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FÍSICA DE PROCESOS UNIDAD Nº 2

Magnitudes Físicas

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SEMANA 3

Desarrollo

Sistema de Referencia Absoluto y Relativo.

¿QUÉ ES UN SISTEMA DE REFERENCIA?

Como bien dice su nombre, un sistema de referencia es un método para definir

la ubicación, magnitud o cantidad de un objeto respecto a un antecedente o dato. Al

hablar de lo rápido que puede andar un vehículo, lo realizamos desde nuestra

perspectiva como observador. En este caso, nosotros somos la referencia para definir

qué tan rápido va.Esto se puede ejemplificar en laFigura 1, donde dos observadores

(“1” y “2”) ven cómo se mueve una pelota roja a partir de su posición (o referencia).

Note que la descripción de ambos es correcta, pero exclusivamente desde su

perspectiva.

Precisamente, esta lección trata de mostrar que la descripción de un objeto

(como su posición o velocidad) puede variar dependiendo de la perspectiva del

observador que lo describa (referencia).

Figura 1: Dos observadores con distintas perspectivas para describir pelota roja.

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Sistema de referencia absoluto

Acorde a lo descrito anteriormente, podemos tener múltiples formas de describir

algo según cómo y dónde lo observemos.

Precisamente, para determinar un estándar, se define un sistema de referencia

absoluto. Usualmente se establece que este sistema se encuentra quieto desde la

perspectiva de los observadores.

Por ejemplo, habitualmente nos referimos de la velocidad de un vehículo

respecto a la posición de la tierra. Esto indica que la tierra es nuestra referencia

absoluta.

Ahora, como usted bien sabe, nuestro planeta está en movimiento (movimientos

de traslación y rotación entre otros). Luego, si es que existe un observador que se

encuentre fuera de la tierra, claramente no va a observar la misma velocidad en el

vehículo que cualquiera que se encuentre en el planeta. Entonces, según la

perspectiva de este observador externo al planeta, el sistema de referencia absoluto

elegido también estará en movimiento.

A pesar de esto, establecer a nuestro planeta como sistema de referencia

absoluto para describir múltiples fenómenos es suficiente para llegar a un estándar

común.

Sistema de referencia relativo

De forma similar al sistema de referencia absoluto, un sistema de referencia

relativo se define como la descripción por medio de cualquier otro observador que no

sea el definido como absoluto.

Por ejemplo, sigamos considerando a la tierra como nuestro sistema de

referencia absoluto. Ahora, suponga que usted se encuentra al lado de un camino de

carretera observando cómo pasan los autos. Al mismo tiempo considere que al otro

lado de la carretera, sentido opuesto, se encuentra otro observador que también pone

atención de cómo pasan los vehículos.

Considere esta situación por medio de la Figura 2, donde se puede identificar

dos observadores en la misma situación previamente descrita. Ambos observadores

están quietos, por lo que ambos observan el vehículo "A" a 70km/h, pero el observador

(1) lo ve pasar desde su derecha a izquierda y, de modo similar, el observador (2) los

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observa pasar de izquierda a derecha. Note que ambos, desde su perspectiva

(referencia), tienen razón en describir cómo se traslada el vehículo.

Figura 2: Dos observadores estáticos que describen movimiento de vehículo A que circula por la carretera.

Movimiento relativo entre dos objetos ubicados en un mismo sistema.

Considerando lo mencionado previamente, la posición, velocidad y aceleración

de un objeto cambia dependiendo del observador. Esta definición puede ser más

compleja si este observador se encuentra en movimiento también.

De modo sencillo, considere un sistema descrito en dos dimensiones (pueden

ser "x" e "y"), donde se encuentran dos objetos en movimiento (objeto A y B), donde su

posición se puede describir en el sistema de referencia absoluto "xy" (ver Figura 3).

Además, considere que usted conoce la aceleración (𝑎𝑥, 𝑎𝑦), velocidad (𝑣𝑥, 𝑣𝑦)y

movimiento de ambos objetos en dicho plano desde el punto de referencia absoluto del

sistema.

