fÍsica - Álgebra

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FÍSICA–2AÑO

2 FÍSICA - ÁLGEBRA

Profesor: Robert André Vega Catón

II BIMESTRE

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FÍSICA–2AÑO

Tabla de contenido SESIÒN 01: ....................................................................................................................................... 3

SITUACION 01: ¿COMO SE MUEVE LA JIBIA? .................................................................................................................... 3 fuerza- leyes de newton ....................................................................................................................................... 3 principales fuerzas .............................................................................................................................................. 4

SESIÒN 02: ................................................................................................................................................................... 5

situacion 02: problema de la inercia ..................................................................................................................... 5 diagrama de cuerpo libre ..................................................................................................................................... 6 ejercicios de aplicacion ....................................................................................................................................... 6

SESIÒN 03: ................................................................................................................................................................... 7

ESTÁTICA I ........................................................................................................................................................ 7 primera ondicion de equilibrio .............................................................................................................................. 7 ejercicios de aplicaciòn ......................................................................................................................................... 7

SESIÒN 04: ................................................................................................................................................................. 11

situacion 03: un mundo sin rozamiento ............................................................................................................. 11 fuerza de rozamiento ........................................................................................................................................ 11 ejercicios de aplicaciòn ....................................................................................................................................... 11 ALGEBRA

SESIÓN 01: ................................................................................................................................................................. 13

SITUACION 01: ¿QUE TENEMOS EN COMUN? ………………………………………………………………………………. 13 DIVISION ALGEBRAICA I ………………………………………………………………………………………………………. 13

EJERCICIOS DE APLICACIÓN .................................................................................................................................... 14 TAREA DOMICILIARIA .............................................................................................................................................. 16

SESIÓN 02: ................................................................................................................................................................. 16

DIVISIÓN ALGEBRAICA II …………………………………………………………………………………………. ………….. 16 ejercicios de aplicación ....................................................................................................................................... 16 tarea domiciliaria ................................................................................................................................................. 18

SESIÓN 03: ................................................................................................................................................................. 18

METODO DE HORNER……………………………………………………………………………………………………. 18 ejercicios de aplicación ....................................................................................................................................... 18 tarea domiciliaria ................................................................................................................................................. 19

SESIÓN 04: ................................................................................................................................................................. 20

TEOREMA DEL RESTO …………………………………………………………………………………………. …………… 20 ejercicios de aplicación ....................................................................................................................................... 20 tarea domiciliaria ................................................................................................................................................. 21

SESIÓN 05: ................................................................................................................................................................. 22

FACTORIZACION I ………………………………………………………………………………………………………. 22 ejercicios de aplicación ....................................................................................................................................... 23 tarea domiciliaria ................................................................................................................................................. 23

SESIÓN 06: ................................................................................................................................................ 24 FACTORIZACION II …………………………………………………………………………………………. ……………24

EJERCICIOS DE APLICACIÓN .............................................................................................................. 24

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FÍSICA–2AÑO

Situación 01 ¿CÓMO SE MUEVE LA JIBIA?

Quizá te parezca extraño oír que hay muchos animales para los que el presunto “levantarse a sí mismos tirándose de los pelos” es el procedimiento ordinario de trasladarse en el agua.

La jibia, lo mismo que la mayoría de los moluscos cefalópodos se mueve en el agua de la forma siguiente: el agua entra en su cavidad bronquial, a través de una abertura lateral y de un embudo especial que tienen en la parte delantera del cuerpo, y después es expulsada enérgicamente, en forma de chorro, a través de este mismo embudo (sifón). Al ocurrir esto, debido a la ley de la reacción, el animal recibe un empuje en sentido contrario que es suficiente para que pueda “nadar” bastante de prisa hacia atrás, es decir, con la parte posterior del

cuerpo hacia adelante. La jibia puede también dirigir el sifón hacia un lado o hacia atrás, en cuyo caso, al expeler rápidamente el agua, se mueve en cualquier dirección. En este mismo se basa el movimiento de las medusas. Estas últimas contraen sus músculos y de esta forma expulsan de su cuerpo acampanado el agua, con lo que reciben el empuje en dirección contraria. Procedimientos análogos emplean para trasladarse las salpas, las larvas de las libélulas (caballitos del diablo) y otros animales acuáticos. 1. ¿Qué ley de la física aplica la

jibia? 2. ¿se podrá moverse de la

misma manera en la superficie terrestre?

3. ¿Qué ocurre si se lanza un objeto en el universo vacío?

SESIÓN 01:

FUERZA- LEYES DE NEWTON

En 1 687, Isaac Newton publicó en su “Principia” las tres leyes del movimiento: Primera Ley: Todo cuerpo que se halla en reposo o en movimiento, continúa en su estado de reposo o movimiento rectilíneo y uniforme si sobre él no actúa ninguna fuerza o actúan varias fuerzas que se anulan

IIBIMESTRE

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entre sí. Esta propiedad fue definida por Kepler (1 751 – 1 630) como inercia por ello también se le llama Principio de Inercia. Actividades: ! Fíjate que cuando un colectivo

arranca bruscamente, los pasajeros se desplazan hacia atrás como si quisieran quedarse en el reposo en el que se encontraban.

