Funciones -Actividad 44En esta actividad se trabajará fundamentalmente operaciones gráficas con funciones y función lineal.Previamente deberán repasar las secciones 1.3.4 ; 1.4.1 ; 1.4.4 y 1.5.1 del capítulo de funciones.Además será conveniente repasar la Actividad 28 de funciones anteriormente resuelta.44- Dada ( ) = 2 + 3 con dominio en el (0;1].a) extender f de modo que la nueva función así definida que llamamos "p" sea par. Luego graficar las siguientesfunciones en un mismo sistema coordenado y teniendo en cuenta la tabla de transformación de funciones(pág .48).( ) = ( ) − 4 ; ( ) = ( − 4) ; ( ) = − ( ) ; ( ) = − ( ) + 3 ; ( ) = | ( ) − 4|b) extender f de modo que la nueva función así definida "i" sea impar. Luego graficar las siguientes funciones en unmismo sistema coordenado y teniendo en cuenta la tabla de transformación de funciones(pág .48).( ) = ( ) + 1 ; ( ) = | ( )|; ( ) = − ( ); ( ) = −| ( )|; ( ) = ( ) − ( ).Para resolver esta actividad usamos la tabla de transformaciones de funciones:

44- Dada ( ) = 2 + 3 con dominio en el (0;1].a) extender f de modo que la nueva función así definida que llamamos "p" sea par.Dado que la ley de f es ( ) = 2 + 3; si su dominio fueran los reales su gráfica sería una recta. En este caso sudominio es (0;1] por lo que procedemos a graficar la porción correspondiente a dicho intervalo para lo cualtomamos los puntos:X y Punto0 3 P(0 ; 3 )1 5 Q( 1 ; 5 )El dominio es un intervalo abierto en uno de sus extremosy por lo tanto el punto que corresponde a ese extremo nopertenece al gráfico de la función. Igualmente obtenemossus coordenadas para guiarnos en el trazado de la gráfica.La definición de función par señala:La gráfica de una función par es luego simétrica respecto del eje y, y esta simetría es lo que buscamos generar alextender la función f.Podemos agregar un tramo a la izquierda del eje y de manera que la gráfica de p sea simétrica respecto del eje y lafunción p sea par:

Luego graficar las siguientes funciones en un mismo sistema coordenado y teniendo en cuenta la tabla detransformación de funciones(pág .48).( ) = ( ) − 4 ; ( ) = ( − 4) ; ( ) = − ( ) ; ( ) = − ( ) + 3 ; ( ) = | ( ) − 4| ( ) = ( ) −La gráfica de se obtiene por traslación vertical de la gráfica de p.Para realizar la gráfica de ( ) = ( ) − , trasladamos 4 unidades hacia abajo la gráfica de .

Tomando algunos puntos:

x P(x) F1(x)

-1 5 1

-1/2 4 0

1/2 4 0

1 5 1

( ) = ( − )La gráfica de se obtiene por traslación horizontal de la gráfica de p.Para realizar la gráfica de ( ) = ( − ) , trasladamos 4 unidades hacia la derecha la gráfica de .

.

Tomando algunos puntos:

x x-4 p(x) F2(x)

3 -1 5 5

7/2 -1/2 4 4

9/2 1/2 4 4

5 1 5 5

( ) = − ( )La gráfica de se obtiene por reflexión respecto del eje x de la gráfica de p.Para reflejar la gráfica de una función respecto del eje x, la parte de la gráfica que está por encima de ese eje, serefleja por debajo. Y la parte que está debajo, se refleja sobre el eje x. Los puntos donde la gráfica corta al eje x semantienen.En este caso la totalidad de los puntos de la gráfica se hallan por encima del eje x y por lo tanto se reflejarán pordebajo.Tomando algunos puntos:

( ) = − ( ) +En este caso se combinan dos transformaciones; una reflexión respecto del eje x de la gráfica de p y unatraslación vertical sobre esa nueva función tres unidades hacia arriba. Teniendo en cuenta lo trabajadoanteriormente esto sería trasladar la gráfica de tres unidades hacia arriba.

Si fuera necesario ayudarse conalgunos puntos como en losapartados anteriores

x P(x) F3(x)

-1 5 -5

-1/2 4 -4

1/2 4 -4

1 5 -5

( ) = | ( ) − |En este caso también se combinan dos transformaciones; una traslación vertical hacia abajo cuatro unidades de lagráfica de p y a continuación se aplica el valor absoluto.Teniendo en cuenta lo trabajado anteriormente; en este caso es el valor absoluto de la función anterior.Para aplicar el valor absoluto a una función se hace una reflexión:La parte de la gráfica de la función que corresponde a imágenes negativas, se refleja sobre el eje x. presentaimágenes negativas para los elementos del dominio comprendidos en − ; 0 y en 0; por lo tanto dichostramos se reflejarán. La parte de la gráfica de la función que corresponde a imágenes positivas o cero, queda igual.

b) extender f de modo que la nueva función así definida "i" sea impar. Luego graficar las siguientes funciones en unmismo sistema coordenado y teniendo en cuenta la tabla de transformación de funciones(pág .48).( ) = ( ) + 1 ; ( ) = | ( )|; ( ) = − ( ); ( ) = −| ( )|; ( ) = ( ) − ( ).La definición de función impar señala:La gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen de coordenadas y esta simetría es lo quebuscamos generar cuando extendemos la función f.Extendemos f mediante el agregado de un tramo a la izquierda del eje y para que la gráfica de i sea simétricarespecto del origen y la función i será impar:

( ) = ( ) +La gráfica de se obtiene por traslación vertical de la gráfica de i.Para realizar la gráfica de ( ) = ( ) + , trasladamos 1 unidad hacia arriba la gráfica de .

