función a trozos
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FUNCIONES ESPECIALES
Algunas funciones no están descritas solamente por una función algebraica o algunas otras no presentan una gráfica con un trazo continuo, tales funciones requieren un tratamiento especial por lo cual se estudian de manera independiente.
Este tipo de funciones son:• Funciones a trozos• Valor Absoluto• Parte entera.
FUNCIÓN A TROZOS
DEFINICIÓN
Una función formada por la unión de dos o más funciones, cada una de ellas definida en intervalos disyuntos, recibe el nombre de función segmentada o función a trozos.Así una función a a trozos presenta diferentes expresiones algebraicas en determinados intervalos; en forma general, una función a trozos es de la siguiente forma:
FUNCIÓN A TROZOS
La gráfica de g(x) está formada por todas las partes . El dominio y el rango de g(x) es la unión de los dominios y los rangos de cada una de las partes que las forman.
FUNCIÓN A TROZOS
Primero: se identifican los intervalos en los que se define la función
Para (−∞ ,1 ]
En este intervalo solo debemos aplicar la función
EJEMPLO
Determinar la gráfica, el dominio y el rango de la siguiente función:
Esta es la función que tiene forma
de:_______________
FUNCIÓN A TROZOS
Se realiza una tabla de valores con
x 1 0 -1 -2
y 1 0 1 4
Para el intervalo
x 1,5 2 3 4
y -1 -1 -2 -3
Luego, se realiza la gráfica de la función de acuerdo con las funciones que la componen.
FUNCIÓN A TROZOS
Debemos tener en cuenta que el valor 1 del dominio de la función se encuentra en el
primer intervalo
Finalmente, la gráfica de la función es:
De acuerdo con la gráfica se puede concluir que: Dom Ran
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN
La función valor absoluto se puede considerar como una función definida a trozos. Esta función asigna a cada número real del dominio su valor absoluto y está definida por:
𝑓 (𝑥 )=|𝑥|={−∧𝑥 ,𝑥<0¿ 𝑥 ,𝑥≥0
El dominio de la función es el conjunto de los números reales.
𝐷𝑜𝑚𝑓=ℝ
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
El rango de la función es el conjunto de los números reales no negativos. Es decir,
La gráfica de la función valor absoluto es:
EJEMPLO
Determinar la gráfica, el dominio y el rango de las siguientes funciones
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
FUNCIÓN PARTE ENTERA
DEFINICIÓNLa función que asigna a cada elemento del dominio el mayor entero, menor o igual que él. Recibe el nombre de parte entera. Es decir,
Esta función se define de los números reales a los números enteros, es decir,
y 𝑅𝑎𝑛𝑓 =ℤ
FUNCIÓN PARTE ENTERA
Algebraicamente, la función parte entera se define así,
EJEMPLO
Realizar la gráfica de la siguiente función, Luego halla su dominio y rango
FUNCIÓN PARTE ENTERA
Primero: se construye una tabla de valores y se analiza su comportamiento
x -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1 1,5y -4 -3 -2 -1 0 0
EJEMPLO
La gráfica de a función es:
FUNCIÓN PARTE ENTERA
𝐷𝑜𝑚𝑓=¿ℝ
𝑅𝑎𝑛𝑓 =¿ℤ
EJEMPLO
FUNCIÓN PARTE ENTERA
2. Una compañía de telefonía celular cobra $240 solamente por marcar un número internacional, de ahí en adelante cada minuto que dure la llamada genera un incremento de $240. encontrar una expresión algebraica para la situación planteada.
Primero: se definen las variables
x: duración de la llamada en minutos
y: valor de la llamada en pesos
Luego: se representan algunos valores en una tabla
x 0 0,5 1,5 2,5 3 4,5y 240 240 480 720 960 1200
Finalmente, el valor de la llamada se puede expresar mediante la siguiente función,
𝑦=240‖𝑥−1‖
EJEMPLO
La gráfica de la función es:
FUNCIÓN PARTE ENTERA