INTEGRAL INDEFINIDA

CURSO: CLCULO II

Integracin Por Fracciones Parciales.Tema:

MTODO DE INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES POR MEDIO DE FRACCIONES PARCIALES

Una funcin racional es el cociente de dos funciones polinmicas, es decir: ,por ejemplo:

, ,

Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), a la funcin racional se le denomina funcin racional propia, en caso contrario se le llama impropia.El mtodo de integracin de funciones racionales se trata de reducir la funcin racional a una suma de fracciones simples (fracciones parciales), como:

Obtenindose integrales inmediatas de la forma:

Si la funcin racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se puede representar como una funcin dada como la suma de un polinomio y de una funcin racional. Es decir

Donde y R(x) es el cociente y el residuo respectivamente que resulta de dividir P(x) entre Q(x).El mtodo de integracin de funciones racionales se trata de reducir la funcin racional a una suma de fracciones simples, obtenindose integrales inmediatas de la forma:

Caso I: Funcin racional propia (Grado [ P(x) ] < Grado [ Q(x) ] )

1er CASO: Factores del denominador son todos de 1er grado (lineales) y ninguno se repite.Si Q(x) = (x q1) (x q2) (x q3)... (x qn) entonces:

Ejemplos

1. Calcular Solucin:El nmero de factores que existan en el denominador indicar el nmero de fracciones que deber separarse. En este ejemplo hay 3 factores en el denominador, lo cual indica que habrn 3 fracciones. En consecuencia:

Al desarrollar se tiene:

Entonces:

Quitando los denominadores se tiene:

Luego tenemos:

Esta ecuacin es una identidad, para todo . En consecuencia habr que igualar los coeficientes de las variables de igual potencia, as:

Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:

Al sustituir los valores en se tiene:

Finalmente en la integral se tiene:

MTODO PRCTICO PARA HALLAR A, B Y C

Teniendo en cuenta el ejemplo anterior tenemos:

En la ecuacin Se hallan los puntos crticos, igualando a cero cada factor del denominador

Se tiene estos valores se sustituyen en (*)As tendremos:

Cuando , se tiene:

Cuando se tiene:

Cuando se tiene:

NOTA:Tambin es posible usar el Teorema de Heaviside para calcular los numeradores de las fracciones parciales, veamos:

Primero debemos desarrollar el denominador:

A cada coeficiente le corresponde un punto crtico, igualando su denominador a cero. En este caso tenemos:

Para A tenemos ; para B tenemos y para C tenemos . Dicho valor de la variable debe reemplazarse en el numerador y en la derivada del deominador de la fraccin original para obtener el valor del coeficiente buscado. Esto significa que:

2. Calcular Solucin:

Ya que el denominador se factoriza como , escribimos

Y buscamos determinar A, B y C. La eliminacin de las fracciones produce

Hallando los puntos crticos:

Al sustituir los valores se obtiene:

Cuando , se tiene: , entonces

Cuando , se tiene: , entonces

Cuando , se tiene: , entonces

Luego se tiene

NOTA:Usando el T. de Heaviside en:

Entonces:

Finalmente en la integral se tiene:

3. Calcular Solucin:

Determinando .

Hallando los puntos crticos:

Entonces tenemos que: Luego:

Finalmente en la integral se tiene:

2er CASO: Factores lineales repetidos.

Si Q(x) = (x q1)m (x q2)n entonces:

Ejemplo:

Calcular Solucin:Ahora la descomposicin toma la forma:

Con A y B por determinar. Despus de quitar fracciones, obtenemos:

Si ahora sustituimos el valor , se obtiene .

y para cualquier otro valor, tal como , y conociendo el valor :

, se tiene . As

3er CASO: Factores lineales, algunos distintos y algunos repetidos

Ejemplos:1. Calcular Solucin:Descomponemos el integrando de la manera siguiente:

Quitando las fracciones esto cambia a

Los puntos crticos son: , Al reemplazar estos valores se obtiene:

Cuando ,

Cuando ,

Luego reemplazando los valores de , y en (1) se obtiene . Entonces:

2.

Solucin:

(1)Calculo de A, B y C:

x 3 = A(x +1)2 + B(x 1) (x + 1) + C (x 1) .(2)

Como esta igualdad se cumple para cualquier x, entonces en particular se cumplir para y x = 1. Es decir.Para x = 1 implica A = Para x = 1 implica C = 2Remplazando los valores de A = y C = 2 y x = 0 en (2) se tiene: 3 = 1/2 + B (1) + 2 ( 1)

B = Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1) tenemos:

4to CASO: Factores cuadrticos irreductibles distintos.Un polinomio es irreductible si no podemos escribirlo como producto de dos factores lineales con coeficientes reales.Si Q(x) = (x q1) (x q2) (x q3)... (x qn) (x2 + a1x + b1) (x2 + a2x + b2) (x2 + amx + bm), entonces:

Ejemplos:1. Calcular Solucin:

Quitar denominador

Por identidad de polinomios, obtenemos el siguiente sistema:

Resolviendo se obtiene : , , C=-3Sustituyendo los valores de A, B y C, se obtiene:

Luego en la integral:

2. Calcular: Solucin:

(1)Calculo de A, B y C:

x = A(x 2 x +1) + (Bx + C) (x +1) (2)

Como esta igualdad se cumple para cualquier x, entonces en particular: Para x = 1 implica A = 1/3Para x = 0, A = 1/3 implica C = 1/3Para x = 1, A = 1/3 y C = 1/3 implica B = 1/3:Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1) se tiene:

(USANDO TABLA)

Caso II: Funcin racional impropia (Grado [ P(x) ] Grado [ Q(x) ])

En este caso de divide los polinomios obteniendo:

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se calcula de acuerdo a los mtodos ya estudiados anteriormente.

Ejemplos:1. Calcular Solucin:

Dividiendo el numerador entre el denominador para obtener un polinomio ms una fraccin propia.

Luego se descompone en fracciones parciales como en los ejemplos anteriores.

2. Calcular Solucin:

Determinando .

Luego:

De donde y Luego:

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Resolver:

1. Semestre 2013-I

Semestre 2013 - 12.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

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23.

24.

II. Resuelve los siguientes problemas aplicando la tcnica de integracin adecuada:1. Una funcin de costo marginal de un fabricante es: Si c est en dlares, determine el costo implicado en incrementar la produccin de 100 a 300 unidades.2. Suponga que la funcin del costo marginal para el producto de un fabricante est dada por: donde C es el costo total en dlares cuando se producen q unidades.a) Determine el costo marginal cuando se producen 50 unidadesb) Si los costos fijos son de 10 000 dlares, encuentre el costo total de producir 50 unidades.3. Se estima que dentro de x aos, el valor de un acre de tierra cultivable aumentar a razn de: dlares por ao. En la actualidad el acre de tierra cuesta US$500. Cunto costar el acre de tierra en 10 aos?

4. Suponga que la funcin del costo marginal para el producto de un fabricante est dada por: , donde C es el costo total en dlares cuando se producen q unidades.a) Determine el costo marginal cuando se producen 50 unidadesb) Si los costos fijos son de 10 000 dlares, encuentre el costo total de producir 50 unidades.5. El propietario de la cadena de perros calientes estima que el precio en dlares de su nuevo producto, salchichas, cambia a razn de: cuando se ofrecen x miles de salchicha por compra. El precio actual es US$ 2,25 por salchicha. A qu precio se ofrecer 4 000 salchichas adicionales?