función exponencial y logarítmica
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Un breve paseo por algunas aplicaciones de estas funciones con ejercicios propuestosTRANSCRIPT
PROFESOR: Javier Trigoso T.
1
Función exponencial
En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.
Función logarítmica Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.
El ajedrez y los granos de trigo
Una conocida leyenda oriental ofrece una
descripción muy exacta de una función
exponencial. Cuentan que un rey quiso
premiar las dotes adivinatorias del sumo
sacerdote que había predicho una
extraordinaria victoria en una batalla.
- ¿Quieres una bolsa llena de oro?,
¿Deseas un arca llena de joyas?, ¿Pensaste
en poseer un Palacio?, ¿Aspiras a la
administración de una provincia? Aguardo tu respuesta, ya que mi palabra está ligada a una
promesa.
- Aprecio vuestra generosidad, Majestad, y como obediente súbdito me veo en la obligación
de escoger; pero no deseo joyas, ni tierras, ni palacios. Deseo que me recompenses con
granos de trigo, los cuales deberán ser colocados en el tablero, de la siguiente forma: un
grano por la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta
y así duplicando sucesivamente hasta la última casilla.
El rey, al oír el extraño e ínfimo pedido del joven, lanzó una sonora carcajada y, tras
burlarse de su modestia, ordenó que se le diera lo que había solicitado. Al cabo de algunas
horas los algebristas más hábiles del reino le informaron al Soberano que se necesitarían:
18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo!!
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Intervención del número e en un asesinato:
Una aplicación del número “e” es poder determinar en un asesinato el momento de la muerte. Es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento es alta, de manera que se enfría muy rápidamente; cuando un cuerpo está un poco más
caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja y se enfría lentamente. Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36ºC (98,6º F). Pero una persona muerta deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton que se aplica con la fórmula matemática siguiente:
ktaire0airet e).TT(TT
Dónde T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una constante. Ahora aplicaremos esta fórmula en el asesinato de una persona. Su temperatura a las doce de la noche, después de su muerte era de 85º F y la temperatura del aire era de 68º F. A partir de esto nos interesa determinar a que hora murió esta persona. Sabemos que la temperatura normal del cuerpo es de 98,6ºF, se puede calcular el momento de su muerte operando así:
13,15207,0
9ln5lnt
9
5lnt5207,0
9
5e
eº.17º6,30
e.º68º85º68º6,98
t5207,0
t5207,0
t5207,0
t = -1,13 horas = -68 minutos
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Con esto sabemos, gracias a la ayuda del número e, que esta persona murió 68 minutos antes de las doce de la noche, es decir, a las 22:52 h.
¿Cómo se enfría la sopa?
Los objetos se enfrían hasta llegar a la temperatura
ambiente. Supongamos que un objeto caliente que tiene una
temperatura inicial T0 (temperatura en el instante cero) se
coloca en un medio donde la temperatura es Ta
(temperatura ambiente). ¿Cómo calcularíamos la
temperatura que tendrá este objeto después de un tiempo
t?
Esta pregunta se la hizo Newton y le llevó a plantear una
ecuación diferencial cuya solución es: kt
a0at e).TT(TT
Esta expresión es conocida como la ley de enfriamiento de Newton. Donde:
Tt es la temperatura del objeto al cabo de un tiempo t, e es
la base de los logaritmos neperianos y k es una constante de proporcionalidad.
Una aplicación de la ley de enfriamiento de Newton la veremos al resolver el siguiente
problema: Un tazón de sopa se enfría de 90ºC a 60ºC en 10 minutos, en una habitación donde la temperatura es 20ºC. ¿Cuánto más tardará la sopa en enfriarse hasta 35ºC?
