Matemáticas y su didáctica. Matemáticas y su didáctica. Matemáticas y su didáctica. Matemáticas y su didáctica. MMMMEEEEFFFF

Curso 2007Curso 2007Curso 2007Curso 2007----2008200820082008

FRACCIONES, DECIMALES Y PORCENTAJES

ÍNDICE

1. ASPECTOS A TRATAR..........................................................................2

1.1 Un significado de naturaleza compleja.............................................3

1.2 Dificultades y errores relevantes.......................................................4

1.3 Equivalencia y orden..........................................................................8

1.4 Los problemas de conversión..........................................................10

1.5 Operaciones con fracciones y decimales.........................................11

2. FRACCIONES, DECIMALES Y PORCENTAJES EN LA EDUCACIÓN

PRIMARIA...............................................................................................14

BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................18

2

Para justificar el tratamiento en primaria de los decimales, las fracciones y los

porcentajes1 pueden argumentarse razones sociales, como el uso inminente de los euros y la

vuelta a un sistema monetario con décimas y centésimas que sólo los más mayores

recordamos; también razones curriculares, como el hecho de que proporciona uno de los

contextos más ricos en los que interconectar distintos ámbitos de la matemática escolar

(fundamentalmente números y medida) e incluso de otras áreas curriculares (como

conocimiento del medio), así como el hecho de constituir un elemento clave dentro de uno de

esos ámbitos (parte final del desarrollo del sistema de numeración decimal que comenzó en el

primer ciclo de primaria). También podrían aducirse razones educativas, en el sentido de que

es uno de los núcleos en los que se registra un mayor número de errores y obstáculos

epistemológicos dentro de la matemática de la Educación Primaria; y, finalmente, existe un

argumento que defiende su tratamiento para movilizar una concepción de la matemática

escolar y de sus procesos de enseñanza y aprendizaje bastante diferente a las que están

acostumbrados nuestros alumnos, futuros maestros, que de alguna manera engloba todos los

argumentos anteriores. Esta perspectiva lleva implícita la intención de promover actitudes

más favorables en los EPM hacia la matemática y sus procesos de enseñanza y aprendizaje2.

1. Aspectos a tratar.

De cara a la formación de maestros creo conveniente abordar en este tema los

siguientes aspectos:

A. Fenomenológicos, relacionados con los contextos y significados diferentes en los que

aparecen, así como sus relaciones y sus aplicaciones.

B. Cognitivos, en relación con errores, dificultades y obstáculos comunes en su aprendizaje.

C. De representación y vinculados a uso de modelos constructivos.

1 O de la proporcionalidad, aspecto que no abordaré en este tema. 2 Es posible que, también con otros temas, pueda ponerse en conflicto la visión algorítmica y formal de la matemática escolar que suelen poseer los estudiantes para maestro, pero éste me parece especialmente apto para ello por las características del tratamiento que suele tener en las aulas de primaria en las que nuestros futuros maestros han sido formados.

3

D. Relacionados con la enseñanza, que nos permitan diseñar posibles itinerarios didácticos

para su tratamiento en los distintos ciclos de la Educación Primaria, efectuar un análisis

crítico de su tratamiento en los diseños curriculares y en los libros de texto, y abordar su

evaluación.

E. Conceptuales y procedimentales, que nos permita una reconstrucción en profundidad de

aquellos aspectos de y sobre el contenido matemático en sí, que la literatura muestra

deficiente en los estudiantes para maestro.

F. Actitudinales, para situar a los EPM ante una visión de la matemática escolar y de su

enseñanza y aprendizaje que potencie aspectos no abordados en la enseñanza tradicional.

1.1 Un significado de naturaleza compleja.

Resulta paradójico que, siendo la riqueza de significados uno de los aspectos más

relevantes de este tema, sea también causa de sus dificultades en el aprendizaje de los

alumnos. Un número concreto como 3/4 (que equivale a 0.75 o al 75%) cabe ser interpretado

de distintas formas, todas las cuales tienen una aplicación directa en la vida cotidiana, aunque

no todas las representaciones se prestan de igual forma para ilustrar todos los aspectos en los

que surgen estos conceptos3.

Siguiendo a Kieren (1976), Behr et al. (1983) y Dickson et al (1991), las principales4

interpretaciones de un número racional5 son las siguientes:

a) Una sub-área de una región previamente definida.

b) Una relación parte-todo entre cantidades discretas.

c) El resultado de una comparación entre dos cantidades discretas o dos medidas.

