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TEMA:

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.

I. Resolver las siguientes situaciones:

1) Uniendo los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero, cuya área es de 16 cm2 se obtiene un segundo triángulo equilátero; repitiendo la construcción con este segundo triangulo se obtiene un tercero y así se prosigue indefinidamente. Hallar la suma de todas las áreas de los triángulos obtenidos por el procedimiento descrito, cuando el número de ellos tiende al infinito.

2) Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de ocho cortes. ¿Cuántos trocitos de papel habrá?

3) Un círculo tiene un diámetro de 2 m; un segundo círculo tangente exterior al primero tiene un diámetro de 1m, un tercer circulo, tangente exterior al segundo (y con el centro alineado con el del primero) tiene un diámetro igual a 1/2 m; si se continúa indefinidamente construyendo círculos en las mismas condiciones. ¿Cuánto suman las áreas de estos infinitos círculos?

4) Tres madres impacientes esperan consulta con niños de 1; 37 y 289 días de nacido. El médico para entretenerlas, les pide que averigüen dentro de cuantos días las edades de sus niños estarán en progresión geométrica.

5) Un balón es lanzado desde cierta altura. Si se sabe que en cada rebote pierde 1/4 de su altura y luego del tercer rebote se encuentra a 54 m, ¿desde qué altura fue lanzado?

6) Si en el problema anterior, el balón perdiera 2/3 de su altura, ¿a qué altura estará luego del cuarto rebote?

7) Juan Durango ahorra cada año 4/5 de los que ahorró el año anterior. Si el quinto año ahorró S/ 10240, ¿cuánto ahorró en 5 años?

8) La población de una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 100000 habitantes en el año 2011 a 111110 en el año 2016. ¿Cuál es la razón del crecimiento por año?

9) En cierta enfermedad el organismo es atacado por unas bacterias que se reproducen partiéndose en dos cada 24 horas. Si inicialmente se han introducido en el cuerpo 10000 bacterias. ¿Cuantas habrá al quinto día? ¿Y al décimo día?

10) Un auto último modelo cuesta 24000 dólares. Si se deprecia anualmente en 2/25 de su valor, ¿Cuánto costará al finalizar el sexto año?

11) Constantín, Benjamín y Calín tiene S/20, S/50 y S/100 respectivamente. Si cada uno recibe una misma cantidad, sus montos se encontrarán en progresión geométrica. Halla la razón de la progresión.

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12) Uniendo los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero, cuya área es de 16 cm2 se obtiene un segundo triángulo equilátero; repitiendo la construcción con este segundo triangulo se obtiene un tercero y así se prosigue indefinidamente. Hallar la suma de todas las áreas de los triángulos obtenidos por el procedimiento descrito, cuando el número de ellos tiende al infinito.

13) Las ganancias de un almacén han sido cada año 1/3 de lo ganado el año anterior. Si el primer año las ganancias fueron de S/ 1215, ¿Cuánto produjo de ganancia el tercer año?

14) ¿Qué distancia recorre una bola hasta quedar en reposo si se deja caer desde una altura de 50 m. y en cada rebote la bola se eleva 2/3 de la altura desde la cual cayó la última vez?

15) Al segundo día de haber llenado un depósito con 4096 litros de agua, se saca la mitad de su contenido. Al día siguiente se vuelve a sacar la mitad de lo quedaba, y así sucesivamente todos los días. ¿Cuántos litros de agua se saca el undécimo día?

16) Se deja caer una pelota desde cierta altura. Si en cada rebote pierde 1/3 de su altura anterior y luego del quinto rebote se encuentra a 27 cm. del piso, ¿cuánto suman las alturas recorridas?

17) A Cristina se le ocurrió cortar cuadraditos de cartón. El primero lo hizo de 4 cm2 de superficie; el segundo, del doble de longitud por cada lado; el tercero, el doble de la longitud de los lados del segundo cuadrado, y así sucesivamente hasta tener 6 piezas. ¿Cuál es el área de la superficie de las piezas obtenidas?

18) Una hoja de papel tiene 0,01 cm. de espesor. Se rompe por la mitad y se superponen los trozos. Si este proceso se repite 18 veces, ¿cuál será la altura del montón?

19) Aldo envía un correo a dos amigos pidiéndoles que cada uno reenvíe una copia a otros dos amigos, y así sucesivamente. Luego de 10 envíos, ¿cuántas personas habrán recibido una copia de dicho correo?

20) Sobre un tablero de ajedrez se colocan algunos granos de trigo del siguiente modo: en el primer cuadrado se coloca un grano, en el segundo el doble que en el primero, en el tercero el doble que en el segundo y así sucesivamente. ¿Cuántos granos de trigo serán necesarios para cubrir los 64 casilleros del tablero?

21) En cierta oportunidad, Maritza criaba conejos. Inicialmente se compró 3; al mes se duplicó esta cifra y así cada siguiente mes se duplicaba la cantidad. ¿Después de cuantos meses tiene 192 conejos?

22) Al abrirse las inscripciones de una prestigiosa universidad, se observa que en el transcurso de los 8 días que duró la inscripción el comportamiento fue el siguiente: 8 se inscribieron el primer día; 24, el segundo; 72, el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuál fue el total de inscritos?

23) Las edades de tres hermanos están en progresión geométrica, siendo el menor de 7 años. Si la edad del mayor excede en 7 a la suma de las edades de los otros dos; calcular la edad del intermedio.

24) Hace algunos años un pueblo tenía 10000 habitantes, sin embargo, en la actualidad sólo tiene 6561. La disminución anual ha sido la décima parte de los habitantes. Hace cuantos años dicho pueblo tenía 10000 habitantes?

25) A las 9 de la mañana, a Isabel y Santiago les han contado un secreto. Cada uno de ellos, al cuarto de hora, se lo han contado a tres amigos que no lo sabían y que, un cuarto de hora después, se lo habían contado a otros tres amigos. Éstos a su vez, lo vuelven a contar a otros tres, y así sucesivamente cada cuarto de hora. ¿Cuánta gente lo sabrá a las 2 de la tarde?