! Al arrancar un ascensor, los pasajeros sienten una sensación particular, pues sus cuerpos se resisten a ponerse en movimiento.

! En los caminos, cuando un vehículo toma una curva, los pasajeros se inclinan hacia el exterior de la curva, como si quisieran seguir en línea recta.

En la figura, si se rompe la cuerda, ¿qué trayectoria seguiría el balde? Discútelo con tu profesor:

Tercera Ley: Cuando un cuerpo ejerce una fuerza a otro (acción), éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido contrario (reacción). Este es el principio de acción y reacción. Actividades: ! Infla un globo con aire y

suéltalo. El aire se escapa en un sentido y el globo en el sentido contrario.

! Si saltamos sobre un trampolín, éste nos despide con sentido contrario al de nuestro salto.

! Si parados en un bote hacemos fuerza con un remo sobre la orilla, el bote se aleja de la orilla, como si lo empujan desde ella.

Cuando realizamos un esfuerzo muscular para empujar o tirar de un objeto, le estamos comunicando una Fuerza, entonces: Fuerza: ______________________________

_______________________________________

_______________________________________

Unidad: Según el Sistema Internacional (S.I.), la unidad de la Fuerza es el Newton (N). Principales Fuerzas

Peso (W): Es una fuerza de tipo gravitacional, con la que la

A

P

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CIENCIAS–2AÑO

Tierra atrae a todo cuerpo cercano a ella.

W = mg Unidades

m g W

kg m/s2 N

m: masa g: Aceleración de la gravedad

Normal (N): Es la fuerza de contacto que se da entre el cuerpo y la superficie de apoyo. Se dibuja perpendicularmente a dicha superficie.

Tensión (T): Es aquella fuerza interna que aparece en los cables o cuerdas cuando son estirados. Se dibuja a lo largo de dichos cuerpos.

SITUACIÓN 02:

GALILEO ABORDA EL PROBLEMA DE LA INERCIA

Galileo fue uno de los primeros en señalar que una vez el movimiento de un cuerpo, no se sigue causando, sólo existe; no es necesario hacer algo para mantener el movimiento; sólo se necesita una fuerza para iniciarlo o detenerlo. Galileo sugirió que si un cuerpo está en movimiento, lo continuará en línea recta, a menos que algo lo empuje o jale y produzca un cambio en su trayectoria. Por eso, decía que es, “natural el movimiento de un cuerpo y que la fuerza no es necesaria para mantener este movimiento. Esta propiedad de la materia que los cuerpos permanezcan en su estado de movimiento, se llama inercia. ¿Cómo llegó Galileo a esta conclusión que parece estar en contradicción con los fenómenos observados? Al observar el movimiento desde otro punto de vista, Galileo se hizo una pregunta diferente de la planteada por Aristóteles. En lugar de preguntar: “¿Cuál es la causa del movimiento?”, Galileo preguntó: “¿Cuál es la causa de un cambio en el movimiento?”.

SESIÓN 02: DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

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6

Realizar el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los cuerpos que se muestran. Todas las superficies son lisas.

1 2.

3.

4.

5.

6. 7.

8.

9

10.

11.

12.

13.

14

15.

7

CIENCIAS–2AÑO

16.

17.

18.

SESIÓN 03:

ESTÁTICA I EQUILIBRIO MECÁNICO Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando dicho cuerpo no acelera, es decir: a = 0

Primera Condición de Equilibrio Para que un cuerpo NO Acelere, se cumple: FR = Cero FR: fuerzas resultantes También: å F (®) = å F (¬) å F() = å F ¯ EJERCICIOS 19.Según el SI, la unidad de la masa de un cuerpo es el …………….. y la unidad de su peso es el …………………… a) Newton - kilogramo b) Joule - Newton c) kilogramo - Joule d) gramo - kilogramo e) kilogramo – Newton 20.La fuerza de gravedad también se denomina: a) masa b) peso c)tensión d) compresión e)normal 21.Completar: La ..................... aparece en cuerdas y

cadenas y la ......................... se presenta en barras y vigas.

a) tensión – reacción b)tensión - compresión c) normal - tensión d) tensión - normal e) normal – compresión 22.Si la masa de un cuerpo es de 25 kg, determine su peso. (g = 10 m/s2)

