Universidad Nacional Andrés BelloFacultad de Economía y Negocios

Microeconomía AvanzadaProf: C. Belmar

Funciones de Producción

Ayudante: Mauricio Vargas

15 de septiembre de 2013

1. Funciones de producción

La producción de un bien se realiza con factores productivos y conocimientos tecnológicos. La función deproducción representa la combinación de factores y conocimientos para producir el bien. Incluye un conceptode optimalidad y e�ciencia en el sentido que representa la máxima cantidad del bien que se puede producircon una determinada combinación de factores. Está de�nida para un determinado tiempo y para un nivel del“estado de las artes”.Generalizando los diversos factores que intervienen en la producción del bien en capital (K) y trabajo (L), unafunción de producción se puede expresar matemáticamente como

Q = f (K , L)

en donde Q representa el nivel de producto y f la función, el conocimiento técnico-productivo.Si el estado de las artes mejora (cambio tecnológico), con la misma dotación de factores es posible producir unmayor nivel de producto.En el plano K , L, para cada nivel de producto, la función de�ne una línea, convexa al orígen, que se denominaisocuanta o isoproducto.Una isocuanta se de�ne como la curva que representa las diferentes combinaciones de capital y trabajo(factores) para producir un determinado nivel de producto.

L

K

Q1Q2

Q3

El grá�co representa el mapa de isocuantas de una determinada función de producción.En condición de rentabilidad económica, la pendiente de la isocuanta debe ser negativa por cuanto, existiendosólo 2 factores, la única forma de mantener el nivel de producto es disminuyendo uno de los factores, esaumentando el otro. Una pendiente positiva de una isocuanta no respetaría la de�nición pues, con unapendiente positiva, la función no estaria de�niendo el “máximo nivel de producto”.

1

Diferenciando la función de producción se obtiene

dQ = ∂Q∂K

dK + ∂Q∂L

dL

en una isocuanta dQ = 0 luego, la pendiente de una isocuanta en un punto cualquiera será:

dKdL

= − ∂Q/∂L∂Q/∂K

o tambiéndKdL

= − PMд(L)PMд(K)

Se denomina tasa marginal de sustitución técnica a la pendiente con signo positivo

∣TMSTK ,L∣ =PMд(L)PMд(K)

La pendiente de la isocuanta de�ne la valoración marginal del capital con respecto al trabajo que tiene una�rma en producción. Representa cuantas unidades de capital esta dispuesta a intercambiar por una unidad detrabajo para producir una misma cantidad del bien.En competencia perfecta, si la valoración marginal del capital con respecto al trabajo que tiene la �rma, esmayor que la existente en el mercado (determinada por el mercado) entonces, la �rma cambiará la razon de usode sus factores contratando más capital, y disminuyendo trabajo, hasta que ambas valoraciones sean iguales.Dado que, en general, no se observa especialización en la utilización de factores por parte de las �rmas, ellosugiere isocuantas convexas al origen.En el plano K , L, para cada nivel de capital, la función de�ne una línea de producto total del factor trabajo.

Q

K

A

B

0

El gra�co presenta la curva de producto total para distintos niveles de utilización del capital (para el factortrabajo es análogo).Si se de�ne Q/L como el producto medio del trabajo y ∂Q/∂L como el producto marginal del trabajo, para unpunto cualquiera Z, la pendiente 0Z representa el producto medio y la tangente a la curva en Z representa elproducto marginal.En este sentido la curva de producto total presenta tres zonas bien diferenciadas:

1. De 0 a A: El producto medio es creciente y el producto marginal es mayor que el producto medio.

2

2. De A a B: El producto medio y el producto marginal son decrecientes, pero el producto marginal esmenor que el producto medio.

3. De B en adelante: El producto marginal es negativo y el producto medio es decreciente.

La zona 0A se llama de retornos crecietes al factor y la zona AB, de retornos decrecientes al factor.

1.1. Conceptos relacionados

Se llama isoclina a la línea que une los puntos de las isocuantas que presentan igual inclinación (igual tasamarginal de sustitución técnica)

L

K

Existirá una isoclina para cada pendiente.Se llama senda de expansión a la isoclina correspondiente a la razón de precios de los factores determinada porel mercado. Si de�nimos w como el precio del trabajo y r como el precio del capital, la isoclina correspondientea la pendiente de las isocuantas es la senda de expansión. Matemáticamente esto es

∂Q/∂L∂Q/∂K

= wr

L

K

wr

Una �rma competitiva que esta aumentando su producción se moverá contratando factores a lo largo de lalínea de expansión.Se llama curva de escala a la recta que une puntos de igual razón de uso de factores.

