

f = {(0; 0) (1; 1) (2; 2 ) (3; 3 ) ... }

La gráfica es una semiparábola:

b2

2b2 4ac

y 4a

4ac b2 y ó

4a

y

b2 4ac

4a

....(1)

pero "b2 - 4ac" se llama discriminante y lo podemos

y reemplazar por: D = b2 - 4ac

3 Luego en (1): y D

2 4a 1

0 1 2 3 x

el vértice de la parábola, tiene las siguientes

coordenadas: V

b ; D

Del gráfico: Df = IR+ {0} 2a 4a

Rf = IR+ {0} 6. Función cuadrática:

f = {(x; y) IR2 / y = ax2 + bx + c ; a, b, c IR ; a 0}

* Ejemplo: Graficar la función f(x)

Resolución:

= 2x2 + 4x - 1

Es una función con dominio en el conjunto de los números reales, su gráfica es una línea curva llamada parábola.

Identificando: a = 2 ; b = 4 y c = -1 Calculamos la abscisa del vértice:

La parábola es abierta hacia arriba, si: a>0 y hacia abajo si: a<0.

x b

2a x

4

2(2) x 1

y

a>0

y vértice de la

parábola

Calculando la ordenada del vértice:

y D 4a

x 1 x 2

x

x

1

a<0

x2 x

y b

y = -3

4ac

4a

4

4(2)(1)

4(2)

Los puntos x1 x2 lo obtenemos cuando la ordenada "y" es cero: 0 = ax2 + bx + c

Resolviendo la ecuación se obtiene los valores de "x"

Observación: Si x = -1 lo reemplazamos en la regla

de correspondencia y = 2x2 + 4x - 1 obtendremos el valor de "y":

que son "x1" y "x2". Así: y = 2(-1)2 + 4(-1) - 1 y = -3

Coordenadas del vértice de la parábola

b La abscisa del vértice esta dada por: x

2a

Luego el vértice de la parábola es V(-1; -3) Como a = 2 ("a" es positivo) la parábola se abre hacia arriba, la gráfica aproximada es:

Si reemplazamos este valor de "x" en la regla de y correspondencia: y = ax2 + bx + c obtenemos la ordenada del vértice.

y = ax2 + bx + c -1

2 x

y a

b

2a

b

b c

2a -3

y b

b c

4a 2a

0b

* Ejemplo:

Graficar la función: f(x) = x2

Resolución:

la gráfica aproximada es:

y

3 4

a 1 (la parábola se abrehaciaarriba)

y 1x2 0x

0

c 0

x1 x2 x

-25 8

la abscisa del vértice será: Los puntos "x

1" y "x

2" los obtenemos cuando la ordenada

"y" es cero.

x b

0

0 x 0 0 = 2x2 - 3x - 2

2a 2(1)

x = 0 lo reemplazamos en la regla de correspondencia para hallar la ordenada.

2x +1

x -2

Resolviendo: 2x + 1 = 0 x - 2 = 0

y = x2 y = (0)2 y = 0

La gráfica será la parábola que se abre hacia arriba cuyo vértice es (0; 0)

x 1

2 x1

Finalmente la gráfica será:

x 2 x2

y

V (0; 0) x

y -1 2

-25

8

3 4

2 x

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = 2x2 - 3x - 2

Resolución:

Identificando los coeficientes:

Desplazamiento de funciones a. Desplazamiento horizontal (siendo: h > 0)

y 2x 2 3x 2

a 2

(la parábola se abre

hacia arriba)

f(x+h) f(x) f(x-h)

b 3 c 2

h: unidades hacia

la izquierda

h: unidades a

la derecha

Abscisa: x b 2a

Ordenada:

2

x

2

3

2(2) x

3 4

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = |x - 3|

Resolución: 3 unidades a la derecha se tendrá:

y

y b 4ac

4a

(3) 4(2)(2)

4(2)

y = |x| y = |x - 3|

25

8 y

25 8

x

1 2 3

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = (x + 2)2

* Ejemplo:

Graficar: f(x) = |x| - 2

Resolución: 2 unidades a la izquierda se tendrá: Resolución:

Graficando: y = x 2

y = (x+2)2

Graficando: y = |x| 2 unidades hacia abajo

se tendrá

y = |x| - 2

-2 -1

b. Desplazamiento vertical (siendo: h > 0)

y

f(x) + h

Reflejo de funciones

a. Reflejo en el eje "x"

"h" unidades hacia arriba

x

-f(x)

y

f(x)

x

f(x)

b. Reflejo en el eje "y"

y y

y f(x) f(-x)

x

f(x) - h

x x

"h" unidades hacia abajo

* Ejemplo:

Graficar:

f(x)

x 2

c. Con valor absoluto

y

f(x)

y

|f(x)|

Resolución: x x

Graficando: y= x 2 unidades hacia arriba se tendrá

y y y= x + 2

2

1

x x

x x

y

x

Nivel I

Problemas para la clase 4. G r a f i c a r : g

(x)= -2x + 3

y y

1. Graficar: f(x)

= 3x - 2

y y

a) x

b) x

a) x b) x y y

c) d)

y y

c) x d) x

y e)

x

e) x

5. Graficar: y = | x | + 5

2. Graficar: f(x)

= 6

y

6

a) x

y

b) x

y y

5

a) b) x x

y y

y y

c) d) x 6 x

c) d) x x

-5

y

y e) x

x

e) -6

6. Graficar: y = | x - 2 | + 3

3. Graficar: f(x)

= -2

y y

y y

3 3

a) b) 2 x -2 x

a) -2 x b)