Ahora, considerando la información dada, ¿cómo se moverá el objeto B desde la

perspectiva (referencia) del objeto A?. Del mismo modo, ¿ cómo se moverá el objeto A

si es que lo observamos desde el objeto B?.

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Afortunadamente, la posición relativa del objeto A respecto al objeto B, y

viceversa, se puede calcular rápidamente para casos en que el sistema absoluto es

estático (no se mueve).

Por ejemplo, en la Figura 3, el objeto B visto por el objeto "A" en coordenadas

"𝑥𝐴𝑦𝐴", viene dado por

PosiciónB(𝑥A𝑦A) = PosiciónB(𝑥𝑦) − PosiciónA(𝑥𝑦)

del mismo modo, si se observa el objeto A desde la referencia del objeto B,

PosiciónA(𝑥B𝑦B) = PosiciónA(𝑥𝑦) − PosiciónB(𝑥𝑦)

Figura 3: Objetos "A" y "B" descritos en sistema de referencia absoluto (color negro) y con sistemas de referencia propios (color azul para objeto "A" y color rojo para objeto "B").

Ahora, de forma similar, tenemos que la velocidad del objeto B vista por el objeto A es

(𝑣𝑥𝐴𝐵 , 𝑣𝑦𝐴

𝐵 ) = (𝑣𝑥𝐵 , 𝑣𝑦

𝐵) − (𝑣𝑥𝐴, 𝑣𝑦

𝐴) = (𝑣𝑥𝐵 − 𝑣𝑥

𝐴 , 𝑣𝑦𝐵 − 𝑣𝑦

𝐴)

donde, del mismo modo, la aceleración vista respecto al objeto A es,

(𝑎𝑥𝐴𝐵 , 𝑎𝑦𝐴

𝐵 ) = (𝑎𝑥𝐵, 𝑎𝑦

𝐵) − (𝑎𝑥𝐴, 𝑎𝑦

𝐴) = (𝑎𝑥𝐵 − 𝑎𝑥

𝐴, 𝑎𝑦𝐵 − 𝑎𝑦

𝐴)

Note que si ahora queremos ver el objeto A respecto al objeto B, el procedimiento es

similar:

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(𝑣𝑥𝐵𝐴 , 𝑣𝑦𝐵

𝐴 ) = (𝑣𝑥𝐴, 𝑣𝑦

𝐴) − (𝑣𝑥𝐵, 𝑣𝑦

𝐵) = (𝑣𝑥𝐴 − 𝑣𝑥

𝐵 , 𝑣𝑦𝐴 − 𝑣𝑦

𝐵)

(𝑎𝑥𝐵𝐴 , 𝑎𝑦𝐵

𝐴 ) = (𝑎𝑥𝐴, 𝑎𝑦

𝐴) − (𝑎𝑥𝐵, 𝑎𝑦

𝐵) = (𝑎𝑥𝐴−𝑎𝑥

𝐵, 𝑎𝑦𝐴−𝑎𝑦

𝐵)

Ejemplo 1

Considere que usted viaja en auto desde su casa en camino recto hacia la casa

de un familiar. Durante todo el tramo, usted viaja a velocidad constante de 50km/h.

En la mitad del trayecto usted observa, que otro vehículo va camino hacia su

casa a una velocidad constante de 140km/h vista desde su vehículo.

¿ A qué velocidad viaja el otro vehículo desde un sistema de referencia absoluto?.

Respuesta:

Note que la velocidad del vehículo del observador está dada desde el sistema

referencial (su casa). Por otro lado, la velocidad del otro vehículo que usted observa

está en un marco relativo desde su vehículo. Además, el otro vehículo viaja en sentido

opuesto al suyo. Denotemos "vehículo A" el de usted, y "vehículo B" el observado.

Todo lo mencionado anteriormente se puede apreciar gráficamente en la Figura 4.

Figura 4: Ejemplo con sistema de referencia absoluto desde casa azul.

Debido a que el camino es en línea recta, la descripción de velocidad, posición y

aceleración de ambos vehículos basta realizarla en sólo 1 coordenada (coordenada

"x"), ya que en ningún momento lo vehículos cambian de posición respecto a la línea

recta.

