CINEMTICA II

Tipos de movimientosi) Movimiento rectilneo uniforme (MRU): cuando un cuerpo se desplaza con rapidezconstante a lo largo de una trayectoria rectilnea, se dice que describe un MRU.

Como ejemplo supongamos que un automvil se desplaza por una carretera recta y plana, ysu velocmetro siempre indica una rapidez de 60 km/h, lo cual significa que: en 1 h el autorecorrer 60 km, en 2 h recorrer 120 km, en 3 h recorrer 180 km. Si estos datos losllevamos a un grfico de posicin v/s tiempo, su comportamiento sera el siguiente:

La ecuacin de la recta nos permitir encontrar la informacin de cada posicin de lapartcula en el tiempo. Esta ecuacin se denomina ecuacin de itinerario.

Nota: la velocidad es constante, ya que la pendiente es nica. El signo de la velocidad sedebe respetar para el clculo de desplazamientos.

x0 = posicin inicialSi x0 = 0 (m), tenemos x(t) = v t, conocida como la expresin d = v t

x(m)

t(s)

x0

pendiente = xt = velocidad (v)

fig. 1

x(t) = x0 + v t

C U R S O: FSICAMENCINMATERIAL: FM-04

2A continuacin se mostrarn los comportamientos grficos de la velocidad y aceleracin enel tiempo:

Como la velocidad es constante, implica que la aceleracin en un MRU siempre es cero

ii) Movimiento rectilneo uniformemente acelerado: el movimiento con aceleracin mssencillo, es el rectilneo, en el cual la velocidad cambia a razn constante, lo que implica unaaceleracin constante en el tiempo.

Nota: Cuando el vector velocidad y aceleracin tienen distinto sentido e igual direccin, elmvil disminuye su rapidez en el tiempo se dice que es un movimiento retardado.

Imaginemos un mvil estacionado en una posicin x0 a la derecha del origen(posicin 0 m), l comienza a moverse en lnea recta, alejndose del origen aumentando suvelocidad proporcional con el tiempo, lo cual implica que su aceleracin es constante. Lasituacin anterior representa un movimiento rectilneo uniformemente acelerado, lo cualser analizado grficamente:

t(s)

pendiente = vt = aceleracin (a)

v(m/s)

fig. 2

a(m/s2)

t(s)fig. 3

a = 0 (m/s2)

3La ecuacin de itinerario generalizada esta representada por:

El comportamiento de la velocidad y aceleracin en funcin del tiempo es el siguiente:

De acuerdo a la figura 5, podemos determinar la velocidad instantnea que posee el mvil,encontrando la ecuacin de la recta:

El grfico de la figura 6 muestra la aceleracin que se obtiene, a partir del grfico de lafigura 5.

Las ecuaciones anteriores sirven para movimientos uniformemente acelerados, slo hay queponer cuidado con el signo de las velocidades y aceleraciones.

x(t) = x0 + v0 t + 12 a t2

v(m/s)

t(s)fig. 5

a(m/s2)

t(s)fig. 6

v(t) = v0 + a t

x(m)

t(s)fig. 4

x0

4Qu indica el rea bajo la curva en un grfico?

Analizando dimensionalmente, el rea (grfico x v/s t) genera una multiplicacin de posiciny tiempo, lo cual en cinemtica no implica ningn concepto fsico.

El clculo del rea (grfico v v/s t) genera una multiplicacin de velocidad y tiempo, con locul podemos obtener la distancia recorrida en un intervalo de tiempo determinado, para elcul hay que tomar el valor absoluto del rea a calcular. Tambin se puede obtenerdesplazamiento total teniendo en cuenta el signo.

x(m)

t(s)fig. 7

tt

v0

v1

t(s)

v(m/s)

fig. 8

5Con el grafico de la figura 8, podemos demostrar la ecuacin de itinerario de un movimientorectilneo uniformemente acelerado, para la cual tomaremos como posicin inicial el origen(x0 = 0 m). Calculando el rea (trapecio) en el intervalo de tiempo t tenemos:

rea = rearectngulo + reatringulo = reatrapecio

en la cual se obtiene lo siguiente:

rea = v0 t + 12 (v1 v0) t

Utilizando un recurso matemtico, multiplicaremos por el neutro multiplicativo la expresindel rea del triangulo:

rea = v0 t + 12 (v1 v0) t tt

rea = x(t) = v0 t + 12 1 0(v v )t t2

El clculo del rea genera una multiplicacin entre aceleracin y tiempo, con lo cual sepuede obtener la variacin de velocidad (respetando los signos).