3 Se suele pedir medio kilo en vez del 50% de un kilo, un listón de 0.6 metros (ó 60 cm) en vez de 3/5 de metro, etcétera (Nieto et al. 1994). 4 Faltaría, por ejemplo, un significado relacionado con la noción de equivalencia. 5 Respecto de este término caben dos consideraciones semánticas. La primera, de corte histórico, nos situaría ante números o cantidades que "tienen cabida en la razón" humana, en oposición con los irracionales, a partir del descubrimiento de los cuales pudo acuñarse el término. La segunda hace referencia a la razón o cociente de dos números enteros. Éste es el significado que utiliza Kieren, dado que dentro de este marco tienen cabida todas las fracciones, los porcentajes y demás decimales que admitan una representación mediante fracciones, es decir los decimales finitos y periódicos.

4

d) El resultado de una división entre dos enteros o sencillamente la indicación de

esa operación.

e) Un punto6 de una escala graduada, situado entre dos valores enteros.

1.2 Dificultades y errores relevantes.

No todos los significados anteriores tienen las mismas dificultades de comprensión

por parte de los niños. Depende básicamente de dos factores, el marco experiencial

(vinculado a la edad7 y el grado de abstracción) y de si nos referimos al significado asociado

a fracción, a decimal o a porcentaje.

Si nos referimos a los significados asociados a fracción, parece que la noción de

"partes de un todo" es la de más fácil comprensión por los niños, resultando más asequible la

tarea de sombrear en una figura una fracción dada que la operación inversa, sobre todo si en

la zona sombreada se incluyen superficies equivalentes, pero de distinta forma, como partes

del todo.

La relación parte-todo, en las fracciones, puede ser objeto de aprendizaje desde

aproximadamente los 8 años, según los estudios de Payne (1976), mediante el uso de modelos

manipulativos como plegado de papel que pueden conducir al uso de diagramas de regiones

y, posteriormente, al trabajo oral y simbólico.

Dentro de esta relación parte-todo, parece que el modelo área es más asequible que el

modelo discreto o la recta numérica8 ; sin embargo presenta algunas dificultades:

• La comprensión de la necesidad de áreas de igual tamaño.

• Las diversas transiciones desde un diagrama hasta la expresión verbal o simbólica.

6 Naturalmente no cualquier punto, ya sabemos que tenemos la misma probabilidad de elegir un racional que un irracional al seleccionar un punto cualquiera entre dos valores enteros. 7 Siempre nos movemos en edades comprendidas entre los 9 y los 15 años, es decir entre cuarto de primaria y tercero de secundaria obligatoria. 8 Dickson et al. (1991) afirman que este hecho justifica que la mayoría de los libros de texto aborde las fracciones de forma exclusiva a través de este tipo de representación, lo que suele impedir a los niños aplicar las fracciones en situaciones distintas. Ésta es, sin duda, una de las claves para la didáctica: la necesidad de proporcionar suficientes experiencias concretas con todo tipo de representaciones.

5

• La comprensión de fracciones impropias (con las que resulta incoherente).

• La identificación de la unidad en situaciones donde hay más de una unidad.

• Las derivadas de la adición usando diagrama de áreas.

A pesar de que la representación parte-todo como modelo discreto es esencialmente

similar a la de sub-áreas de una región unitaria, la ventaja que ofrece el modelo de sub-área

estriba en que la unidad es más fácilmente perceptible, por lo que aquella no resulta

recomendable en los primeros compases de la enseñanza de las fracciones.

Comparte con el modelo de sub-área el inconveniente relativo al trabajo con

fracciones impropias pero, sin embargo, tiene como ventajas sobre aquél su potencial para

llevar de forma más natural a la idea de razón y de porcentajes en situaciones numéricas

específicas, en las que la fracción actúa como operador.

Aunque matemáticamente la representación como sub-longitud de una longitud

unidad es una analogía unidimensional de la de sub-área de un área unitaria, suficientes

resultados (Novillis, 1976) ponen de manifiesto que, entre niños de tercer ciclo de primaria,

el modelo de recta numérica es bastante más complejo que el de la relación parte todo tanto

en sus vertientes sub-área como la de subconjunto de un conjunto discreto, fundamentalmente

porque reduce la fracción a un número abstracto. Sin embargo presenta dos ventajas desde el

punto de vista curricular:

• Permite una comprensión de los racionales como extensión de los números

naturales.