Con lo dicho, se define 𝑣𝐴 = 50 [km

h] la velocidad en sentido hacia la casa de su

familiar (positivo).

Considerando que usted observa el otro vehículo acercarse a usted, esta

velocidad se interpreta como negativa, ya que usted viaja en sentido positivo (hacia su

o x

Familiares

A B

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familiar) y además usted es el "origen" de la referencia relativa (coordenadas 𝑥𝐴𝑦𝐴

como se ejemplifica en Figura 3).

𝑣𝐴𝐵 = −140 [

km

h]

Tomando en cuenta las relaciones de velocidad relativa para sólo una

coordenada,

𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐵 − 𝑣𝐴

luego,

−140 [km

h] = 𝑣𝐵 − 50 [

km

h]

lo que significa que 𝑣𝑏 = −90 [km

h].

Esto quiere decir que el vehículo B viaja a 90 km/h hacia su casa (signo

negativo).

COORDENADAS CARTESIANA, CILÍNDRICA Y ESFÉRICA.

Según lo presentado en la lección previa, el cómo se observa un objeto depende

de la referencia en la cual se esté. Del mismo modo, la descripción de una magnitud o

cantidad de un elemento se puede realizar de múltiples formas.

Por ejemplo, usted puede describir la ubicación de una ciudad por medio de

distintas unidades de medidas: leguas, millas, kilómetros, etc. También, es probable

que usted haya oído la descripción del tamaño de un área por medio de hectáreas o

metros cuadrados. Dependiendo de la situación o características del sistema en que se

está, es conveniente de cambiar la forma de describir la posición o magnitud del objeto

que se describa.

Esta lección expresa distintos sistemas de coordenadas para describir un objeto.

Particularmente se mostrará el sistema de coordenadas cartesianas, cilíndricas y

esféricas.

Coordenadas Cartesianas

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Las coordenadas cartesianas entregan información respecto a ejes

perpendiculares (que están en 90° entre sí). Para describir un objeto dentro de un plano

se requieren dos ejes, que habitualmente se denominan eje "x" e "y": coordenadas

(x,y). Cuando se requiere describir un objeto dentro de un espacio de tres dimensiones,

se requieren tres ejes: eje "x", eje "y" y eje "z" (coordenadas (x,y,z), ver Figura 5).

Figura 5: Coordenadas cartesianas en tres dimensiones: Ejes “x”, “y” y “z”. Todos los ejes se encuentran en 90° entre sí y punto donde se intersectan se denomina origen.

A modo de ejemplo, usted puede especificar que un objeto se encuentra en la

posición (-3,2) en coordenadas cartesianas respecto al punto 0, lo cual representa lo

mostrado en la Figura 6.

Del mismo modo, para una descripción en tres dimensiones se puede

representar el punto (3,4,5), el cual se muestra en la Figura 7. Note que en la

coordenada z, el punto está en 5 unidades sobre el plano (x,y,0) que está dibujado en

color azul.

Figura 6: Ubicación de objeto en punto (-3,2) en coordenadas cartesianas en dos dimensiones (plano “xy”).

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Figura 7: Representación de posición (3,4,5) en coordenadas cartesianas en tres dimensiones.

Coordenadas Polares

Otra forma de representar una posición de un objeto en un plano, es por medio

de las coordenadas polares, donde en vez de utilizar los ejes "x" e "y", se utilizan las

coordenadas "r", "𝜃". La coordenada "r" se denomina "radio", "𝜃" angular. Esta

representación es muy útil cuando se requiere describir un objeto con movimientos

circulares en torno a un punto común.

La Figura 8 muestra la descripción de la posición de un objeto (punto color azul)

por medio de coordenadas polares y cartesianas. Según hemos visto, la posición de

este objeto puede ser realizada por medio de ambas coordenadas, por lo que resulta

natural pensar en una relación entre ellas. El radio “𝑟” es la recta entre la posición del

objeto y el cruce de los ejes (punto “o”); el ángulo 𝜃, coordenada angular, se mide

desde el eje “x” de la coordenada cartesiana y se mide en sentido antihorario (en

contra de las manecillas del reloj).

