FLUJO UNIFORME EN REGIMEN PERMANENTE EN CANALES ABIERTOS

INTRODUCCION

El flujo de agua en un conducto puede ser flujo en canal abierto o flujo en tubería. Estas dos clases de flujos son similares y diferentes en muchos aspectos, pero estos se diferencian en un aspecto importante.

El flujo en canal abierto debe tener una superficie libre, en tanto que el flujo en tubería no la tiene, debido a que en este caso el agua debe llenar completamente el conducto.

Las condiciones de flujo en canales abiertos se complican por el hecho de que la composición de la superficie libre puede cambiar con el tiempo y con el espacio, y también por el hecho de que la profundidad de flujo, el caudal y las pendientes del fondo del canal y la superficie libre son interdependientes.

TIPOS DE FLUJO

El flujo en canales abierto puede clasificarse en muchos tipos y distribuirse de diferentes maneras. La siguiente clasificación se hace de acuerdo con el cambio en la profundidad del flujo con respecto al tiempo y al espacio.

FLUJO PERMANENTE Y NO PERMANENTE: Se dice que el flujo en un canal abierto es permanente si la profundidad del flujo no cambia o puede suponerse constante durante el intervalo de tiempo en consideración.

EL FLUJO ES NO PERMANENTE En la mayor parte de canales abiertos es necesario estudiar el comportamiento del flujo solo bajo condiciones permanentes. Sin embargo el cambio en la condición del flujo con respecto al tiempo es importante, el flujo debe tratarse como no permanente, el nivel de flujo cambia de manera instantánea a medida que las ondas pasan y el elemento tiempo se vuelve de vital importancia para el diseño de estructuras de control. Para cualquier flujo, el caudal Q en una sección del canal se expresa por Q=VA. Donde V es la velocidad media y A es el área de la sección transversal de flujo perpendicular a la dirección de este, debido a que la velocidad media esta definida como el caudal divido por el área de la sección transversal.

FLUJO UNIFORME Y FLUJO VARIADO: Se dice que el flujo en canales abiertos es uniforme si la profundidad del flujo es la misma en cada sección del canal. Un flujo UNIFORME puede ser permanente o no permanente, según cambie o no la profundidad con respecto al tiempo. El flujo uniforme permanente es el tipo de flujo fundamental que se considera en la hidráulica de canales abiertos. La profundidad del flujo no cambia durante el intervalo de tiempo bajo consideración. El establecimiento de un flujo uniforme no permanente requeriría que la superficie del agua fluctuara de un tiempo a otro pero permaneciendo paralela al fondo del canal.

ESTADO DE FLUJO. El estado o comportamiento del flujo en canales abiertos esta gobernado básicamente por los efectos de viscosidad y gravedad con relación con las fuerzas inerciales del flujo.

EFECTO DE VISCOSIDAD . El flujo puede ser laminar, turbulento o transaccional según el efecto de la viscosidad en relación de la inercia.

CANALES ABIERTOS Y SUS PROPIEDADES

Un canal abierto es un conducto en el cual el agua, fluye con una superficie libre. De acuerdo con su origen un canal puede ser natural o artificial.

Los canales NATURALES influyen todos los tipos de agua que existen de manera natural en la tierra, lo cuales varían en tamaño desde pequeños arroyuelos en zonas montañosas hasta quebradas, arroyos, ríos pequeños y grandes, y estuarios de mareas. Las corrientes subterráneas que transportan agua con una superficie libre también son consideradas como canales abiertos naturales.

Los canales artificiales son aquellos construidos o desarrollados mediante el esfuerzo humano: canales de navegación, canales de centrales hidroeléctricas, canales y canaletas de irrigación, cunetas de drenaje, vertederos, canales de desborde, canaletas de madera, cunetas a lo largo de carreteras etc..., así como canales de modelos de laboratorio con propósitos experimentales las propiedades hidráulicas de estos canales pueden ser controladas hasta un nivel deseado o diseñadas para cumplir unos requisitos determinados.

La canaleta es un canal de madera, de metal, de concreto de mampostería, a menudo soportado en o sobre la superficie del terreno para conducir el agua a través de una depresión. La alcantarilla que fluye parcialmente llena, es un canal cubierto con una longitud compartidamente corta instalado para drenar el agua a través de terraplenes de carreteras o de vías férreas. El túnel con flujo a superficie libre es un canal compartidamente largo, utilizado para conducir el agua a través de una colina o a cualquier obstrucción del terreno.

LOS ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION DE UN CANAL:

Los elementos geométricos son propiedades de una sección de canal que pueden ser definidos por completo por la geometría de la sección y la profundidad del flujo. Estos elementos son muy importantes y se utilizan con la amplitud del flujo.

Para la cual existen diferentes formulas:

R= A/P

Donde R es el radio hidráulico en relación al área mojada con respecto su perímetro mojado.

D= A/T

La profundidad hidráulica D es relación entre el área mojada y el ancho de la superficie.

DISTRIBUCION DE VELOCIDADES EN UNA SECCION TRANSVERSAL:

La distribución de secciones de un canal depende también de otros factores, como una forma inusual de la sección, la rugosidad del canal y la presencia de curvas, en una corriente ancha, rápida y poco profunda o en un canal muy liso la velocidad máxima por lo general se encuentra en la superficie libre. La rugosidad del canal causa un incremento en la curvatura de la curva de distribución vertical de velocidades. En una curva la velocidad se incrementa de manera sustancial en el lado convexo, debido a la acción centrifuga del flujo. Contrario a la creencia usual, el viento en la superficie tiene muy poco efecto en la distribución de velocidades.