3

L

K

LK

A lo largo de una curva de escala las pendientes de las isocuantas no son necesariamente iguales.En el plano K , L en que no sólo aumenta K sino que también aumenta L en la misma proporción que K, lascurvas de escala pueden ser de tres tipos:

L

K

A

B

C

1. A→ Retornos constantes a escala: Lo que implica que ante un cambio proporcional en el uso de todoslos factores, el producto aumenta en la misma proporción.

2. B→ Retornos decrecientes a escala: El producto aumenta en una proporción menos al aumento de todoslos factores.

3. C → Retornos crecientes a escala: El producto aumenta en una proporción mayor al aumento de todoslos factores.

Relacionado con el concepto de retorno a escala se encuentra el concepto de homogeneidad.Una función de producción es homogénea de grado n si amplicando todos los factores productivos por unmismo valor, el producto se incrementa en dicho valor elevado a n.Si Q = f (K , L) es homogénea de grado n, entonces f (λK , λL) = λnQ para cualquier λ positivo.Relacionando con los retornos a escala:

1. Si n = 1 se trata de una función con retornos constantes a escala.

2. Si n < 1 existen retornos decrecientes a escala.

3. Si n > 1 existen retornos crecientes a escala.

Es preciso señalar que las funciones homogéneas son caso especial dentro de las funciones. Una función puedeno ser homogénea pero presentar retornos de escala constantes, crecientes o decrecientes.

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1.2. Ecuación de Euler

En adelante asumiremos que la función de producción es una función de producción Cobb-Douglas:

Q = A ⋅ (KαLβ)

en donde A representa una constante positiva y α y β dan cuenta de las proporciones de uso de los factores(esto se retomará más adelante). También se asumirá que α + β = 1, lo que da lugar a una función homogéneade grado 1.Tengamos presente que para esta función se producción se tiene lo siguiente cuando L = 1:

Q = f (K , 1) = A ⋅ Kα

por lo que cuando el factor L (o el factor K) tienen valor 1 se puede expresar la función de producción comof (K) o f (L) respectivamente.Tomando λ = 1/L

f (KL, 1) = Q

Ln

Ln f (KL) = Q

El producto marginal del capital será

∂Q∂K

= Ln ⋅ f ′ (KL) ⋅ 1

L= Ln−1 ⋅ f ′ (K

L)

El producto marginal del trabajo será

∂Q∂L

= nLn−1 ⋅ f (KL) − Ln ⋅ f (K

L) ⋅ K

L2= nLn−1 ⋅ f (K

L) − K

L⋅ Ln−1 ⋅ f (K

L)

Multiplicando los productos marginales por la cantidad de factores se tiene:

∂Q∂K

⋅ K + ∂Q∂L

⋅ L = KL⋅ Ln ⋅ f (K

L) + nLn ⋅ f (K

L) − K

L⋅ Ln ⋅ f (K

L)

= nLn ⋅ f (KL)

= nQ

Esta se conoce como ecuación general de Euler, que para una función homogénea de grado 1 se convierte en

∂Q∂K

⋅ K + ∂Q∂L

⋅ L = Q

y este resultado se conoce como ecuación de Euler.Haciendo la razón de productos marginales se obtiene:

∂Q/∂L∂Q/∂K

=n ⋅ f (K

L )f ′ (K

L )− K

L

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Siendo f y f ′ funciones de K/L (por ser f homogénea), entonces la tasa marginal de sustitución técnicadepende sólo de la razón de uso de los factores. Esta condición implica que a lo largo de la curva de escala(igual razón de uso) las rectas tangentes a las isocuantas son iguales. Es decir la curva de escala y la senda deexpansión coinciden.Además, en el caso de una función homogénea de grado 1

QK

= f ′ (KL)

∂Q∂L

= f (KL) − K

L⋅ f ′ (K

L)

Ambos productos marginales dependen sólo de la razon de uso de las factores. Esto quiere decir que a lo largode una curva de escala los productos marginales son constantes.

2. Elasticidad de producción

La elasticidad parcial de producción mide el cambio porcentual en la cantidad producida ante un cambioporcentual en uno de los factores manteniendo el resto constante. Matemáticamente corresponde a:

εQ ,K = ∆Q/Q∆K/K

= ∆Q∆K

⋅ KQ

= ∂Q∂K

⋅ KQ

= PMд(K)PMe(K)

εQ ,L = ∆Q/Q∆L/L

= ∆Q∆L

⋅ LQ

= ∂Q∂L

⋅ LQ

= PMд(L)PMe(L)

La elasticidad total de producción indica el cambio porcentual en la cantidad producida ante un cambioporcentual igual en todos los factores. Matemáticamente corresponde a:

ET = ∆Q/Qm

con m = ∆K/K = ∆L/L.

