1

FORMALIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES

1.1. Conectivos Lógicos Se denominan conectivos lógicos a aquellas palabras o términos funcionales que ligan, juntan, unen o enlazan las proposiciones simples formando proposiciones compuestas. Los operadores o conectivos básicos son:

CONECTIVO SÍMBOLO NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN No ~ Negación Y ^ Conjunción O ∨ Disyuntiva inclusiva o. . . o. . . Δ Disyuntiva exclusiva Si… entonces... → Condicional …si y sólo si … ↔ Bicondicional

A. Negación (~): Es un conectivo singular. Se denomina proposición negativa aquella que cambia el valor

de la proposición original. Se denota por: ~p, -p, ¬p y se lee: “no p”. La negación, puede traducirse como:

No es cierto que ... Nadie que sea ... Jamás ... Es falso que... No es el caso que ... Es inconcebible que... Nunca ... No es verdad que Es imposible que ... No ocurre que... Es absurdo que Es erróneo que ... Es mentira que ... No acaece que... De ningún modo … No es el caso que… Es inadmisible que… Es incierto que… Es refutable que… Es falaz que… En modo alguno…

Ejemplo:

p: INDECOPI es el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual.

~p: Es falso que INDECOPI sea el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual.

Su tabla de verdad es como sigue: p ~p V F F V

B. Conjunción: Dadas las proposiciones “p”, “q”. La conjunción es el resultado de unir estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Se denota con el símbolo: “∧”, “&”, se escribe “p ∧ q”, “p & q” y se lee: “p y q”. La proposición conjuntiva es verdadera. Cuando las dos proposiciones son verdaderas. En nuestro lenguaje podemos emplear:

Pero Aun cuando No obstante Sin embargo Al igual que Aunque Además Tanto …. como …. Más aún A la vez Siempre ambos…. con….. También Incluso No sólo….sino también…. Es compatible con Así como A pesar de Así mismo Del mismo modo ….con …. los dos a la vez De la misma forma que

Ejemplo:

2

Consideremos las siguientes proposiciones: p: “Roxana estudia” q: “Roxana escucha música” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p ∧ q: Roxana estudia al mismo tiempo que escucha música Su tabla de verdad es como sigue:

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

C. Disyunción: Es una proposición compuesta formada por “p” y por “q” relacionadas por el conectivo lógico “o”. Según el sentido del conectivo “o”, se puede interpretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva.

Disyunción Inclusiva o Débil: Se denota por “p ∨ q”, “p + q” y se lee: “p o q”. La disyunción inclusiva es falsa sólo en el caso que ambas proporciones sean falsas. Se conoce como la suma lógica. Otras formas de conexión que nos indican una disyunción inclusiva son:

A menos que O en todo caso Excepto que O también Salvo que O incluso A no ser que O bien Y bien o también Al menos uno de los dos …. o …. O sino Alternativamente

Ejemplo: Consideremos: p: “Mañana estudiaremos Química” q: “Mañana estudiaremos Física” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p ∨ q: Mañana estudiaremos Química o sino estudiaremos Física Su tabla de verdad es como sigue:

• Disyunción Exclusiva o Fuerte: Se denota por: “p Δ q”, “p v q”, “p ⊕ q”, “p ≡/ q”,

“p ↔/ q” y se lee: “p o q” pero no ambos. La disyunción exclusiva es verdadera sólo cuando una de las proposiciones es verdadera. Algunas formas de conectivos a emplear son:

O ... o ... ... no equivale a ... O bien ... o bien ... No es cierto que...equivale a... No es equivalente ... con ... O solo .... o solo .... ....a menos que solamente... ...salvo que únicamente... ....excepto que sólo.... ....o bien necesariamente.... ....o exclusivamente.... ....no es idéntico a.... ....no es lo mismo que... Salvo que .... o ....

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

p q p Δ q

3

Ejemplo: Consideremos: p: “Este año viajaré al extranjero” q: “Viajo a Lima” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p Δ q: “Este año viajaré al extranjero salvo que únicamente viaje a Lima” Por lo tanto su tabla de verdad es:

D. Condicional: Proposición compuesta que resulta de la combinación de dos proposiciones simples, a

través del conectivo: “Si ..., entonces ...” y su símbolo es : “→”, “⊃”. La notación “p → q”, “p ⊃ q” se lee “Si p, entonces q”. La proposición “p” se llama antecedente o hipótesis y la proposición “q” se llama consecuente o conclusión. La manera de expresar la condicional en el orden antecedente-consecuente

(“p→ q” Implicación directa), son las siguientes:

Si p, entonces q p por tanto q Siempre que p entonces q p por consiguiente q p es suficiente para q p por ende q p implica q p por conclusión q Ya que p bien se ve que q Dado que p por eso q En cuanto p por tanto q Porque p por eso q

Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente (“q ← p”) Implicación inversa.