CANALES ABIERTOS ANCHOS.

Observaciones hechas en canales muy anchos han mostrado que la distribución de velocidades en la distribución central en esencial es la misma que existiría en un canal rectangular de ancho infinito.

En otras palabras bajo esta condición, los lados del canal no tienen prácticamente ninguna influencia en la distribución de velocidades en la distribución central y, por consiguiente el flujo en esta región central puede considerarse como bidimensional en el análisis hidráulico.

CONSIDERACIÓN DEL PERFIL DE VELOCIDAD

Velocidad en un canal angosto.

En el flujo en canales abiertos, además de las dificultades en la superficie libre, en canales largos se añade la dificultad de que la fricción debe tenerse en cuenta debido a la proximidad de las fronteras mojadas al flujo principal.

¿Qué puede decirse acerca de los perfiles de velocidad en el flujo en canales? Existen algunas ecuaciones aproximadas semiteóricas desarrolladas para el flujo en canales cuya anchura es mayor en comparación con la profundidad. Tales estudios pueden encontrarse en textos más especializados ‘. El caso de canales angostos es aún más difícil; en la figura se muestra un perfil común de los mismos. Nótese que la velocidad mríxima no ocurre en la superficie libre, sino algo por debajo de ésta, como se muestra en el diagrama. La

superficie libre en una sección de flujo tampoco estará nivelada, como aparece en forma aproximada en el diagrama. En lugar de esto, existirá una leve elevación cerca del centro; esta región se conoce como linea de velocidad maxima.

FLUJO NORMAL

Ahora se consideran canales rectos y que mantienen constantes sus secciones transversales, a lo largo de toda su longitud. Estos se conocen como canales prismaticos . Se considera un flujo de un líquido cuya superficie libre mantiene una profundidad constante YN por encima del lecho del canal. La pendiente del lecho del canal debe tener cierto valor para mantener esta clase de flujo para un caudal Q dado. Tal flujo se conoce como flujo normal o uniforme y fácilmente puede demostrarse que existe un equilibrio entre las fuerzas gravitacionales que aceleran el flujo a lo largo y las fuerzas friccionales sobre el perímetro mojado ‘.luego retardan el flujo. Para líquidos como el agua, la pendiente del canal debe ser pequeña’.

Con esta suposición la pendiente del lecho del canal se tomar-5 igual al ángulo de inclinación α en radianes (véase la figura 14.2) y se denotará como So La profundidad YN

, se denomina profundidad normal .

Flujo normal en un canal prismático.

Con el fin de analizar el flujo, se usa un modelo de flujo unidimensional sobre el cual actúan las fuerzas de fricción en la frontera mojada. Las líneas de corriente son paralelas y se considera que la presión es hidrostatica. en la dirección perpendicular al lecho. En la figura se presenta un pequeño sistema de fluido con longitud Ax. Al aplicar la ley de Newton a este sistema en la dirección n, se obtiene:

donde se notará que las fuerzas hidrostáticas se cancelan. Utilizando P como el perímetro mojado de una sección transversal del canal, la ecuación anterior se convierte en

donde A es la seccion transversal del prisma liquido. El valor de حp el esfuerzo cortante en la pared, varía a lo largo del perímetro mojado de una sección: sin embargo, usualmente esta variación puede ignorarse. Por consiguiente pح puede considerarse constante en una sección. Ahora se define el radio hidraulico RH como

Por tanto, el diámetro hidráulico DH presentado en el capítulo 9 es igual a 4RH Se utilizarán tanto RH Al integrar la parte derecha de la ecuación (14.1), utilizar R, y cancelar Ax, se obtiene:

Para el esfuerzo cortante p deح la ecuación anterior se utiliza la ecuación de Darcy-Weisbach con un factor de fricción empírico f como se hizo en el caso de flujo turbulento en tuberías. Al escribir de nuevo la ecuación (9.17), se tiene

Al sustituir حp ,, de esta última ecuación en la ecuación anterior, luego de despejar V se tiene:

Ahora se considera el caso de canales lisos. Puede existir un flujo laminar completamente desarrollado o un flujo turbulento completamente desarrollado. En la figura 14.3 se muestra una gráfica del factor de fricción f versus Re, relacionando los resultados experimentales con ciertos resultados teóricos.Nótese que en el rango laminar se tiene el resultado teórico f = 96/Re,, para canales anchos y f = 56/Re, para canales triangulares de

90”. Dentro de la banda formada por estas dos curvas caerá el factor de fricción 64/Re,, del flujo laminar en tuberías. Los puntos que se muestran corresponden a flujos en canales lisos. Esta gráfica muestra la similitud entre el flujo en tuberías lisas y el flujo en canales lisos4. Luego, al igual que en el caso de las capas límites, podrán ampliarse muchos resultados del trabajo en tuberías. Ahora, el factor de fricción generalmente depende del número de Reynolds Re, del flujo (utilizando el diámetro hidráulico como el parámetro de longitud), la rugosidad del lecho del canal,