2.1. Relaciones entre elasticidad total y elasticidades parciales de producción

Diferenciando totalmente la función de producción:

dQ = ∂Q∂K

dK + ∂Q∂L

dL

dividiendo por Q y completando las elasticidades:dQQ

= ∂Q∂K

⋅ KQdKK

+ ∂Q∂L

⋅ LQdLL

dQ/Qm

= ∂Q∂K

⋅ KQ+ ∂Q

∂L⋅ LQ

εT = εQ ,K + εQ ,LLa elasticidad total es la suma de las elasticidades parciales. Esta es otra forma de presentar la ecuación deEuler. Multiplicando la ecuación anterior por Q se tiene,

ETQ = ∂Q∂K

⋅ K + ∂Q∂K

⋅ L = nQ

Si la función de producción es homogénea de grado n, la elasticidad total representa el grado de homogeneidad.

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1. Si ET = 1 se tienen retornos constantes a escala.

2. Si ET > 1 se tienen retornos crecientes a escala.

3. Si ET < 1 se tienen retornos decrecientes a escala.

3. Relación entre isocuantas, producto total, medio y marginal para una fun-ción homogénea de grado 1

La ecuación de Euler establece:Q = ∂Q

∂K⋅ K + ∂Q

∂L⋅ L

dividiendo por L

QL

= ∂Q∂K

⋅ KL+ ∂Q

∂L

PMe(L) = PMд(K) ⋅ KL+ PMд(L)

Se tienen tres casos:

1. Si PMд(K) > 0 entonces PMe(L) > PMд(L)

2. Si PMд(K) = 0 entonces PMe(L) = PMд(L)

3. Si PMд(K) < 0 entonces PMe(L) < PMд(L)

Además:

Q = L ⋅ QL

Q = L ⋅ PMe(L)

derivando con respecto a L∂Q∂L

= PMe(L) + L ⋅ ∂PMe(L)∂L

es decir,

PMд(L) = PMe(L) + L ⋅ ∂PMe(L)∂L

Nuevamente se tienen tres casos:

1. Si PMe(L) es creciente: PMд(L) > PMe(L) y ∂PMд(L)/∂L > 0

2. Si PMe(L) es decreciente: PMд(L) < PMe(L) y ∂PMд(L)/∂L < 0

3. Si PMe(L) es máxima: PMд(L) = PMe(L) y ∂PMд(L)/∂L = 0

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Estas conclusiones se pueden representar en gra�cos para relacionar isocuantas con curvas de producto total,medio y marginal.

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PMe , PMд

K

PMд(K)

PMe(K)

Q

K

L

K

A

B

L0

0

9

En la zona 0A, el producto medio del trabajo es creciente y el producto marginal del trabajo es mayor que elproducto medio. Ello implica que el producto marginal del capital es negativo y en consecuencia la pendientede la isocuanta es positiva.En la zona AB el producto medio del trabajo es decreciente y el producto marginal del trabajo es menor que elproducto medio. El producto marginal del capital es positivo y la pendiente de la isocuanta es negativa.La tabla siguiente resume las posibilidades:

PMe(L) PMд(L) PMe(K) PMд(K) Pendiente isocuantaÁrea 0A > 0 > PMe(L) decreciente < 0 > 0

creciente > PMд(K) < PMд(K)Punto A máximo = PMe(L) > PMe(K) = 0 = 0

Área AB > 0 < PMe(L) > 0 < PMe(K) < 0decreciente decreciente decreciente decreciente

Punto B > PMд(L) = 0 máximo = PMe(K) =∞

Área BC decreciente < 0 > 0 > PMe(K) > 0> PMд(L) < PMe(L) creciente

Usando la característica de una función homogénea de grado 1 de que tanto los productos marginales comolos producto medios dependen sólo de la razon de uso, el cuadro se puede representar en un grá�co de dobleentrada.

