Deduccin alternativa de las frmulas de la aceleracin tangencial y normal

En la figura, la partcula se encuentra en el instanteten el punto P, formando un ngulocon el eje X.El vector posicinrde la partcula esr=xi+yj=rcosi+rsenjEl vector velocidadvse obtiene derivando el vector posicin respecto del tiempo

El vector aceleracin se obtiene derivando el vector velocidad

El vector aceleracin tiene dos componentes, que podemos expresar en virtud de lasrelaciones entre magnitudes angulares y linealesde dos formas.La componente radial est dirigida hacia le centro de la circunferenciaan=2r=v2/r,La componente tangencial tiene la direccin de la velocidad, tangente a la trayectoriaat=r=dv/dt.

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????Movimiento circular uniforme. Aceleracin normalConsideremos que una partcula describe un movimiento circular de radiorcon velocidad constantev.

La partcula se encuentra en la posicin A en el instantet-t/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) esv1. La partcula se encuentra en la posicin simtrica B en el instantet+t/2 y su velocidad esv2.Coloquemos los dos vectores velocidadv1yv2que tienen la misma longitudvcon vrtice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferenciav=v2-v1. Componente normal(v)n=v2sen-v1sen(-)=2vsen Componente tangencial(v)t=v2cos-v1cos(-)=0Por tanto el vectorvesparalelo a la direccin radial PO, y est dirigido hacia el centro O.Como la partcula recorre el arco AB de ngulo 2con velocidadvconstante.

El valor medio de la componente normal de la aceleracin es por tanto,

La componente normal de la aceleracin instantnea es el lmite de la aceleracin media cuando el intervalo de tiempot0, o bien cuando0. En este lmite, sen/1 y por tanto, la componente normal de la aceleracin en el instanteto en el punto P es

Naturalmente, la componente tangencial de la aceleracin es cero en dicho instante,at=0.