A

B

F

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8

a) 25 N b)2,5 c) 250 d) 0,25 e) 2 500 23.Determinar el peso de una masa de

4,3 kg. (g = 10 m/s2) a) 4,3 N b) 43 c) 430 d) 0,43 e) 4 300 25.El peso de un cuerpo es de 45 N,

determine su masa. (g = 10 m/s2) a) 45 kg b) 4,5 c) 450 d) 0,45 e) 4 500 26.Es la fuerza que se genera en el interior de una cuerda y que se opone a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas externas: a) compresión b) tensión c) peso d) fuerza elástica e) normal 27.Es la fuerza que se genera en el interior de una barra cuando intentamos comprimirla: a) fuerza elástica b) normal c) tensión d) fricción e) compresión 28.Si en un sistema de cuerpos interactuando, las superficies son lisas, entonces no existe: a) peso b) tensión c)compresión d) fuerza elástica e) fuerza de rozamiento 29.Si un cuerpo pesa 600 N, ¿cuál es

su masa? a)6 kg b)60 c) 0,6 d)600 e)6 000

30.Si el bloque se encuentra en reposo, hallar “F”. a) 35 N b) 6 c) 25 d) 10 e) 15 31.Hallar la fuerza necesaria para el equilibrio del cuerpo. a) 15 N b) 25 c) 10 d) 8 e) 6 32.Determinar “F” para mantener en equilibrio cinético al cuerpo de 5 kg.

a) 29 N b) 68 c) 42 d) 6 e) 24 33.Determinar “F” para el equilibrio estático del cuerpo de 5 kg.

a) 30 N b) 80 c) 40 d) 90 e) 50

30N 5N

F

20N 5N

F

30N

F

37º

50N

F 53º

9

CIENCIAS–2AÑO

34.Hallar “F + T” si el cuerpo de 6 kg se encuentra en equilibrio. a)60 N b)50 c)10 d)80 e)70 35.Si “N” es la reacción normal. Hallar “F + N” para que el cuerpo se desplace a velocidad constante. (m = 1 kg)

a) 40 N b) 10 c) 80 d) 60 e) 50 36.Si sobre un cuerpo que se desplaza con MRU. Hallar “F1 + F2”. Desprecie el peso del cuerpo.

a) 15 N b)30 c) 6 d)42 e)7

37.Si sobre un cuerpo que se encuentra en reposo actúan las fuerzas que se muestran. Hallar

“F1 + F2”. Desprecie el peso del cuerpo. a)80 N b)16 c)24 d)112 e)36 38.Si el cuerpo se encuentra en equilibrio. Calcular “F1 + F2”. a)17 N b)12 c)16 d)33 e)5 39.Hallar la tensión en la cuerda, si el peso de la esfera es 10N. a) 20N b) 10N c) 10Ö2N d) 5N e) NA 40.Hallar la tensión en “1” , si: W=30N a) 10N b) 20N c) 30N d) 40N e) 50N 41.Hallar la tensión, si el peso del bloque es 15N a) 3N b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

10N F

T

50N

F 37º

m

y

x

F1

F2

37º

30N

y

x F1

F2

37º

80N

F1

F2

37º

20N 5N

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10

42.Hallar la tensión en “1”, si el peso del bloque es 120N. a) 20N b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 43.Hallar “M”, si la barra está en equilibrio y además “T” es igual a 15N. a) 100N b) 200 c) 360 d) 480 e) NA 44.Hallar la tensión “T”, en el sistema que está en equilibrio. a) 10N b) 20 c) 40 d) 50 e) 100 45.Hallar “T”, si el sistema está en equilibrio. a) 32N b) 16 c) 96 d) 48 e) 20

46.Halla “T”, en el siguiente sistema en equilibrio. W=160N. a) 5N b) 10N c) 15N d) 20N

47.Determinar “F” para el equilibrio estático del cuerpo de 5 kg.

a) 30 N b) 90 N c) 80 N d) 50 N e) 40 N 48.Si “N” es la reacción normal. Hallar “F + N” para que el cuerpo se desplace a velocidad constante (m = 1kg).

a) 40 N b) 60 N c) 10 N d) 50 N e) 80 N

49.Calcule T1 y T2 sobre las cuerdas siendo el bloque de 30 kg. a)500 N y 400 N b)200 y 400 c)375 y 100 d)500 y 200 e)375 y 225 SITUACIÓN 03: UN MUNDO SIN ROZAMIENTO De propia experiencia sabemos que si empujamos un bloque sobre tierra es más difícil que sobre un piso encerado. ¿a qué se debe este fenómeno? Imagínese que una persona se encuentra en una superficie horizontal

T

W

53º T1

T2

11

CIENCIAS–2AÑO

perfectamente lisa. ¿De qué manera podría desplazarse por ella? ¿Por qué cuando se camina sobre suelo resbaladizo es conveniente dar pasos cortos en lugar de dar pasos largos? SESIÓN 04:

ROZAMIENTO FUERZA DE ROZAMIENTO ( ) Cuando un cuerpo se pone en contacto con otro y se desliza o intenta resbalar respecto a él, se generan fuerzas de oposición a estos movimientos, a los que llamamos fuerzas de fricción o de rozamiento. a) FUERZA DE ROZAMIENTO

