Instituto Universitario Tecnológico

“Antonio José de Sucre”

Extensión Barquisimeto

Construcción Civil

Bachiller:

Adriana, Ordóñez

Sección: S5

Barquisimeto; Junio 2015

Las Formas indeterminadas

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

00∞∞

0.∞ 1∞00∞0+∞−∞

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

limx→c

f (x)g(x )

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente Indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a  , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0,   o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

Ejemplos:

limx→0

sin xx

=00

limx→0

x2

x=0

0

La forma ∞ /∞

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

limx→+∞

ex

x=+∞

+∞

limx→+∞

√ xln x

=+∞+∞

La forma indeterminada 0.∞

limx→0+¿ x . ln x=0.(−∞)¿

¿

limx→

π2

cos x . tan x=0.∞

Diferencias Indeterminadas

En los casos en que el límite de una diferencia es ∞, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞−∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia Indeterminada

La forma 00

limx→ 0+¿ x x= lim

x→0+¿ eln xx= lim

x→ 0+¿ex lnx=e

limx→0+¿¿ ¿

¿ ¿¿¿¿

¿¿¿

La forma ∞0

La forma 1∞

Ejemplo:

limx→ 0+¿ x

( 3

4+ ln x)¿

¿, Es de la forma 00; considerando

y=x( 3

4+ ln x ) Y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

ln y= 34+ ln x

ln x Aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

ln y=3.

1x1x

=3 De manera que el límite sería

  limx→ 0+¿ y=e3¿

¿

 

División por cero

Representación gráfica de la función y = 1/x. Cuando x «tiende» a 0+, y se “aproxima” a más infinito.

En matemáticas, la división por cero es aquella división en la que el divisor es igual a cero. En aritmética y álgebra, es considerada una «indefinición» o «indeterminación» que puede originar paradojas matemáticas.

En los números naturales, enteros y reales, la división por cero no posee un valor definido, debido a que para todo número n, el producto n · 0 = 0, por lo que el 0 no tiene inverso multiplicativo. En otros cuerpos matemáticos, pueden existir divisores de cero, sin embargo, estos aparecen cuando el cero es el dividendo, no el divisor.

Tabla de formas indeterminadas

Formas indeterminadas

CondicionesTransformación

a 0/0Transformación a

∞ /∞

00

limx→c

f ( x )=0 , limn→∞

g (x )=0___ lim

x→c

f (x)g(x )

=limx→c

1g (x)

1f (x )

∞∞

limx→c

f ( x )=∞ , limn→∞

g ( x )=∞limx→c

f (x)g(x )

=limx→c

1g (x)

1f (x )

___

0.∞limx→c

f ( x )=0 , limn→∞

g (x )=∞limx→c

f ( x )g ( x )=limx→c

f ( x)1g(x )

limx→c

f ( x )g ( x )=limx→c

g( x)1f (x)

1∞limx→c

f ( x )=1 , limn→∞

g ( x )=∞limx→c

f (x )g (x)=exp limx→c

ln f (x)1g (x)

limx→c

f (x )g (x)=exp limx→c

g(x )1

ln f (x )

00 limx→c

f ( x )=0+¿ , lim

n→∞g ( x )=0

¿limx→c

f (x )g (x)=exp limx→c

ln g (x)1

ln f (x )

limx→c

f (x )g (x)=exp limx→c

ln f (x)1

ln g (x)

∞0limx→c

f ( x )=∞ , limn→∞

g ( x )=0limx→c

f (x )g (x)=exp limx→c

g(x )1

ln f (x )

limx→c

f (x )g (x)=exp limx→c

ln f (x)1g (x)

+∞−∞limx→c

f ( x )=∞ , limn→∞

g ( x )=∞limx→c

(f ( x )−g ( x ) )=limx→c

1

g ( x )− 1f (x )

1( f ( x ) g (x ))

limx→c

(f ( x )−g ( x ) )=ln limx→c

e f (x)

eg( x)

Regla de L´Hopital

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital oregla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de

Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo 00o∞∞

.

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.

Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto, según Guillaume de l'Hôpital:

limx→c

f (x)g(x )

=limx→c

f ´ (x )g ´ (x )

=L