El factor de fricción versus el número de Reynolds de experimentos en canalesabiertos lisos y la forma y el tamaño de la sección del canal. El lector podrá recordar que cuando se analizó el tlujo en tuberías con rugosidad artificial utilizadas en el trabajo de Nikuradse, sin embargo, para números de Reynolds elevados y factores de rugosidad grandes, el factor de fricción f era independiente del número de Reynolds y sólo dependía del factor de rugosidad (recuérdese que ésta es la zona de flujo rugoso). Esto ocurre en muchos flujos en canales que usualmente se encuentran en las prácticas de campo. Por consiguiente, puede decirse que

El término C se conoce como coeficiente de Chézy. Remplazando sen a por S, en la ecuación (14.5) y utilizando la ecuación (14.6) para introducir C, la ecuación (14.5) puede escribirse como sigue:

Ésta es la muy conocida fórmula de Chézy. Utilizando datos experimentales, el coeficiente de Chézy puede expresarse como sigue:

donde n, conocido como el n de Munning, dependes primordialmente de la rugosidad relativa y donde IC equivale a 1.486 ó 1.000 según el sistema de unidades. En la tabla 14.1 se dan valores comunes de n. La dependencia de Ven la forma y tamaño del canal se incluye en el radio hidráulico. Utilizando las ecuaciones anteriores para C, la ecuación (14.7) se convierte en

Posteriormente, al multiplicar la ecuación (14.9) por A, se obtiene el caudal Q:

Finalmente, al despejar S,, en la ecuación anterior, se obtiene:

Aquí se ve que para un tlujo uniforme Q dado en un canal prismatico con una determinada sección transversal del flujo existe únicamente una y sólo una pendiente S, para el flujo normal.Para un canal rectangulur ancho, puede remplazarse Rh, por yN; A por y,Dh (donde 0 es el ancho); y Q/b por Q el caudal por unidad de ancho. Luego de despejar yN en la ecuación (14.10) se obtiene;

Al despejar So , para el flujo normal se tiene:

Aquí se ha relacionado la pendiente del canal con la profundidad normal del Sujo. Es necesario tener presente que la pendiente de la superficie libre es paralela a la superficie del lecho SO.Ahora se consideran soluciones aproximadas para flujos que no son canales ni ríos.

Ejemplo 14.1. A travcs de LIII canal semicircular con acabado en concreto pulido fluye agua a GtY’F, como se muestra en la figura 14.4; el canal tiene una pendiente S, de 0.0016. iCuál es el caudal Q si el flujo es normal?

Primero se calcula el radio hidráulico para el flujo. Así,

Utilizando la ecuación (14.9) para un valor de II igual a 0.012, se obtiene el siguiente valor para la velocidad promedio V:

Por consiguiente, el caudal Q es

Ejemplo 14.2. En un canal rectangular de madera cepillada con un ancho de 4 m, fluye agua con un caudal Q = 20 m3/s. Si la pendiente del canal es 0.0012, icuál es la profundidad d correspondiente a flujo normal? En este caso el radio hidráulico está dado en función de d como sigue:

También, puede expresarse Q utilizando la ecuación (14.10) como sigue:

Al ordenar la ecuación se obtiene:

Ahora, puede resolverse mediante ensayo y error para obtener:

FLUJO NORMAL: MÉTODOS MODERNOS

Hasta ahora se han considerado ecuaciones antiguas pero aun útiles, que son aplicables a las zonas del flujo rugoso. Esto se aplica a la mayor parte de los problemas de ríos y de canales. Trabajos más recientes desarrollados en la década de 1930, pueden utilizarse para cubrir la zona de flujo hidráulicamente liso y la zona de flujo en transición así como el flujo en la zona rugosa, utilizando el diagrama de Moody para tuberías o haciendo uso de las fórmulas empíricas para el factor de fricción f.

Con el fin de esclarecer esto, considérese nuevamente el flujo permanente en el canal abierto de la figura 14.2 esta vez tomando la región sombreada como un volumen de control estacionario. Dentro de este volumen de control se muestra un tubo de corriente. Teniendo en cuenta el análisis de la sección, puede utilizarse la primera ley de la termodinámica para este tubo de corriente. El resultado es la ecuación, que se rescribe ahora utilizando la referencia x’y’:

donde H, es la pérdida de altura por unidad de peso del tluido. En este caso Ap es cero, de manera que se obtiene:

Sin embargo y,’ - yi es lo mismo que So Δx , y por consiguiente, se tiene:

Esto es cierto para todo el volumen de control debido a que cada tubo de corriente produce el mismo resultado. Ahora puede remplazarse h, por la ecuación de Darcy-Weisbach, introduciendo de esta forma el factor de fricción f. Sin embargo, en lugar del diametro interno D de la tubería, se utiliza 4 RH 1r’, para el canal con el fin de obtener:

El procedimiento consiste en calcular primero f. Luego, después de determinar V mediante la ecuación se calcula el número de Reynolds del flujo utilizando 4R, como parámetro de longitud. Con este número de Reynolds y con la relación de rugosidad relativa, e/4R, [véase la tabla 9.11, se encuentra f en el diagramade Moody (véase la figura 9.16). Si este f no coincide con el cálculo original, se continúa con un segundo ciclo de pasos utilizando el f que se calculó. Se procede de esta forma hasta que se alcanza buena concordancia entre el f insertado y el f calculado. El lector recordará que esto se hizo en los problemas de flujo en tuberías del capítulo 9.Si desean utilizarse las ecuaciones para f, debe conocerse en qué zona de flujo se está. En el trabajo para flujo en tuberías de la sección 9.16, se dieron los siguientes criterios que pueden aplicarse al flujo en canales:

donde V, como se recordará, es la velocidud clê col’& dada como G Utilizando In ecuación puede verse que V, puede darse como