ESTÁTICO (FS)

Este tipo de fuerza aparece cuando los cuerpos en contacto no deslizan. Su valor máximo se presenta cuando el deslizamiento es inminente, y el mínimo cuando la intención de movimiento es nula. a) FUERZA DE ROZAMIENTO

cinético (FK) Esta fuerza se presenta cuando las superficies en contacto se deslizan una respecto a la otra. Su valor es

prácticamente constante, y viene dado así: Nota: µS = coeficiente de rozamiento estático. µK = coeficiente de rozamiento cinético.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.Un escritorio pesa 400N y descansa sobre el piso de la oficina con el cual el coeficiente de rozamiento estático es 0,4.¿Qué fuerza horizontal es necesaria para mover el escritorio?a) 160N b) 120 c) 140 d) 180 e) 100 2.Suponga que el peso de un trineo es de 200N y del esquimal que viaja en él 700N.¿Con qué fuerza jalan los perros cuando el esquimal viaja en el trineo a velocidad constante sobre un lago congelado? μK= 0,3 a) 300N b) 280 c) 270 d) 320 e) 180 3.Una fuerza de 100N es capaz de iniciar el movimiento de un trineo de 300N de peso sobre la nieve compacta. Calcule μSθ = 37º a) 0,13 b) 0,23 c) 0,43 d) 0,33 e) 0,53

100N

37º µs

f

N

F

µs f em

f S = µs . N

f K = µK . N

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4.El bloque está a punto de deslizar. Hallar: μS. Si: W = 96Nθ = 53 º a) 3/10 b) 3/8 c) 5/13 d) 9/113 e) 3/17 5.Hallar el coeficiente de rozamiento cinético si el cuerpo de masa 12kg se mueve a velocidad constante. (g = 10 m/s2)θ = 37º a) 0,9 b) 0,6 c) 0,5 d) 0,7 6.Un estante pesa 300N y descansa sobre el piso de la oficina con el cual el coeficiente de rozamiento estático es 0,4.¿Qué fuerza horizontal es necesaria para mover el escritorio? a) 120N b) 150 c) 144 d) 170 e) 160 7.Suponga que el peso de un trineo es de 250N y del esquimal que viaja en él 750N. ¿Con qué fuerza jalan los perros cuando el esquimal viaja en el trineo a velocidad constante sobre un lago congelado? μK=0,3 a) 320N b) 270 c) 300 d) 350 e) 280

8.Una fuerza de 200N es capaz de iniciar el movimiento de un trineo de 600N de peso sobre la nieve compacta. Calcule μS

θ = 37º a) 1/8 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/9 9.El bloque está a punto de deslizar. Hallar μSsi W = 48N. θ = 53º a) 3/5 b) 3/8 c) 5/12 d) 9/11 e) 4/17 10.A través de una habitación debe moverse un sofá de 400N de peso, los coeficientes de rozamiento entre las patas de sofá y el suelo son us = 0,4 y uk= 0,3. Halle la fuerza horizontal necesaria……………. a) Para iniciar el movimiento del sofá b) Para mantener el sofá en movimiento con velocidad constante. a)160 y 300N b) 160N y 120N c) 270 y 120N d) 320 y 160N e) 180 y 120N 11.Para comenzar a deslizar un cajón de 60N de peso se necesita una fuerza horizontal de 45N¿Cuánto vale usentre el cajón y el piso? a) 0,75 b) 0,65 c) 0,67 d) 0,68 e) 0,69

W 18N

60N

q

16N

F = 40 N

q

200 N

37º µs

W 9N

30N

q

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CIENCIAS–2AÑO

TAREA DOMICILIARIA

1. El bloque de 10 kg está a punto de moverse. Halle “F”. a) 30 N b) 50 c) 80 d) 60 e) 100

2. El bloque de 12 kg presenta movimiento inminente. Halle “F”. a) 60 N b) 48 c) 12 d) 36 e) 48 f)

3. Si el bloque de 12 kg baja a velocidad constante, halle “F”. a) 100 N b) 400 c) 800 d) 1200 e) 600

4. Si el bloque de 5 kg experimenta MRU. Halle “F”.

a) 16 N b) 30 c) 10 d) 20 e) 40

ALGEBRA UNIDAD III SITUACION 01: ¿QUÉ TENEMOS EN COMÚN? Como es sabido el Perú es un país con una gran variedad cultural, sin embargo, hay elementos culturales que son comunes a todos. La identidad cultural es el sentimiento de pertenencia a una cultura determinada. Debemos propiciar la interculturalidad que consiste en la identificación de culturas diferentes compartiendo un espacio común, sin necesidad de pérdida de raíces, participando, cooperando y conviviendo armónicamente con el uso de las reglas del juego democrático y del respeto de las personas y de las normas que hagan posible la auténtica igualdad de oportunidades - ¿Qué danzas practican en tu región? ¿Cuál es la comida típica de tu provincia?