PMe(L) , PMд(L)

K

PMe(K) , PMд(K)

L

I II III

PMe(L) PMe(K)

PMд(L)PMд(K)

En la zona I el producto marginal del capital es negativo y en consecuencia ninguna �rma en competenciaestará maximizando en esa zona, pues lo que el capital marginal está aportando es negativo y si dicho factortiene un precio positivo en el mercado, ninguna �rma estará dispuesta a pagar por esa unidad marginal delcapital que solo traería perjuicios.Lo mismo sucede con el trabajo en la zona III.En consecuencia la única zona de producción compatible con una �rma en competencia perfecta es la zona IIen donde ambos productos marginales son positivos pero decrecientes. Es decir, una �rma en competenciaperfecta trabaja sólo en la zona de rendimientos decrecientes al factor. Sin embargo, para un monopolio quetiene un factor �jo, puede ser compatible trabajar en la zona de rendimientos crecientes de un factor.Estas conclusiones derivadas de la zona II han sido comprobadas empíricamente y se conocen como la “ley delos rendimientos decrecientes” o “ley de las proporciones variables”. Sin embargo esto último se cumple enmuchos casos empíricos pero no es una generalidad, los rendimientos dependen de la tecnología. Recordemos

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que la tecnología o función de producción (son conceptos equivalentes) dependen del estado de las artes, esdecir, ante una mejora en el conocimiento o ante los avances cientí�cos habrá una mejora en los procesosproductivos por lo que un aumento del uso de un factor no necesariamente se vuelve más ine�ciente en lamedida que agregamos sucesivas unidades de dicho factor a la producción.

3.1. Relación entre productos marginales

En la zona II se puede observar que al aumentar la razon de uso de L/K (o aumentar) L, el producto marginaldel trabajo disminuye mientras que el producto marginal del capital aumenta, aun cuando puede no habervariado la contratación del factor capital.Utilizando la ecuación de Euler para una función homogénea de grado 1 se tiene:

Q = ∂Q∂K

⋅ K + ∂Q∂L

⋅ L

Derivando con respecto a L

∂Q∂L

= ∂∂L

( ∂∂K

f (K , L)) ⋅ K + ∂∂L

( ∂∂L

f (K , L)) ⋅ L + ∂∂L

f (K , L)

∂∂L

f (K , L) = ∂∂L

( ∂∂K

f (K , L)) ⋅ K + ∂∂L

( ∂∂L

f (K , L)) ⋅ L + ∂∂L

f (K , L)

∂∂L

( ∂∂L

f (K , L)) = −KL⋅ ∂∂L

( ∂∂K

f (K , L))

Derivando con respecto a K

∂Q∂K

= ∂∂K

( ∂∂K

f (K , L)) ⋅ K + ∂∂K

f (K , L) + ∂∂K

( ∂∂L

f (K , L)) ⋅ L

∂∂K

f (K , L) = ∂∂K

( ∂∂K

f (K , L)) ⋅ K + ∂∂K

f (K , L) + ∂∂K

( ∂∂L

f (K , L)) ⋅ L

∂∂K

( ∂∂K

f (K , L)) = − LK⋅ ∂∂L

( ∂∂K

f (K , L))

Ojo con la notación. Las segundas derivadas operan de derecha a izquierda. Es decir,

∂∂L

( ∂∂K

f (K , L))

sign�ca que primero se deriva f con respecto a K y luego dicho resultado se deriva con respecto a L.

PMд(K)

L

∂∂LPMд(K0)

PMд(L)

K

∂∂K PMд(L0)

L0 L1 K0 K1

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La segunda derivada∂∂L

( ∂∂L

f (K , L))

es la pendiente (negativa) de la curva de producto marginal del trabajo, en consecuencia

∂∂L

( ∂∂K

f (K , L)) ,

que es el cambio en la productividad marginal del capital ante un aumento del factor trabajo, debe ser positivo.Esto quiere decir que ante un aumento del factor trabajo, el producto marginal del capital aumenta.

4. Elasticidad de sustitución

Se de�ne como un cambio porcentual en la razón de uso de factores ante un cambio porcentual es la razón deproductos marginales de dichos factores. Matemáticamente

σK ,L =∂(K/L)

∂(PMд(L)/PMд(K))⋅ PMд(L)/PMд(K)

K/L

y esto nos lleva a las siguientes formas equivalentes para expresar la elasticidad de sustitución:

σK ,L = ∂(K/L)∂TMSTK ,L

⋅ TMSTK ,L(K/L)

= ∆(K/L)∆TMSTK ,L

⋅ TMSTK ,L(K/L)

= ∆(K/L)(K/L)

⋅ TMSTK ,L∆TMSTK ,L

= ∆%(K/L)∆%TMSTK ,L

De�nida de esta última forma la elasticidad de sustitución tiene valor no negativo.La elasticidad de sustitución está relacionada con la curvatura de la isocuanta. Un mismo cambio porcentualen la razón de productividades marginales inducirá a un mayor cambio en la razón de uso mientras menoscurvada sea la isocuanta.