Solución: Como la sopa inicialmente tiene una temperatura de 90ºC, entonces T0 = 90ºC. Luego de 10 minutos tiene una temperatura de 60ºC, entonces T10 = 60ºC. La temperatura ambiente es de 20ºC, entonces Ta = 20ºC. Según esto:
4
7e
e.7040
e.20902060
e.TTTT
k10
k10
k10
k10a0a10
Tomando logaritmo neperiano a ambos
miembros:
056,010
4ln7lnk
4ln7lnk10
4
7lneln k10
Tomando k = 0,056 y reemplazandola en la fórmula de Newton obtenemos la función:
t056,0t e.7020T
Esta función nos permite conocer la temperatura de la sopa en cualquier instante t.
¿para qué valor de t la sopa tendrá una temperatura de 35ºC?
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4
14
3lnt056,0
70
15ee.702035 t056,0t056,0
5,27056,0
3ln14lnt
Descontando los 10 minutos, faltarían 17,5 minutos para que la sopa llegue a los 35ºC.
Crecimiento demográfico
Las curvas de crecimiento vegetativo de una población,
establecido como la diferencia entre nacimientos y
muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley
exponencial. Siendo P0 la población inicial e i el índice de
crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una
tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley
exponencial: P = P0.ekt.
Donde:
P: Número de individuos en el momento t.
P0: número de individuos en el momento inicial.
k: constante de crecimiento.
t: Tiempo
Ejemplo 1:
La población dela tierra crece aproximadamente al 2% anual (crecimineto continuo). ¿Cuánto
tiempo tardará en duplicarse la población?
Solución:
Como la población crece exponencialmente, entonces rt0 e.P)t(P
Donde t representa el tiempo en años y P(t) es la población en el tiempo t.
Como r = 2% = 0,02 y P(t) = 2.P0, entonces:
65,3402,0
693,0t
r
2lntrt2ln2ee.PP2 rtrt
00
Entonces, tardará aproximadamente 35 años.
Ejemplo 2:
Kenia tiene en la actualidad, aproximadamente 30 millones de habitantes y el tiempo de
duplicación es de 19 años, ¿qué población habrá dentro de 10 años si la tasa de crecimiento
no cambia?
Solución:
Si P se mide en millones y t en años, la función adecuada es: 19/t2.30)t(P ,
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para t = 10 será: 2,434402,1.302.30)10(P2.30)10(P 526,019/10
43.2 millones de habitantes
Ejercicios:
01. En una colonia de insectos, cuya
población es controlada cada año, se
observa que en diez años no ocurrió ningún
suceso que alterase su ley de crecimiento.
La población existente cada año fue los
4/3 del año anterior. Si el año que empezó
el estudio había 7 290 ejemplares,
¿cuántos había al cabo de 6 años?
02. Un piscicultor introduce en un
estanque mil truchas jóvenes. El dueño
estima que tres meses después sólo
quedan alrededor de 600. Encuentra una
fórmula exponencial kt0eN)t(N que
esté de acuerdo con esta información y
úsala para estimar el número de truchas
después de un año.
03. En un estudio sobre la reproducción
de la trucha de río, se estima que en un
determinado criadero hay 200 truchas.
Transcurrido un año, se contabilizan 360
truchas en dicho criadero. Si suponemos
que el crecimiento es exponencial, calcula
cuántas truchas habrá cuando transcurran
tres años.
04. A comienzos de la década de los 90 la
población de un país fue de 324 000 000
habitantes. Si su población creciera
anualmente en forma exponencial,
siguiendo la fórmula
a6 01,1.10.324)a(P
a. ¿Cuál sería la tasa anual de
crecimiento?
b. ¿Cuál sería la población de dicho país a
mediados de la década de los 90?
c. ¿Cuál sería la población a fines de
1 992?
05. En el 2 002, la población de cierta
ciudad era de 25 000 habitantes. Si la
tasa de crecimiento anual era de 2%
a. Detremina una fórmula para estimar la
población después de t años.
b. Usa la fórmula para estimar la
población de la ciudad en el 2 030.
06. Si el crecimiento de una colonia de
abejas está determinado por la ecuación:
t37,0e5,561
230)t(P
con t en meses.
a. ¿Cuántas abejas había inicialmente?
b. ¿En cuánto tiempo las abejas llegarán a
ser una población de 150?
