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FRACTALES

Taller de dibujo II

Proy 1.3

Gregorio Arias Castillo

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Índice

-Introducción

-Los fractales y la Arquitectura

-De la arquitectura al fractal

Castillo del monte

Basilica de San Pedro

Sant' Ivo alla Sapienza

-Los fractales y las matemáticas

El conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Julia

-Bibliografía

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Introducción

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La

expresión, así como el concepto, se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, del Centro

de Investigación Thomas J. Watson, que la empresa IBM tiene en Yorktown Heights, Nueva York,

y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta

(Mandelbrot, 1977 y 1982). Aunque como veremos Kocht y Cantor entre otros, definen objetos

catalogables dentro de esta categoría, pero no reconocidos como tales.

El concepto de fractal se puede abordar desde dos puntos de vista, como después veremos, sin

embargo se acepta comúnmente que un fractal es un objeto geométrico compuesto de elementos

también geométricos de tamaño y orientación variable, pero de aspecto similar. Con la

particularidad de que si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven

a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando

parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una

estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con

escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de

referencia para ver cual es el tamaño, resultaría difícil decir cual es de las ampliaciones

es mayor o si son distintas. El que cada elemento de orden mayor esté compuesto, a su vez,

por elementos de orden menor, como sucede con las ramas de un árbol es lo que da estructura

recursiva a los fractales.

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Para representar gráficamente un fractal basta por tanto encontrar la relación o la ley de

recursividad entre las formas que se repiten. Es decir encontrar el objeto elemental y la

ley de formación y establecer el algoritmo gráfico.

En los menos de tres lustros que han transcurrido desde que Mandelbrot formuló la definición

de fractal, es asombrosa la cantidad y la rapidez con que científicos han elaborado modelos

para describir y para comprender como la naturaleza crea sus formas, y como el crecimiento

en la naturaleza está vinculado a modelos fractales. Tal parece que la naturaleza sintiera

predilección por la estética fractal. Si se lo explicamos bien un niño puede encontrar

formas fractales en múltiples estructuras vegetales: hojas, troncos, ramas, raíces. en el

perfil de montañas, rocas y piedras, ...

Por su parte los científicos han identificado fractales en la forma de las galaxias, las

costas marítima, las montañas y perfiles rocosos, los perfiles de los bosques, las

fronteras, ....y en procesos físicos y químicos: La cristalización, las fracturas de

materiales, los movimientos de partículas, las descargas eléctricas, la electrólisis. En

nuestro organismo: El sistema circulatorio, la ramificación de venas, arterias, nervios, la

estructura de los pulmones,... Y en otro ámbito se pueden considerar formas fractales las

nubes, los relámpagos, los árboles....

Es importante señalar que aunque los fractales no permiten explicar ni dar modelos para

describir todas las formas naturales, por primera vez nos encontramos frente a un

planteamiento que permite describir y dar respuesta a formas geométricas tan distintas como

las que tienen los objetos descritos.

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De esta forma podemos definir un fractal de tres formas posibles:

1. Un fractal es el producto final que se origina a través de la repetición infinita de un

proceso geométrico bien especificado.

2. Es una forma en perpetuo crecimiento; cuando observamos una ilustración o fotografía de

un fractal, lo estamos haciendo en un momento del tiempo, es decir, se encuentra

“congelado” en una etapa de su crecimiento.

3. Son Formas irregulares , interrumpidas o fragmentadas que tienen autosemejanza en un

amplio rango de escalas de observación

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Los fractales y la Arquitectura

Como hemos dicho anteriormente, quizá el desarrollo de los fractales

en la arquitectura no se haya efectuado conscientemente, sin embargo,

el hecho es que hay edificios en los que podemos hallar lo que serían

influencias de este campo. Pasemos a analizar algunos de ellas:

Le Corbusier manifestaba en 1943 en su famosa “Carta de Atenas”:

“Introducir el sol, es una de las nuevas tareas de los arquitectos”.