Para flujo hidráulicamente liso, se tiene la fórmula de Blasius que, para Re,, < lOs,

el coeficiente de Chézy puede darse para este flujo como

Para Re, > IO5 se recomiendan las siguientes ecuaciones para flujo en canales hidraulicamnte lisos

Para flujo en la zona de transición, puede utilizarse una modificación de la ecuación de Colebrook

Finalmente, en la zona depujo rugoso donde e/R, >> 30/[(Re,)llfj en la ecuación anterior, de las últimas ecuaciones se tiene que

En los problemas que tienen flujo hidráulicamente liso o donde se tiene flujo en la zona de transición tendrá que calcularse una velocidad para obtener Re, y luego f. A continuacón se calcula el C de Chézy y finalmente se obtiene V. Si la V encontrada es

diferente de la V supuesta, se toma la V calculada como valor para iniciar otro ciclo de cálculos. Será necesario realizar 3 ó 4 ciclos para obtener la exactitud requerida.En el caso de querer encontrar f se tendrá que utilizar un procedimiento de ensayo y error o una calculadora programable.Ahora se examinan dos ejemplos, el segundo de los cuales permite una comparación entre los métodos antiguos y los modernos

Ejemplo 14.3. En un canal rectangular de madera cepillada de 4 m de ancho fluye agua con un caudal de 5 m3/s. La pendiente del canal es S, = 0.0001. El coeficiente de rugosidad es e = 0.5 mm. ¿Cuál es la altura ll de la sección transversal para tener flujo normal permanente? El agua está a una temperatura de 10°C. Únicamente haga dos ciclos de cálculos

Aquí, al igual que en el flujo de tuberías se supone el factor de fricción f y se trabajará con el diagrama de Moody (vea se la figura 9.16). Se supone que f = 0.02 y se va a la ecuación (14.16) para determinar V. Luego,

Al escribir de nuevo la ecuación (a), se tiene:

Al resolver por ensayo y error, se obtiene:

Por consiguiente, la velocidad V del flujo debe ser

Ahora se verifica el factor de fricción. El número de Reynolds es

La rugosidad relativa, elD, = e/4R,, para el problema que está resolviéndose es

Del diagrama de Moody se obtiene un nuevo valor para S que es 0.0132. Al volver a la ecuación (c() se utiliza el nuevo f. Ahora se obtiene el siguiente valor para h

Ejemplo 14.4. Resuelva el ejemplo 14.1 utilizando las ecuaciones def¿ctor de fricción.Primero determine la zona de flujo para este caso. De acuerdo con esto, se calcula V* e/v para poder utilizar la ecuación (14.17) con el fin de determinar la zona de flujo, Nótese que en la ecuación (14.18) se tiene que

Por consiguiente, el flujo está en la zona completamente rugosa, y utilizar la ecuación correcta para. obtener f.

Volviendo a la ecuación ( 14.16) se obtiene:

Por consiguiente

Aquí se ha obtenido un resultado que es un 16% menor que el de la ecuaciún de Manning. Puede considerarse que el cálculo del factor de fricción anterior es más exacto.Más adelante, se considerará el flujo no uniforme (no normal) en canales. Si los cambios en la pendiente, en la fricción y en el área no son grandes (flujo gradualmente variado), en cualquier lugar del flujo se utilizarán los mismos f, C y 11, como se hubiera hecho para flujo normal con la misma y profundida y velocidd en cualquier lugar. Sin embargo, antes de entrar en ese estudio, en la siguiente sección se considera lo que constituye la sección óptima para un canal.

SECCIÓN HIDRAULICAMENTE ÓPTIMA

Ahora se considera la siguiente e pregunta: como es la sección transversal optima para un canalque generalmente corresponde a la sección transversal que para un Q t/at/o requiere la lttenur seccióntransversal A? Con esto en mente, se examina la ecuación (14.10). Al expresar R,, como AIP se tiene:

Al despeja-A, se obtiene:

Para los propositos de este caso Qn/K So es una constante de k de manera que se ve que si A se minimiza entonces el perímetro mojado de P tambien se minimiza luego se ve la cantidad de excavación determinada po A a igual que la cantidad de recubrimiento representada por P se minimizaran simultanea, ente para la seccion transversal hidráulicamente optima esto da por resultado un costo minimo.En el ejemplo siguiente se encontrara la seccion transversal hidráulicamente optima para un canal rectangular .

Ejemplo .- consideres la seccion transversal rectangular mostrada en la fig ¿ cual es la relacion entre b y en la seccion transversal hidráulicamente optima para un caudal de 20m/s y una velocidad de 5m/s ¿ cual deberia ser el ancho b para tener la seccion hidráulicamente optima ?