Ejemplo: consideremos: p: “La producción es buena” q: “Habrá mayor rentabilidad en la empresa” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p→ q: “Si la producción es buena, habrá mayor rentabilidad en la empresa” q ← p: “Habrá mayor rentabilidad en la empresa siempre que la producción sea

buena“ Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

V V F V F V F V V F F F

q si p q es implicada para p q de modo que p q siempre que p q cada vez que p q puesto que p q es necesario para p q en vista que p q porque p Sólo si p, q Sólo cuando p, q Solamente porque p, q q dado que p q ya que p q cada vez que p q a condición de que p q dado que p q se concluye de p q supone que p q sigue de p Únicamente si p, q

p q p → q V V V V F F F V V F F V

4

E.- Bicondicional: Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico “...si y sólo si...”, cuyo símbolo es: “↔”, “≡”, “⇔”. La proposición compuesta se denota por: “p ↔ q”, “p ⇔ q”, “p ≡ q” y se lee: “p sí y sólo si q”. La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.

También se suele emplear expresiones como:

Ejemplo: Consideremos: p: “El que yo te sonría”

q: “Yo te enamore” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p ↔ q: El que yo te sonría es lo mismo que yo te enamore. Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

1.2. Notación Proposicional

En lógica nos interesa saber cómo están combinadas las proposiciones, y no nos interesa en absoluto su significado. Por ello necesitamos unos símbolos que prescindiendo del significado de las proposiciones nos indiquen la forma en que se combinan. Estos símbolos constituyen un lenguaje formal. Las proposiciones atómicas pueden ser sustituidas por letras minúsculas p, q, r, etc., denominadas variables proposicionales. La operación consiste en sustituir las expresiones del lenguaje natural por símbolos lógicos, a la cual llamaremos formalización y la proposición debidamente formalizada la llamaremos fórmula. Ejemplos:

1. Mario Vargas Llosa obtuvo el Premio Nobel de Literatura 2010. Fórmula será simplemente: p

2. Democracia significa un modo de vida en el que la libertad y la justicia están presentes. p = Democracia significa un modo de vida en el que la libertad está presente q = Democracia significa un modo de vida en el que la justicia está presente Fórmula: p ∧ q

3. O está lloviendo y garuando, o está soplando el viento. p= Está lloviendo; q =Está garuando; r = Está soplando el viento Fórmula: (p ∧ q) Δ r

4. Si Pablo se queda, entonces Luis se va. p= Pablo se queda; q= Luis se va Fórmula: p → q

5. Cientos de vidas podrían salvarse cada año si la gente utilizara el cinturón de seguridad. p = cientos de vidas pueden salvarse cada año; q= La gente utiliza el cinturón de seguridad

…siempre y cuando… Es suficiente para que suficiente sea …es equivalente a… Es condición necesaria y suficiente para …es lo mismo que… …por lo cual y según lo cual… …cuando y sólo cuando… …cada vez que y sólo si… Si y sólo si p, q …si de la forma… …siempre que y sólo cuando… …implica y está implicado por… …es idéntico a… Siempre que … y siempre que …

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

5

Fórmula: q → p 6. No es el caso que, si la luna está hecha de queso verde, entonces los vehículos espaciales no

pueden alunizar en ella. p= La luna está hecha de queso verde; q= Los vehículos espaciales pueden alunizar en la luna Fórmula: ¬(p → ¬q)

7. Si los verdaderos amigos tienen todo en común, entonces tú no puedes ser más rico que tu compañero si dices que son verdaderos amigos. p= Los verdaderos amigos tienen todo en común q= Puedes ser más rico que tu compañero r= Dices que tú y tu compañero son verdaderos amigos. Fórmula: p → (r → q)

8. Dos es un número primo porque sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. p = 2 es un número primo q = 2 es divisible por sí mismo r = 2 es divisible por la unidad

Fórmula: p ↔ (q ∧ r) 9. Decir que la suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva y el producto de sucesiones

positivas es una sucesión positiva equivale a decir que la suma y el producto de dos números reales positivos es un número real positivo. p = La suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva q = El producto de sucesiones positivas es una sucesión positiva r = La suma de dos números reales positivos es un número real positivo s = El producto de dos números reales positivos es un número real positivo. Fórmula: (p ∧ q) ↔ (r ∧ s)

10. Si el Rh de la futura madre es negativo, debe analizarse inmediatamente después de cada parto la sangre del recién nacido y, si ésta es Rh positivo, ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado si se desea evitar complicaciones a otros hijos. p = El Rh de la futura madre es negativo. q = La sangre del recién nacido debe analizarse inmediatamente después de cada parto r = La sangre del recién nacido es Rh positivo s = Ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado. t = Se desea evitar complicaciones a otros hijos. Fórmula: (p → q) ∧ (r → (t → s))

1.3. Valoración de las Proposiciones

Para determinar la valoración de las proposiciones moleculares, es necesario tener en cuenta las tablas de verdad. Considere los siguientes ejemplos: a) “Los virus son alternados no obstante son virulentos. Por tanto tienen una clasificación” Tenemos las

proposiciones: p: “Los virus son alternados” q: “Los virus son virulentos” r: “Tienen una clasificación”

Se formaliza por: (p ∧ q) → r Luego: como se puede observar el esquema molecular tiene 3 proposiciones simples, es decir que para este caso se tiene: 2 3= 8 asignaciones posibles para los valores de verdad en total. La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

p q r (p ∧ q) → r

6

b) Siempre que se apruebe el crédito entonces compraré el departamento; sin embargo se aprueba el crédito. Por tanto compraré el departamento.