07. Según un modelo logístico basado en el
supuesto de que la tierra no puede
soportar más de 40 000 millones de
personas, la población mundial (en miles de
millones) t años después de 1 960 está
dada por una función de la forma
ktCe1
40)t(P
, donde C y k son
constantes positivas. Halla la función de
esta forma que concuerde con el hecho de
que la población mundial era
aproximadamente de 3 000 millones en 1
960 y de 4 000 millones en 1 975. ¿Qué
predice su modelo con respecto a cuál
será la población en el año 2 000?
08. Una epidemia se propaga en una
comunidad de manera que t semanas
después de su brote el número de
personas infectadas está dado por una
función de la forma ktCe1
B)t(f
,
donde B es el número de residentes en la
comunidad que son propensos a contraer la
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enfermedad. Si 1/5 de los residentes
propensos estaba infectado al principio y
1/2 de ellos había sido infectado al final
de la cuarta semana, ¿qué fracción de
residentes propensos a la enfermedad
habrá sido infectada al final de la octava
semana?
Crecimiento no inhibido
La mitosis, o división celular, es un proceso universal indispensable en el crecimiento de los organismos vivos como las amibas, plantas, células humanas y muchas otras. Con base en una situación ideal donde no mueren células ni hay efectos colaterales, el número de células presentes en un instante dado obedece a la ley del crecimiento no inhibido. Sin embargo, en la realidad, después de cierto tiempo el crecimiento en forma exponencial cesa debido a la influencia de factores como la carencia de espacio, la disminución de la fuente alimenticia, etc. La ley del crecimiento no inhibido solo refleja de manera exacta las primeras etapas del proceso de la mitosis. El proceso de mitosis comienza con un cultivo de N0 células donde cada célula crece durante cierto periodo y después se divide en dos células idénticas. Suponemos que el tiempo necesario para que cada célula se divida en dos es constante y que no cambia al aumentar el número de células. Después, éstas células crecen y se dividen en dos, y así sucesivamente. Una fórmula que proporciona el número N de células en el cultivo después de transcurrir un
tiempo t (en las primeras etapas del crecimiento) es: kt0eN)t(N , en donde N0 y K son
constantes positivas, denominadas cantidad inicial y constante de crecimiento. Ejemplo 3:
Algunos tipos de bacterias tienen un crecimiento muy rápido de su población. La bacteria
Escherichia coli puede duplicar su población cada 15 minutos. Si se hace un cultivo en el que
inicialmente hay 5 000 bacterias de este tipo, ¿cuántas habrá al cabo de cuatro horas?
Solución: Analizamos la evolución que sigue la población de bacterias:
Tiempo (min) Nº de bacterias
0 5 000
15= 1.15 21.5 000 = 10 000
30 = 2.15 22.5 000 = 20 000
……
……
x.15 2x.5 000
7
Como cuatro horas equivalen a 16 períodos de 15 minutos, calculamos la población
de bacterias:
P16 = 216.5 000 P16 = 65 536.5 000 = 327 680 000 bacterias.
Ejemplo 4:
Un estudiante universitario que analiza el crecimiento de bacterias en cierto cultivo ha
reunido los siguientes datos:
Tiempo (min) Cantidad de bacterias
0 6 000
20 9 000
Emplea estos datos para hallar una función exponencial de la forma kt0eQ)t(Q que
exprese el número de bacterias Q del cultivo como una función del tiempo en minutos. ¿Cuál
será el número de bacterias después de una hora?
Solución:
Según los datos de la tabla
0006Q0006eQ0006)0(Q 0)0(k
0
y
2
3ln
20
1k
2
3e0009e00060009)20(Q k20)20(k
Por lo tanto: t.
2
3ln
20
1
e0006)t(Q
Además, el número de bacterias después de una hora, resulta
25020e0006)60(Q60.