Para este canal se tiene:

Desea minimizarse A y P simultáneamente. Al despejar 6 en la ecuación (a) y sustituirlo en la ecuación (0) se tiene:

Ahora se remplaza A por KPTls de acuerdo con la ecuación (14.24) para obtener una ecuación con P y y COJW hs únicas variables:

Luego, se toma la derivada con respecto a y y se hace dPIdy = 0 para obtener los valores extremos

Se remplaza P2/5 utilizando la ecuación (14.24) por AIK y AIK por yblK. Luego, se obtiene

Por consiguiente, se ve que en la sección hidráulicamente óptima el ancho 6 es el doble de la altura y6.Este problema

Para un caudal de 20 rn3/s y LIIU velocidad de 5 m/s, se tiene la siguiente sección hidráulicamente óptima

E,jemplo 14.6. Encuentre la sección trapezoidal hidráulicamente óptima (vc;lrse la figura 14.6).El Lea A y el perímetro mojado P son, respectivamente,

Expresando cot B como m, se tiene:

Ahora se despeja a en la ecuación (b) y se sustituye en la ecuación (0).

A se remplaza utilizando la ecuación (14.24) así que únicamente se trabaja con P.

En este problema se tienen dos variables que para un a dado rigen el perímetro. Estas variables son y y MI. Se optimiza P al hacer que aP/& = 0 y que dPldm = 0. Luego, al derivar con respecto a y, se obtiene:

AI hacer que dP/dy = 0, se obtiene:

Ahora, al hacer lo mismo en la ecuación (c), esta vez con la variable UI, se obtiene

AI hacer que dP/dm =0

De la ecuación (c) se ve que

Al volver a la ecuación (cl), luego de remplazar P utilizando la ecuación (0) y haciendo que m/ = l/ 3e tiene:

Al despejar y, se obtiene:

De HI = 1/3 es claro que p = 60”. Admás, puede resolverse para L ( vease la figura 14.6)

Luego con /3 = 60” y con los lados mojados de la seccicín trapezoidal iguales, puede concluirse que la seccion hidráulicamente óptima corresponde a medio hexageno .-Para cerrar esta sección, se anota que la sección transversal semicircular es la sección transversal hidráulicamente óptima para todos los flujos en canales abiertos

Ahora se utilizan consideraciones de momentum para estudiar las caracteristicas de las ondas de aguas fromadas al mover un objeto a traves de la supeficie libre de un liquido a una velocidad razonablemente alta estas ondas se propagan lejos de la pertubacion y tienen la naturaleza de ondas de transversales como se estudia en fisica elemental donde la formad de la onda se mueve esencialmente perpendicular al movimiento de las particulas de fluido en en la onda . si tales ondas de tension superficial es insignificante estas se conocen como ondas gravitacionales .

Los ingenieros hidraulicos y los matematicos han estudiado por mas de 100 años la celeridad(velocidad) y la forma de las ondas gravitacionales. Debido a la gran complejidad del fenómeno los estudios se han restringido

en general a ondas de aguas llanas, lo que implica que las ondas tienen una longitud de onda bastante mayor que la profundidad d , como se muestra en la figura 14.7, y las llamadas ondas de agua profunda, donde d es bastante grande comparada con cualquier dimensión de la onda. La teoría de aguas llanas conduce a resultados que pueden ser válidos para canales, ríos y playas; la teoría de agua profunda encuentra sus aplicaciones en las olas oceánicas.

En este texto sólo se presentará un examen muy elemental de las ondas de agua. De acuerdo con esto, considérese una onda solitaria en agota llana moviéndose con una celeridad c en el canal de la figura 14.8. Aquí J:O interesa la forma de la onda, sino la condición de que la distancia 1 sea grande comparada con y y que Ay sea pequeña comparada con y, como se muestra en la misma figura. Asimismo, se supone que la

forma de la onda es esencialmente constante con respecto al tiempo. Con estas restricciones, es razonable considerar que existe una distribución hidrostática de presiones por debajo de la superficie libre.

Luego se establece un volumen de control estacionario de espesor unitario para incluir una porción de la onda que empieza en su pico y termina en su parte frontal, como se muestra en la figura 14.9. Claramente éste es un volumen de control de tamaño finito, así que se calcularán algunos valores promedios y no será necesario un conocimiento detallado de la forma de onda.

Al suponer flujo uniforme a través de las caras verticales del volumen de control, la ecuación de continuidad se convierte en

donde AV es el cambio en la velocidad debido al aumento de tamaño de la sección transversal del flujo en el volumen de control. Al despejar AV, se obtiene:

Luego al utilizar variaciones hidrostaticas de presion en los lados verticales del volumen de control y sin tener en cuenta la friccion en el fondo resultante de la variación de velocidad debida a la presencia de la onda, para la ecuion de momentun lineal , tiene

Al efectuar los productos en esta ecuación y simplificar los resultados, se llega a

Al dividir por p y utilizar la ecuación (14.26) para remplazar AV en el miembro derecho de esta ecuación, se obtiene:

Al cancelar Ay y multiplicar por y + Δ-y, se obtiene:

Al desarrollar el producto en el miembro izquierdo de esta ecuación y eliminar el término que tiene (ΔY)^2 , por ser muy pequeño, luego de despejar c se obtiene:

en la cual se han utilizado los primeros dos términos de una expansión binomial para la aproximación de la derecha. Cuando Ay es muy pequeño comparado con y, se obtiene el resultado conocido

que es la celeridad de una onda con una amplitud muy pequeña y una longitud de onda grande comparada con la profundidad. Rápidamente se verá que el concepto de onda pequeña juega un papel importantísimo a medida que se continúa el estudio del flujo a superficie libre en las secciones siguientes.

