pauta guía - función logarítmica
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PREUNIVERSITARIO BELÉN UCMATEMÁTICAS
Pauta Guía: Función logarítmica.
Profesor: Alejandro E. Mejías Herrera
En esta pauta no se incluyen los ejemplos, que fueron vistos en clases.
Ejercicios.
I. Aplicando propiedad del producto
Log 4 + log 2 = log (4*2) = log 8 Es equivalente.
II. Aplicando la propiedad de la potencia8log2log2log3 3
== Es equivalente.
III. Aplicando las propiedades del cuociente y de la potencia
8log2
16log2log16log2log4log2log4log2 2 ==−=−=− Es equivalente.
Respuesta: E
Denominando “x” al resultado desconocido, un logaritmo podría leerse de la siguiente
forma
22 −= x
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Lo anterior claramente no tiene solución en los reales, no hay x que cumpla con la
condición.
Respuesta: E
Este logaritmo podría escribirse como potencia de la siguiente forma
x=13
Luego, x = 3
Respuesta: D
Recordemos que cuando no hay base, es logaritmo base 10. Luego, esto puede leerse como
x
x
x
=
−=
−=
1001
11000110
3
Respuesta: E
Recordar bien la propiedad del producto. En las opciones A u D no se puede aplicar, así
que las descartamos (tampoco se puede resolver el logaritmo por sí solo).B. log 20 + log 4 = log (20*4) = log 80 No.
C. 144log12log12log2 2== No
E. log 8 + log 3 = log (8*3) = log 24 ¡¡¡¡¡¡Sí!!!!!!!
Respuesta: E
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Leyendo el log. como potencia (no es el único método, como suele ocurrir con los log.)
tenemos que
4
1
16
116
12
==
=
x
x
Respuesta: C
También leeremos el log como una potencia, obteniendo
39 = x
La incógnita está arriba. En este caso, debemos igualar las bases para poder hacer unaecuación con los exponentes.
( )
2
1
12
33
33
39
2
2
=
=
=
=
=
x
x
x
x
x
Respuesta: D
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Primero aplicamos propiedad del producto
12log3
)34(log3
)3log4(log3
12
12
1212
=
⋅=
+=
a
a
a
Recordando la propiedad se tiene que
a=3
Respuesta: C
Resolviendo
( ) 5log2
35log5log 2
33
==
Respuesta: B
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En este caso no se puede aplicar la propiedad de cuociente, porque las bases son distintas.Lo que se hace es intentar resolver cada logaritmo por sí mismo, para lo cual aplicaremos la
propiedad
Entonces, hay que llevar los números grandes a una potencia del número
pequeño.
26log36log
33log27
1log
42log16log
2
66
3
33
4
22
==
−==
==
−
Reemplazando los valores en el ejercicio, nos queda
2
7
2
34=
−−
Respuesta: A
Ocupando la misma propiedad que en el caso anterior
3
7
4
1log4log)44(log)416(log
3
7
4
13
7
4
13
1
2
4
13
4
1 −=
==⋅=⋅
−
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Respuesta: B
En este caso solo debemos ocupar las propiedades de producto y cuociente con lo que se
obtiene
=+−
n
mp pnm loglogloglog
Respuesta: E
Analizamos las expresiones 1 a 1.I. log1*log5 = -1*log5 es distinto de log5. Es Falsa.
II. 021110log1log10
1log <−=−−=−= Es verdadera.
III. Log6*log10 = log6*1 = log6 Es verdadera.Respuesta: D
Escribimos el log como potencia
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7
492
=
=
x
x
Respuesta: B
Ojo: la respuesta no es 7 y -7. Esto porque la base de los logaritmos (el número chico) debeser mayor que 0 y distinto de 1.
Estos de los dibujos tienden a ser bien complicados. Hay que fijarse en un par de cosas.
1. Si la base es mayor que 1, la función es estrictamente creciente (no puede ser par
abajo). Por el contrario, si es menor que 1, la función es estrictamente decreciente
(no puede ser para arriba).
En este caso, la base es 3 Descartamos la letra B.
2. Cada vez que el número grande del logaritmo (llamémosle x) vale 1, el log x = 0.
De esto siempre podemos sacar un punto que pertenece a la recta.
En este caso si x = 1, y = f(x) = 0 + 1.
y = 1.
Tenemos que el punto p(1,1) pertenece a la función. Luego
Respuesta: A
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Siguiendo el mismo razonamiento del ejercicio anterior,
1. la base es 2 > 1, luego la función es creciente. Descartamos E.
2. x = 2 log(2 - 1) = log1 = 0. Y = 0P(2,0) pertenece a la función.
Respuesta: C
En este caso todas las alternativas son crecientes, así que tendremos que ver a cual de ellas pertenece el punto p(1,1) que según la figura, pertenece a la función.