• Potencia la aparición de las fracciones impropias.

Las razones anteriores no son suficientes para abordar esta representación en la

Educación Primaria, puesto que el trabajo con este modelo presenta básicamente dos

dificultades, la derivada de la identificación de la unidad o la que surge al operar con una

escala que va más allá de uno. Aunque ambos aspectos pueden solventarse con un trabajo

adecuado de lectura de escalas numéricas, estas últimas razones no son compensadas, bajo mi

punto de vista, con las ventajas antes señaladas.

6

La fracción asociada a la operación de división de los números enteros (reparto)

presenta una gran similitud con el modelo de sub-área de un área unitaria cuando se trata de

repartir una unidad. La situación es sin embargo más compleja cuando son varias las

unidades a repartir o cuando éstas simplemente no pueden ser divididas, como sucede cuando

se pretenden repartir animales u objetos que habría que “romper”.

Para Fiol y Fortuny (1990) “se puede considerar que el tema de la proporcionalidad

es núcleo a partir de cual se unifican las líneas básicas de nociones como razón y

proporción, fracción y número racional, número decimal y problema de la medida, ...,

escalas,..., repartos proporcionales,..., regla de tres, porcentajes,...” (p. 118).

Indudablemente, la fracción como comparación de los tamaños de dos conjuntos o medidas

constituye el fundamento de muchas de las aplicaciones de las fracciones en la vida real. El

hecho de que cuando se comparan mediante una fracción dos conjuntos o medidas el valor

pueda invertirse constituye una de las diferencias esenciales entre este modelo y los

anteriores, al no existir una unidad natural o un todo. El trabajo de Novillis (1976) sitúa la

fracción asociada al razonamiento proporcional como de desarrollo notablemente más

complejo que los aspectos anteriores. La mayoría de los chicos de tercer ciclo de primaria y

primero de secundaria encuentran complejo que cualquier cantidad pueda expresarse como

una fracción de otra.

En el ámbito de los decimales, las diferencias conceptuales de significado están

fundamentalmente asociadas a aspectos de representación. Suponen, en este sentido, una

ampliación del sistema de numeración utilizado para los números enteros.

El mismo respaldo social recibido por el sistema indoarábigo frente a otros sistemas

anteriores parecen estar recibiendo los números con coma frente a las fracciones, cuyo uso

parece quedar relegado tan sólo a niveles informales. Sin embargo, en la matemática escolar

tradicionalmente las fracciones precedían a los decimales, enseñándose aquellas a través de

situaciones concretas y mediante la relación parte todo en modelos continuos, mientras que

éstos se mostraban enfatizando los aspectos de notación y suponiendo que el conocimiento de

las fracciones estaba sólidamente construido.

Esta “traducción” es hoy vista como mucho más compleja de lo que siempre se ha

supuesto, siendo uno de los obstáculos más relevantes la identificación de la parte decimal

7

como una porción de la unidad. El trabajo de Brown (1981) permite aventurar que una

posible razón de este obstáculo se encuentra en el uso coloquial del sistema monetario, en el

que la parte de la unidad de moneda suele leerse como un número entero sin relación a una

unidad concreta. En países como España, donde el sistema monetario del euro dará fin a una

larga etapa en la que no han existido divisores de la moneda, hay sin embargo otros

contextos, como la lectura de la hora digital o el cronometraje, que son similares al anterior.

Argumentando precisamente razones de contexto, Dickson et al. (1991) afirman que

no hay razones para que la enseñanza no invierta su orden tradicional y comience por los

decimales, aprovechando recursos como la calculadora, y admitiendo, por supuesto, que los

niños tendrán un conocimiento informal sobre ciertas fracciones, a pesar de todo.

En la vida cotidiana el número decimal aparece de forma más natural en los contextos

de medida y bajo uno de estos tres modelos:

• Como sub-área de una región unitaria.

• Como un lugar de la recta numérica o de un instrumento de medida con escala.

• Como resultado de una operación de división.

Los dos primeros parecen tener similares niveles de dificultad, siendo las décimas más

asequibles que las centésimas, y así sucesivamente. En este sentido se interpreta el trabajo de

Payne (1976) que permite aventurar que a través de los modelos de sub-área y recta numérica

pueda comenzarse el aprendizaje de las décimas por niños de segundo ciclo de Educación

Primaria.

