Fernando de Jesús Palomares García. 07 de octubre del 2008.

Volumen de una caja.

Esta Función en lo personal se me hizo muy interesante puesto que nos será muy útil en el trabajo de ingeniería ambiental.

Función:

Si tenemos una lamina de b (a ) y queremos saber que altura se le debe dar a la caja para que sea mayor el volumen.

a

b

Entonces ahora partimos de una forma general para sacar el volumen:

x=altura

xx

xx

xx

xx

Ahora llega la sustitución:

Ahora necesitamos despejar

Sacamos la derivada de la función para proseguir:

|

Ahora sustituimos los valores en una formula general para despejar

Area=altura∗ancho∗l argo

Area=x (b−2 x )(a−2 x )

x

f ( x )=x (b−2x )(a−2x )

f ( x )=x (ab−2bx−2ax+4 x2 )

f ( x )=x (ab−2bx−2ax+4 x2 )

f ( x )=abx−2bx2−2ax2+4 x3

U=abx−2bx2−2ax 2+4 x3

U '=ab−4 ax−4 bx+12 x2

x

U '=ab−4 ax−4 bx+12 x2

U '=12x2−4 ax−4 bx+ab

X=−b±√b2−4 ac2a

X=−(−4 a−4b )±√(−4a−4 b )2−4(12 )(ab )2(12)

Ya tenemos la función que corresponde para sacar el volumen, pero ahora pondremos un ejemplo simple para aplicar esto.Se tienen que crear cajas a partir de pedazos de madera en forma de rectángulo, para poder poner muestras, pero se quiere que a estas cajas le quepa el mayor volumen posible. Cada pedazo de madera mide 21.6 cm por 28 cm. ¿Qué valor se le asignara a la altura para que tenga mayor capacidad la caja?

X=( 4a+4b )±√(−4a−4 b)2−48 (ab )24

X1=(4a+4 b)+√(−4a−4b )2−48 (ab )24

X 2=(4 a+4 b)−√(−4a−4b )2−48(ab )24

28cm .

x

Ahora solo aplicamos las funciones ya despejadas:

de altura para un volumen mínimo.

U '=12x2−4 ax−4 bx+ab

U '=12 x2−4 (21.6 )x−4 (28) x+(21 .6 )(28 )

U '=12x2−198 .4 x+604 .8

X1=(4a+4 b)+√(−4a−4b )2−48 (ab )24

X1=(198 .4 )+√(198 .4 )2−48 (604 .8)24

X1=(198 .4 )+√39362 .56−29030 .424

X 2=(198.4 )−101.647233124

=4 .031365288cm

X1=(198 .4 )+101 .647233124

=12 .50196805cm .

X 2=(198.4 )−√10332 .1624

X1=(198 .4 )+√10332 .1624

de altura para un volumen máximo.