SESION 01: DIVISIÓN ALGEBRAICA I 1. DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS

Para dividir monomios: la parte constante se divide de acuerdo con la Ley de Signos y la parte

F 0,3 0,8 µ

F 0,4 0,5 µ

F

0,3 0,5

µ

F 0,2 0,6 µ

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14

variable según la Ley de Exponentes.

Ejemplos:

AHORA TU!

2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para este caso debemos

utilizar la propiedad distributiva:

Ejemplos:

AHORA TU!

!

!

!

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Al dividir: 12x3y entre 4xy

Se obtiene: mxn

Hallar:

a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 5

2. Luego de dividir: -36x3y2z4 entre 3x2yz3 Se obtiene: mxnypzq

Calcular:

a) 12 b) -4 c) 3

d) -2 e) 1

3. Si:

Calcular: m + n – p

a) 6 b) 7 c) 9

d) 3 e) 1

4. Luego de dividir: 16x3 + 8x2 entre 2x Calcular la suma de coeficientes del cociente. a) 4 b) 8 c) 2

d) 12 e) 24

5. Calcular el cociente en:

nmn

mb

bb -=

5383

8x7x7

x5x35

== -

37107

10x4x4

x6x24

==-

- -

53382532

85yx7yx7

yx9yx63

== --

=3

5

x5x25

=-

10

12

x8x80

=-

-5

10

x7x56

=- 10

15

x9x81

=42

75

yx7yx28

=-

56

510

yx4yx28

=-

-27

710

yx35yx35

=- 64

125

yx6yx30

mc

mb

ma

mcba

++=++

723

10

3

4

3

5

3

1045x6x4x2

x2x12

x2x8

x2x4

x2x12x8x4

++=++=++

=--

9

11109

x9x54x27x18

=-+-

34

78731015

yx10yx40yx30yx20

=-

--1042

147720105

zyx7zyx56zyx35

n 1m+

qpnm++

2p4

3nxy4

ymxyx12

=

15

CIENCIAS–2AÑO

Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este cociente.

a) 12 b) 7 c) 3

d) 14 e) 6

6. Si de: se obtiene

un cociente. Calcular el grado. a) 7 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

7. Simplificar:

a) x2y b) 3x2y c) -2x2y d) –x2y e) xy2

8. Reducir:

a) x4y2 b) 0 c) xy2 d) 2x3y2 e) 1

9. Simplificar:

a) 1 b) 3x2y4 c) 3xy2 d) xy2 e) xy

10. Reducir:

a) x2 + y4 b) x2 + x4 c) x2 d) x4 e) 0

11. Simplificar:

a) x2y + x4y7 b) 0 c) 4x2y d) x4y7 e) –x2y

12. Reducir:

a) x4 + x6 + x b) 1 c) 3x4 d) 4x4 e) 8x6

13. Reducir:

Si: x3y2 = 3 a) 3 b) 1 c) 27 d) 9 e) 15

14. Hallar el valor de:

Si: x2 + x4 + x3 = 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Calcular el valor de:

24

12758

yx8yx16yx32 +

33

51078

yx3yx12yx15 -

yx10yx20

xy5yx15

M 5

27

4

53-=

107

128

3

34

54

78

72

96

yx8yx32

yx3yx12

yx3yx6

yx4yx8

+--

+

64

85

3

34

65

10n

33

75

yxyx

yx7yx28

yx6yx12

yx5yx25

M-

+

-

=

5

97

3

75

x8x16x24

x5x15x20G

-

++

+=

36

481010

23

9735

yx9yx36yx72

yx8yx64yx32 -

+-

7

813113

497

x5x10x40x20

x4x8x32x16

M++

++

=

42

65

yx9yx27

M =

5

8

3

7

3

5

x16x64

x7x28

x9x36N ++=

3

75

x5x55x50L +

=

IIBIMESTRE

16

Si: x2 = 2 y x4 = 4 a) 50 b) 44 c) 14 d) 64 e) 94

TAREA DOMICILIARIA 1. Luego de dividir: 20x5y3 entre

5x2y Se obtiene: mxnyp Calcular:

a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6

2. En la división de: 48x7y10z12 entre 12x3y5z8 Se obtiene: axbyczd Hallar:

a) 5 b) 10 c) 16 d) 4 e) 8

3. Si:

Calcular:

a) 24 b) 72 c) 26 d) 14 e) 28

4. En la división: calcular

la suma de coeficientes del cociente. a) 6 b) 9 c) 3 d) 15 e) 8

SESIÓN 02: DIVISIÓN ALGEBRAICA II MÉTODO DE RUFFINI Este método se usa para divisiones cuyo divisor es de la forma x ± a. Veamos con un ejemplo. Dividamos 3x3 + 3x2 – 5x + 4 entre x – 3 Si igualamos x – 3 a 0, resulta x – 3 = 0 Þ x = 3 Distribuimos los coeficientes tal como se muestra y procedemos como indican las flechas.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Efectuar las siguientes divisiones por el Método de Ruffini e indicar por respuesta el cociente:

1.

a) x + 1 b) x – 1 c) x - 2 d) x + 3 e) 2x + 1

2.

a) x – 2 b) x + 3 c) 2x - 1 d) 2x + 1 e) x + 7

npm +

ac)db( +

455b

c8yx9

yx9yax

=

bca -

2

75

x4x36x24 +

1x26xx2 2

++-

1x35x7x3 2

---

17

CIENCIAS–2AÑO

3.

a) 2x – 3 b) 3x – 2 c) 3x + 2 d) 2x + 3 e) 2x + 5

4.

a) 4x – 3 b) 4x + 3 c) 3x + 4 d) 3x – 4 e) -4x + 4

5.

a) -7x – 2 b) 2x + 7 c) -7x + 2 d) 2x – 7 e) 7x – 2

II. Efectuar las siguientes divisiones

por el método de Ruffini: 6.

Indicar la suma de coeficientes del cociente. a) 0 b) 4 c) -2 d) 3 e) 2

7.

Dar por respuesta el mayor coeficiente del cociente. a) 2 b) 3 c) 1 d) -2 e) 4

8.

Indicar el término independiente del cociente. a) 5 b) -2 c) -4 d) -3 e) 1

9.

Señalar el menor coeficiente del cociente. a) 8 b) 4 c) 3 d) -4 e) -1

10. En la siguiente división:

Se obtiene por resto: 3 Hallar: b a) 7 b) -5 c) 3 d) 5 e) -3

11. En la división: el

resto es -4 Hallar: m a) 0 b) 3 c) -10 d) 1 e) -1

12. La siguiente división:

es exacta. Hallar: “b” a) 7 b) -35 c) -15 d) 14 e) -7


es exacta.

Hallar: “b” a) -5 b) 5 c) 3 d) -3 e) -4

2x51x11x10 2

--+

3x9x9x4 2

---

3x6x19x7 2

+-+

1x5xxx 23

--+-

1x5x2x3x2 34

+-++

2x5x612x10x15 45

--+-

x3218x8x24x12 45

++++

2xbx3x2

+++

2x3mx9x4x6 2

--+-

3x7bx29x14 2

++-

1x3x15bx2x6 34

-++-

IIBIMESTRE

18

TAREA DOMICILIARIA 1. Hallar “b” en la siguiente

división:

Si el resto que se obtiene es 4. a) 15 b) 1 c) 7 d) 10 e) 14

2. Hallar “b” en la siguiente división:

Si el resto es 7. a) 14 b) 13 c) 15 d) 10 e) 11

3. La siguiente división: es exacta Hallar: “b” a) -2 b) -7 c) -6 d) -5 e) -4

4. La siguiente división: es exacta.

Hallar: “b” a) -4 b) -5 c) -2 d) -6 e) -7

5. La siguiente división: tiene residuo 7.

Hallar la suma de coeficientes del cociente. a) 8 b) 5 c) 4 d) -3 e) -2

SESIÓN 03: MÉTODO DE HORNER Para poder aplicar este método los polinomios dividendo y divisor deben ser completos y ordenados descendentemente y si faltase algún término se completará con ceros.

EJEMPLO: Dividir: 4x3 + 4x2 + 1 – 3x entre x + 2x2 - 3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Hallar el cociente en las siguientes

divisiones: 1.

a) x + 5 b) x + 1 c) x d) x – 2 e) x + 3

2.

a) x – 1 b) x + 3 c) x + 7 d) x – 7 e) x - 3

3. a) x2 + 2x – 3 b) x2 - 2x – 3 c) x2 + 2x + 3 d) x2 - 2x – 8 e) -x2 + 2x + 3

II. Hallar el residuo en las

siguientes divisiones:

5xbx7x2

+++

3x4bx15x8x20 2

-+--

2x3bx4x15 2

+++

1x2bx5x8x10 34

-+--

1x412x3bxx12 23

-+-+

3x18x8x2

+++

2x7x5x2

--+

1x7x5x3x 23

++++

19

CIENCIAS–2AÑO

4.

a) 1 b) 2 c) 3 d) -8 e) 9

5.

a) 7x b) 3 c) 7x + 7 d) 7 e) 2x - 1

6.

a) 5 b) 2x + 4 c) 3x - 1 d) x – 1 e) 2x – 2

7.

a) 4x2 + 3 b) 1 c) 3x - 1 d) 7x + 1 e) 7x

8. a) 3x – 1 b) 2x2 + 1 c) 4 d) x2 + 3 e) 3x2 - 8

9. Indicar el término independiente del resto en la siguiente división:

a) 1 b) 3 c) 4 d) 7 e) 2

10. Indicar si la siguiente división es exacta o inexacta.

Si es inexacta indicar el resto.