L

K

L

K

En el grá�co se presenta unmismo cambio porcentual en la razón de productos marginales, para dos isocuantasde diferente curvatura. En el grá�co del lado izquierdo se trata de un cambio mayor en la razón de uso de

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factores que en el grá�co del lado derecho. Esto implica que la elasticidad de sustitución de la función deproducción gra�cada en el lado izquierdo es mayor que la gra�cada en el lado derecho.Los casos extremos son:

1. Tecnología de sustitución perfecta: La isocuanta corresponde a líneas rectas y la elasticidad de sustituciónes σK ,L =∞.

2. Tecnología de proporciones �jas: La isocuanta corresponde a ángulos rectos y la elasticidad de sustituciónes σK ,L = 0.

Dado que una �rma en competencia iguala a la tasa marginal de sustitución técnica (razón de productosmarginales) a la razón de precios de los factores que determina el mercado,

∂ f (K , L)/∂L∂ f (K , L)/∂K

= PMд(L)PMд(K)

= wr

entonces la elasticidad de sustitución representará cambios en la relación de ingresos de los factores

Relación de ingreso de los factores =wLrK

Si σK ,L = 1, la razón se mantiene constante pues un aumento de w/r provoca una disminución de L/K en lamisma proporción.Si σK ,L = 0, la razón aumenta cuando hay un aumento de w/r por lo que no hay sustitución y en consecuenciaL/K no cambia.Si σK ,L =∞, la razón tiende a 0 debido a que se sustituye enteramente el capital ante un aumento en el preciorelativo de este.

5. Función Cobb-Douglas

Se de�ne comof (K , L) = A ⋅ (KαLβ)

donde A es una constante positiva y α, β ∈ (0, 1).Características:

1. Homogénea de grado α + β

f (λK , λL) = A ⋅ [(λK)α(λL)β] = λα+β[A ⋅ (KαLβ)] = λα+β f (K , L)

2. Productos marginales positivos y decrecientes

∂∂K

f (K , L) = Aα ⋅ Kα−1Lβ > 0

∂2

∂K2f (K , L) = Aα(α − 1) ⋅ Kα−2Lβ < 0

∂∂L

f (K , L) = Aβ ⋅ KαLβ−1 > 0

∂2

∂L2f (K , L) = Aβ(β − 1) ⋅ KαLβ−2 < 0

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3. Productos medios positivos y decrecientes

QK

= A ⋅ (Kα−1Lβ) > 0

∂Q/K∂K

= A(α − 1) ⋅ (Kα−2Lβ) < 0

QL

= A ⋅ (KαLβ−1) > 0

∂Q/K∂L

= A(β − 1) ⋅ (KαLβ−2) < 0

4. Dadas las características de los productosmedios ymarginales, la funciónCobb-Douglas con α, β ∈ (0, 1)existe sólo en la zona II.

5. La elasticidad de sustitución es igual a 1.

Una forma de obtener la elasticidad de sustitución es a partir de la TMSTK ,L. Se obtiene de la siguienteforma:

TMSTK ,L = PMд(L)PMд(K)

= AβLβ−1Kα

AαLβKα−1 =βKαL

⇒ KL

= αβTMSTK ,L / ∂

∂TMSTK ,L∂ KL

∂TMSTK ,L= α

β/ TMSTK ,L

KL

σK ,L = αβTMSTK ,L

KL

σK ,L = αβ

βαKL

KL

σK ,L = 1

6. Los coe�cientes α y β corresponden a las participaciones porcentuales del capital y trabajo en el productototal.

Sean SK y SL las participaciones porcentuales del capital y trabajo en el producto total respectivamente.

SK = K ⋅ VPMд(K)Qr

= K ⋅ (PMд(K) ⋅ P)Qr

=K ⋅ ( ∂ f (K ,L)

∂K ⋅ r)Qr

= KQ⋅ ∂ f (K , L)

∂K

VPMд(K) es el valor del producto marginal del capital que en competencia perfecta es lo que estádispuesto a pagar la �rma por dicho factor.

Ahora reemplazamos el valor de la productividad marginal:

SK = KQ⋅ Aα ⋅ (Kα−1Lβ) = K

Q⋅ αK⋅ A(KαLβ) = K

Q⋅ αK⋅ f (K , L) = K

Q⋅ αK⋅ Q = α

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Análogamente,

SL = L ⋅ VPMд(L)Qw

= L ⋅ (PMд(L) ⋅ P)Qw

=L ⋅ ( ∂ f (K ,L)

∂L ⋅w)Qw

= LQ⋅ ∂ f (K , L)

∂L

SL = LQ⋅ Aα ⋅ (KαLβ−1) = L

Q⋅ βL⋅ A(KαLβ) = L

Q⋅ βL⋅ f (K , L) = L

Q⋅ βL⋅ Q = β

ambas participaciones son constantes.

