funciones circulares

1-0

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

Facultad de Ciencias Fısicas y Matem aticas

Introducci on a la Matem atica Universitaria

520145

Capıtulo 7. Funciones Circulares

Funciones Circulares

Cırculo Trigonometrico

Sea C la circunferencia unitaria y sea P (0) = (1, 0). Dado t > 0 (resp.

t < 0), se define P (t) ∈ C como el punto al que se llega luego de

desplazarse en sentido antihorario (resp. horario) sobre C, |t| unidades

desde P (0).

(∀t ∈ R) (∀ k ∈ Z) : P (t + 2kπ) = P (t)

Observaciones

Una funcion real, definida sobre todo R, se dice periodica de perıodo p si p es

el menor numero real positivo que satisface la propiedad:

∀t ∈ R : f(t) = f(t + p)

Sean A, B dos puntos de C. La longitud del arco de circunferencia entre A y

B se designa por lA,B . Observar que lB,A = 2π − lA,B .

FCFM.UdeC. 1 . ACQ/MOS/GAJ/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

Funciones CircularesEn la figura se identifi-

can:

sen(t) = |OS|

cos (t) = |OC|

tg (t) = |AT |

tg (t) = |BR|

P (t) = (cos (t), sen(t))

+

R

Y

Xeje de coseno

eje cotangencias

eje de seno

eje tangencias

A’

B

B’

O

S

CA

P(t) T

t

lA,P(t)

t = (OX,OP(t)) = lA,P(t)



Teorema de Pitagoras. En el triangulo ∆OCP rectangulo en C , se tiene

|OS|2 + |OC|2 = 1

Corolario . Dada la identificacion anterior, sen2(t) + cos 2(t) = 1

Teorema de Thales.|CP (t)||AT | = |OC|

|OA|

Corolario . tg (t) = sen(t)cos (t)

Teorema de Thales.|SP (t)||BR| = |OS|

|OB|

Corolario tg (t) = cos (t)sen(t)



Funcion Seno

sen : R −→ [−1, 1] ∀ k ∈ Z : sen(t + 2kπ) = sen(t)

t 7−→ y = sen(t) ∀ t ∈ R : sen(−t) = − sen(t)

π2 2

3π23π π

2

−1

1

π 2π2π π t

sen(t)

GRAFICO DE LA FUNCION SENO



Funcion Coseno

cos : R −→ [−1, 1] ∀ k ∈ Z : cos (t + 2kπ) = cos (t)

t 7−→ y = cos (t) ∀ t ∈ R : cos (−t) = cos t

2π π2

π 3π 22

ππ π2

2π

cos(t)

t3π 2

GRAFICO DE LA FUNCION COSENO

−1

1



Funcion Tangente D = R −{

π2 + kπ : k ∈ Z

}

tg : D ⊂ R −→ R ∀ k ∈ Z : tg (t + kπ) = tan(t)

t 7−→ y = tg (t) ∀ t ∈ D : tg (−t) = −tg (t)

2 2π2

3π2

−3π π−π

GRAFICO DE LA FUNCION TANGENTE

tan(t)

t−π 0



Funcion Cotangente D = R −{

kπ : k ∈ Z}

ctg : D ⊂ R −→ R ∀ k ∈ Z : ctg (t + kπ) = tg (t)

t 7−→ y = ctg (t) ∀ t ∈ D : ctg (−t) = −ctg (t)



Observacion

∀ k ∈ Z : cos ( (2k+1)π2 ) = 0 ∧ cos (kπ) = (−1)k

Funcion Secante

La funcion real, 2π-periodica y par:

sec : R −{

π2 + kπ : k ∈ Z

}

−→ R−] − 1, 1[

t 7−→ sec(t) = 1cos (t)

se denomina Funcion Secante



Observacion

∀ k ∈ Z : sen(kπ) = 0 ∧ sen( (2k+1)π2 ) = (−1)k.