Con el modelo de división ocurre algo similar en los decimales a lo que ocurría con

las fracciones: muy pocos niños toman conciencia de que el resultado de dividir dos números

enteros puede expresarse mediante decimales y les resulta difícil identificar una situación de

la vida diaria donde éstos intervengan.

La gama de significados más restrictiva corresponde sin duda a los porcentajes que,

aunque estrechamente vinculados a fracciones y decimales, son casi exclusivamente

asimilables a la fracción como operador o mediante la comparación de dos cantidades.

Cuando su significado está asociado al de operador las dificultades suelen surgir en la

8

identificación del valor sobre el que operar y en que calcular un porcentaje de un valor dado

es, en realidad multiplicar una fracción decimal (de denominador 100) por un número (la

mayoría de las veces entero). Suele ser también común encontrar dificultades a la hora de

saber qué porcentaje se ha aplicado cuando se conocen los valores inicial y final o cuál es el

valor inicial, conocidos el porcentaje y el valor final, situaciones muy comunes en la vida

cotidiana9.

Cuando el significado asociado es el de comparación de dos cantidades, la dificultad

estriba en identificar el porcentaje con la fracción decimal equivalente (de denominador 100)

a la establecida por la comparación, o expresar (como fracción decimal) el número decimal

correspondiente obtenido al efectuar la división (que procede de comparar esas cantidades).

Estas dificultades están vinculadas a la conversión de decimales a porcentajes y

viceversa. Este aspecto lo abordaré más adelante.

1.3 Equivalencia y orden.

El hecho de admitir varias representaciones (gráficas o simbólicas) de un mismo valor

numérico suele ser conflictivo para los estudiantes de primaria que, en los primeros niveles,

tan sólo perciben la equivalencia en situaciones concretas; y, sin embargo, es un aspecto

clave para la comparación de fracciones (orden), para convertir fracciones en decimales o

porcentajes y para operar con las fracciones.

La capacidad de percibir dos fracciones como equivalentes10 parece estar ligada a las

experiencias sobre modelos concretos en un proceso que Post et al. (1985) denominan

“traslación coordinada de las representaciones”, de lo icónico a lo simbólico y viceversa.

Incluso a nivel manipulativo, resulta más fácil la construcción de fracciones

equivalentes a partir de una elemental que la obtención de la fracción irreducible a partir de

otra equivalente dada. Una de las razones de este hecho parece residir en la fuerza que ejerce

9 Una de las manifestaciones de la matemática utilizada como instrumento de poder (en este caso vinculado a la economía) la tenemos en el uso publicitario de los porcentajes. Los ciudadanos no suelen ser capaces de elegir la mejor oferta cuando los productos tienen envases con capacidad diferente, precios diferentes e incluyen porcentajes “gratuitos” diferentes. 10 Y la de identificar y reconocer la importancia de la fracción irreducible como representante.

9

el modelo parte todo. Así, por ejemplo, en la fracción 8/12 se “ve” la unidad dividida en doce

partes de las que se eligen 8 y no 3 de las que se eligen dos. La relación 8/12 es la que está

presente, mientras que resulta necesario “eliminar divisiones” para convertirla en 4/6 ó 2/3 11.

Obviar estas dificultades y pretender el aprendizaje de la equivalencia a través del uso del

algoritmo lleva a prorrogar estos problemas más allá de la educación primaria.

Los modelos que se suelen utilizar para la introducción de la noción de equivalencia

son los de área y conjunto, sin estar claro cuál de los dos resulta más eficaz.

Muy relacionado con el problema de la equivalencia está el orden, aunque los

problemas de ordenación no son exclusivos de las fracciones, ya que también son extensivos

a los decimales.

Dickson et al. (1991) argumentan que los niños no toman conciencia de que, por su

naturaleza numérica, cada fracción ocupa un lugar en la recta y que, por lo tanto, dadas dos

fracciones, o son equivalentes (ocupando el mismo lugar) o una ha de ser mayor que la otra.

Tan sólo en casos muy elementales (fracciones unitarias o de igual denominador) son capaces

de establecer una relación correcta. Para otras fracciones recurren a métodos informales que a

veces son adecuados y, en la mayor parte de los casos, a métodos incorrectos.

Del elenco de razonamientos que puede encontrarse he destacado los siguientes:

a) Comparar por complemento a la unidad (5/8 es 3/8 menor que 1 mientras que 2/3

es 1/3 menor que 1) mediante un uso implícito de la equivalencia (1/3 es 3/9 que

es menor que 3/8).

b) Mediante una fracción “intermedia” cuyos numerador y denominador estén,

respectivamente, entre los numeradores y denominadores dados12.