a) Es exacta b) 1 c) 2x d) 3 e) 4x – 2


Calcular la suma de coeficientes del cociente. a) -1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 1

12. Dada la siguiente división exacta:

Hallar el mayor coeficiente del cociente. a) 3 b) 2 c) -1 d) 1 e) -2

TAREA DOMICILIARIA


Indicar el término independiente del resto. a) 0 b) 7 c) 1 d) 2 e) -1

2. Indicar si la siguiente división:

Es exacta o inexacta. Si es inexacta indicar el residuo.

a) Es exacta b) 5 c) 2 d) -1 e) 1

x2x3x129x27

2

3

+

-+

32

24

x4x57x25x7x16

+-

+-+

5x314x3x21x44

2

42

+

+++

4x3x2x1813x32x2x16

3

325

-+

++--

2x5x167x15x35

3

235

+

+++

1x3x26x2xx6

2

23

-+-

++-

3x6x9x2x3

2

23

+

+++

4x5x4x2x

3

235

+

-+-

1x2x2xxx2 234

+--+

1x3x6x2xx6

2

23

++

++-

3x6xx

2

24

+

-+

IIBIMESTRE

20


Indicar la suma de coeficientes del cociente. a) -1 b) 0 c) 2 d) 1 e) 3


Señalar el mayor coeficiente del cociente. a) 1 b) 3 c) 2 d) -1 e) -3

SESIÓN 04:

TEOREMA DEL RESTO Teorema que permite hallar el resto en una división sin efectuarla. Es decir, en forma directa. Para aplicar este teorema es necesario que el polinomio divisor sea de primer grado. Procedimiento Ejemplo: ! Hallar el resto en la siguiente

división:

Paso 1 : El divisor se iguala a cero: x – 1 = 0 Paso 2 : Se despeja la variable:

x – 1 = 0 Þ x = 1 Paso 3 : El valor de la variable despejada se reemplaza en el dividendo:

Como: D(x) = 2x2 + x + 4 Þ Resto = D(1) = 2(1)2 + (1) + 4 Þ Resto = 2 . 1 + 1 + 4 Resto = R(x) = 7

AHORA TÚ

!

!

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Utilizando el Teorema del Resto, en

cada suma de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo:

1.

a) 5 b) -1 c) 7 d) 4 e) 5

2.

a) -4 b) -1 c) 5 d) 2 e) 3

3.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 9

4.

a) 9 b) 8 c) -1 d) 11 e) 3

1x5xx2x

4

45

+

++-

1x26x2x3x6

3

34

-

++-

1x4xx2 2

-++

3x4x16x5 2

-+-

1x38x3x2 2

--+

1x5xx2

-++

2x1xx2

-+-

1x2x2x3x2 23

-+-+

1x11x3x2

+++

21

CIENCIAS–2AÑO

5.

a) 4 b) 5 c) 6 d) -5 e) -6

6.

a) -1 b) -3 c) 7 d) 1 e) 3

7.

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) 0

8.

a) 0 b) -1 c) 3 d) 4 e) 1

9. Hallar “b” en la siguiente división:

Si el resto que se obtiene es 7. a) 5 b) 7 c) 6 d) 4 e) 1


tiene resto 5 Hallar: “b” a) -2 b) -1 c) -4 d) -5 e) -7

11. Hallar el valor de “b” en la siguiente división:

Si el resto es 3.

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) 4

12. Hallar el valor de “b” si el resto de la siguiente división:

es 27. a) 4 b) 2 c) 5 d) 3 e) 1

13. Hallar el resto en la siguiente división:

a) 3 b) 2 c) 7 d) 0 e) 1

14. Calcular el resto de:

a) 1 b) 2 c) 0 d) 2003 e) -1


a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4

TAREA DOMICILIARIA

1. Hallar “b” en la siguiente

división: si el resto es

3. a) -3 b) 4 c) 0 d) 2 e) 1

2x4x2x2

+--

1x8xx3x3 34

++++

1x2xx2 2

-+

1x3x2x3 2

-+

1xbxx2 2

-+-

2x3bxx3 2

--+

1xx4x2bx 23

++++

bx23x2

-+

2x1x3x8x4 45

-++-

1x1x)1x2()1x( 20032004

--+-+-

1xxx

2

24

-

+

2xbx3x2 2

-+-

IIBIMESTRE

22


tiene resto 7. Hallar: “b” a) 8 b) -2 c) 0 d) -5 e) 4

3. Hallar el valor de “b” en la

siguiente división:

si el resto es 5. a) 0 b) 4 c) 3 d) -1 e) -7

4. Hallar el valor de “b” si el resto

de: es 40.

a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5

5. Indicar el resto en la siguiente división:

a) -1 b) 7 c) 0 d) 2 e) 5


a) 1 b) 4 c) 8 d) -1 e) 0

SITUACION 02: Una región triangular tiene un área de 24cm2 y una altura que mide dos centímetros mas que su base correspondiente. ¿Cuánto mide su altura? ¿de qué otra manera podrías hallar la altura? SESIÓN 05:

FACTORIZACIÓN I Al multiplicar polinomios operamos con factores obteniendo como resultado otro polinomio denominado producto.