Sean las proposiciones: p: “Se aprueba el crédito” q: “Compraré el departamento” Se formaliza por: [(p → q) ∧ p] → q La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

c) La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos pero los analistas en economía buscan soluciones, a pesar de que la crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos.

Tenemos las proposiciones: p: “La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos” q: “Los analistas en economía buscan soluciones” ∼p: “La crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos

económicos” Se formaliza por: (p ∧ q) ∧ ∼p

La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

Como podemos apreciar las proposiciones, las expresamos en forma simbólica; a su vez que podemos encontrar sus valores de verdad. Con el fin de diferenciar los valores resultados de las expresiones, se definen los siguientes conceptos: A. Tautología: Una expresión es tautológica, cuando los valores de su conectivo principal resultan ser

verdaderos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad. Ver ejemplo (b). B. Contradicción: La expresión resulta ser una contradicción, cuando los valores de su conectivo principal

resultan ser falsos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad. Ver ejemplo (c). C. Contingencia: Aquella expresión, que en su conectivo principal resulten valores verdaderos y falsos a la

vez, para todas las posibles asignaciones de la tabla de verdad. Ver ejemplo (a).

V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V F V V F V F F V F F F V F V V F F F F V F

1 3 2

p q [(p → q) ∧ p] → q V V V V V V V V F F F V V F F V V F V V V F F V F V V F 1 3 2

p q (p ∧ q) ∧ ∼p V V V F F V F F F F F V F F V F F F F V

7

ACTIVIDADES

1. Construye la tabla de verdad para cada una de los siguientes esquemas moleculares, y determina si es:

tautología, contradicción o contingencia. 1. 𝑞  Λ  (𝑟  Λ  𝑠)    2. (𝑝   ∨  𝑞)  →  ~(~𝑝   ∨  ~𝑞)  3. (𝑝   →  𝑞)  ↔ (𝑝   →  ~  𝑞) 4. (𝑝   ∧ 𝑞)  →   (𝑞   ∨ 𝑝)    5. ~[~(𝑝   ∧  𝑞)  → ~  𝑞]  ∨ 𝑝    

2. A continuación se presenta una serie de ejercicios en la cual se especifica lo siguiente: 1. Si p es una proposición falsa, q verdadera y r verdadera, determinar el valor de verdad de: {(𝑝     ∧ ~𝑟)  → [𝑟   ↔   (~𝑞   ∧ 𝑝)]} ↔   (𝑝   →  𝑞) 2. Determinar el valor de verdad de la proposición molecular [(𝑝 ↔  𝑞)  →  ¬𝑝]  Λ¬(𝑟   → 𝑝) sabiendo que p

es verdadera, q y r falsas. Hallar su valor de verdad. 3. Escribe en forma simbólica, identificando cada una de las proposiciones atómicas que aparezca en las afirmaciones siguientes:

1. Esta fiesta es muy divertida y la música es muy buena, por lo cual y según lo cual todos la pasaron de maravilla.

2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción, más aún si la música es merengue a no ser que no baile.

3. Si no estoy equivocado, ella conducía un carro rojo, y había un hombre sentado a su lado. 4. Dos niños tienen los mismos apellidos si y sólo si tienen la misma madre y el mismo padre. 5. O Hugo tiene razón, o María y Carlos son o ambos culpables o ambos son inocentes 6. Si se ganan las elecciones y nuestros representantes acceden al poder, confiaremos en ellos si y sólo

si cumplen sus promesas y el poder no les corrompe. 7. El abogado no es justo ni competente, a condición de que es falso que no haya consultado con los

peritos sobre la cotización del inmueble embargado. 8. Es inobjetable que, una condición suficiente para que los países europeos tengan baja inflación por lo

tanto estabilidad económica, es que sus gobiernos tienen programas estratégicos de crecimiento así como modelos económicos.

9. Subirán los intereses bancarios porque subirá la cotización del dólar, en vista de que, subirá la cotización del dólar sólo si el gobierno no puede controlar la inflación.

10. Los candidatos mienten en sus promesas y el pueblo les cree pero si hablaran la verdad el pueblo no les creería, es por eso que el Perú está como país subdesarrollado.