Funcion Cosecante

La funcion real, 2π-periodica e impar:

csc : R −{

kπ : k ∈ Z}

−→ R−] − 1, 1[

t 7−→ csc (t) = 1sen(t)

se denomina Funcion Cosecante



Identidades Fundamentales

A partir de la definicion de las seis funciones circulares es facil deducir las

siguientes identidades:

Como P (t) = (cos (t), sen(t)) ∈ C, se tiene: sen2(t) + cos 2(t) = 1

De la definicion de tg, sec y csc y para t en su dominio, se tiene:

tg (t) · tg (t) = 1 sen(t) · csc (t) = 1 cos (t) · sec (t) = 1

Dividiendo la primera identidad por cos 2(t), se tiene:

1 + tg 2(t) = sec 2(t)

Dividiendo la primera identidad por sen2(t), se tiene:

ctg 2(t) + 1 = csc 2(t)



Observacion 1). Utilizando las identidades fundamentales, la definicion de las

funciones circulares y las propiedades algebraicas de los numeros reales se

demuestran otras identidades. Por ejemplo, se puede probar:

1.1−tg 2(t)1+tg 2(t) = 1 − 2 sen2(t).

2. (cos (t) − sen(t))2 + 2 sen(t)cos (t) = 1.

Observacion 2).Tambien se puede escribir todas las funciones circulares en

terminos de una funcion particular. Por ejemplo, escribir las funciones circulares en

terminos de la funcion seno.


Funciones CircularesIdentidades con sumas y diferencias

Para obtener este tipo de identidades utilizaremos el siguiente resultado.

Proposicion. La longitud de la cuerda generada por un arco de circunferencia de

longitud |t| es:

l(t) =√

2 − 2cos (t).

se demuestra utilizando l(t) = l(A, P (t)).

t

Y

XO A=(1,0)

P(t)=(cos t , sen t)

l(t)



Proposicion. Para x, y ∈ R, se tiene

cos (x − y) = cos (x)cos (y) + sen(x) sen(y).

Para demostrarlo usar l(P (x), P (y)) = l(a, P (t)), con t = x − y.

Y

XO

P(x)=(cos x , sen x)

P(y)=(cos y , sen y)



De la identidad anterior:

Para x, y ∈ R : cos (x − y) = cos (x)cos (y) + sen(x) sen(y)

se obtienen los siguientes resultados:

Con x = π2 , cos (π

2 − y) = sen(y)

Con y = π2 − x, en la anterior, sen(π

2 − x) = cos (x)

Ademas, obtenemos:

tg(π2 − x) = ctg x ctg (π

2 − x) = tg(x)



Con x + y = x − (−y) y usando el hecho que cos es par y sen es impar,

se obtiene que para x, y ∈ R

cos (x + y) = cos (x)cos (y) − sen(x) sen(y)

Ademas:

sen(x + y) = sen(x)cos (y) + sen(y)cos (x)

sen(x − y) = sen(x)cos (y) − sen(y)cos (x)

tg(x + y) =tg (x) + tg(y)

1 − tg(x) tg(y)



Identidades para 2x

Haciendo y = x en los resultados anteriores se obtienen:

cos (2x) = cos 2(x) − sen2(x)

sen(2x) = 2 sen(x)cos (x)

tg(2x) =2 tg(x)

1 − tg2(x)



Identidades para x2

Haciendo y = 2x ⇐⇒ x = y2 , en las identidades anteriores, se obtiene:

sen( y2 ) = ±

√

12 (1 − cos (y))

cos ( y2 ) = ±

√

12 (1 + cos (y))

tg (y

2) =

sen(y)

(1 + cos (y))

El signo correspondiente es dado por el signo de la funcion en el cuadrante donde

se encuentre P ( y2 ).



Transformaciones de productos en sumas

Sumando sen(x + y) con sen(x − y) se obtiene:

sen(x + y) + sen(x − y) = 2 sen(x)cos (y),

de donde:

sen(x) · cos (y) = 12 ( sen(x + y) + sen(x − y) )

De manera analoga se prueba que:

cos (x) · sen(y) = 12 ( sen(x + y) − sen(x − y) )

cos (x) · cos (y) = 12 ( cos (x + y) + cos (x − y) )

sen(x) · sen(y) = 12 ( cos (x − y) − cos (x + y) )



Transformaciones de sumas en productos

Sustituyendo u = x + y y v = x − y en las identidades anteriores

se obtienen:

sen(u) + sen(v) = 2 sen(u+v2 ) · cos (u−v

2 )

sen(u) − sen(v) = 2cos (u+v2 ) · sen(u−v

2 )

cos (u) + cos (v) = 2cos (u+v2 ) · cos (u−v

2 )

cos (u) − cos (v) = −2 sen(u+v2 ) · sen(u−v

2 )



Inversa de las funciones circulares

La funcion sen : R −→ [−1, 1], x −→ y = sen(x), no es inyectiva. En

consecuencia, su relacion inversa, denotada por arcsen y llamada arcoseno y

definida por

y = arcsen(x) ⇐⇒ x = sen(y)

no es una funcion. De hecho, arcsen(1) = π2 + 2kπ, k ∈ Z.