1

x(t) = v0 t + 12 a t2

a(m/s2)

t(s)fig. 9

6Como analizar la velocidad instantnea en un grfico x v/s t?

Las pendientes de las rectas tangentes en t1 y t2, es un indicador de la velocidad instantneaen los respectivos instantes de tiempo. Con esto logramos verificar que la rapidez de lapartcula va aumentando en el sentido positivo. Con esta tcnica podemos analizar unproblema desde el punto de vista cualitativo.

Las relaciones necesarias para los ejercicios de cinemtica, son las siguientes:

A continuacin veremos los distintos tipos de proporcionalidad que se dan en las ecuacionesque se ven en las ciencias fsicas, es de mucha ayuda para la comprensin de los conceptosentender cmo se relacionan las variables.

x(m)

t1fig. 10

t2 t(s)

A) x(t) = x0 + v0 t 12 a t2 D) Vm = d / t

B) v = v0 a t E) Vm = (V0 + V) / 2(a = cte.)

C) v2 = 20v 2 a d

7Proporcionalidad Directa

Si dos variables, x e y, cumplen que y = kx donde k es una constante, entonces se dice

que x e y son directamente proporcionales y al graficar los distintos valores que toman estasvariables se obtiene el siguiente grfico:

Un ejemplo de esto en fsica es:

Cuando se aplican distintas fuerzas sobre una misma masa la relacin entre estas variableses:

si m es constante la fuerza y la aceleracin son directamente proporcionales, por ejemplo sise duplica la fuerza entonces tambin se duplica la aceleracin.

Proporcionalidad InversaEn este caso las variables cumplen que x y = k, con k constante y se dice que x e y soninversamente proporcionales, al graficar los distintos valores que toman estas variables setiene el siguiente grfico:

Es decir una lnea recta que pasa por el origen.Se observa que a medida que crece la variablex tambin aumenta la variable y en la mismamedida.

Se observa que si una variable aumentala otra disminuye o viceversa, la curvacorresponde a una hiprbola.

x

y

fig. 11

x

y

fig. 12

F = m a

8Un ejemplo de esto en fsica es:Un mvil que debe recorrer una misma distancia (d) con rapideces distintas (v) usamos larelacin d = v t, donde d es constante y la rapidez es inversamente proporcional al tiempo.Como la distancia es constante cuando el mvil recorra con una velocidad mayor entoncesla otra variable que es el tiempo disminuir.

Proporcionalidad al Cuadrado

Aqu una de las variables esta elevada al cuadrado y la relacin entre estas variables puedeser de la forma y = ax2 donde, a es constante, en este caso decimos que y es proporcionalal cuadrado de x otra forma de decirlo es que y es directamente proporcional al cuadrado dex. Cuando estamos en esta situacin la figura que se obtiene al graficar los valores quetoman las variables x e y es:

Un ejemplo de esto en fsica es:

La relacin entre la energa cintica (EC) y la velocidad (v) es una proporcionalidad de estetipo siendo la ecuacin que las relaciona la siguiente:

donde m es constante. En esta expresin si la velocidad se duplica entonces la energacintica se cuadruplica, o si v disminuye a la mitad entonces EC disminuye a la cuarta parte,etc.

La curva corresponde a una parbola, cuandouna de las variables se duplica (x) la otra secuadruplica (y).

x

y

fig. 13

EC = 12 m v2

9Proporcionalidad Inversa al Cuadrado

Esta situacin se da cuando la relacin entre las variables es de la forma y = 2kx

donde k es

constante, se dice que y es inversamente proporcional al cuadrado de x. Si se tienendistintos valores de x e y al graficarlos obtendremos lo siguiente:

Un ejemplo de esto en fsica es:

La famosa Ley de la Gravitacin Universal donde se muestra la forma en que se atraen dosmasas. Por ejemplo la atraccin entre la Tierra (m1) y el Sol (m2), la relacin es la siguiente:

donde el producto G m1 m2 es constante. Si la distancia entre ambos cuerpos celestesfuese la mitad de la actual entonces la fuerza de atraccin entre ambos sera 4 veces mayorde lo que es ahora.

