fracciones
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Las fracciones1 Fracciones equivalentes
En las figuras:
La parte coloreada de azul es la misma, luego15
6
5
2
15
6
5
2
1 2 3 4 5 3 6 9 1215
Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo.
4,05
2
4,015
6
Dos fracciones son equivalentes si losproductos del numerador de cada una de ellaspor el denominador de la otra son iguales.
También podemos observar que: 2 · 15 = 5 · 6 15
6
5
2
Los productos cruzados son iguales
cbdad
c
b
a··
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2 Distintos modos de escribir una fracción
Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:
2
16
3
4
2
Las fracciones6
3y
4
2son fracciones ampliadas de
2
1y equivalentes a ella.
Observa:
16
12
8
6
4
3
Las fracciones4
3y
8
6son fracciones reducidas de
16
12y equivalentes a ella
Es evidente que:4
3
4:16
4:12
8
6
2:16
2:12
16
12 Fracción irreducible:
no se puede reducir más.
Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.
Son equivalentes:3
1
6:18
6:6
54
18
36
12
18
6 irreducible
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3 Simplificación de fracciones
En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales. Las fracciones que representan son equivalentes.
16
12
8
6
Este proceso se denomina simplificación de fracciones.
Observa que:16
12
Ejemplo:5
3
40
24
400
240
8
6
2:16
2:12
4
3
4:16
4:12
4
3
16
12Hemos transformado la fracción en ,
4
3que es equivalente a ella e irreducible.
Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello se dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.
Dividiendo por 8
Dividiendo por 10
3 y 5 son primos entre sí.
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4 Reducción de fracciones a común denominador
Reducción de dos fracciones a común denominador:
Ejemplo:
5
2y
4
3Las fracciones:
20
15
4·5
3·5
4
3
20
8
4·5
4·2
5
2
Hemos multiplicado los dostérminos de cada fracción por
el denominador de la otra.20 es múltiplo de 4 y 5
Reducción de tres fracciones a común denominador:
Ejemplo:
4
3y
6
5 ,
3
172
24
3·(6·4)
1·(6·4)
3
1
72
60
)4·3·(6
)4·3·(5
6
5
Hemos multiplicado los dostérminos de cada fracción por
los denominadores de las otras.72 es múltiplo de 3, 6 y 4.
72
54
)6·3·(4
)6·3·(3
4
3
En general, para reducir varias fracciones a común denominador: se multiplican los dos términos de cada fracción por los denominadores de las demás.
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5 Reducción de fracciones a mínimo común denominador
Las fracciones4
3y
6
5 ,
3
1son equivalentes a:
72
54y
72
60 ,
72
24
12
9y
12
10 ,
12
4reduciendo
El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4. Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.
Veamos otro ejemplo:3
2y
12
5 ,
8
7Reducir a mínimo común denominador
1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24 2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3:
24 : 8 = 3
24 : 12 = 2
24 : 3 = 8
24
21
24
3 · 7
8
7
3
24
10
24
2 · 5
12
5 2
24
16
24
8 · 2
3
2 8
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6 Comparación de fracciones
Con el mismo denominador:
8
3 Si dos fracciones tienen elmismo denominador, es mayorla que tiene mayor numerador
8
5 8
3
8
5
5
4 Si dos fracciones tienen elmismo numerador, es mayor
la que tiene menor denominador7
4 7
4
5
4
Con el mismo numerador:
Con numeradores y denominadores distintos:
Comparamos:5
4y
6
5
Reducimos a común denominador:30
25
6
5
30
24
5
4
Como30
24
30
25
5
4
6
5
Para comparar dos fracciones cualquiera
se reducen a comúndenominador.
Será mayor la que tenganuevo mayor numerador.
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7 Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador:
8
4
8
13
8
1
8
3
Con distinto denominador:
Se reducen antes a común denominador:
5
4
6
5
Para sumar o restar fracciones con distintodenominador, se reducena común denominador y
se suman o restan lasfracciones obtenidas.
Se han sumado los numeradoresSuma
5
1
5
34
5
3
5
4
Se han restado los numeradoresResta
Suma30
49
30
2425
30
24
30
25
3
2
8
7Resta
24
5
24
16-21
24
16
24
21
8
1
8
3
1/55
3
5
4
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8 Suma y resta de fracciones. Ejercicios 1 y 2
Ejercicio 111
6
11
8
11
7
Para sumarlas hay que reducirlas a común denominador:
Calcula:
10
7
5
4
9
2
Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores.
11
9
11
687
11
6
11
8
11
7
Ejercicio 2 Calcula:
Como 9 = 32, 5 = 5 y 10 = 2 · 5, el m.c.m (9, 5, 10) = 32 · 2 · 5 = 90.
Luego:
90
9 · 7
90
18 · 4
90
10 · 2
10
7
5
4
9
2
90
29
90
637220
90
63
90
72
90
20
90 : 9 = 1090 : 5 = 18
90 : 10 = 9
El numerador será el mismo.