La restriccion de seno al intervalo [−π2 , π

2 ] es inyectiva. Luego, la funcion

Sen : [−π

2,π

2] −→ [−1, 1], x 7→ y = sen(x)

tiene inversa. Su inversa es la funcion Arcoseno (parte principal) y se denota por

Arcsen . Ası, Arcsen(1) = π2 .



Funci on Arcoseno .

Arcsen : [−1, 1] −→ [−π

2,π

2], x 7−→ y = Arcsen (x).

con:

y = Arcsen (x) ⇐⇒ x = sen(y), −1 ≤ x ≤ 1, −π

2≤ y ≤

π

2.

�1 1�2

��2y

xFCFM.UdeC. 21 . ACQ/MOS/GAJ/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

Funciones CircularesFuncion Arcocoseno. La funcion cos : [0, π] −→ [−1, 1] es inyectiva y tiene

inversa Arcocoseno , definida por:

Arccos : [−1, 1] −→ [0, π], x 7−→ y = Arccos (x).

con:

y = Arccos (x) ⇐⇒ x = cos (y), −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π.yx

��2

�1 1FCFM.UdeC. 22 . ACQ/MOS/GAJ/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

Funciones CircularesFuncion Arcotangente. La funcion tg :] − π

2 , π2 [ 7−→ R es inyectiva, luego, tiene

funcion inversa Arctg

Arctg : R −→] −π

2,π

2[, x 7−→ y = Arctg (x)

con:

y = Arctg (x) ⇐⇒ x = tg (y), x ∈ R, −π

2< y <

π

2.

yx��2

�2


Funciones CircularesFuncion Arcocotangente. La funcion ctg :]0, π[ 7−→ R es inyectiva, luego, tiene

funcion inversa Arcctg

Arcctg : R −→]0, π[, x 7−→ y = Arcctg (x).

con:

y = Arcctg (x) ⇐⇒ x = ctg (y), x ∈ R, 0 < y < π.

y�2� x


Funciones CircularesFuncion Arcosecante

Arcsec : R−] − 1, 1[−→ [0, π] − {π

2}

x 7−→ y = Arcsec (x)

con: y = Arcsec (x) ⇐⇒ x = sec (y), |x| ≥ 1, y ∈ [0, π] − {π2 }.y

x�1 1��2


Funciones CircularesFuncion Arcocosecante

Arccsc : R−] − 1, 1[−→ [−π

2,π

2] − {0}

x 7−→ y = Arccsc (x)

con: y = Arccsc (x) ⇐⇒ x = csc (y), |x| ≥ 1, y ∈ [−π2 , π

2 ] − 0.y��2

�2x�1 1



Angulos. Un angulo ∠POQ es el conjunto de puntos formado por la union de dos

semirectas OP y OQ que parten desde un punto comun O.

El lado OP es el lado inicial del angulo y el lado OQ es el lado terminal. Si OP

esta sobre el semieje OX , entonces se dice que el angulo esta en posicion

normal o standar. Q QOO P PFigura 1: Medida positiva Medida negativa



Medida de angulos

A cada angulo ∠POQ se asocia un numero real m(∠POQ) llamado medida

del angulo , denotada con letras tales como α, β, γ o θ.

Para medir angulos usaremos el Sistema Sexagesimal (medida en grados) y el

Sistema Circular o Radial (medida en radianes).

Un Grado es la medida de un angulo correspondiente a un arco de longitud

igual a 1360 de la longitud de una circunferencia. Ası, la circunferencia

subtiende un angulo de 360o.

Un Radi an es la medida de un angulo que subtiende un arco de longitud igual

a la longitud del radio de la circunferencia.



En una circunferencia de radio r, la medida θ en radianes de un angulo central

que subtiende un arco de longitud t es:

θ =t

r.