2 x y y

3

y y c) 2

2

3

d) -2 x

c) x d) x y

e)

y x

e) x -2

x

y

x

7. Graficar: y = x2 - 2 10.Graficar: y

x 3

y y

a) b)

x x

-2

y y

a) x b) x

y y

2

c) d) 2 x x

y y

c) x d) x

y

e)

-2 x

y

e) x

8. Graficar: y = x2 + 4

Nivel II

y y

a) b)

x x -4

1. Graficar: y 5

4

; x 10

; x 10

y y

y

c) -4

y

4

d) x

a) x b) x

y y

c) x d) x

y

4

e) x

9. Graficar: y

x 3

e) x

y y

a) b)

x x

2. Hallar el área de la región formada por la función: g: R R; g

(x) = -2x + 3; con los ejes de coordenadas

cartesianas.

a) 3 u2 b) 6 c) 1 9

y y

c)

x

-3

d) 3

d) 9 e) 9 4

3. Hallar el área de la región formada por la función lineal:

f: R R; f(x) = -2x - 5; y los ejes de coordenadas. y

e) -3 x

a) 25 u2 b) 2

25 c) 10 4

d) 5 e) 30

8. = x

2

4. Hallar el área de la región formada por las funciones: f

(x) = 8 ; g

(x) = x y el eje "y".

a) 8 u2 b) 16 c) 32 d) 64 e) 30

5. Sea la función:

7. Graficar: f(x) = |x - 2|

y

a)

x

y

b)

x -2

y

f(x)

x

Graficar: f(x - 2)

y y

y y

c)

x d)

x

y

e)

-2 x

a) b) 2 x 2 x

2 S i : b < 0 ; l a g r á f i c a d e : F

(x)

y

+ 2bx + b2; es:

y

y y

a) x b) x

c) d)

2 x -2 x y y

y

c) x d) x

e) 2

x

y

6. Sea la función:

y

e) x

Graficar: g(x) + 2

y

g(x)

x

y

9. Graficar:

y

f (x)

1,

0,

1,

si:

si:

si:

x > 1

x = 1

x < 1

y

1

a) b) 2 x x

-2

1

a) b) 0 1 x 0 x

-1 -1

y y

y y

2 2

c) d) x x

1

c) d) 0 1 x 1 x

-1 -1

y

y

e) e)

x

1

0 1 x

-1

x

2

x

x

10.Graficar: f(x) = |x| + 2

3. Graficar: f (x) x

y y

a) 2

b) x x

-2

y y

2

c) d) x x

y y

a) b)

x x

y y

y

e)

-2 x

c) d) x x

y

Nivel III e)

x

1. Graficar: f(x) = x2 + 1

y

1

a) b) x

y

-1 x

4. Hallar el área del triángulo mostrado:

y

f(x) = -x2+9

y

1 c)

x

y

1

d) x

y

a) 1 8 u

e)

b) 32 c) 27

x d) 24 e) 25 -1

5. Hallar el área del triángulo sombreado, si "L" es una recta de pendiente -3.

2. Graficar: f(x) = x2 + 12x + 36

y y y

a) b)

-6 x

y

c)

6

y

e)

x

-6

y

6

d) x

x

L

a) 12 u2 b) 32 c) 18 d) 24 e) 16

6. Hallar el área de la región limitada por las rectas:

f(x) = x + 3 ; g(x) = -4 y el eje "y"

a) 51 u2 b) 2

32 c) 49

3 2

d) 23 e) 25 2

2

7. Sea la función lineal: f : R R; f(x)

= 2x - 3; y la función

9. Graficar: f

= | x 2 3 |

c u a d r á t i c a : g

(x) = 6x

puntos (a;b) y (c;d).

Indique "

db "

ac

+ x - 4; se interceptan en los (x)

y

a)

y

x b) x

a) -22 b) -44 c) 11

d) -11 e) -33

8. Graficar: f ( x ) | x |

x

y y

c) x d) x

y

1

a) x -1

y

y

b) x

e) x

y

1 1

c) d) x

-1

10.Graficar: f ( x ) x 2 2 | x | 1

y y

1

e) -1

a) b) x

y

-1 1 x

1

c) -1 d) x

e)

5. = x2

Autoevaluación 4. Graficar: f ( x )

x 1

1. Graficar: f (x) x 2 y y

y y

2

a) b) x x

-2

a) b)

x x -1

y y

y y

c) d)

x 2 x

1

c) d) x x

y

y

e) 1 x

e) -2

x

2. Graficar: f(x) = 2x + 3

y y

G r a f i c a r : f (x)

y

+ 10x + 25

y

a) b) x x

a) b) x x

-5

y y

c) d)

x x

y y

c)

5 d)

x 5 x

y

y e)

-5 x

x

3. Graficar: f(x) = -3

y y

3

a) x

b) x

-3

y y

c) 3 x

y

e) 3 x

d) -3 x Claves 1. e

2. c

3. b

4. c

5. e