2
3ln
20
1
Ejemplo 5:
El número de bacterias en cierto cultivo crece de 5 000 a 15 000 en 10 horas. Suponiendo
que la tasa o rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias,
I. Calcula el número de bacterias al cabo de 20 horas.
II. ¿Cuánto llegará a 50 000 el número de bacterias?
Solución:
Como la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias, entonces kt
0eN)t(N
Donde t representa el tiempo en horas y N(t) es la población de las bacterias en el
tiempo t.
Como N(0) = 5 000 es la población inicial, entonces: kte0005)t(N
y como N(10) = 15 000, entonces:
10
tkt )3(0005)t(N
10
3lnke000500015
8
I. Al cabo de 20 horas habrá bacterias00045)3(0005)20(N 2
II. Resolvemos la ecuación:
96,203ln
10ln10t)3(000500050 10
t
Así la población llegará a 50 000 bacterias en 20,96 horas.
Ejercicios:
09. Una colonia de bacterias crece de
acuerdo a la ley del crecimiento no
inhibido. Si la cantidad de bacterias se
duplica en tres horas, cuánto tiempo
tardará la colonia en triplicar su número?.
10. Si el tiempo que demora en duplicarse
una población de bacterias, con una tasa
de crecimiento anual r, compuesto de
manera continua, se expresa como:
r
2lnt
¿Cuánto tardará en duplicarse una
población cuya tendencia de crecimiento
se da con una tasa de crecimiento anual
del 3,5%?
11. El número de bacterias de cierto
cultivo crece de 2 000 a 32 000 en 12
horas. Suponiendo que la tasa de rapidez
de crecimiento es proporcional al número
de bacterias.
a. Calcula el número de bacterias luego
de 15 horas.
b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para
que la población se quintuplique?
12. El número de bacterias de cierto
cultivo se incrementó de 600 a 1 800 en 2
horas. Suponiendo que el crecimiento es
exponencial, t horas después de las 7:00
a.m., el número f(t) de bacterias está dada
por: 2/t3600)t(f . Calcula el número
de bacterias en el cultivo a las 8:00 a.m., a
las 10:00 a. m. y a las 11:00 a.m.
13. Los biólogos han observado que la
mayoría de las bacterias, en condiciones
ideales, se reproducen mediante modelos
de crecimiento exponencial. Si la población
inicial de bacterias en cierto cultivo era
de 800. Si la tasa relativa de crecimiento
es de 30% por hora:
a. ¿Cuál será la población estimada de
bacterias después de un día?
b. ¿Cuál será la población estimada de
bacterias después de dos días?
Desintegración Radioactiva
Por su naturaleza los elementos radioactivos tienden a disminuir hasta agotarse completamente conforme transcurre el tiempo. Si t representa al tiempo (medido en años, meses, días) y N(t) la cantidad medida en gramos, miligramos, etc.) del elemento radioactivo, entonces
kt0eN)t(N
representa la ley de decrecimiento exponencial del elemento radioactivo según transcurre el tiempo, donde N0 es la cantidad inicial, K es la constante de decrecimiento.
9
El elemento 88, más conocido como radio, es radioactivo; es decir, los átomos de radio se desintegran espontáneamente, emitiendo una radiación en forma de partículas alfa, beta o rayos gamma. Cuando un átomo se desintegra de esta manera, su núcleo se transforma en el núcleo de otro elemento.
Ejemplo 6:
Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una función exponencial. La cantidad
inicial es de 10 gramos, pero después de 200 años es de 2 gramos. Calcula la cantidad que
hubo después de 100 años.
Solución:
Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 10 gramos, entonces: kte.10)t(C
Además C(200) = 2
200
5lnkk2005lne5e
5
1e.102 k200k200k200
Luego, reemplazando k obtenemos la fórmula de desintegración radioactiva:
t.200
5ln
e.10)t(C
Nos piden C(100)
5ln2
5ln100.200
5ln
e.10)100(Ce.10)100(Ce.10)100(C
525
10
e
10)100(C
5ln
Luego, la cantidad que hubo después de 100 años fue de 4,47 gramos proximadamente.