Por lo tanto, en la circunferencia unitaria θ = t.

La relacion entre ambos sistemas de medida es dada por:

360o = 2π,

de donde se obtiene:

1o =π

180⇐⇒ 1 =

(180

π

)o

.

Si la medida en grados de un angulo es α, y en radianes es θ, entonces:

α

180=

θ

π.


Funciones CircularesFunciones Circulares sobre un angulo

Para un angulo en posicion normal, de medida α y P (x, y) en su lado final:

P (α) = (cos (α), sen(α)) y r := d(O, P (x, y)). Por el teorema de Thales:

y

sen(α)=

r

1y

x

cos (α)=

r

1,

luego: sen(α) = yr

cos (α) = xr

P (x, y) = (rcos (α), r sen(α))

tg(α) = yx

tg (α) = xy

sec (α) = rx

csc (α) = ry

x

y P(x,y)

α

1

r

α

αsen( ) P( )=(cos( ),sen( ))α

cos( )

α α



Observaciones.

1. Utilizando la figura se definen las funciones circulares en el triangulo. Es decir,

las funciones trigonometricas:

sen(α) =cat.opuesto a α

hipotenuza=

y

r, cos(α) =

cat.adyacentte a α

hipotenuza=

x

r.

tg(α) =cat.opuesto a α

cat.adyacente a α=

y

x, cos(α) =

cat.adyacentte a α

cat.opuesto a α=

x

y.

sec(α) =hipotenuza

cat.adyacente a α=

r

x, csc(α) =

hipotenuza

cat.apuesto a α=

r

y.

2. Utilizando el triangulo se evalua las funciones en angulos de medidas usuales:

en radianes π6 , π

4 , π3 y π

2 o en grados 30o, 45o, 60o y 90o.



Resolucion de triangulos

Resolver un triangulo es encontrar la medida de sus lados y de sus angulos. Para

ello se utiliza el teorema de los senos y el teorema de los cosenos.

Teorema de los senos

En un triangulo de lados a, b, c y angulos opuestos α, β y γ, respectivamente, se

tiene:

sen(α)a

= sen(β)b

= sen(γ)c

.

ab

cβ

γ

α



Teorema de los cosenos

En un triangulo de lados a, b y c y angulos opuestos α, β y γ, respectivamente, el

cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos

el doble del producto de estos dos lados por el coseno del angulo que forman. Esto

es:

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos (α) b2 = a2 + c2 − 2ac · cos (β)

c2 = a2 + b2 − 2ab · cos (γ)

ab

cβ

γ

α



Ecuaciones trigonom etricas.

Una ecuacion que contiene funciones circulares o sus inversas en la variable x es

una ecuacion trigonometrica. Resolver la ecuacion es encontrar todos los x,

x ∈ R que satisfacen la ecuacion, para ello se utilizan las definiciones,

propiedades y resultados sobre las funciones circulares y sus inversas.

Ejemplo. Resolver:

a) cos(x) =√

22 .

b) sec(x) − 2cos(x) = 1.

c) arccos(1/2) − 2x = 0.

d) Arctg(1 + x2) + Arctg (1 − x2

2 ) = π2 .



Funcion sinusoidal

Sean a, b, c y d numeros reales con a 6= 0 y b 6= 0. A la funcion definida por

f(x) = a sen(bx + c) + d, ∀x ∈ R,

se llama funci on sinusoidal , y a su grafica, curva sinusoidal o sinusoide .

Observe que f es una funcion periodica.

Definiciones:

Se llama amplitud de la funcion al valor |a|.

Se llama perıodo de la funcion al valor p = 2π|b| .

[f(x + p) = f(x), ∀x ∈ R].



Se llama desplazamiento de fase de la funcion al valor | cb|. Este numero

representa las unidades que se debe trasladar la grafica de la funcion

h(x) = a sen(bx), hacia la derecha cuando cb

< 0 o hacia la izquierda

cuando cb

> 0, para obtener la grafica de f .

Teorema. Sean p, q, b ∈ R con p2 + q2 6= 0. Entonces existen A, α ∈ R tales

que:

p sen(bx) + q cos (bx) = A sen(bx + α), ∀x ∈ R.

Observacion. La funcion

g(x) = a cos (bx + c) + d

tambien es una funcion sinusoidal. (Cosinusoide)


funciones circulares

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