6. Función Leontief

Corresponde a la tecnología de proporciones �jas. Se de�ne como

f (K , L) = mın{Kα,Lβ}

en donde α es el número de unidades de capital requeridas para producir una unidad de producto y β es elnúmero de unidades de trabajo requeridas para producir una unidad de producto.α y β no necesariamente son constantes a medida que aumenta la escala de producción. El caso de 1 chofer / 1camión, puede variar a 9 choferes / 10 camiones si se requiere que en un 10% del tiempo un camión permanezcaen mantención.

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L

KL0

K0

PMд(K)

KK0

1α

A

PMe(K)

KK0

1α

El producto marginal del capital entre los puntos L0 y A para K0 unidades de capital será constante e igual a1/α, pues por cada α unidades de capital se aumenta la producción en una unidad.Desde el punto A en adelante la productividad marginal del capital se hace cero para las K0 unidades de trabajo.El producto medio del trabajo es constante hasta la contratación de K0 unidades y en adelante empieza adisminuir.La razón de estos comportamientos es que para unidades de capital menores que K0 existe un exceso deunidades de trabajo y la productividad marginal de este es nula. Para unidades de capital mayores que K0 existeun exceso de unidades de trabajo para las L0 unidades de trabajo y en consecuencia la productividad marginaldel trabajo es nula.

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7. Función de elasticidad de sustitución constante (CES)

Se de�ne comof (K , L) = A(αKρ + (1 − α)Lρ)v/ρ

donde A es una constante positiva y α ∈ (0, 1) y ρ < 1.Características:

1. Homogénea de grado v

f (λK , λL) = A(α(λK)ρ + (1 − α)(λL)ρ)v/ρ

= A(αλρKρ + (1 − α)λρLρ)v/ρ

= A(λρ[αKρ + (1 − α)Lρ])v/ρ

= A(λρ)v/ρ(αKρ + (1 − α)Lρ)v/ρ

= λv ⋅ A(αKρ + (1 − α)Lρ)v/ρ

= λv f (K , L)

2. Productos marginales positivos

∂∂K

f (K , L) = Avρ⋅ (αKα + (1 − α)Lβ)(v/ρ)−1 ⋅ (αρKρ−1)

= Avρ⋅ (αKα + (1 − α)Lβ)v/ρ

(αKα + (1 − α)Lβ)⋅ (αρKρ−1)

= v(αρKρ−1)ρ

⋅ A(αKα + (1 − α)Lβ)v/ρ

(αKα + (1 − α)Lβ)

= v(αKρ−1)(αKα + (1 − α)Lβ)

⋅ f (K , L)

= v(αKρ−1)(αKα + (1 − α)Lβ)

⋅ Q

= Kρ−1 ⋅ Q1−(ρ/v)(Aρ/v ⋅ vα) > 0

∂∂L

f (K , L) = Avρ⋅ (αKα + (1 − α)Lβ)(v/ρ)−1 ⋅ (βρLρ−1)

= Avρ⋅ (αKα + (1 − α)Lβ)v/ρ

(αKα + (1 − α)Lβ)⋅ (βρLρ−1)

= v(βρLρ−1)ρ

⋅ A(αKα + (1 − α)Lβ)v/ρ

(αKα + (1 − α)Lβ)

= v(αLρ−1)(αKα + (1 − α)Lβ)

⋅ f (K , L)

= v(αLρ−1)(αKα + (1 − α)Lβ)

⋅ Q

= Lρ−1 ⋅ Q1−(ρ/v)(Aρ/v ⋅ v[1 − α]) > 0

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El hecho de que el producto marginal sea creciente o decreciente dependerá del valor del parámetro v, sieste es menor a 1 entonces el producto marginal es decreciente. Se tiene lo siguiente:

∂2

∂K2f (K , L) = (ρ − 1)Kρ−2 ⋅ Q1−(ρ/v)(Aρ/v ⋅ vα)

∂2

∂L2f (K , L) = (ρ − 1)Lρ−1 ⋅ Q1−(ρ/v)(Aρ/v ⋅ v[1 − α])

3. Elasticidad de sustitución igual a 1/(1 − ρ)

TMSTK ,L = α1 − α

⋅ (KL)

ρ−1

1 − αα

⋅ TMSTK ,L = (KL)