11 Desde el punto de vista fenomenológico y semántico no es lo mismo 8/12 que 2/3. Por supuesto ambas fracciones representan o pertenecen al mismo número racional, pero existen situaciones cotidianas que dan sentido a una y no a otra. Hay, por ejemplo, botellas de 2/3, cuya capacidad se ha obtenido duplicando las de 1/3. No es lo mismo trocear una tarta en doce partes y tomar 8 que dividirla en 3 y tomar dos; en el primer caso han comido 8 personas, y en el segundo, 2. Notemos que también numéricamente es más fácil obtener fracciones de la irreducible que al revés. 12 López Real (1997) aborda este método como medio de obtención de una fracción entre dos dadas que no siempre conduce a un resultado correcto.

10

c) Comparar usando sólo los numeradores o los denominadores.

d) Extender el algoritmo de la equivalencia (producto de medios igual al producto de

extremos) a desigualdades (a/b<c/d sii ad<bc).

El segundo de los métodos descritos pone de relieve otra dificultad estrechamente

relacionada con el orden: encontrar una fracción entre dos dadas. Esta tarea, basada en la

equivalencia, lleva a situaciones muy curiosas. En un curso anterior13 planteé encontrar una

fracción entre 3/5 y 4/7. Los que abordaron el problema lo hicieron reduciendo a común

denominador y se enfrentaron entonces ante 20/35 y 21/35, ante lo que obtuve una mayoría

de respuestas en alguno de los dos siguientes términos:

• El valor buscado se expresaba como una división entre un decimal, de parte entera

20, y 35.

• Se afirmaba la inexistencia de fracciones intermedias.

En cualquier caso, la dificultad de comparar fracciones está también vinculada a los

números que componen sus numeradores y denominadores.

En cuanto a la ordenación de decimales, los problemas están asociados a una inadecuada comprensión del sistema de numeración decimal. Los errores más comunes son los siguientes:

• Tipo 1 o de número entero (12.4 es menor que 12.17 porque 4 es menor que 17).

• Tipo 2 o de fracción (12.94 y 12.24 son menores que 12.7 porque tienen más decimales).

• Tipo 3 o de cero (es menor aquél que tiene un cero inmediatamente después del punto decimal, caso contrario se aplica la regla descrita en el tipo 1).

1.4 Los problemas de conversión.

Aunque no son específicos de la Educación Primaria, los problemas de conversión

entre fracciones, decimales y porcentajes merecen un tratamiento específico en este tema.

13 A diferencia de los niños de primaria, los estudiantes para maestro sí suelen admitir la existencia de fracciones entre dos dadas; otra cosa distinta es que tomen conciencia de que al elegir un punto sobre la recta, entre otros dos que representan fracciones, la probabilidad de que sea una fracción es la misma que la de que no lo sea.

11

Es probable que los niños de primaria sean capaces de transformar una fracción en

decimal, cuando son conscientes de su interpretación como división de dos números enteros;

también es posible que identifiquen las fracciones decimales cuando les vienen expresadas

como números con coma, pero hay otros aspectos que son fuente de dificultades durante la

Educación Secundaria e, incluso, en la formación de Maestros. Se trata de la conversión en

fracciones de decimales periódicos y la creencia de que todas las expresiones decimales

admiten una representación fraccionaria.

El primero de los aspectos ha sido tradicionalmente abordado de forma algorítmica,

por lo que la ausencia de significado hace que se olvide apenas deja de usarse. El segundo

está en el ámbito de la construcción del número real.

Resulta chocante que, a pesar del estudio del número real que se hace en la Enseñanza

Secundaria, los estudiantes para maestros se apeguen a ideas como:

• 0.9 se aproxima a uno

• Hay una fracción para √2

1.5 Operaciones con fracciones y decimales.

Conviene separar los aspectos computacionales de los referentes al significado de las

operaciones. Los primeros suelen ser introducidos sin haber asegurado los segundos y ello

suele causar un buen número de problemas escolares14.