Por supuesto, se entendió al medio ambiente natural como factor

positivo que debía ser utilizado en lo posible por el edificio ya

que “el aislamiento del medio ambiente natural mata a cada organismo vivo”. Por lo tanto,

Le Corbusier desarrollo la interesante y amplia idea de una interrelación optima entre el

volumen construido y su medio ambiente, para esto, diseño nuevas formas geométricas de

organización espacial, las cuales por medio de una maximización de la superficie perimetral

podían acoplar y engarzar íntimamente el espacio interior con el

exterior.

Aunque de momento esto no nos diga nada, la verdad es que la idea

puede tener una componente totalmente fractal. En 1922 Le Corbusier

presentó su concepto de “villa”. Una de sus ideas era el desarrollo

de una tipología habitacional para la construcción en altura en los

centros urbanos, que debía tener el mismo confort que una villa aislada. Debía ofrecer un

máximo de luz y aire aunque sea una construcción densa, por esto, incorporó jardines

colgantes en cada vivienda sin importar los niveles. “Cada vivienda es en realidad una

villa de dos niveles, con jardines, sin importar en que altura y posición se encuentren

estas. Este es un volumen horadado, como un panel de 6 metros de altura, 9 de ancho y 7 de

profundidad. Todo ventilado por medio de un pozo de 15 m. de diámetro. Este panal es un

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pulmón, la vivienda es igual a una esponja gigante, que aspira aire: la casa respira”.

Bien, si pensásemos en un objeto así, podríamos llegar fácilmente a la

esponja de Menger, un objeto puramente fractal. Por otro lado, es una forma

que se adaptaría plenamente a su función: por medio de las muchas aperturas

en el volumen construido se aumenta de mil maneras su superficie externa,

por lo que se optimiza la ventilación y la iluminación.

Le Corbusier, quizá no llegó a plasmar del

todo esa idea en ninguno de sus edificios, o

al menos no tanto como para que pueda ser interpretada de una

forma puramente fractal. No obstante, la idea guarda relación

con los fractales y por otro lado sí que se aplicó en algunas

de sus obras. Relaciones formales que nos induzcan hacia los

fractales se pueden encontrar incluso en la que para muchos es su obra maestra: RONCHAMP.

Sin embargo, aventurarnos a llamar a esto arquitectura fractal quizá sea demasiado.

Otro de sus grandes proyectos, en este caso como urbanista, es su diseño conceptual de una

ciudad de tres millones de habitantes, la VILLE CONTEMPORAINE (Ciudad Contemporánea). En

ella se observan los postulados de la Carta de Atenas en cuanto a apertura de huecos, que

también empleará en su Inmueble Villa.

(VILLAS LA ROCHE Y JEANNERET, VIVIENDA HABITACIONAL DE

BERLÍN, Y PABELLÓN ESPRIT-NOUVEAU)

Otro arquitecto a destacar es Frank Lloyd Wright, precedente de la arquitectura denominada

orgánica y autor de algunas de las obras que han conseguido ser hasta la fecha algunos de

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sus principales hitos. Según palabras de algunos es: “El mayor maestro que la arquitectura

americana ha tenido en su historia. Innovador, ingenioso y transformador. Supo crear el

espacio fluido, la espacialidad de lo estático, la integración de lo humano con la

naturaleza y la utilización de la luz como un elemento natural y arquitectónico a la vez.”

Su concepto de lo orgánico iba más allá de la forma, anclaba la función

a ésta de manera excepcional y la hacía inseparable. Es uno de los

arquitectos que ha conseguido copiar algo más que la simple forma

natural, ha obtenido como resultado la elaboración de tipos completos.

Su gran logro fue la casa FALLINGWATER construida en 1936 para la

familia Kaufmann. En ella se entiende a la perfección cómo la

arquitectura se separa de sus contemporáneos. Mientras que las

tendencias del momento tendían hacia los gustos victorianos y las

viviendas europeas, Wright se arriesga con un nuevo modelo de vivienda.

La Casa de la Cascada se podría englobar dentro de la corriente del

Expresionismo. Observamos un continuo uso del vidrio como elemento que permite trasparencias

y comunicación de espacios, así como el gusto por lo geométrico. Sin embargo sería más

correcto enmarcarla en la etapa usoniana (época posterior a la de las Casas de la Pradera)

del autor, debido a que este arquitecto tuvo una vida bastante larga, lo cual hace que su

arquitectura varíe mucho con el paso de los años.