De nuevo el analisis siguiente se restringe a flujo turbulento completamente desarrollado e incompresible a lo largo de un canal donde la pendiente del lecho es pequeña. Al igual que antes, se supone que en el flujo prevalece una distribución hidrostática de presiones. Ademas que, éste se toma como unidimensional, donde V es esencialmente paralela al lecho del canal y es constante a través de una sección perpendicular a ese lecho. En la figura 14.10 se muestra una porción de un flujo como éste. Nótese que la elevación perpendicular al hecho del canal hasta un elemento del fluido esta dada por n y hasta la superficie libre esta dada pory. Las secciones perpendiculares al lecho se localizan mediante la posición x medida a lo lardo de este.

La distancia vertical desde un ellemento hasta el lecho esta dada po n y desde la superficie libre hasta el lecho por y

Utilizando fi como elevación vertical desde un nivel de referencia horizontal conveniente hasta un elemento fluido, se tiene que la altura total HD en esta posición es

En la figura (14.10) puede remplazarse h por fi,+ q cos C(, que para una pequeña pendiente del lecho del canal puede darse como T?,+ q. Asimismo, la presión p puede evaluarse a partir de la variación hidrost:ítica en la siguiente forma, considerando que cos (α = 1:

Ahora se remplaza /I en la ecuación utilizando el resultado anterior y reemplazando tr por (ti,) + rr) para obtener:

Nótese que la altura H, es constante para todus las partículas en cada sección perpendicular al lecho Ahora se define la energíu espec$ica Eesp de la siguiente forma:

Se ve que la energía específica realmente es la altitra (mecánica) con respecto al lecho del fmzrrl como Cel de eferencia. Al sustituir para H, utilizando la ecuación se encuentra que Esp es

Al igual que Hu puede decirse que ErSp es constmte pnru todos los elementos fluidos en cuctkpier sección del llljo perpendicular ul lecho del cannl.

Ahora se examina la energía específica para el caso de un flujo en un canal rectrrrzgular, donde y es el caudal or unidad de ancho del canal. Entonces, es claro que

Para este flujo la energía específica se convierte en

Considérese la situación en la cual q se mantiene constante y en donde E es variable. En la ecuación ( 14.37). ara cualquier valor particular de ErSp habrá una ecuación cúbica en y. Una de las raíces de y será negativa, de anera que existen dos profundidades y de flujo posibles para una Ecrp dada o ninguna, como se muestra en la igura 14.11, en la que se ha graficado y versus Eerp para diferentes valores de ~1”. A medida que q-+ 0, la cuación tiende hacia una línea recta, Esp = y, que se muestra como Oa en el diagrama. Nótese que para ada valor de q existe un punto de energía específica nzírzinzn. La profundidades para este punto en cada una dela curvas se indica como yc,, es decir; la ,woJimdidcld critica para un caudal q particular. Esta profundidad puede encontrarse fácilmente tomando la derivada parcial de Eerp con respecto ay e igualándola a cero. Luego

Por consiguiente

La velocidad para esta condición de flujo V,, se determina fácilmente al sustituir q en la ecuación anterior, utilizando la ecuación. De esta manera se obtiene:

Nótese que la velocidad crítica V,, es la celeridad de una pequeña onda gravitacional en un líquido poco profundo. Esta ecuación puede escribirse como

En la ecuación se definió como el número de Froude (Fr) con la profundidad JI como la dimensión de longitud. En el flujo en canales esta ex-presión se toma como el cuadrado del número de Froude. Asimismo, de lo anterior se nota que en la condición crítica el número de Froude es igual a la unidad. La profundidad crítica en el flujo en canales juega el mismo papel que el área crítica en una boquilla convergente-divergente en el flujo compresible.

En este último el número de Mach es análogo al número de Froude para el flujo en canales. En la boquilla, la velocidad del fluido es igual a la celeridad de una pequeña onda de presión que da M = 1 en el, area de garganta (el área menor). En el canal, el fluido correspondiente a la profundidad crítica se mueve a la misma velocidadque la celeridad de una pequeña onda gravitacional, que da un número de Froude igual a la unidad de acuerdo con la ecuación . En una boquilla, un cambio de presión aguas abajo del área de garganta no puede afectar el flujo aguas arriba de ésta cuando M = 1 en la garganta. Esto es el resultado del hecho de que el fluido en la garganta se mueve aguas abajo tan rapido como una perturbación de presión puede moverse hacia aguasarriba. De manera analoga, cuando la profundidad crítica se alcanza en un flujo a superficie libre, los cambios aguas abajo de la profundidad crítica no pueden transmitirse hacia aguas arriba de ésta, debido a que el fluido se mueve hacia aguas abajo

tan rapido como las ondas superficiales se mueven hacia aguas abajo tan rapido como las ondas superficiales se mueven hacia aguas arriba en la sección crítica.

Nótese que la curva de energía específica para un valor dado de q es análoga a la línea de Fanno . Sin embargo, los efectos causados por la fricción difieren entre el flujo compresible descrito por la línea de Fanno y la gráfica de energía específica. Debido a la segunda ley, la entropía siempre: debe incrementarse como resultado de la fricción en la dirección del flujo para el flujo adiabatico de la línea de Fanno. Por consiguiente, el número de Mach siempre debería tender hacia M = 1 como resultado de la fricción. No obstante en un flujo normal en canales, que incluye la fricción, se tiene una energía específica constante en la dirección del flujo y, por consiguiente, puede permanecer en un punto de la curva de energía específica. Si el flujo normal existe en el canal, entonces el flujo tenderá hacia la dirección del flujo normal y necesariamente hacia el pw-to crítico de la curva de energía específica. En consecuencia, los efectos de la fricción son diferentes para flujos adiabáticos compresibles de área constante y para flujo en canales.