ρ−1

⇒ KL

= ( 1 − αα

⋅ TMSTK ,L)1

ρ−1/ ∂

∂TMSTK ,L∂ ( L

K )∂TMSTK ,L

= 1ρ − 1

⋅ ( 1 − αα

⋅ TMSTK ,L)1

ρ−1−1⋅ 1 − α

α∂ ( L

K )∂TMSTK ,L

= 1ρ − 1

⋅ TMST1

ρ−1−1K ,L ⋅ ( 1 − α

α)

1ρ−1

/ TMSTK ,LKL

∂ ( LK )

∂TMSTK ,L⋅ TMSTK ,L

LK

= 1ρ − 1

⋅TMST

1ρ−1K ,L

LK

⋅ ( 1 − αα

)1

ρ−1

σK ,L = 1ρ − 1

⋅[ α1−α ⋅ (

KL )

ρ−1]1

ρ−1

LK

⋅ ( 1 − αα

)1

ρ−1

σK ,L = 1ρ − 1

⋅LK ⋅ (

1−αα )

1ρ−1

LK ⋅ (

1−αα )

1ρ−1

σK ,L = 1ρ − 1

Si ρ → 1 entonces σK ,L →∞ lo cual corresponde al caso en que existe perfecta sustitución entre factores(las isocuantas corresponden a líneas rectas).

Si ρ → 0 entonces σK ,L → 1 lo cual corresponde al caso en que existe posibilidad de sustitución entrefactores (las isocuantas corresponden a las curvas tradicionales tipo Cobb-Douglas).

Si ρ → −∞ entonces σK ,L → 0 lo cual corresponde al caso en que no existe sustitución entre factores (lasisocuantas corresponden a ángulos rectos tipo Leontief).

4. Si ρ → 0 a partir de la CES se obtiene una función Cobb-Douglas.

lımρ→0exp[ln(αKρ + (1 − α)Lρ)1/ρ]

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podemos aplicar L’Hopital sobre el exponente, entonces

lımρ→0

ln(αKρ + (1 − α)Lρ)1/ρ

ρ= lım

ρ→0

αKρ ln(K) + (1 − α)Lρ ln(L)αKρ + (1 − α)Lρ

= lımρ→0

αKρ ln(K) + (1 − α)Lρ ln(L)

= α ln(K) + (1 − α) ln(L)= ln(KαL1−α)

entonces aplicando la función exponencial sobre el resultado se obtiene f (K , L) = KαL1−α .

5. Si ρ → 1 a partir de la CES se obtiene una función de sustitutos perfectos (tecnología lineal).

f (K , L) = (αK1 + (1 − α)L1)1/1 = αK + (1 − α)L

6. Si ρ → −∞ a partir de la CES se obtiene una función de proporciones �jas (tecnología Leontief).

lımρ→−∞

exp[ln(αKρ + (1 − α)Lρ)1/ρ]

podemos aplicar L’Hopital sobre el exponente, entonces

lımρ→−∞

ln(αKρ + (1 − α)Lρ)1/ρ

ρ= lım

ρ→−∞

αKρ ln(K) + (1 − α)Lρ ln(L)αKρ + (1 − α)Lρ

Sea K < L y dividiendo el numerador y el denominador por Kρ llegamos a

lımρ→−∞

α ln(K) + (1 − α)(L/K)ρ ln(L)α + (1 − α)(L/K)ρ = ln(K)

luego, si reemplazamos en f tenemos que

f (K , L) = exp[ln(K)] = K = mın{K , L}

8. Relación entre funciones de producción y el problema económico

El problema económico de asignar o utilizar recursos escasos de la mejor forma posible tiene dos enfoques:Minimización de costos y maximización de bene�cios.

8.1. Función de costos

El costo total de una �rma en competencia está determinado por la ausencia o presencia de costos �jos, lacantidad de factores empleados y el precio de estos. Sin embargo, la cantidad de factores usados va a estardeterminada por el nivel de producción y condiciones de optimalidad en la contratación de factores por partede la �rma. En consecuencia, es posible expresar el costo total de producción en función de otras variablesdiferentes de las cantidades de factores usados.

