Medici󮠍 del volumen de un objeto

El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto, dependerᠤ el estado en que se encuentre: gaseoso, lido o s󬩤o.

En el caso de nubes gaseosas el volumen varconsiderablemente seg? temperatura y presi󬩤tambi 鮠depende de si est o no contenido en un recipiente y, si lo estᬠ adoptarᠬ a forma y el tama󬩤 de dicho recipiente. Si la masa gaseosa estᠤ isuelta en la atm󬩤ra, es difl precisar qu 頳 e entiende por volumen.

Para medir el volumen de un lido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.

Algunos s󬩤os tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometrcl ca. Por ejemplo, el volumen deᳩ un s󬩤o puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometr 

Midiendo sus dimensiones, y aplicando una f󬩤la adecuada, podemos determinar su volumen. Asel volumen de un paralelepdo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un v 鲴 ice y multiplic �ᮤolas; el cubo es un caso especial de paralelepdo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.

En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pir᭩des. Estos cuerpos geom 鴲 icos tienen una caracterica que los agrupa: el volumen de los paralelepdos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su aᲥ basal por la medida de su altura y en el caso de las pir᭩des y conos, (tambi 鮠 rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del a basal y su altura.Ქ   La esfera es un caso especial, ya que su volumen es

Si un s󬩤o tiene una forma a la que no es posible aplicar alguna f󬩤la conocida, se pueden aplicar otros procedimientos tales como el principio de Cavalieri o el m 鴯do de desplazamiento de agua, en el cual dicho desplazamiento es provocado por un cuerpo al sumergirlo en un recipiente con agua.

El volumen de un cuerpo es un n? que indica la cantidad de espacio que 鬠ocupa. Este n? se acompa󬩤or una unidad de medida pertinente que permite dimensionar el volumen medido.

Volumen en cuerpos poli 餲 icos regulares

El volumen de un cuerpo regular es un n? que se obtiene comparando el volumen del cuerpo con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y por definici󬩤 su volumen serᠱ. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo serᠩ gual al n? de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo, considerando el cubo unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto est ᠦ ormado por 25 cubos

unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25 unidades de volumen .

 

Unidades de medida del volumen

Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el n? que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centtro o un metro, un kil󬩤ro, etc. Por definici󬩤 su volumen tendrᠥ l valor 1, acompa󬩤 de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centtro c? y se abrevia por 1 cm3 .

Volumen del cubo unidad = 1 cm3

En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen mutilizadas: ᳠  

Arista del cubo

unidad  

Unidad de Volumen

asociada  

Abreviatura 

1 Miltro   Miltro c?   mm3  

1 Centtro   Centtro c?   cm3  

1 Dectro  Dectro c? dm3  

1 Metro   Metro c?   m3  

1 Dec᭥tro Dec᭥tro c?   Dm3  

1 Hect󬩤ro   Hect󬩤ro c?   Hm3  

1 Kil󬩤ro   Kil󬩤ro c?   Km3

Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centtro c?o, entonces todos los vol?s obtenidos a partir de 鬠 estar ᮠ en centtros c?s. Se sigue la misma analogsi el cubo unidad tiene otra unidad de volumen.

Medici󮠍 del volumen de algunos cuerpos simples con dos caras paralelas

Volumen de un cubo

Un cubo es cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada v 鲴 ice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.

El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:  

 

Vcubo=(3cm)3 = 33 cm3 = 27cm3

Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se calcula a trav 鳠de la f󬩤la:

 

El volumen a ? a ? a = a3 de un cubo se puede tambi 鮠 definir como el producto del a de la cara basal Ქ a ? a por la altura a, es decir:

V = a ? a ? a= (a ? a ) ? a =  a2 ? a  =  a3

Volumen de un paralelepdo

Un paralelepdo es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura del cuerpo entonces es le denomina paralelepdo recto, en caso contrario se trata de un paralelepdo oblicuo.