De la ecuación, para las condiciones críticas se obtiene:

Al remplazar V,,, utilizando la ecuación y despejar para y,,, se obtiene:

Si se tiene flujo normal, que simultaneamente es flujo crítico, entonces la pendiente de lecho del canal es igual a la pendiente de la superficie libre y, asimismo, puede utilizarse la ecuación de Chézy. Por consiguiente, se tiene:

donde S,, es la pendiente del canal para flujo normal crítico. Para canales rectangulares anchos en la ecuación Luego se multiplica en la ecuación por el área de un ancho unitario del canal, es decir, y se obtiene q en el lado izquierdo de la ecuación. Luego, puede decirse que,

Ahora se despeja q en la ecuación para flujo crítico y se sustituye en la ecuación.

Se obtiene se obtiene :

Luego, utilizando la ecuación para remplazar C en función del factor de fricción f. se obtiene:

Canal con sección transversal arbitraria.

Cuando el valor sea igual a 1, se obtiene la profundidad crítica y, para ese Q . Una

ecuación para encontrar la energía específica mínima ,puede obtenerse al

despejar en la ecuación y sustituir el resultado en la ecuación, para llegar a.

Para tener un flujo normal y critico se utiliza la ecuación de Chézy con el fin de calcular Q. Luego, utilizando la ecuación se tiene:

De la ecuación, se despeja Q y se sustituye en la ecuación anterior:

Utilizando la ecuación para remplazar C, y luego de elevar los términos al cuadrado, se tiene:

Al despejar S, y notar que A,(R,) = PC,, el perímetro mojado, se obtiene:

FLUJO VARIADO EN CANALES RECTANGULARES CORTOS

Ahora se considera el flujo permanente a lo largo de distancias cortas en canales rectangulares donde, a diferencia del flujo normal, la profundidad del flujo sera una función de X. Como en la sección previa, la pendiente del lecho de canal es pequeña

pero puede variar a lo largo del lecho. Se considera un flujo unidimensional y debido a la restricción de distancias pequeñas se ignoraran los efectos de la fricción y la turbulencia. Luego, la altura total H, debe permanecer constante, debido a que no puede haber disipació

n de la energía mecánica. A pesar de que las líneas de corriente no son rectas como en el caso del flujo uniforme, aún se considera que persiste la presión hidrostática perpendicular al lecho en el flujo, como se hizo en la sección anterior.

Considérense ahora las figuras donde se supondrá que en la posición A se ha alcanzado la profundidad crítica. ¿Qué podría esperarse hacia la derecha de A donde el valor de ii, disminuye? Si no existeun cambio de HD en el flujo aguas akiba de A, se mantendrá un caudal por unidad de ancho q constante cuandose hacen cambios aguas abajo. Esto se debe a la existencia del flujo crítico en A, que no permite que las ondas gravitacionales se propaguen hacia aguas arriba. Por consiguiente, se permanecerá en una de las curvas a medida que el observador se mueve hacia aguas

abajo de A. Nótese que al disminuir , necesariamente , se incrementará [véase la ecuación y, por consiguiente, el observador debe moverse hacia la derecha del punto

crítico en la curva de y versus . Para cualquier valor específico de localizado a la

Flujo que muestra la profundidad crítica

En la figura se ve que pueden existir dos profundidades posibles para las condiciones dadas. (Esto es similar a la boquilla convergente-divergente en la cual, para unas condiciones iniciales dadas, podría existir flujo subsónico o flujo supersónico aguas abajo de la garganta. La clase de flujo en la boquilla depende de las condiciones aguas abajo en la cámara de contrapresión). El flujo con profundidad y, de

la figura obviamente es más rápido que el correspondiente a y, por consiguiente,

excede la celeridad de una onda gravitacional . Éste se conoce como flujo ultrarrápido o supercrítico y es obvio que corresponde al flujo supersónico en la boquilla. El flujo en C es más lento que el flujo crítico (Fr < 1) y éste se conoce como flujo tranquilo o subcrítico. En la figura se muestran estas dos posibilidades. El flujo particular que se alcance depende de los controles aguas abajo de A.

Dos flujos son posibles después de la sección crítica A.

Vertedero de cresta ancha (flujo no viscoso).

Como ejemplo, considérese el caso del vertedero de cresta ancha que se muestra esquemáticamente en la figura. Al utilizar la superficie superior del vertedero como nivel de referencia e ignorar la transferencia de calor y la fricción, como se hizo en el flujo anterior, puede suponerse que se conserva la energía meclínica almacenada para el flujo en la parte superior del vertedero. Como esta porción del vertedero es horizontal, también puede decirse [de la ecuación que se conserva la energía específica. Puede simplificarse aún más el problema imaginando que el flujo inmediatamente antes que la cresta del vertedero es un flujo unidimensional sobre la prolongación horizontal hipotética de la cresta, como se muestra en el diagrama. Luego, con propósitos de cálculo, se tiene un flujo en un canal de ancho infinito, donde la energía específica es constante a lo largo del flujo. Con una caída libre desde el vertedero, es decir, sin obstrucciones y sin fricción, puede esperarse el caudal q máximo para una energía específica dada. En consecuencia, debido a que q es maximo para una energía específica dada, se concluye que se tiene

flujo crítico con una profundidad crítica la figura para el caso ideal sin fricción). Sustituyendo la ecuación en la ecuación, puede encontrarse q en la siguiente forma