Si operamos en sentido contrario, tendremos que: A partir del polinomio producto, hallamos la multiplicación indicada de factores; a este procedimiento le llamamos factorización de un polinomio, es decir:

Estos factores deben ser factores primos. FACTOR PRIMO Es aquel polinomio de grado diferente de cero, que es divisible por si mismo y por la unidad.

3x4bxx2 2

-++

1x2x3x3bx 23

+++-

bx15x2

-+

2x3x2x4x2 67

-++-

2x2)1x()5x3( 20032004

---+-

23

CIENCIAS–2AÑO

Ejemplo: x + 1 : 1, x + 1 x – 2 : 1, x – 2 x2 + 1 : 1, x2 + 1 MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

MÉTODO DEL FACTOR COMÚN Este método consiste en aplicar en sentido contrario la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición. Es decir, si esta propiedad se expresa así: a(b + c) = ab + ac En sentido contrario tendríamos: ab + ac = a(b + c) Donde a recibe el nombre de Factor Común. A. FACTOR COMÚN MONOMIO

En este caso, todos los términos del polinomio dado tienen un factor común con las características de un monomio. Ejemplo: Factorizar:

ax + bx + cx x es un factor común a todos los términos entonces: ax + bx + cx = x(a + b + c) B. FACTOR COMÚN POLINOMIO

Al extraer este factor común, procedemos en la misma forma que el factor común monomio, cuidando que el polinomio común este dentro de un signo de colección. (Paréntesis, llave, corchete).

Ejemplo: Factorizar:

(x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) (x + y) esta como factor en cada uno de los términos luego: (x + y)a + (x + y)b – 2(x + y) = (x + y)(a + b - 2) EJERCICIOS DE APLICACIÓN Factorizar: 1. ax + bx 2. x2a + x2b 3. a2x + ay 4. a2 + a 5. x2y – y – zy 6. 7abc – 35abc2 7. 2a4b – 4ab4 – 6a4b4 8. 5a4b4 + 25a8b3 – 30a9b4 9. (m + n - 1)x2 + (m + n - 1)x – (m + n - 1) 10. (a2 + b2)3a + (a2 + b2)5c + (a2 + b2)2 11. (m2 + n)(x - y) – (m2 + n)(2x + 5y) 12. (x + y)3 – (x + y)4z 13. (x + y)(a + b) + (x + y)(m + n) 14. (x + y + z + w)a5 – (x + y + z + w)(b + c) 15. (a + b + 1)2 – (a + b + 1)(x - 2) + (a + b + 1)

TAREA DOMICILIARIA

1. 6a8 + 12a6 – 18a4 + 24a2 2. (a + b)m2 + (a + b)n 3. (x + y)a3 + (x + y)b2 4. (a + 2b)x4 + (2b + a)y3 5. (m2 + n2)x2 + (m2 + n2)y2 6. (a + b + 1)2 – (a + b + 1)(x - 2) + (a + b + 1)

Factor Común

IIBIMESTRE

24

SESIÓN 06: FACTORIZACIÓN II

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS En polinomios donde todos los términos no tienen factor común, podríamos agrupar solo aquellos términos que los tengan para aplicar luego Factor Común Polinomio. Ejemplo: Factorizar:

N = ax + az + bx + bz Solución: Todos los términos no tienen a como factor común, pero si los dos primeros. Extraemos el factor común “a” a los dos primeros y el factor común b a los dos siguientes términos.

! N = ax + az + bx + bz N = a(x + z) + b(x + z) N = (x + z) (a + b)

Factorizar:

1. xy – zy + xt + zt 2. x5 + x3 + x2 + 1 3. ab + bc + xa + xc 4. x + y + 3xz + 3yz 5. x + 3yz + y + 3xz 6. n + 2m2 + 1 + 2m2n 7. 3axy + 3axz + y + z 8. a2 – 3 + a2n – 3n 9. ax + bx – cx + ay + by – cy 10. 7ay2 – 5bx3 + 7by2 – 5ax3

11. am2 + bm2 + an2 + bn2

BIBLIOGRAFÍA ü Física – Mendoza Dueñas

Jorge – Editorial Mantaro. ü Física – Custodio García

Andrés – Editorial Impecus ü Física – Pérez Terrel Walter –

Editorial San Marcos

ü Algebra – geniomatic ü Algebra -covimatic ü Algebra – intelectum

25

CIENCIAS–2AÑO

fÍsica - Álgebra

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