Funciones Básicas y sus CaracterísticasManuel A. MedinaMichael Andújar

Introducción Durante la clase de pre-cálculo,

estaremos observando las diferencias que existen entre los distintos tipos de funciones básicas que existen, en este caso observaremos la recta con su ecuación de y = mx + b representada por y = 6x-1, y a su vez observaríamos la gráfica de la función inversa, con su ecuación de f(x)=1/(6x-1).

Función Lineal La función lineal es del tipo: y = mx+b Pendiente : es el aumento de la ordenada (Y), cuando la

abscisa (X), aumenta una unidad, y suele ser representado por la letra (m). Pendiente: ΔY/ΔX

Función Creciente : La función es creciente si al aumentar la variable independiente (X) aumenta la variable dependiente (Y).

Función Decreciente : La función es decreciente si al aumentar la variable independiente (X) disminuye la otra variable (Y). 

Dominio : El dominio establece una correspondencia entre dos conjuntos de elementos de forma que a todo elemento del conjunto de partida se le asocie un elemento único del conjunto de llegada.

Alcance: El alcance establece el valor recorrido de la gráfica en el eje de (Y).

Función Recíproca La función recíproca se le conoce a una

ecuación que en su numerador está el valor de 1.

Ejemplo: Función Lineal:

Función Recíproca:

Función Inversa Sea f(x) una función, decimos que g(x) es la función inversa de

f(x), y la denotamos por el símbolo f -1, si  se cumplen las siguientes dos condiciones: (f o f -1)(x) = x y (f -1 o f) (x) = x . Para saber si una función tiene inversa podemos hacer la prueba de la línea horizontal en la gráfica de la función, denotada como Y = X ; si la recta horizontal corta la gráfica en un solo punto, esa función tiene inversa, pero, si la recta corta la gráfica en dos puntos o más es necesario partir el dominio de la gráfica para poder hallar la inversa ya que la regla dice que la recta horizontal puede cortar un solo punto de la gráfica para poder hallar la inversa de esa función.

Esto quiere decir que la función lineal tiene inversa, pero en la función de valor absoluto, hay que partirle el dominio para hallar su inversa ya que no pasa la prueba de la línea horizontal.

Método para hallar la Función Inversa

• Halle la función inversa de f(x) = 2x + 5 

Escriba (y) en vez de f(x): y= 2x+5 Despeja para la variable (x): y-5/2= x Intercambia la variable (x) con la variable (y): x-5/2= y Escribe f -1(x) en vez de (y): f -1(x) = x-5/2

Función lineal Función Lineal: y = 6x-1 *Dominio: todos los números reales { x l x = R} * Alcance: (-∞,∞) * Intercepto en Y : (0, -1) * Intercepto en X : (⅙, 0) * Pendiente : 6 * Asíntota Vertical: No tiene * Asíntota Horizontal: No tiene * Asíntota Oblícua: No tiene

Función Recíproca Función Recíproca: * Dominio: todos los números reales { x |x ≠ ⅙} * Alcance: (-∞,0)U(0,∞) * Intercepto en Y : (0, -1) * Intercepto en X : No tiene * Asíntota Vertical: X = ¼ * Asíntota Horizontal: Y = 0 * Asíntota Oblícua: No tiene

Gráfica Función Lineal

Inversa: Gráfica Función Lineal

Gráfica Función Recíproca

Inversa: Gráfica Función Recíproca

Propiedades de las funciones

Decimos que la función f(x) es creciente si a medida que la (x) aumenta también la (y) aumenta. Sin embargo, una función es decreciente si a medida que la (x) aumenta la (y) disminuye. Otra de las propiedades que hemos estudiados es la función par y la función impar. En una función par se cumple que  f(-x) = f(x) para todo valor del dominio y las gráficas son simétricas al eje de (y), mientras que cuando la función es impar se cumple que f(-x) = -f(x) para todo valor del dominio y las gráficas son simétricas al origen. 

Cuando hablamos de las transformaciones de las funciones debemos incluir lo que son las traslaciones, las contracciones, los estiramientos y las reflexiones. Una traslación puede ser vertical u horizontal. Si conocemos la gráfica de f(x)  entonces la nueva función dada por: g(x) =f(x) + c representa una traslación vertical de la gráfica de f(x). Si c > 0 la gráfica se traslada c unidades hacia arriba y si c < 0 entonces la traslación es de c unidades hacia abajo; mientras que una traslación horizontal de la gráfica de f(x)  indica que si c > 0 la gráfica se traslada c unidades hacia la derecha y si c < 0 entonces la traslación es de c unidades hacia la izquierda. 

Propiedades de las funciones (cont.)

Los estiramientos y las contracciones son otras propiedades de las funciones, las cuales también pueden ser verticales u horizontales. Si se  conoce  la gráfica de f(x)  entonces la nueva función dada por g(x) = cf(x) representa un estiramiento vertical de la gráfica de f (x) si c > 1 pero  si  0 <c < 1 entonces es una contracción vertical. Por otro lado g(x) = f(cx) representa un estiramiento horizontal  de la gráfica de f(x) donde si  0 < c < 1 y si  c > 1 entonces representa una contracción  horizontal de la gráfica de f(x). 

Por último es importante saber que las gráficas pueden sufrir una transformación que indica que si se conoce  la gráfica de f(x)  entonces la nueva función dada por g(x) = - f(x) representa una reflexión  de la gráfica de f a través del eje de (x). 

Propiedades de las funciones (cont.)

Conclusión Al culminar este trabajo podemos establecer la

diferencia que existen entre la función lineal y la función recíproca ya que cada una tiene características peculiares que las distinguen. Sin embargo, a ambas se les pueden aplicar e identificar las diferentes propiedades que hemos estudiado en clase. Ambas funciones pertenecen al conjunto de las funciones básicas y es importante que las conozcamos y podamos identificarlas para saber que procedimiento habremos de seguir cuando debamos trabajar con alguna de ellas.

Una de las cualidades es que la función de y=6x-1, y f(x)=1/(6x-1), son recíprocas, pero no son inversas.