Ejemplo 7:
Supongamos que hay 20 g de radio disponibles inicialmente, ¿Qué porcentaje de los 20 g se
habrá desintegrado después de 100 años.
Solución:
Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 20 gramos, entonces: kte.20)t(C , siendo k = 0,000418
Nos piden C(100)
1812,19)100(Ce.20)100(Ce.20)100(C 0418,0)100.(000418,0 g
El resto es: 20 – 19,1812 = 0,8188 g
El porcentaje es: 094,420
1008188,0
Se ha desintegrado aproximadamente el 4,1%
10
Ejercicios:
14. Una sustancia radiactiva se desintegra
siguiendo una función exponencial. La
cantidad inicial de masa es de 10 gramos
pero después de 200 años la masa se
reduce a 2 gramos. Calcular la cantidad de
masa después de 100 años
15. El poder radioactivo de una sustancia
se va perdiendo a medida que transcurre
el tiempo, según la fórmula t05,0e5,1)t(P , siendo t el tiempo en
años. ¿Despúes de cuánto tiempo su poder
radiactivo se reducirá a la mitad?
16. La vida media de un elemento
radioactivo se define por el tiempo que
tarda en desintegrarse la mitad de ese
elemento para transformarse en un nuevo
elemento. La vida media es la medida de la
estabilidad del elemento, es decir, cuanto
más corta sea la vida media, más inestable
es el elemento. El modelo matemático para
hallar la vida media de un elemento
radioactivo está dado por t.000418,0
0eC)t(C
Halla la vida media del radio.
17. La semivida del radio es de 1 600 años.
si la cantidad inicial es qo miligramos, y la
cantidad q(t) restante después de t años
está dada por kt02q)t(q , halla k.
El interés Compuesto
En las inversiones, si los intereses simples producidos
durante un período de tiempo son añadidos al capital, de
modo que el interés del siguiente período se calcula sobre
este nuevo capital, repitiéndose este proceso por dos o
más períodos, el aumento total del capital original se
llama interés compuesto. Los períodos sucesivos de
tiempo al final de los cuales se incorporan los intereses al
capital, se llaman períodos de capitalización y los más
usados son: el año, el semestre y el trimestre. Además, la
tasa de interés es anual.
El interés compuesto, generalmente se aplica en cuentas
de ahorros y préstamos y sigue un modelo matemático
representado por medio de la fórmula:
nt
n
r1.CM
Donde:
M es el monto después de t años.
C es el capital.
r es la tasa de interés anual.
n es el número de veces que se calcula el interés al año.
t es el tiempo en años.
11
Ejemplo 8:
José abre una cuenta con un depósito inicial de S/. 5 000 a un 6% de interés compuesto
anual, con una capitalización trimestral. Dos años después, si no se realizan depósitos ni
retiros adicionales, ¿cuánto gana o pierde si coloca la misma cantidad a un 5% de de interés
compuesto anual, con una capitalización cuatrimestral?.
Solución: Si el interés es del 6% compuesto trimestral, el monto final será:
46,56324
06,015000M
2.4
6
Si el interés es del 5% compuesto cuatrimestral, el monto final será:
30,55213
05,015000M
2.3
6
Como el segundo monto es menor que el primero,
entonces José pierde: 5632,46 – 5521,30 = S/. 111, 16
Ejemplo 9:
La señora Martínez invierte 6.000 € en un depósito financiero al 5% anual durante 3 años.
No retira los intereses al finalizar cada año, sino que se añaden al capital y se vuelven a
reinvertir. ¿Cuál será el capital de la señora Martínez al finalizar el tercer año?
Solución:
Al iniciar el depósito dispone de un capital inicial de 6.000 €.