Si fuera necesario ayudarsecon algunos puntos como enapartados anteriores

( ) = | ( )|Para obtener la gráfica de se aplica el valor absoluto a y por lo tanto se hace una reflexión.La parte de la gráfica de la función que corresponde a imágenes positivas o cero, queda igual. Esto se cumple parael tramo de a la derecha del eje y.La parte de la gráfica de la función que corresponde a imágenes negativas, se refleja sobre el eje x. Esto se cumplepara el tramo de a la izquierda del eje y.

( ) = − ( )La gráfica de se obtiene por reflexión respecto del eje x de la gráfica de i.La parte de la gráfica que está por encima del eje x, se refleja por debajo. Esto se cumple para el tramo de a laderecha del eje y. La parte que está debajo, se refleja sobre el eje x. Esto se cumple para el tramo de a la izquierdadel eje y.

( ) = −| ( )|En este caso también se combinan dos transformaciones. Se aplica el valor absoluto a la función i y a continuaciónuna reflexión respecto del eje x.Al aplicar el valor absoluto a la función i se obtiene la gráfica verde.A continuación reflejamos dicha gráfica respecto del eje x. Dado que para todos los elementos del dominio de lagráfica verde sus imágenes son positivas, reflejamos toda la gráfica por debajo del eje x obteniendo la gráfica demarcada en rojo.

( ) = ( ) − ( )En este ítem debemos notar que lo que se está efectuando es una operación algebraica con las funciones i y p.Por lo tanto debemos considerar la siguiente definición:

Dada la nueva ley de la función ( ) = ( ) − ( ) ; la función cuya gráfica buscamos es la función resta entre iy p y cuyo dominio será = ∩ = [−1; 0) (0; 1]. Para dicha gráfica debemos procesar cada uno de loselementos del dominio de buscando las imágenes en i y p y restarlas. Tomando algunos puntos:

Si consideramos que para (0;1] los tramos de ambas funciones coinciden, es lógico pensar que su resta darásiempre 0 en ese intervalo. Para [-1;0) en cambio la resta nos dará una lineal. La gráfica de será:

x i(x) p(x) i(x)-p(x)

-1 -5 5 -10

-1/2 -4 4 -8

1/2 4 4 0

1 5 5 0

( ) = ( ) − ( )En este ítem debemos notar que lo que se está efectuando es una operación algebraica con las funciones i y p.Por lo tanto debemos considerar la siguiente definición:

Dada la nueva ley de la función ( ) = ( ) − ( ) ; la función cuya gráfica buscamos es la función resta entre iy p y cuyo dominio será = ∩ = [−1; 0) (0; 1]. Para dicha gráfica debemos procesar cada uno de loselementos del dominio de buscando las imágenes en i y p y restarlas. Tomando algunos puntos:

Si consideramos que para (0;1] los tramos de ambas funciones coinciden, es lógico pensar que su resta darásiempre 0 en ese intervalo. Para [-1;0) en cambio la resta nos dará una lineal. La gráfica de será:

x i(x) p(x) i(x)-p(x)

-1 -5 5 -10

-1/2 -4 4 -8

1/2 4 4 0

1 5 5 0

( ) = ( ) − ( )En este ítem debemos notar que lo que se está efectuando es una operación algebraica con las funciones i y p.Por lo tanto debemos considerar la siguiente definición:

Dada la nueva ley de la función ( ) = ( ) − ( ) ; la función cuya gráfica buscamos es la función resta entre iy p y cuyo dominio será = ∩ = [−1; 0) (0; 1]. Para dicha gráfica debemos procesar cada uno de loselementos del dominio de buscando las imágenes en i y p y restarlas. Tomando algunos puntos:

Si consideramos que para (0;1] los tramos de ambas funciones coinciden, es lógico pensar que su resta darásiempre 0 en ese intervalo. Para [-1;0) en cambio la resta nos dará una lineal. La gráfica de será:

x i(x) p(x) i(x)-p(x)

-1 -5 5 -10

-1/2 -4 4 -8

1/2 4 4 0

1 5 5 0

Algunas sugerencias derivadas de la resolución de la presente actividad: Para cada una de las funciones de la actividad 44; indicar dominio e imagen; analizar que ocurre en cadacaso y afianzar los conocimientos trabajados en la actividad 28.

Para obtener la gráfica de la función resta del apartado anterior, hemos restado tramos de funcioneslineales obteniendo en un caso un tramo lineal con pendiente distinta de cero y en otro un tramo constante(caso especial: lineal con pendiente cero). Esto nos lleva a preguntarnos:¿Dadas dos funciones lineales con dominios = ℝ ; = ℝ y leyes: ( ) = + y( ) = + ; qué condiciones deberán cumplir y para que la función resta = − seauna función constante? (Sugerencia: Dar la ley de ).

Función Dominio Imagen

f (0; 1] (3; 5]p [−1; 0) ∪ (0; 1] (3; 5]F1 [−1; 0) ∪ (0; 1] (−1; 1]F2 [ 3; 4) ∪ (4; 5 ] (3; 5]F3 [−1; 0) ∪ (0; 1] [−5;−3)F4 [−1; 0) ∪ (0; 1] [−2; 0)F5 [−1; 0) ∪ (0; 1] [0; 1]i [−1; 0) ∪ (0; 1] [−5;−3) ∪ (3; 5]

G1 [−1; 0) ∪ (0; 1] [−4;−2) ∪ (4; 6]G2 [−1; 0) ∪ (0; 1] (2; 6]G3 [−1; 0) ∪ (0; 1] [−5;−3) ∪ (3; 5]G4 [−1; 0) ∪ (0; 1] [−5;−3)G5 [−1; 0) ∪ (0; 1] [−10;−6) ∪ {0}