Aqu tambin como en el caso de la proporcionalidadinversa si una de las variables crece la otra disminuye perocomo una de las variables esta elevada al cuadrado, lavariable x, si esta crece al doble por ejemplo la variable ydisminuye a la cuarta parte.

fig. 14x

y

F = G 1 22m md

10

EJEMPLOS

1. Para un vehculo dirigido con control remoto se obtuvo el grfico de posicin versustiempo que muestra la figura, al respecto se afirma que

I) el desplazamiento neto es de mdulo cero.II) la mxima rapidez alcanzada por el vehculo es A m/s.III) la distancia total viajada es 2A.

Es (son) correcta(s)A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) solo I y III.

2. Un mvil se traslada entre dos puntos de tal forma que su rapidez en funcin deltiempo vara de acuerdo a lo que muestra el grfico de la figura. Es correcto afirmar enbase a este grfico que

A) su rapidez inicial es cero.B) su posicin en la mitad del tiempo es cero.C) la distancia recorrida siempre estuvo creciendo.D) primero se movi en un sentido y luego viaj en sentido opuesto.E) hay tres puntos donde el mvil est detenido.

3. Un camin se mueve por una carretera rectilnea, y los valores de su velocidad semuestran en el grfico de la figura. Entonces ser correcto decir que

A) hay dos tramos donde el camin estuvo detenido.B) el rea bajo la curva representa la aceleracin del camin.C) entre los 6 y los 12 s su aceleracin fue constante de mdulo 5 m/s2.D) su aceleracin entre los 12 y los 14 s fue de 15 m/s2.E) la rapidez media entre los 6 s y los 12 s es de 5 m/s.

t[s]

x[m]

0 3B

A

B

t[s]

v[m/s]

120

30

6 14

t[s]

v[m/s]

0

11

PROBLEMAS DE SELECCIN MLTIPLE

1. Si se obtiene un grfico de posicin versus tiempo, como el que muestra la figura, sepuede asegurar en forma correcta que su posicin

A) se mantuvo constante hasta los 10 s.B) a los 10 s, es de mdulo igual a la distancia recorrida hasta los 10 s.C) es de mdulo 25 m a los 10 s.D) aumenta al igual que su velocidad.E) ninguna de las anteriores.

2. El grfico muestra las posiciones de una persona, que se mueve en lnea recta. En basea este grfico es correcto que

A) viaj 25 m hasta los 10 s.B) su rapidez aument y despus disminuy.C) su desplazamiento total fue de mdulo 25 m.D) su rapidez inicial y final son cero.E) la distancia recorrida hasta los 10 s es de 10 m.

3. Respecto al grfico de rapidez versus tiempo que se muestra en la figura, esincorrecto afirmar que

A) su velocidad inicial es de mdulo distinto de cero.B) se trata de un movimiento acelerado.C) su aceleracin disminuye en mdulo hasta llegar a cero.D) la distancia se obtiene del rea bajo la curva, del grfico.E) siempre viaj en un solo sentido.

0

x[m]

10 t[s]

50

0

x[m]

10 t[s]

5

v

t

P

Q

12

4. Un cuerpo se mueve con velocidad constante, como se indica en el grfico de lafigura. Qu distancia recorri hasta los 40 segundos?

A) 80 mB) 120 mC) 400 mD) 600 mE) 800 m

5. Al verse enfrentado al grfico de velocidad versus tiempo como el que muestra lafigura, es correcto deducir que la aceleracin media hasta los 30 s es

A) 0,5 m/s2B) 2,0 m/s2C) 15,0 m/s2D) 30,0 m/s2E) 110 ,0m/s2

6. Una moto se desplaz por un camino recto y las posiciones que ocup versus el tiempose muestran en el grfico de la figura, respecto a este vehculo se afirma que

I) la distancia viajada hasta los 12 s es 60 m.II) hubo tres tramos de su trayectoria, donde estuvo detenido.III) hubo dos tramos de su trayectoria donde la velocidad aument

uniformemente.

Es (son) correcta(s)

A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) solo I y III.

0

x[m]

12 t[s]

60

1044

24

304

t[s]

v[m/s]

400

20

t[s]

v[m/s]

3

45

13

7. La figura muestra los itinerarios del movimiento rectilneo de los mviles I, II y III.Basndose en el grfico, cul(es) tiene(n) rapidez cero en t = 0 h?