C0 = 6.000 €
Al finalizar el primer año recibirá los intereses; por tanto, su capital será:
6300100
516000M1
Al finalizar el segundo año vuelve a recibir los intereses del capital que ha tenido en ese
año, es decir:
6615100
516300M2
Así, repitiendo la operación, al finalizar el tercer año tendrá:
75,6945100
516615M3
Al finalizar el tercer año, la señora Martínez tendrá 6 945,75 €
12
Ejercicios:
18. Se depositan $ 500.00 en un banco a
una tasa de interés del 48% anual
capitalizable mensualmente. ¿Cuál será
el monto acumulado en 2 años?
19. Se obtiene un préstamo bancario de
$ 15 000 a plazo de un año y con interés
del 52% convertible trimestralmente
¿Cuál será el monto a liquidar?
20. Se decide liquidar el préstamo del
problema anterior en forma anticipada
habiendo transcurrido 7 meses y 1/2.
¿Cuál es la cantidad que debe pagarse?
21. Si $10 000 se invierten al 9% anual
capitalizado semestralmente, ¿cuál será el
tiempo requerido para que el capital
exceda a $30 000?
22. Un fondo de ahorro paga interés a
razón de 9% capitalizado diariamente.
¿Cuánto se debe invertir para tener
$2 000 al final de 10 semanas?
23. ¿Cuántos años debe permanecer en un
banco un capital inicial de S/.80 000 a una
tasa del 3% a interés anual compuesto
para triplicar su valor?
24. ¿Cuántos años deberán mantenerse
S/.20 000 en un banco al 9% anual, si se
quiere ganar S/.600 de interés?
25. Una familia hace un plan de ahorros
durante 4 años ingresando, al principio
de cada año, 3.000 € a un 5% anual de
interés compuesto. ¿Cuánto dinero
obtendrá al finalizar el plan?
26. Un padre de familia ha colocado en un
banco S/. 9 000 al 5% de interés
compuesto durante 28 meses. Teniendo en
cuenta que los intereses se capitalizan por
años, halla el interés producido.
Considerando que: t
if 100
r1CC
Si depositas $3 000 a una tasa de interés
anual del 9%. Calcula el monto en tu cuenta
luego de 2 años, si el interés es:
a. Anual
b. Semestral
c. Trimestral
Datación de vestigios arqueológicos
En los materiales radiactivos, la masa disminuye
exponencialmente con el tiempo con una tasa que depende
de la mayor o menor estabilidad del material radiactivo.
Para medirla se emplea el concepto de “vida media”, que es
el tiempo que se requiere para que la masa del material
disminuya a la mitad del valor original.
El dióxido de carbono (CO2) del aire contiene el isótopo
radioactivo 14C, así como el isótopo estable de carbono 12
(12C). Las plantas vivas absorben dióxido de carbono del
aire, lo que implica que la razón de 14C a 12C en una planta
viva (o en un animal que se alimenta de plantas) es la
misma que en el aire. Cuando un animal o una planta mueren, la absorción de dióxido de
carbono cesa.
13
El 12C que está es la planta o en el animal permanece igual que en el momento de la muerte
(permanece constante), mientras que el 14C decrece y la razón de 14C a 12C, que
representaremos por R(t), decrece exponencialmente, esto es kt
0eR)t(R
Donde R0 es la razón de 14C a 12C encontrada en la atmósfera (constante), y k es una
constante positiva. Al comparar R(t) con R0 se puede estimar la edad de la muestra.
Ejemplo 10:
Todos los seres vivos, al morir tienen la misma proporción de Carbono 14 en su cuerpo
(debido a que lo absorben del medio mientras están vivos). Si el fósil corresponde a un
animal que murió hace 10 000 años, ¿Qué proporción conserva de la cantidad inicial de
Carbono 14?
Solución:
Como h = 5 600 años, se tiene que: 5600/t21
0)t( ).(MM
Así que: 0,2900.M)(M).(MM 01,7857
21
05600/10000
21
0)10000(
Luego, después de 10 000 años aun queda el 29 % del Carbono 14 original.
De este modo se determina la edad de muchos fósiles.