Figura 8: Descripción de objeto (punto azul) en coordenadas polares

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Por medio de relaciones trigonométricas, es posible establecer la relación entre

coordenadas polares y cartesianas. Considere un objeto ubicado en coordenadas

cartesianas (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) y en coordenadas polares (bajo la misma referencia) (𝑟𝑜 , 𝜃𝑜).

Luego, las coordenadas polares se relacionan por medio de las coordenadas

cartesianas según

𝑟𝑜 = √𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2

𝜃𝑜 = arctan (𝑦𝑜𝑥𝑜)

De modo similar, las coordenadas cartesianas en función de coordenadas

polares se relacionan por medio de,

𝑥𝑜 = 𝑟𝑜 cos 𝜃𝑜

𝑦𝑜 = 𝑟𝑜 sen 𝜃𝑜

donde "cos()" y "sen()" son las funciones trigonométricas coseno y seno,

respectivamente.

Coordenadas Cilíndricas

Si consideramos una descripción en tres dimensiones el uso de coordenadas

polares también se puede tomar como opción. Considerando un sistema cartesiano con

ejes (𝑥, 𝑦, 𝑧), este se puede reinterpretar como (𝑟, 𝜃, 𝑧). Esto implica que sólo los ejes "x"

e "y" se sustituyen por medio de coordenadas polares, y el eje "z" sigue siendo

perpendicular al plano formado por "xy". Esta forma de descripción se le conoce como

"coordenadas cilíndricas" (ver Figura 9 para observar las coordenadas polares para

describir la ubicación del punto “P”).

Luego, considerando una descripción en coordenadas cartesianas dada por

(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜), se tiene que

𝑟𝑜 = √𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2

𝜃𝑜 = arctan (𝑦𝑜𝑥𝑜)

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Y, al igual que en coordenadas polares, las coordenadas cartesianas se relacionan por

medio de,

𝑥𝑜 = 𝑟𝑜 cos 𝜃𝑜

𝑦𝑜 = 𝑟𝑜 sen 𝜃𝑜

Figura 9: Descripción de posición “P” por medio de Coordenadas Cilíndricas

Coordenadas Esféricas

En adición a las coordenadas descritas previamente, existe el sistema de

coordenadas esféricas. Este resulta muy conveniente en situaciones donde el objeto

describa un movimiento específico o se requiere determinar el volumen o área de la

superficie de objetos. Note que la descripción de ubicaciones en el planeta (por medio

de paralelos y meridianos) está estrechamente relacionado con coordenadas esféricas.

Particularmente, para la descripción de la posición de un objeto en tres

dimensiones, las coordenadas cartesianas que lo describen (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜) se reinterpretan

en coordenadas (𝜌𝑜 , 𝜃𝑜 , φo).

Estas coordenadas guardan cierta similitud con las coordenadas polares y

cilíndricas. La coordenada “𝜌” también se denomina radio y define la distancia entre la

posición del objeto y el origen del sistema (cruce de ejes “x”, “y” y “z”); la coordenada

“𝜃" es el “ángulo polar”, el cual establece el ángulo entre el eje “x” y la proyección del

objeto sobre el plano “xy” (observe el ángulo 𝜃 en la Figura 10). La coordenada “𝜑” es

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el ángulo azimutal, el cual define el ángulo entre el eje “z” y la recta definida por el radio

“𝜌”.

Figura 10: Representación del punto “P” por medio de coordenadas esféricas de coordenadas

(𝝆, 𝜽, 𝝋).