En otro sentido podemos decir que la estructura presente en la casa de la cascada es una

arquitectura orgánica basada en los preceptos del mismo Wright quien promueve la armonía

entre el hábitat humano y el mundo natural. Mediante el diseño busca comprender e integrarse

con el sitio, los edificios, los mobiliarios, y los alrededores para que se conviertan en

parte de una composición unificada, correlacionada.

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En sus edificios burocráticos para Johnson la

composición es claramente curva. En su

composición sobresale la torre, cuya fachada

es similar a un muro cortina. La zona de

laboratorios está cerrada con tubos de vidrio

pírex y llaman especialmente la atención los

pilares que sostienen el módulo principal, pues son extremadamente esbeltos, pero al estar

unidos entre ellos dan una gran estabilidad al edificio, con una forma claramente natural.

En cuanto a la composición formal se observan alusiones a lo fractal, o al menos a la

estructura natural en otras obras como la casa para Philip Johnson, el museo Guggenheim de

Nueva York o el proyecto de la torre de San Marcos.

De otro modo también es obligatoria la mención a Gehry. Este arquitecto canadiense, ha hecho

de la irregularidad propia de la naturaleza una nueva arquitectura no por todos querida pero

muy bien aceptada por el usuario. Con la inauguración del nuevo Guggenheim de Bilbao en

1997, éste se convirtió en el centro de atención de todos los medios de comunicación. Al

unir la tecnología de otras industrias con la de la construcción, mostrando de nuevo el

potencial de una arquitectura fractal informática centrada en su aspecto artesano en el

mundo postindustrial.

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Frank Gehry recibió el pedido de este museo poco después de

que su proyecto del Auditorio Walt Disney fuera cancelado

cuando aun solo era una idea. Este hecho hizo que inspirase

el Museo Guggenheim en su auditorio ideado, compartiendo

ambos proyectos un planteamiento muy similar.

Las formas blandas presentes en el museo comienzan con el

Museo de Vitra y evolucionaron en otras obras. Gehry realizó

docenas de maquetas donde fue aprobando las posibles formas

del edificio. Todas ellas están hechas a mano, y desde julio

de 1995 se exponen en la exposición “Peggy Guggenheim”,

situada en un palacete de Venecia.

Gehry no trabajó con ordenador, pero sí su equipo, cuyos miembros digitalizaron las maquetas

de su jefe mediante un programa informático de la Agencia Espacial Europea. La adaptación a

la arquitectura de este programa conllevó enormes gastos, los cuales fueron afrontados por

la Fundación Guggenheim.

Dentro del aparente desorden de la envolvente, existe un patrón que rige la volumetría.

Este es el empleo en todos sus elementos de la máxima curvatura que soporta el titanio. La

Gran Sala, también llamada la del Pez, se extiende hacia el este hasta acercarse con un

puente que atraviesa la ría de Bilbao, estructura que ya atravesaba el solar antes de la

construcción del museo y a la que éste hubo que adaptarse.

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Por último, introduciéndonos en la obra nacional destacaremos al arquitecto Fernando

Higueras. Este ha conseguido aunar, como casi todos los grandes, la forma y la estructura.

Con un sentido portentoso de lo estructural consiguió la ejecución de edificios que en la

actualidad han llamado la atención. Como en la naturaleza la forma siempre es

complementación de la función, así las formas presentes en la geometría fractal suelen tener

un porqué. Dejo aquí algunas de sus obras, juzgad por vosotros mismos su relación con la

geometría de lo fractal:

CENTRO DE RESTAURACIONES (CIUDAD UNIVERSITARIA)

IGLESIA DE SANTA MARÍA DE CANÁ (POZUELO DE ALARCÓN)

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De la arquitectura al fractal

Una vez que sabemos en que consisten los fractales y como estos están representados en la

arquitectura, vamos a analizar el concepto de fractal en la arquitectura a lo largo de la

historia, de como observando las plantas de estas construcciones podemos extraer un

patrón común y explotarlo hasta crear magníficos fractales, y si insistimos, planimetría

completamente exagerada.