Ejemplo 11:
Un arqueólogo ha encontrado un fósil en el que la razón de 14C a 12C es 1/3 de la razón
encontrada en la atmósfera. ¿Qué edad tiene aproximadamente el fósil?
Solución:
Por dato 0R3
1)t(R , entonces ktkt
00 e
3
1eR
3
R
Como la vida media del 14C es de 5 600 años,
5600
2lnkeN
2
N k56000
0
Reemplazando, resulta
83513.90812ln
3
1ln.5600
te3
1 t.5600
2ln
Por lo tanto la edad aproximada del fósil es 9,081.83513 años.
Ejercicios:
27. ¿Cuál es la antigüedad de un hueso de
un animal que ha perdido el 35% de su
C-14?
28. ¿Cuál es la edad de un fósil que solo
ha retenido la tercera parte de su
contenido de C-14?
14
29. ¿Cuál es la edad del hueso de un
animal que ha perdido el 30% de su
carbono - 14?
30. Una momia descubierta en una
pirámide en el Valle de los Reyes había el
46% de su carbono – 14. ¿Cuál es su
edad?
31. Una momia se encontró con 1/1000
de la cantidad de C-14 que su organismo
contenía mientras vivió. Halla la edad
aproximada de la momia.
32. Un fechado realizado en el año
2 000, reveló una antigüedad de 540 años
para la momia Juanita, encontrada en el
nevado de Ampato. ¿qué cantidad de C-14
tenían sus restos cuando la encontraron?
33. El kriptón-81 se usa en estudios de
ventilación pulmonar. Su vida media es de
13 s. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir
para que la actividad del isótopo se
reduzca a la cuarta parte de su valor
original?
Escalas de intensidad sísmica
Las escalas de medida de la intensidad de los
terremotos más comúnmente utilizadas son de tipo
logarítmico. Así, la escala de Richter utiliza una
escala logarítmica de base 10, con lo que cada
aumento de grado en esta escala no se corresponde
con un aumento lineal de la magnitud de un sismo, sino
exponencial: un terremoto de grado seis es diez
veces menos intenso que uno de grado siete, y cien
veces menos que uno de grado ocho.
Los sismólogos miden la intensidad de un sismo, en
cuestión de segundos mediante la fórmula
P
AlogR
Donde:
R es la intensidad del sismo.
A es la amplitud en micrómetros.
P es período que dura una oscilación de la superficie terrestre, en segundos.
Ejemplo 12:
En nuestro país hay una franja de la zona sísmica donde convergen la placa de Nazca y la
placa Continental. Para medir la magnitud de un sismo se realizan lecturas en un sismógrafo
que deben ser representadas en una escala por ejemplo La Escala Richter cuya magnitud se
halla:
0I
IlogM , Donde I es la intensidad del terremoto e Io es la intensidad de un
terremoto estándar de referencia.
El terremoto de Lima de 1 940 tuvo una magnitud de 8,2 ¿Qué tan intenso fue el sismo de
Ica del 15 de Agosto de 2 007 de 7,9 comparado con el de 1 940?
15
Solución:
Por dato 2,8M1940 y 9,7M2007
1940
2007
19402007
0
1940
0
200719402007
I
Ilog3,0
IlogIlog2,89,7
I
Ilog
I
IlogMM
501,010I
I 3,0
1940
2007
Luego el sismo de 2007 fue aproximadamente la mitad de intenso que el sismo de 1940
Ejercicios:
34. Calcula la la intensidad de un sismo en
la escala de Richter, si la amplitud fue de
15 000 micrómetros y su periodo de 0,2
segundos.
35. En la escala de Richter, la intensidad
M de un terremoto, se relaciona con su
energía E (en Ergios ) por medio de la
fórmula: M5,14,11LogE .Si un
terremoto tiene 1000 veces más energía
que otro, ¿cuántas veces mayor es su
índice de Richter M?
36. ¿Cuál es la razón de la energía del
terremoto de San Francisco, ocurrido en
1 906 (M = 8.3), con la del Eureka de 1
980 (M=7) ?
37. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto
cuya lectura sismográfica es de 0.1
milímetros a una distancia de 100
kilómetros del epicentro?
38. ¿Cuántas veces es mayor la potencia
de un terremoto de grado 7 que otro de
grado 5?
39. El devastador terremoto de San
Francisco en 1 906 midió 8.9 en la escala
de Richter. ¿Cómo se compara este
terremoto con el de Papúa, Nueva Guinea,
en 1988, que midió 6.7 en la escala de
Richter?
40. El geólogo C. F. Richter definió la
magnitud de un sismo (o terremoto) como
S
IlogR donde I es la intensidad del
terremoto (medida por la amplitud de
oscilación de la aguja de un sismógrafo
situado a 100 km del sismo) y S es la
intensidad de un movimiento sísmico
“mínimo” donde la amplitud es 1 micra =
10−4 cm . El terremoto de San Francisco
de 1 989 tuvo una magnitud de 6, 9 en la
escala de Richter. El terremoto de 1 906
en la misma ciudad tuvo una intensidad 25
veces mayor. ¿Cuál fue su magnitud en la
escala de Richter?
41. El 31 de Mayo de 1 970, un terremoto
asoló el callejón de Huaylas durante 45
segundos, causando la destrucción de la
ciudad de Yungay y ocasionando
aproximadamente 67 000 víctimas. Si a
100 km del epicentro hubiera estado
ubicado un sismógrafo, éste habría
registrado una lectura de 31 622,77 mm.
Determina la magnitud de dicho sismo.
42. En la escala de Richter la magnitud
de un terremoto de intensidad I está
dada por:
0I
IlR
a. Halla la intensidad del terremoto de
san francisco, ocurrido en 1 906, cuya
16
magnitud fue de 8,3 en la escala de
Richter.
b. ¿Qué tan intenso fue ese terremoto
con relación al de Bay Area World series
c. de 1 989, cuya magnitud fue de 6,9 en
la escala de Richter?
Alcohol y conducción de vehículos Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de
una persona. Investigaciones médicas recientes sugieren que
el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente
automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación: kxe6R
Donde
x: es la concentración de alcohol en la sangre
k una constante.
Ejercicios:
43. Al suponer una concentración de 0,04
de alcohol en la sangre produce un riesgo
del 10% (R = 10) de sufrir un accidente,
¿cuál es el valor de la constante?.
a. Utilice el valor de k e indique cuál es el
riesgo para diferentes concentraciones de
alcohol (0.17, 0.19, ...).
b. Con el mismo valor de k indique la
concentración de alcohol correspondiente
a un riesgo del 100%.
c. Si la ley establece que las personas con
un riesgo del 20% o mayor de sufrir un
accidente no deben conducir vehículos
¿con cuál concentración de alcohol en la
sangre debe un conductor ser arrestado y
multado?.
44. El ser humano elimina, a través de la
orina, cierto medicamento que ingiere y la
cantidad (en mg) que queda en su cuerpo t
horas después está dada por la función t8,0.15)t(Q
¿Cuál es la dosis inicial?
Al cabo de 12 horas, ¿cuánta medicina
queda en su organismo?
¿Cuánta medicina se ha eliminado luego de
12 horas?
La intensidad sonora Las unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad de un sonido,
llamadas belio y decibelio, son en realidad relativa y de naturaleza logarítmica. Así, un
decibelio se define en acústica como la décima parte del logaritmo decimal del cociente
entre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomada como referencia.
45. La intensidad del sonido que percibe el
oído humano tiene diferentes niveles.
Una fórmula para hallar el nivel de
intensidad que corresponde a intensidad
del sonido I es:
010 I
Ilog10a
decibeles, con I0 valor especial de
correspondiente al sonido más débil que
puede ser detectado por el oído humano.
Determina en los siguientes casos:
es 1000 veces más grande que I0
es 10 000 veces más grande que I0
(Este último corresponde al nivel de
intensidad promedio de la voz humana).
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