Relación entre Coordenadas Esféricas/Cartesianas y Esféricas/Cilíndricas

La forma de representar la posición de un objeto por medio de coordenadas

esféricas (𝜌𝑜 , 𝜃𝑜 , φo) y a través de una descripción en coordenadas cartesianas

(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧o) se define por medio de las siguientes relaciones

𝜌𝑜 = √𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2 + 𝑧𝑜2

cos𝜑𝑜 =𝑧𝑜

√𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2 + 𝑧𝑜2=𝑧𝑜𝜌𝑜

𝜃𝑜 = arcsin (𝑦𝑜

√𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2)

Si se quiere representar en coordenadas cartesianas por medio de una

descripción en coordenadas esféricas se tiene,

𝑥𝑜 = 𝜌𝑜 sen𝜑𝑜 cos 𝜃𝑜

𝑦𝑜 = 𝜌𝑜 sen𝜑𝑜 sen 𝜃𝑜

𝑧𝑜 = 𝜌𝑜 cos𝜑𝑜

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Para el caso en que se quiera describir en coordenadas esféricas a través de

coordenadas cilíndricas (𝑟𝑜 , 𝜃𝑜 , 𝑧𝑜), se tiene

𝜌𝑜 = √𝑟𝑜2 + 𝑧𝑜2

𝜑𝑜 = arccos (𝑧𝑜

√𝑟𝑜2 + 𝑧𝑜2)

Finalmente, por medio de las relaciones previamente mostradas, se presenta la

siguiente tabla resumen de transformación entre las distintas coordenadas vistas,

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cilíndricas

Coordenadas Esféricas

Coordenadas Cartesianas

. 𝑥𝑜 = 𝑟𝑜 cos 𝜃𝑜 𝑦𝑜 = 𝑟𝑜 sen 𝜃𝑜

𝑧𝑜 = 𝑧𝑜

𝑥𝑜= 𝜌𝑜 sen𝜑𝑜 cos 𝜃𝑜

𝑦𝑜= 𝜌𝑜 sen𝜑𝑜 sen 𝜃𝑜 𝑧𝑜 = 𝜌𝑜 cos𝜑𝑜

Coordenadas Cilíndricas

𝑟𝑜 = √𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2

𝜃𝑜 = arctan (𝑦𝑜𝑥𝑜)

. 𝑟𝑜 = 𝜌𝑜 sin𝜑𝑜 𝑧𝑜 = 𝜌𝑜 cos𝜑𝑜 𝜃𝑜 = 𝜃𝑜

Coordenadas Esféricas

𝜌𝑜 = √𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2 + 𝑧𝑜2 𝜑o

= arccos (𝑧𝑜

√𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2 + 𝑧𝑜2)

𝜃𝑜 = arcsin (𝑦𝑜

√𝑥𝑜2 + 𝑦𝑜2)

𝜌𝑜 = √𝑟𝑜2 + 𝑧𝑜2 𝜑𝑜

= arccos (𝑧𝑜

√𝑟𝑜2 + 𝑧𝑜2)

𝜃𝑜 = 𝜃𝑜

Ejemplos de Transformación de Coordenadas

1) Convierta el punto (1,−1, −√2) de coordenadas cartesianas a coordenadas

esféricas.

Solución:

Con el punto dado, se identifica que 𝑥𝑜 = 1, 𝑦𝑜 = −1 y 𝑧𝑜 = −√2.

Luego, por medio de la tabla se tiene que

𝜌𝑜 = √12 + (−1)2 + (−√2)2= √1 + 1 + 2 = 2

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𝜑𝑜 = arccos (−√2

√1 + 1 + 2) =

3𝜋

4

𝜃𝑜 = arcsin (−1

√1 + 1) = −

𝜋

4

Por lo tanto, (𝜌𝑜 , 𝜃𝑜 , 𝜑𝑜) = (2,3𝜋

2, −

𝜋

4)

2) Convierta el punto (√6, 𝜋/4, √2) de coordenadas cilíndricas a coordenadas

esféricas.

Solución:

Con el punto dado, se identifica que 𝑟𝑜 = √6, 𝜃𝑜 = 𝜋/4 y 𝑧𝑜 = √2.