El volumen del paralelepdo recto se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes a un v 鲴 ice. Por ejemplo, si las aristas de un paralelepdo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen del mismo se obtiene multiplicando 2 ? 3 ? 6:

Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un v 鲴 ice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a trav 鳠 de la f󬩤la:

 

El volumen a ? b ? c de un paralelepdo recto se puede tambi 鮠 definir como el producto del a de la cara basal Ქ a ? b por la altura c, es decir:

  V = (a ? b ) ? c =  a ? b  ? c

El procedimiento para calcular el volumen de un paralelepdo oblicuo varrespecto al del paralelepdo recto s󬩤 en que la altura debe medirse en la perpendicular levantada desde el

plano que contiene a base inferior hasta alg? punto de la base superior, como muestra la la roja en la figura adjunta.

Si las aristas de un paralelepdo oblicuo son 2, 3 y 4 cm (como muestra la figura adjunta) entonces su  volu?men se obtiene multiplicando el aᲥ de la base (2 ? 3 = 6) por la altura del mismo (6 ? 4  = 24), es decir:

 

Por lo tanto, si las aristas de la base de un paralelepdo miden a y b, y su altura mide h entonces su volumen se calcula a trav 鳠 de la f󬩤la del paralelepdo recto:

 

El volumen a ? b ? h de un paralelepdo oblicuo de aristas basales a, b y altura h tambi 鮠 se puede definir como el producto del a de la cara basal Ქ a ? b por la altura h, es decir,

V = (a ? b ) ? h =  a ? b ? h

Volumen de un cilindro recto

Un cilindro recto, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pertenecen a un segmento de recta perpendicular a ambos culos, y por una superficie que las rodea por su borde, como muestra la figura adjunta.

El volumen de un cilindro recto de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el a de la circunferenciaᲥ basal por la altura h.

Sabemos que el a de un cᲥ ulo de radio r es:

Aculo  =  p ? r2

El volumen del cilindro cuya base es el culo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el a de dicho cᲥ ulo por la altura del cilindro, es decir:

Vcilindro  =  Aculo  ? h              o sea:              

El volumen p ? r2 ? h de un cilindro recto de base circular (con radio r) y altura h tambi 鮠 se puede definir como el producto del a de la cara basal Ქ p ? r2 por la altura h, es decir,

V = (p ? r2) ? h = p ? r2 ? h

Volumen de un cilindro oblicuo de base circular

Un cilindro oblicuo, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pasan por un segmento de recta que, a diferencia del cilindro recto, no es perpendicular a ambos culos, y rodeado por una superficie que ajusta a los culos, como muestra la figura adjunta.

El volumen de un cilindro oblicuo de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el a de laᲥ circunferencia basal por la altura h.

Sabemos que el a de un cᲥ ulo de radio r es:

  Aculo  =  p ? r2

El volumen del cilindro cuya base es el culo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el a de dicho cᲥ ulo por la altura del cilindro, es decir:

Vcilindro  =  Aculo  ? h              o sea:              

Podemos resumir el cᬣ ulo del volumen de paralelepdos y cilindros en el siguiente esquema:

Medici󮠍 del volumen de algunos cuerpos simples con s󮠍una cara de base

Las pir᭩des

Una pir᭩de es un poliedro formado por un polno, llamado base, y por caras laterales triangulares con un v 鲴 ice com?amado v 鲴 ice de la pir᭩de. Dependiendo del n? de lados del polno base (o equivalentemente del n? de caras laterales) se clasifican en pir᭩des triangulares, cuadrangulares, etc.