EL CASTILLO DEL MONTE

Para empezar, he escogido el Catillo del monte, ya que posee una planta no muy complicada

que, sin embargo, explica muy bien el concepto de fractal y del ejercicio que quiero

realizar.

El castillo del monte Se encuentra en Apulia, al sur-este de Italia. El castillo fue

levantado entre 1240 y 1250, aunque el edificio da la impresión, sobre todo en su nivel

interior, de no haber sido nunca completado. Su fama se debe principalmente a su planta

de peculiar forma octogonal. En cada esquina se levanta una torre de la misma geometría.

El octógono principal cuenta con una altura de 16,10 m, las torres miden 26 m cada una.

La longitud de cada lado del octógono principal es de 16,50 m, y los de las torres de

3,10 m. La entrada principal se orienta hacia el oeste. Este castillo fue diseñado como

fortaleza he intentando buscar la privacidad en la habitaciones. De esta forma llegaron a

desarrollar una especie de arquitectura fractal.

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LA BASILICA DE SAN PEDRO

Es un templo católico situado en la Ciudad del Vaticano. Como obra arquitectónica, es

considerada como el mayor edificio de su época. Pero, desde el punto de vista artístico,

el templo es el resultado de los proyectos entrecruzados de distintos autores, quienes

trataron de poner en práctica en esta obra sus propias concepciones estéticas,

combinándolas con las de los papas que, en definitiva, financiaban los trabajos.

De la planta de la basílica podemos sacar un patrón común que se repite en la estructura

formada por un cuadrado principal. A los lados del cuadro se desarrolla una

semicircunferencia. Este patrón se lleva a cabo en toda la planta:

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SANT' IVO ALLA SAPIENZA

Entre 1640 y 1650 Borromini trabajó en el diseño de la iglesia de Sant'Ivo alla Sapienza. La

estructura muestra un esquema de estrella de seis puntas. Si observamos la planta vemos que

las cornisas se asemejan dos triángulos equiláteros que forman un hexágono, aunque tres de

las puntas tienen forma de trébol, mientras que las restantes terminan en concavidades.

Fijándonos con detenimiento en la planta comprendemos que se ha partido de dos triángulos

superpuestos entre si para luego mas tarde utilizar circunferencias consiguiendo la planta

final. Si continuamos con este patrón de triángulos y circunferencias conseguiremos crear un

fractal.

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Los fractales y las matemáticas

Cuando hablamos de matemáticas y fractales cabe destacar el conjunto de Mandelbrot y el

conjunto de Julia. Ambos están estrechamente relacionados ya que una propiedad del conjunto

de Mandelbrot es que los diferentes tipos de conjuntos de Julia se reparten en diferentes

regiones del conjunto. Por esta razón hay que entender antes el conjunto de Mandelbrot.

EL CONJUNTO DE MANDELBROT

El fractal de Mandelbrot es una de esas curvas que desafía nuestra capacidad de

entendimiento "geométrico", muy habituada a las estructuras euclídeas, simples y prácticas.

Una de las características más espectaculares de estos fractales, es que son no

derivables en todos sus puntos. En lenguaje menos matemático: una curva cualquiera es no

derivable en un punto cuando, aun existiendo ese punto, forma un pico o esquina.

Esa es la fórmula: z es la variable y c el valor de las coordenadas del punto analizado. Con

cada punto, z comienza siendo (0,0), y se va aplicando reiteradamente esa fórmula. Si el

módulo de z se hace en algún momento mayor que 2, significará que el punto no pertenece al

conjunto de Mandelbrot.

Dicho de otra forma, el conjunto de Mandelbrot M se define como el conjunto de parámetros

cÎC para los que el conjunto de Julia asociado a fc=z2+c es conexo.Esta definición no es

adecuada para computar imágenes del conjunto de Mandelbrot. Para este fin es mucho más útil

la caracterización dada por el siguiente teorema:

Teorema: M coincide con el conjunto de parámetros del plano complejo para los que la órbita

(fck(0)) está acotada. Esto equivale a que fc

k(0) no tiende a infinito.