Al igual que el ejercicio anterior, por medio de la tabla se calcula,

𝜌𝑜 = √(√6)2+ (√2)

2= √6 + 2 = 2√2

𝜑𝑜 = arccos (√2

√6 + 2) =

𝜋

3

𝜃𝑜 =𝜋

4

Por lo tanto, (𝜌𝑜 , 𝜃𝑜 , 𝜑𝑜) = (2√2,𝜋

4,𝜋

3)

TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS

Como usted bien sabe, la descripción de alguna cantidad o magnitud se hace

respecto a alguna unidad de medida. Por ejemplo, para describir distancias se puede

utilizar la unidad de metro [m], centímetros [cm], kilómetros [km] o cualquier otra que

usted considere conveniente. Lo mismo ocurre con mediciones de masa, donde

habitualmente se hablan de gramos [gr], kilogramos [kg], toneladas [tn], etcétera.

Muchas veces la descripción de alguna cantidad se encuentra con un sistema de

medidas queno acomoda y, por ende, se desea reinterpretarlo en otra unidad. Para

poder realizar dicha reinterpretación es necesario realizar un proceso de

transformación de unidades, el cual se describe a continuación.

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Para cambiar de una unidad de medida a otra es necesario conocer alguna

equivalencia entre ellas, por ejemplo 1 minuto equivale a 60 segundos; lo cual se

representa por la siguiente igualdad,

1[min] = 60[seg]

Note que esta expresión es equivalente a las siguientes relaciones de equivalencia,

1[min]

60[seg]= 1

O

60[seg]

1[min]= 1

Ahora, a modo de ejemplo, suponga que usted posee la información de cierto

proceso temporal que dura 45698[seg], el cual desea expresarlo en unidad de minutos

[min].

Para realizar el cambio de unidades se puede realizar por medio de una

“multiplicación por 1” conveniente, donde luego este “1” se reemplaza por la relación

de equivalencia requerida (para el caso de conversión de [seg] a [min] se utilizaría la

primera de las mostradas):

45698[seg] = 45698[seg] ⋅ 1 = 45698[seg] ⋅1[min]

60[seg]⏟ =1

=45698

60[seg] ⋅

[min]

[seg]

Luego,

45698[seg] =45698

60[min] = 761.63[min]

Note que la el proceso partió por medio de la multiplicación de un “1” conveniente

(recuerde que cualquier número multiplicado por “1” es igual al mismo) y, por medio de

la relación de equivalencia de minutos.

Ahora, considere expresar este periodo en unidades de horas [hr]. Usted bien sabe

que,

1[hr] = 60[min] = 60 ⋅ 60[seg]

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Lo que equivale a las siguientes relaciones de equivalencia,

1[hr]

60[min]= 1

O

60[min]

1[hr]= 1

Luego, para convertir los segundos a minutos se realiza el siguiente proceso,

45698[seg] =45698

60[min] ⋅ 1 =

45698

60[min] ⋅

1[hr]

60[min]

Lo que se interpreta como

45698[seg] =45698

60 ⋅ 60[hr] = 12.69[hr]

Esto significa que 45698 segundos equivale a 12.69 horas (la misma información

pero otorgada de dos formas distintas).

Este procedimiento se puede extrapolar para realizar cambios de unidades en

múltiples disciplinas. Por ejemplo, considere que usted viaja a 120 [km/h] y quiere

saber a cuánto equivale esta interpretación en [m/seg].

Un kilómetro es igual a 1000 metros, luego

1000[m] = 1[km]

Lo que equivale a

1000[m]

1[km]= 1

y

1[km]

1000[m]= 1

Luego,

120 [km

hr] = 120 [

km

hr] ⋅ 1 = 120 [

km

hr] ⋅1000[m]

1[km]⏟ =1

= 120000 [m

hr]

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Ahora, considerando el cambio de [hr] a [seg],

120 [km

hr] = 120000 [

m

hr] ⋅ 1 = 120000 [

m

hr] ⋅

1[hr]

60 ⋅ 60[seg]= 33.33 [

m

seg]

Luego,

120 [km

hr] = 33.33 [

m

seg]

Del mismo modo puede ocurrir con variables como la aceleración. Por ejemplo,

un vehículo con una aceleración de 4[m/s2], donde se quiere ver en [km/hr2].