Luego:
Observa que cada numerador se multiplica por el cociente entre el m.c.m
(90) y los denominadores respectivos
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9 Suma y resta de fracciones. Ejercicio 3
Ejercicio 3
Por tanto:
13860 : 11 = 1260
Escritos en factores: 11 = 11, 20 = 22 · 5, 9 = 32 y 35 = 5 · 7
13860
·17
13860
·5
13860
·11
13860
·13
35
17
9
5
20
11
11
13
13860
9725
13860
67327700762316380
35
17
9
5
20
11
11
13 Calcula:
Calculamos el m.c.m de los denominadores:
Luego, m.c.m (11, 20, 9, 35) = 11· 22 · 5 · 32 · 7 = 13860
Observa:13860 : 20 = 693
13860 : 9 = 154013860 : 35 = 396
1260 693 3961540
Sumando o restando los numeradores, queda:
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10 Suma de un número entero y una fracción
4
12
Para sumar un número entero y una fracción:1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo porel denominador de la fracción.2º. Se suman como dos fracciones de igual denominador.
Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro:
2
+
4
1+
4
1+4
8
+
4
9=
Observa que:4
8
4
4 · 22
Otro ejemplo
8
125 Calcula: 8
13
8
125
8
25
8
1
8
24
8
1
8
8 · 3
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11 Resta de un número entero y una fracción
7
51
Tenemos un rectángulo completo y deseamos quitarle cinco séptimos del mismo:
7
5
17
7
7
5
7
2
7
2
7
5
7
7
7
51 Luego:
Para restar un número entero y una fracción:1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo porel denominador de la fracción.2º. Se restan como dos fracciones de igual denominador.
Otro ejemplo 32
9Calcula:
2
2 · 3
2
93
2
9
2
3
2
6
2
9
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12 Fracción opuesta
Dada la fracción , ¿qué fracción sumada con ella da 0?7
4
Si se elige , la suma es:7
4
07
0
7
)4(4
7
4
7
4
Las fracciones y se dice que son fracciones opuestas.7
4
7
4
La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada.
Dos fracciones son opuestas cuando su suma es 0.
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13 Multiplicación de fracciones
Producto de una fracción por un número entero:
Producto de dos fracciones:
3por 8
2
x 3
8
2
8
2
8
2
8
6+ =+=
Para multiplicar una fracción por un número entero se multiplica elnumerador por ese número; el denominador se deja igual
8
3 · 23 ·
8
2
8
3 · 2
Cartulina
4
3
coloreamos
20
65
2recortamos
5 · 4
2 · 3
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo:Numerador es el producto de los numeradores.Denominador es el producto de los denominadores.
![Page 14: Fracciones](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022062419/559056e11a28ab4b4b8b4629/html5/thumbnails/14.jpg)
14 Fracciones inversas
Observa: 16
6
2
3 ·
3
2 El producto
Lo mismo pasa con los productos:7
4 ·
4
7
1
5 ·
5
1
128
28
7 · 4
4 · 7
15
5
1 · 5
5 · 1
Todos los pares de fracciones dadas son inversas.
Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la unidad.
Habrás observado que para hallar la inversa de una fracción basta con intercambiar sus términos (con darles la “vuelta”).
Así, la inversa de 9
4 será
4
9
Ejercicio14
6 a)
21
9 b)
7
4 c) ?
3
7 ¿Cuál de las siguientes fracciones es inversa de
,142
42
14
6 ·
3
7 Como a) las dos fracciones son inversas.
.163
63
21
9 ·
3
7 b) Ambas fracciones son inversas.
Observa que las fracciones
7
3y
21
9 ,
14
6
son equivalentes,1
21
28
7
4 ·
3
7 Como c) las fracciones no son inversas.
![Page 15: Fracciones](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022062419/559056e11a28ab4b4b8b4629/html5/thumbnails/15.jpg)
15 División de fracciones (I)
Contesta:
Por lo mismo:
¿Qué número multiplicado por 8 da 24? ? · 8 = 24 ? = 3
Observa que: ? · 8 = 24 ? = 24 : 8
Está multiplicando Pasa dividiendo
? = 3
11
3
5
2 ·
?
? ?
?es equivalente a
5
2 :
11
3
?
? ?
?
Luego, multiplicar por una fracción equivale a dividir por su inversa. Y viceversa: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa.
Por tanto:5
2 :
11
3
?
? ?
? 11
3
5
2 ·
?
? ?
? 11
3
5
2 ·
?
? ?
? 2
5 ·
2
5 ·
22
15 1 ·
?
? ?
?En definitiva:
22
15
?
? ?
?
![Page 16: Fracciones](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022062419/559056e11a28ab4b4b8b4629/html5/thumbnails/16.jpg)
16 División de fracciones (II)
Para hallar el cociente de dos fracciones se multiplica la primera por la fracción inversa de la segunda.
Hemos visto que:5
2 :
11
3
?
? ?
?
Luego:
22
15
2
5 ·
11
3
?
? ?
?
Por tanto:22
15
2 · 11
5 · 3
2
5 ·
11
3
5
2 :
11
3
O bien:5
2 :
11
3
22
15
2 · 11
5 · 3
Ejemplo:7
6 :
5
3
30
21
6
7 ·
5
3
El producto cruzadoes más rápido
7
6 :
5
3
30
21
6 · 5
7 · 3 Utilizando el producto cruzado:
inversas
inversas