A. log1 = 0 (1,0)
B. log(1) + 1 = 1 (1,1)C. log(1) + 2 = 2 (1,2)
D. log(1+1) = log2 (1,log2)
E. log(1+2) = log3 (1,log3)Respuesta: B
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Lo que hacemos en este caso es básicamente reemplazar x en el ejercicio por 7. La
expresión resultante sería
23log9log)716(log 2
3347 ===−−
Respuesta: A
Revisamos las afirmaciones 1 a 1.
I. 25log25log)12( 2
55 === f Es verdadera.
II. Nos dice que el punto p(1,0) pertenece a la función. 03log)112(log 55 ≠=+⋅ Es
falsaIII.5>1. Es verdadera.
Respuesta: D
Primero reemplazamos “y” por “5x” en la expresión que nos piden resolver, con lo que se
obtiene
x x y x 5loglogloglog 5555 −=−
Aplicando propiedad del cuociente obtenemos
x
x y x
5logloglog 555 =− Simplificando la expresión, se eliminan los x
5
1logloglog 555 =− y x Reordenando
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15logloglog 1
555 −==−− y x
Respuesta: A
Recordando la propiedad del producto y del cuociente
I. Falsa
II. Falsa
III. FalsaRespuesta: E
Lo que hacemos en este ejercicio (como se hace a menudo con logaritmos) es reordenar laexpresión que tenemos, hasta llegar a lo que nos piden. Ojo en que hay una raíz dentro del
log., lo que nos da una idea de la propiedad a utilizar. Partimos de
1log4 =a Dividimos a ambos lados por 8
8
1log
2
1=a
Aplicando propiedad obteniendo
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8
1log =a
Respuesta: B
En este caso, log70 no se puede calcular por sí solo, hay que utilizar el dato que nos dan.
Hay que intuir que el camino va por separar el 700 para obtener lo que nos piden. Partimos.
84,170log
84,2170log
84,210log70log
84,2)1070log(
84,2700log
=
=+
=+
=⋅
=
Aplicamos propiedad
Respuesta:C
De nuevo debemos trabajar de una expresión para llegar a la otra. Esta vez partiremos de
log75
253log75log 55 ⋅= Aplicamos propiedad del producto
25log3log75log 555 += El primer logaritmo lo tenemos, falta el segundo.
2
555log
10
775log +=
Recordando la propiedad
10
272
10
775log5 =+=
Respuesta: A
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Hay que despejar “a” de la ecuación logarítmica (juntando los log a un lado y lo que no
tenga log al otro)
cba
cba
cba
cbbabcba
=⋅
=+
=+
=++
−=+
)log(
loglog
log2log
loglogloglogloglog
2
2
Ahora, tenemos “a” dentro de un logaritmo. El método de despejarlo es aplicando laoperación inversa al log, que es la exponencial (manteniendo la base). Ejemplos
Función Inversaalog a
10
a5log a
5
a x
log a
x
aln a
e
En este caso es a10 . Lo aplicamos a ambos lados
cba
cba
1010
)log(
)log(
2
2
=
=⋅
⋅
Como son operaciones inversas, se cancelan.
2
2
10
10
ba
ba
c
c
=
=⋅
Respuesta: C
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En estos ejercicios, hay que tomar cada una y ver si se puede resolver. Luego, solo si no
hemos podido resolverlo aun, tomar las 2. No es necesario resolverlos, solo ver si se
puede o no. Puede ser un poco tedioso, pero si se acostumbran se les va a hacer másrápido.
I. Tomamos solo (1)
0log0log1log
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
d b
c
d b
c d d b
Sí se puede resolver!!
II. Tomamos solo (2)
1000100
loglog 1000100
⋅⋅ ca
No se puede resolver. Aún nos quedan las incógnitas a y c.Respuesta: A
I. Tomando (1)
b
aba logloglog =− No se puede resolver
II. Tomando (2)
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110log10
loglogloglog ====−b
b
b
aba Sí se puede resolver
Respuesta: B
(1) No basta, porque con b mayor que 1 la función crece(2) No basta, porque para que la función exista, b debe ser mayor que 0
(1) y (2) Sí.Respuesta: C
Observación: En la hoja de ustedes dice B. Esto no estaría bien a mi parecer, porque se está
obviando un concepto clave necesario para que la función exista. Esto es, que la base sea un
número positivo. Les dejo esto a su criterio.
I. Tomamos solo (1)
2
3
2
3
12
3
10log
10log
10log2
3
100log
000.1log
2
3
=
⋅=
=
Sí, son iguales.
II. Tomamos solo (2)
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c
cc
c
log2
310log
log2
3
10log
100log
⋅≠
=
No se cumple
Respuesta: A
Primero descompondremos el log 20 en todas las formas posibles
Log 20 = log 10 + log 2 = 1 + log 2
Log 20 = log 4 + log 5.
Luego, se desprende que basta con tener el valor de log 2.
Respuesta: B