En cuanto a la adición y sustracción de fracciones, su significado es fácil de

relacionar con la medición, mientras que producto y cociente se asimilan mejor en el ámbito

de los operadores15. En el ámbito de los decimales la adición y sustracción, gracias al soporte

que supone la notación decimal como extensión del sistema de numeración utilizado en los

números enteros, es fácil de ver a través de los modelos de volumen, área y longitud; sin

14 Aunque no soy partidario, de forma general, de esta opción, pueden existir situaciones (necesidad de aplicación inmediata, dificultades de aprendizaje,...) que aconsejen empezar por los aspectos computacionales y entremezclar ambos. 15 Esta cuestión permite reabrir el debate sobre qué modelos o contextos utilizar para introducir las fracciones en la escuela. Si no adoptamos la postura de utilizar diversidad de contextos, corremos el riesgo de favorecer ciertas operaciones en contra de otras.

12

embargo, para el producto y el cociente no valen las ideas de adición reiterada o reparto

(agrupamiento), respectivamente, usados con los números enteros. Así, mientras el producto

puede verse como área o como razón, el cociente ha de verse como inverso del producto.

La forma usual de abordar el significado de la suma de fracciones ha sido mediante la

representación de área. Esta vía, inicialmente más fácil que su alternativa a través de la recta

numérica, presenta sin embargo algunas dificultades:

• Si se usa más de un diagrama, la solución puede referirse a la superficie total16.

• Cuando el total supera una unidad entera se pierde el referente de la unidad.

Estos problemas son eludidos por el modelo de recta numérica, que tiene la ventaja

añadida de poseer estrechos vínculos con los instrumentos de medida usuales.

De las cuatro operaciones elementales parece ser la multiplicación la de introducción

más compleja.

Dependiendo de las fracciones que se multipliquen puede resultar adecuada su

introducción a través de un modelo que represente el área de un rectángulo o combinando

éste con la idea de operador, como indican los ejemplos de la figura:

Siendo bastante similares, el estudio de Green (1970) (citado por Dickson et al.,

1991), mostró que en alumnos de rendimiento medio el segundo resultó menos eficaz que el

primero, manteniendo dificultades similares en cuanto a:

2/3

3/4

2/3 de 3/4

13

a) El producto de una fracción por un entero.El producto de fracciones impropias.

Pero, sin embargo, si focalizamos las aplicaciones en la vida real, las situaciones

relacionadas con producto como operador (por ejemplo los ingredientes de cualquier receta,

cuando se reducen o amplían proporcionalmente respecto de las dosis originales) son más

frecuentes. Ello permite pensar que modelos basados en la idea de operador, como el ideado

por Dienes (1971), puedan ser los más efectivos, sobre todo cuando se trata de una fracción

actuando sobre un entero.

De todas las operaciones con fracciones es la división la que menos situaciones

cotidianas ofrece, limitándose su significado, como se ha dicho, a la operación inversa del

producto, operación con la que a veces se confunde17.

Los argumentos utilizados anteriormente para la suma y resta de decimales son

trasladables para el producto y el cociente. Se dan, sin embargo, en estas operaciones algunas

características que me gustaría resaltar:

• Resultan más comprensibles las operaciones con números mayores que uno.

• Se observa una creencia generalizada de que, por analogía con el producto y

cociente entre números enteros, con los números decimales "multiplicar agranda y

dividir empequeñece".

En relación con los algoritmos, nos encontraremos distinto grado de dificultad si nos

referimos a las fracciones o a los decimales. Así, mientras que los referidos a estos últimos

centran sus dificultades en la ubicación de la coma (sobre todo en producto y cociente), los

algoritmos para operar con fracciones presentan como problema básico la confusión (sumar

con el algoritmo del producto, dividir multiplicando) o utilización de reglas creadas a

similitud de los algoritmos conocidos (p.e. sumar mediante adición de numeradores y

denominadores por separado, a similitud del algoritmo del producto). Todo lo anterior hace

16 Como señalan Dickson et al (1991), este argumento podría servir para justificar el error que cometen los niños al sumar algorítmicamente, haciéndolo por separado con numeradores y denominadores. 17 Muchos estudiantes para maestro tienen serias dificultades para encontrar situaciones resolubles con la operación 1 3/4 :1/2, que la mayor parte de las veces es identificado con un problema de dividir por dos.

14

que algunos autores se planteen que en la Educación Primaria, si no se encuentran medios

significativos de ilustrar las operaciones con fracciones y decimales, la enseñanza de los

algoritmos puede significar una pérdida de tiempo (Dickson et al., 1991), siendo posible

sustituir los procedimientos de cómputo por la calculadora. Pienso que, incluso en ausencia

de situaciones ricas en significado, el conocimiento del algoritmo es necesario. Sin embargo,

pasaría a hacer los cálculos con la calculadora en cuanto me hubiera asegurado de que los

alumnos:

• son capaces de hacer una estimación del resultado,

• utilizan los algoritmos de forma correcta con fracciones elementales y de uso

cotidiano.