A) Solo I.B) Solo II.C) Solo III.D) Solo I y II.E) I, II y III.

8. De la observacin del grfico de la figura, se pueden extraer varias conclusiones. Unade ellas es que, si los mviles P y Q parten del mismo lugar con la misma direccin ysentido

A) hasta t3 ambos recorrieron la misma distancia.B) en t1 ambos se encuentran.C) en t2 ambos estn detenidos.D) en t1 ambos tienen la misma rapidez pero P va adelante.E) entre t2 y t3 Q se devuelve.

9. A partir de los grficos dados en la figura, de velocidad y de posicin versus el tiempo,determinar respectivamente el desplazamiento que hubo, en cada uno de ellos, hastalos 30 segundos.

A) -170 m y -170 mB) -110 m y -170 mC) 10 m y -30 mD) 150 m y -30 mE) 40 m y 30 m

x [km] I

IIIII

t[h]

x[m]

t[s]3020-10

20v[m/s]

t[s]3020-10

20

Q

t1 t2 t3

P

v

t

14

10. El permetro de una circunferencia est dado por la relacin p = 2 r, luego el grficode permetro p versus el radio r que mejor representa esta relacin esA) B) C)

D) E)

11. En la ecuacin h = k / f, k es una constante y f, h son variables. El grfico h versus fque muestra en forma correcta la relacin entre estas variables, es:A) B) C)

D) E)

12. Una moto se mueve en una carretera de acuerdo a lo que indica el grfico posicintiempo de la figura. Al calcular su rapidez media hasta los veinte segundos el valor quese obtiene es

A) 16 m/sB) 20 m/sC) 32 m/sD) 40 m/sE) 80 m/s

h

f

h

f

h

fh

f

h

f

80x[m]

t[s]0 8 12 20

r

p

r

p

r

p

r

p

r

p

15

13. Un vehculo se mueve de tal forma que su velocidad vara segn muestra el grfico dela figura. De acuerdo a este grfico la velocidad media del mvil hasta los diecisissegundos es de magnitud

A) 15 m/sB) 10 m/sC) 5 m/sD) 2,5 m/sE) 0 m/s

14. La distancia total recorrida por un cuerpo, cuya posicin en funcin del tiempo semuestra en el grfico de la figura, corresponde a

A) A + BB) (A + B) / (C + D + E)C) A BD) A + 2BE) 2B A

15. Un vehculo viaja en lnea recta a 10 m/s durante 5 s, luego avanza con aceleracinconstante de 4 m/s2 por 3 s, entonces la distancia total recorrida es igual a

A) 18 mB) 48 mC) 50 mD) 68 mE) 98 m

16. Un avin que est aterrizando toca el suelo cuando su velocidad es de 300 km/h. Si seejerciera sobre el avin una retardacin de 3.000 km/h2, la distancia que necesitarapara detenerse es

A) 1.500 mB) 3.000 mC) 12.000 mD) 15.000 mE) 20.000 m

t[s]

x[m]

A

B

0 C D E

20

0

v[m/s]

t[s]-10

4 20 24

16

17. Un automvil se mueve en lnea recta con rapidez V, cuando repentinamente se aplicanlos frenos imprimindole una retardacin de 2 m/s2, as se detiene luego de recorreruna distancia D. Si se hubiera estado moviendo con el triple de V y se aplicaran losfrenos como en el caso anterior, de manera que se obtuviese la misma desaceleracinhasta detenerlo, la nueva distancia recorrida sera

A) 9 DB) 8 DC) 6 DD) 4 DE) 2 D

18. Un auto F y una camioneta P parten desde un mismo punto. El auto parte con velocidadconstante de 20 m/s y se mantiene as por 5 s, luego es sometido a una aceleracin de-4 m/s2 durante 8 s, en cambio P parte desde el reposo acelerando a 4 m/s2 durante5 s y luego contina con velocidad constante durante 8 s. Al comparar las distanciasrecorridas por ambos podemos decir correctamente que la distancia recorrida por

A) P menos la distancia recorrida por F es 78 m.B) P es el doble de lo que recorri F.C) F es el doble de lo que recorri P.D) F es mayor en 78 m que la distancia recorrida por P.E) P es mayor en 42 m, que lo que recorre F.

CLAVES DE LOS EJEMPLOS1 E 2 C 3 C

DMTRFM-04

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F

P