 Volumen de una pir᭩de recta de base cuadrada

Una pir᭩de recta de base cuadrada es aquella cuya base es un cuadrado de lado a y en la que el segmento bajado desde el v 鲴 ice de la pir᭩de es perpendicular al plano de su base. Adem la longitudᳬ h de ese segmento se llama altura de la pir᭩de. Ver figura adjunta:

El volumen de la pir᭩de recta de base cuadrada se obtiene dividiendo por tres al producto entre su a basal Ქ a2 y su altura h, es decir:  

Volumen de una pir᭩de oblicua de base cuadrada

Una pir᭩de oblicua de base cuadrada es  aquella cuya base es un cuadrado de lado a y en la que el segmento bajado desde el v 鲴 ice de la pir᭩de hasta su base no es perpendicular al plano de la base. La perpendicular bajada desde el v 鲴 ice de la pir᭩de hasta su base (o al plano que contiene a la base) se llama altura de la pir᭩de. En la figura adjunta, la altura tiene longitud h.

El volumen de la pir᭩de oblicua de base cuadrada se obtiene de manera an ᬯ ga al de las pir᭩des rectas, usando la misma f󬩤la, es decir:

 

Volumen de conos rectos

La figura siguiente muestra un cono recto de radio basal r y altura h. La base del cono es un culo, cuya a es: Ქ

Aculo  =  p ? r2

El volumen del cono recto corresponde a la tercera parte del producto entre el a de su base y su altura, es decir:Ქ

 

   

Volumen de conos oblicuos

El cᬣ ulo del volumen en los conos oblicuos es anᬯ go al de los cilindros rectos. Podemos observar en la figura adjunta, un cono oblicuo de altura h y radio basal r. Su volumen se obtiene, una vez m de manera anᳬ ᬯ ga al del cono recto y su f󬩤la es la misma:

 

 

Podemos resumir el cᬣ ulo del volumen de pir᭩des y conos en el siguiente esquema:

Medici󮠍 del volumen de la esfera

El volumen de una esfera de radio r se obtiene a trav 鳠 de la  f󬩤la:

 

Arqudes ide m 鴯 do simple para determinar el volumen de la esfera. Imagin a semiesfera, un cono y un cilindro juntos. Supuso que la esfera tenradio R y tanto el cono como el cilindro con el mismo radio basal R. Tambi 鮠 supuso que las alturas del cono y el cilindro med R como muestra la siguiente figura:

 

De estas figuras, son conocidos los vol?s:

- Del cilindro: radio R y altura R, o sea  p?R2?R = p?R3  

- Del cono: radio R y altura R, o sea  (p?R2?R )/3 = (p?R3)/3

Luego cort s tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y a una distancia d de la parte superior de las figuras. Luego se pregunt mo ser las secciones determinados por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro:

 

La secci󮠍el cilindro

En el cilindro la secci󬩤ue determina el plano es claramente un culo de radio R y su a es: Ქ

 

La secci󮠍e la semiesfera

 En la semiesfera, la secci󬩤ircular que determina el plano que corta a la semiesfera, tiene un radio r (menor a R ) que depende de la distancia d. La siguiente figura muestra la situaci󬩤

 

 

El a del cᲥ ulo de radio r, es:

Adem usando el ᳬ Teorema de Pit᧯ras, en el triᮤ�ulo rectᮤ�ulo de lados R , d y r  se cumple que:

La secci󮠍n el cono

El cono que consider qudes, tiene altura y radio basal R, por lo tanto el triᮤ�ulo formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectᮤ�ulo e is󬩤les. Por semejanza de triᮤ�ulos, el circulo que determina el plano que corta al cono tiene radio d. La siguiente figura lo muestra:

 

En el cono, la secci󬩤ue determina el plano, es un culo de radio d y su a es: Ქ  

Juntando las f󮠍las

Hasta ahora sabemos que:

pero de la semiesfera obtuvimos que:

Si en el a del cilindro reemplazamosᲥ   R2  por  r2 + d2  entonces tendremos que:

Es decir, la suma de las as de las secciones del cono y la semiesfera es igual al a Ქ Ქde la secci󬩤el cilindro.