Las páginas anteriores han pretendido evidenciar uno de los pilares sobre los que se

sustenta este tema: aspectos vinculados con el aprendizaje de las nociones de fracción,

decimal y porcentaje. El otro pilar es el curricular. Abordaremos ahora los elementos que

caracterizan el tratamiento de esta unidad en Educación Primaria sobre la base de tres

fuentes: el D.C.B. de Primaria, el Decreto de Enseñanzas Mínimas de la Junta de Andalucía y

los Estándares Curriculares del N.C.T.M.

2. Fracciones, decimales y porcentajes en la Educación Primaria

En el D.C.B de Educación Primaria nos encontramos (de forma implícita o explícita)

las fracciones, decimales o porcentajes en distintos bloques. Así, en el bloque 1 (Números y

operaciones) aparecen los siguientes hechos, conceptos y principios:

• Números fraccionarios y decimales. Correspondencias entre fracciones sencillas y

sus equivalentes decimales.

• El tanto por ciento de una cantidad (interpretación y cálculo).

• Proporcionalidad (mitad, tercera parte,...).

• Algoritmos para las operaciones de suma y resta (decimales de hasta dos cifras y

fracciones de igual denominador).

• Cálculo mental y calculadora.

15

En el bloque 2 (La medida):

• Unidades de medida del sistema métrico decimal.

En el bloque 3 (Orientación y representación en el espacio):

• Escalas doble, mitad, triple, tercio,...

En relación con la secuenciación de estos contenidos, se recomienda que los números

fraccionarios se aborden como partes de un grupo o de magnitudes continuas en diferentes

contextos (repartos y medida), que mediante trabajos manipulativos se comience con medios

y cuartos, relacionando el décimo con el Sistema Métrico Decimal y los decimales,

dependiendo de éstos se irán introduciendo los sucesivos submúltiplos del sistema.

Finalmente, en las orientaciones específicas, se hace especial énfasis en al cálculo mental, la

estimación y el uso de la calculadora que, aunque no específicos para este núcleo, parecen

entenderse como muy útiles.

El Decreto de Educación Primaria de la Junta de Andalucía (CEYCJA, 1992) es un

poco más explícito18:

"La aproximación a las nociones de número fraccionario y decimal y las actividades sobre

ellos, requieren competencias cognitivas que los alumnos irán desarrollando al final de la

etapa y que deberán continuarse en etapas posteriores. No obstante, su tratamiento debe

abordarse desde el primer ciclo, naturalmente graduando los niveles de dificultad y

abstracción. Se comenzará por trabajar la fracción como expresión de partes iguales que

conforman una totalidad. De forma gradual se tratarán las relaciones entre las partes y el

todo y el descubrimiento progresivo de sus propiedades ... se abordará la fracción como

relación numérica, aproximándose, tras detectar regularidades en las distintas relaciones, a

nociones de proporcionalidad: doble, triple, cuádruplo, mitad, tercio, ..., posteriormente se

tratará la fracción como resultado de la operación de dividir la unidad en partes iguales y

expresar relaciones entre ellas, permitiendo la comparación y ordenación seriada de los

números fraccionarios. Los operadores se trabajarán sobre la base de las relaciones

18 Resaltaré en negrilla ideas clave que caracterizan los contenidos a tratar.

16

multiplicativas, dotando de significado a las nociones de porcentaje y al uso de los números

decimales. Los números decimales pueden introducirse como casos particulares de

fracciones19. Se establecerán comparaciones y correspondencias entre fracciones sencillas

y sus equivalentes decimales. Gradualmente se trabajará la representación gráfica de estos

valores y su ordenación y clasificación, construyendo la serie de estos números de acuerdo

con las reglas establecidas. El porcentaje puede presentarse como 'n' partes de 100. Se

procurará trabajar estas nociones en contexto, ayudando a los alumnos a elaborar

procedimientos de interpretación, cálculo y comparación de tantos por ciento en casos

sencillos..." (p. 107).

Más adelante, refiriéndose a los sistemas de numeración, establece que en "el

aprendizaje de la lectura y escritura de los números ... se considerará el conocimiento y

empleo ... de los fraccionarios y decimales más comunes" (p. 108).