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Matemáticamente se tienen las siguientes ecuaciones:

Q = f (K , L) función de producciónC(Q) = rK +wL función de costo

r = ∂∂K

f (K , L) ⋅ P = VPMд(K) condición de maximización en la contratación de capital

w = ∂∂L

f (K , L) ⋅ P = VPMд(L) condición de maximización en la contratación de trabajo

Este sistema presenta 4 ecuaciones con 7 incógnitas: (Q ,C(Q),K , L, r,w , P) de las cuales P correspondeal precio de venta de lo que se elabora. En consecuencia, es posible eliminar 3 incógnitas y dejar el sistemareducido a una ecuación con 4 variables. Si tomamos las variables (CT ,Q ,w , r) (w y r son parámetros dados yno se eligen) se estará en presencia de lo que se denomina función de costo total indirecta para diferenciarlade la función de costo total (directa) ya indicada.La función de costo indirecta

CI(Q) = C(Q ,w , r)proviene de resolver el siguiente problema:

mınK ,L

C(Q) = rK +wL

s.a f (K , L) = Q

es decir, proviene del problema de encontrar el mínimo costo asociado a un nivel de producción �jo.Veamos un ejemplo: Sea Q = 4K1/4L3/4 la función de producción (nótese que es homogénea de grado 1). Lasecuaciones de maximización en la contratación de factores serán

w = 34K1/4L−1/4

r = 14K−3/4L3/4

dividiendo estas ecuaciones se elimina Pwr= 3K

Lreordenando queda:

wL = 3rKreemplazando en la función de costo directo:

C(Q) = rK + 3rK = 4rK

de donde K = C(Q)4r del mismo modo:

L = 34⋅ C(Q)

wReemplazando los valores de K y L en la función de producción se tiene:

Q = 4[C(Q)]1/4

41/4r1/4⋅ 33/4

43/4⋅ [C(Q)]3/4

w3/4= 33/4 C(Q)

r1/4w3/4despejando la función de costo total (indirecto)

CI(Q) = 133/4

Qr1/4w3/4

Las ventajas de esta expresión del costo son:

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1. Puede ser estimada econométricamente pues las variables que se explicitan son las observadas en la�rma y en consecuencia a través de esta función de costo puede obtenerse la función de producción noobservada, que la genera.

2. Se puede obtener fácilmente el costo marginal derivando directamente con respecto al nivel de producto.

3. Derivando con respecto a los precios de los factores se obtienen directamente las demandas condicionadaspor factores.

8.2. Función de bene�cios

Los bene�cios de la �rma dependen de los precios de los insumos que utiliza y del precio de venta de lo queproduce. Se de�ne:

π(Q) = pQ − rK −wL

Luego, nos interesa maximizar el valor de esta función y el problema de maximización de bene�cios de la �rmacorresponde a:

maxQ ,K ,L

π(Q) = pQ − rK −wL

s.a f (K , L) ≥ QSin embargo, debemos ser cuidadosos a la momento de resolver este problema. Una condición que puedeparecer inocente es que primero la función de bene�cios debe tener un valor máximo. Por obvio que parezcaveamos porqué se explicita esta condición:Digamos que la función de producción presenta retornos crecientes a escala y que además es homogénea degrado mayor a 1. Supongamos que (K , L) y Q = f (K , L) corresponden a una combinación de insumos y unnivel de producción respectivamente que maximizan bene�cios a precio p y costos unitarios del factor r y wrespectivamente.Si la función es homogénea de grado mayor a 1:

f (λK , λL) = λk f (K , L), λ > 1f (λK , λL) > λ f (K , L)

p ⋅ f (λK , λL) > p ⋅ λ f (K , L)f (λK , λL) − r(λK) −w(λL) > λ f (K , L) − r(λK) −w(λL)f (λK , λL) − r(λK) −w(λL) > λ ( f (K , L) − rK −wL)f (λK , λL) − r(λK) −w(λL) > f (K , L) − rK −wL

Esto nos dice que si aumenta el nivel de producción, entonces aumentan los bene�cios de forma que siempreserá conveniente producir más independientemente de la escala de producción. Se contradice el supuesto deque (K , L) y Q = f (K , L)maximizan bene�cios. En este caso la escala de producción tiende a in�nito.En el caso de retornos constantes a escala para problema de maximización de bene�cios, de forma análoga conlo anterior tenemos que

f (λK , λL) = λ f (K , L)

entonces cualquier nivel de producción maximiza bene�cios y el nivel de bene�cios para cualquier escala(positiva) de producción es el mismo. En situación de largo plazo, siendo el máximo bene�cio igual a cero, setendrá que cualquier nivel de producción incluyendo la inacción genera bene�cio igual a cero. Para retornosconstantes la escala de producción se indetermina porque el productor será indiferente a producir más omenos.

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En el caso de retornos decrecientes efectivamente existen (K , L) y Q = f (K , L) que maximizan bene�cios aprecio p y costos unitarios del factor r y w respectivamente.

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