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Como consecuencia del Teorema anterior se obtiene que M se encuentre acotado de la siguiente

manera:

1. M está contenido en la bola de radio 2 (puesto que c=-2 está en M, esta acotación es óptima),

2. M intersección con R es el intervalo [-2,1/4].

De esta forma, con ayuda de un tutorial y entendiendo el conjunto podemos definirlo en

Maple:

> restart: with(plots):

> mandelbrot := proc(x, y)

> local c, z, m;

> c := evalf(x+y*I);

> z := c;

> for m from 0 to 30 while abs(z) < 2 do

> z := z^2+c

> od;

> m

> end:

> plot3d(0, -2 .. 0.7, -1.2 .. 1.2, orientation=[-90,0], grid=[250, 250],

> style=patchnogrid, scaling=constrained, color=mandelbrot);

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EL CONJUNTO DE JULIA

Estos conjuntos son la fuente de algunos de los fractales más interesantes y conocidos de la

actualidad. En el año 1918 fue cuando Gaston Julia, matemático francés, publicó su trabajos

acerca de estos conjuntos que llevan su nombre. Además de él otros matemáticos como Pierre

Fatuo impulsaron el avance de esta investigación.

Los conjuntos de Julia se definen a través de una función racional definida en el plano

complejo Z. Tomada una función R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son

polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteración, el

conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del plano complejo tales que al

aplicarles un número n de veces la función R el resultado siempre se encuentra dentro de un

determinado límite (es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que está acotado por

un cierto valor). Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:

z(n+1) = z(n)^2 + c

Una propiedad del conjunto de Mandelbrot es que los diferentes tipos de conjuntos de Julia

se reparten en diferentes regiones del conjunto M.

1. fc tiene un punto fijo atractivo si y solo si c pertenece al interior de la cardioide de ecuación z=1/2e

iq (1-1/2e

iq, 0<q£2p. Además, los conjuntos de Julia asociados a estos

parámetros son curvas cerradas simples.

2. fc tiene un dos-ciclo atractivo si y solo si |c+1|<1/4, esto es, si c está en el mayor disco adosado a la cardioide principal. Además, los conjuntos de Julia asociados a

estos parámetros son uniones de una cantidad numerable de curvas cerradas simples

disjuntas 3 a 3. Estas curvas están formadas por las componentes conexas que contienen

a los dos puntos del 2-ciclo atractivo y por todas sus preimágenes.

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3. En los dos círculos siguientes en tamaño se encuentran los parámetros asociados a conjuntos de Julia para los que la dinámica presenta un ciclo de orden 3 atractivo y

cuyos conjuntos de Julia son uniones de una cantidad numerable de curvas cerradas

simples disjuntas 4 a 4 y con la propiedad de que donde se tocan 2 se toca también una

tercera. Estas curvas están formadas por las componentes conexas que contienen a los

tres puntos del 3-ciclo atractivo y por todas sus preimágenes. Los puntos de contacto

son todas las preimágenes de uno de los puntos fijos de fc.

4. Y así sucesivamente...

El periodo de los conjuntos de Julia de cada uno de los círculos adosados a la cardioide

principal coincide con el número de ramificaciones (contando el pie) de la antena principal

adosada a él.

> restart; with(plots):

> julia := proc(c,x, y)

> local z, m;

> z := evalf(x+y*I);

> for m from 0 to 30 while abs(z) < 3 do

> z := z^2 + c

> od;

> m

> end:

> J := proc(d)

> global phonyvar;

> phonyvar := d;

> (x, y) -> julia(phonyvar, x, y)

> end:

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> plot3d(0, -2 .. 2, -1.3 ..1.3, style=patchnogrid,

> orientation=[-90,0], grid=[250, 250],

> scaling=constrained, color=J(-1.25));

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Bibliografía

La geometría fractal de la naturaleza (Mandelbrot, Benoît B.)

Estructuras fractales y sus aplicaciones (Guzmán, Miguel de)

Entender la arquitectura (Roth, Leland M.)

Las demostraciones matemáticas y las imágenes han sido obtenidas de internet de páginas

especializadas en el tema de Fractales.

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