Finalmente, en el núcleo de conocimiento, orientación y representación espacial, se

alude al uso e interpretación de escalas.

En los niveles 5-8 de los Estándares Curriculares (NCTM, 1991) se aboga por la

multiplicidad de representaciones de los números como paso previo "en la resolución de

muchos de los problemas con los que se encuentra el estudiante" (p. 87). Para que ello sea

posible se recomienda que fracciones, decimales y porcentajes se aborden en situaciones

diversas y significativas, manejando representaciones concretas, icónicas y abstractas, de cara

a potenciar el marco de relaciones así como la toma de conciencia de las ventajas e

inconvenientes de cada representación. También se aboga por el tratamiento de estos

conceptos en estrecha relación con la calculadora, el cálculo mental y la estimación.

Comparto plenamente estas recomendaciones.

En el trabajo con fracciones existen múltiples oportunidades en las que desarrollar un

sentido investigativo de la matemática escolar. Así, “patrones que surgen cuando los

estudiantes examinan decimales finitos y periódicos ... invitan a la exploración: ¿Qué

desarrollos son finitos, cuáles son periódicos y cuáles no periódicos?¿Cuáles son periódicos

19 Al entender la representación decimal como una expresión de una fracción cuyo denominador es una potencia de diez.

17

a partir de una cierta cifra?¿Qué relación se da entre los desarrollos de familias de

fracciones, tales como 1/7, 2/7, 3/7, ..., 6/7?” (p.89).

Se valora como positivo adquirir un conocimiento significativo de fracciones y

decimales en contextos aritméticos y geométricos partiendo de situaciones que lleven a los

alumnos ante la necesidad de los distintos números y de sus diversas expresiones:

“Hacen falta números como √2 ó Π para describir la longitud de la diagonal de un cuadrado

o de la circunferencia de un círculo. Enfrentarse a irracionales como contraejemplos ayuda

a que los estudiantes aprecien los racionales” (p.92)20.

Se sugiere la potenciación de destrezas y formas para comprobar si los resultados de

las operaciones son razonables frente a los tediosos cálculos de lápiz y papel:

“El dominio de un número reducido de hechos básicos con fracciones corrientes y con

decimales contribuye a que los estudiantes estén más preparados para aprender la

estimación y para el desarrollo conceptual y la resolución de problemas. Esta suficiencia en

la suma, la resta y la multiplicación de fracciones y de números mixtos debe limitarse a los

que tengan denominadores simples que puedan visualizarse de forma concreta o pictórica y

puedan darse en contextos del mundo real ...” (p. 96).

Creo interesante, por último, abordar algunos aspectos relacionados con la

secuenciación de estos contenidos en la Educación Primaria. En 1992, MEC y Escuela

Española publicaban dos propuestas de secuenciación de contenidos de las que extraeré las

ideas más relevantes en relación con el tema que estamos tratando.

A excepción de la idea de mitad que aparece en una de las propuestas para el primer

ciclo, todos los contenidos sobre fracciones, decimales y porcentajes se abordan a partir del

segundo ciclo. Se comienza por fracciones sencillas enfatizando el significado a través de las

distintas representaciones gráficas y su uso con las unidades elementales del Sistema Métrico

Decimal. El uso y significado de los números decimales se posterga para el tercer ciclo.

20 Me parece particularmente interesante la idea de consolidar o potenciar la construcción de un concepto con la asociación de ejemplos (especialmente los paradigmáticos) y a través de ejemplos que no se corresponden con él.

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Se sugiere que la primera parte del tercer ciclo se insista en los números fraccionarios,

abordando la equivalencia y el orden, al tiempo que se inician los decimales, introduciendo el

uso de la coma como una necesidad que surge al expresar mediciones del SMD. También

quedan para este ciclo la interpretación y uso de porcentajes.

La suma de decimales puede, según la propuesta, plantearse tan pronto como los niños

se hayan familiarizado con las expresiones decimales, aunque teniendo precauciones con la

suma de centésimas que, al dar décimas, fuerzan a invertir la norma usada con los naturales

(suma de decenas puede dar centenas). La suma de fracciones ayudará a conceptuar mejor la

estructura aditiva de los números racionales, que ayudará a comprender.

La estimación, el cálculo mental, el uso de calculadoras y la resolución de problemas son constantes a través de los tres ciclos.

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