Esto ocurre para cualquier valor de d, por lo tanto, si consideramos las secciones (que forma el plano al cortar las figuras) como rebanadas finas, para cada trde rebanadas tendros que:

Rebanada del cilindro = Rebanada de la semiesfera + Rebanada del cono

De la relaci󬩤nterior podros suponer entonces que:  

Volumen del cilindro = Volumen de la semiesfera + Volumen del cono

y si reemplazamos en esta relaci󬩤as f󬩤las conocidas del volumen del cono y el cilindro, entonces es posible determinar el volumen de la semiesfera:

 

Despejando,

Por lo tanto, el volumen de la esfera es el doble del de la semiesfera:

 

El m 鴯 do de Arqudes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso. Arqudes qued n maravillado con 鬬 que dispuso grabar en su tumba esta figura, en recuerdo de su  idea:

 

Clasificaci󮠍 de los cuerpos

 Se puede observar del diagrama que a partir de esta clasificaci󬩤 existen b camente tres formas de calcular su volumen: el de los cilindros, el de las ᳩpir᭩des y el de la esfera.

Medici󮠍 del volumen en cuerpos no regulares

Por desplazamiento de lido

Cuando un s󬩤o no tiene una forma geom 鴲 ica que permita determinar por cᬣ ulo su volumen, se mide 鳴 e directamente. El procedimiento se le atribuye a  Arqudes.

Supongamos que se desea saber el volumen de una piedra peque󬩤Por lo general las piedras tienen una forma muy irregular, por lo que es muy difl calcular su volumen compar �ᮤolo con un cubo unidad. En estos casos se calcula su volumen por desplazamiento de agua.

En un recipiente graduado vertemos un lido y, a continuaci󬩤 sumergimos en 鬠 el s󬩤o cuyo volumen deseamos conocer. El aumento de nivel del lido nos permitirᬠ por sustracci󬩤 determinar el volumen del s󬩤o. Normalmente el lido empleado serᠡ gua, pero si el s󬩤o se disuelve en ella (por ejemplo la sal o el az? usaremos otro lido que no

disuelva al s󬩤o.  

El siguiente diagrama muestra un objeto irregular y un recipiente con 9 centtros c?s de agua. La cantidad de agua debe ser la suficiente para que el objeto pueda ser sumergido en ella.

Se introduce el objeto en el recipiente y se mide el desplazamiento de agua que provoc󬩤font>

Al introducir el objeto al recipiente el agua subi nivel marcando un volumen de 11 cm 3. Antes de introducirlo el volumen del agua marcaba 9 cm 3 por lo que la diferencia de volumen se debe al objeto.

El volumen del objeto se obtiene restando el volumen del agua, con el objeto, menos el volumen del agua sin el objeto:

 V   =  11 cm 3    -     9 cm 3    =    2 cm 3

Por lo tanto el objeto tiene un volumen de 2 cm 3.  

Este m 鴯 do es bastante sencillo, pero es ?s󬩤para objetos peque󬩤que no absorben el lido en el que son sumergidos. No es posible usarlo para medir el volumen de una pir᭩de Egipcia, por ejemplo.

Principio de Cavalieri

Otra manera de conocer el volumen de un s󬩤o cuando no tiene una forma geom 鴲ica que permita calcular su volumen a trav 鳠 de las f󬩤las vistas es usa. Veamos un ejemplo que visualiza este principio.

Usando tres montoncitos de 15 fichas (monedas de $10 u objetos similares, todos iguales) y una cinta de cartulina cuyo ancho sea mayor que el di᭥tro de las fichas, ordena las fichas en 3 pilas de modo que s󬩤una sea recta y las otras dos sean oblicuas o sinuosas y a continuaci󬩤asa la cinta entre las fichas a la misma altura en las tres pilas.

 

 

Notar que las as de las fichas que tocan la cinta son iguales para las tres pilas y si ᳠ Ქpasas la cinta a cualquier otra altura, las as de las fiᲥ chas siguen siendo iguales. El Pricipio de Cavalieri asegura que si esto ocurre para cualquier altura entonces las tres pilas tienen el mismo volumen.