Por medio de la relación de equivalencia entre segundos y horas,

60 ⋅ 60[s]

1[hr]= 1

Se puede definir, elevando al cuadrado ambas partes de la igualdad,

(60 ⋅ 60

1)2

[s2

hr2] = 1

Luego, considerando las relaciones de equivalencia entre segundos/horas y

kilómetros/metros,

4 [m

s2] = 4 [

m

s2] ⋅ 𝟏 ⋅ 𝟏 = 4 [

m

s2] ⋅ (

60 ⋅ 60

1)2

[s2

hr2]

⏟ =1

⋅1[km]

1000[m]⏟ =1

Donde, se tiene que

4 [m

s2] = 4 ⋅ (

60 ⋅ 60

1)2

⋅1

1000[km

hr2] = 51840 [

km

hr2]

Es importante que usted observe que en cada cambio de unidad debe

respetarse la potencia de la unidad. Esto quiere decir que si su cantidad posee una

unidad de distancia al cuadrado (por ejemplo [m2]), al convertirla a otra unidad de

distancia se debe respetar dicha potencia ([km2], [cm2], etc). Esta afirmación se

extiende a unidades de peso, tiempo o cualquier otra.

Luego, el procedimiento mostrado previamente por medio de ejemplos se puede

generalizar por medio de los siguientes pasos:

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Procedimiento de transformación de unidades

Considere que la cantidad inicial, que desea transformar, es

𝐶[unid𝑎]𝑥

Procedimiento de transformación a unidad [unid𝑏]𝑥 se describe a continuación

1) Defina equivalencia entre unidades a transformar

𝑎[unid𝑎] = 𝑏[unid𝑏] ⟹𝑎[unid𝑎]

𝑏[unid𝑏]= 1 y

𝑏[unid𝑏]

𝑎[unid𝑎]= 1

2) Defina potencia de cambio de unidad ( [unid𝑎]𝑥). Elevar a “𝑥"equivalencia

definida en paso anterior:

(𝑎

𝑏)𝑥 [unid𝑎]

𝑥

[unid𝑏]𝑥= 1 y (

𝑏

𝑎)𝑥 [unid𝑏]

𝑥

[unid𝑎]𝑥= 1

3) Reemplace considerando la siguiente igualdad

𝐶[unid𝑎]𝑥 ⋅ 1 = 𝐶[unid𝑎]

𝑥 ⋅ (𝑏

𝑎)𝑥 [unid𝑏]

𝑥

[unid𝑎]𝑥

4) Luego,

𝐶[unid𝑎]𝑥 = 𝐶 ⋅ (

𝑏

𝑎)𝑥

[unid𝑏]𝑥

Observe que si desea transformar más de una unidad, elija una y siga el

procedimiento. Posteriormente, realice el procedimiento con las demás unidades de

forma ordenada.

Conversión de Unidades de Distinta Escala

Las relaciones entre unidades que hemos visto hasta ahora son de tipo escalar.

Esto quiere decir que entre ambas unidades hay un factor multiplicativo que permite

transformar de una escala a otra.

Es importante que usted sepa que existen relaciones entre unidades que no son

del tipo escalar. Un ejemplo frecuente de esta relación, es la relación de temperatura

entre distintas escalas.

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Por ejemplo, la medición de temperatura en nuestra vida cotidiana la

expresamos en Celsius [C], la cual no es la única escala. Otra escala muy utilizada es

la escala Kelvin [K]. La relación entre ambas escalas es la siguiente

𝑥[C] = (𝑥 + 273)[K]

Luego, se puede inferir que estas escalas tienen la misma escala de crecimiento

pero difieren por una constante de 273 grados. Luego, 0 grados Celsius equivalen a

273 grados Kelvin, 10 grados Celsius es igual a 283 grados Kelvin, etc.

Existe otra escala para medir temperatura conocida como los grados Fahrenheit.

¿Qué relación de equivalencia existe entre esta unidad y la de grados Celsius?

Pregunta de Reflexión:

Existe otra escala para medir temperatura conocida como los grados Fahrenheit,

muy utilizada en Norteamérica. ¿Qué relación de equivalencia existe entre esta

unidad y la de grados Celsius? Averigüe.

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