Si b es el ancho del vertedero de cresta ancha, el caudal total Q es

Ahora debe calcularse Ersp. Para esto, es necesario conocer la altura yo de la superficie libre aguas arriba del vertedero. Por consiguiente, puede deducirse que la altura total H, de las partículas de fluido en el canal puede calcularse considerando las partículas del fluido en la superficie libreaguas arriba lejos del vertedero. Puede ingnorarse la altura de velocidad y si se utilizan presiones manométricas, como es el procedimiento usual, en la ecuación es claro que la altura total con respecto al nivel de referencia del problema es yo. Utilizando la ecuación

con , puede utilizarse este valor como una aproximación para la energía específica. De acuerdo con esto, sustituyendo en la ecuación, se obtiene lo siguiente para Q:

Para llegar a esta ecuación no se ha tenido en cuenta la fricción: en realidad, la fricción produce una disminución en la energía específica a lo largo del flujo. Sin embargo, para un 4 dado a lo largo de la cresta, la energía específica no puede ser menor que la energía específica correspondiente a la profundidad crítica para ese valor de q . Por consiguiente,

el perfil de la superficie libre se ajusta por sí mismo de manera que al final de la cresta se tenga la velocidad crítica (en forma bastante parecida al flujo compresible unidimensional para la condición estrangulada en duetos de área constante). Puede seguir utilizándose la ecuación para el flujo , pero será menor que yo, de manera que Q será menor que el caso ideal.

En la figura se muestra lo que puede suceder cuando el lecho del canal cambia para diferentes caudales. Se urge al lector razonar cada caso por sí mismo. Nótese que en el diagrama del medio se ha mostrado una curva punteada para la posibilidad de que el flujo supercrítico se vuelva subcrítico mediante un resaltohidráulico.

Flujo crítico a la salida.

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO SOBRE CANALES LARGOS

Hasta ahora se ha considerado el flujo normal permanente en canales prismáticos, donde se tuvieron en cuenta la fricción y la turbulencia. Recuérdese que la profundidad es constante para estos flujos. Luego se consideraron flujos permanentes en canales rectangulares no prismáticos sobre distancias cortas. En ese caso, se ignoraron completamente la fricción y la turbulencia. Ahora se considera el flujo permanente en canales no prismáticos a lo largo de distancias grandes. Debido a estas distancias grandes deben tenerse en cuenta la friccióny la turbulencia, como se hizo para el flujo en tuberías largas, ya que estos dos factores afectan definitivamente el flujo. El estudio se restringe a los casos donde la pendiente del lecho, la rugosidad y el 5rea de la sección transversal cambian muy lentamente a lo largo del canal. Por esta razón, estos flujos se conocen como flujos gradualmente variados.

De acuerdo con lo anterior, en la figura se considera un volumen de control infinitesimal en un flujo no uniforme permanente . Se expresa la primera ley de Zn termodinamica para un flujo unidimensional permanente en este volumen de control. Al utilizar presiones manométricas y la ecuación para calcular la altura total , se tiene:

Volumen de control infinitesimal para un flujo gradualmente variado.

donde H, es la pérdida de altura dada por

Flujo gradualmente variado

Cancelando términos en la ecuación, se obtiene:

Nótese que &, puede expresarse como -S.dx. Además, la pérdida en altura total HD es la disminución en la elevación de la línea de energía total (de manera que dH, puede remplazarse por S donde S es la pendiente de la línea de energía total. Al remplazar dfi, por dH, como se indicó, y luego de dividir por clx, en la ecuación se obtiene:

Cancelando términos en la ecuación , se obtiene:

Nótese que , puede expresarse como . Además, la pérdida en altura total HD es la disminución en la elevación de la línea de energía total de manera que dH, puede remplazarse por donde S es la pendiente de la línea de energía total. Al remplazar

por dH1, como se indicó, y luego de dividir por dx en la ecuación se obtiene:

Ahora se considera la ecuación de continuidad para el volumen de control . Notando que se tiene un flujo permanente, puede decirse que

La expresión dA puede remplazarse por b dy, donde 0 es el ancho de la superficie libre. Al despejar , se tiene:

Por ahora se presenta un procedimiento simple para calcular la profundidad y versus x a lo largo de un flujo gradualmente variado. La ecuación puede expresarse en una forma de diferencias finitas como sigue

donde AL es la longitud medida a lo largo del lecho del canal (válida para S, pequeña) y Ay es el cambio en la elevación de la superficie libre correspondiente a un cambio AL en la posición a lo largo del canal. Se supondrá que se conocen todas las condiciones en la sección 1Ahora se estudiará la solución a diferentes problemas.

1 .Desea conocerse la distancia aguas abajo de una posición donde la profundidad tiene un valor conocido yZ. Si So no varía mucho y si y2 es cercano a y1, puede emplearse la ecuación una vez para determinar. AL utilizando el valor preestablecido en Ay así como también los valores conocidos de b, R,, A y S, correspondientes a la sección 1. Un procedimiento más exacto es calcular los valores de b, R, y A en la sección 2 debido a que y2 y Q se conocen, y luego obtener el promedio lineal de b, R, y A entre las secciones 1 y 2.Al utilizar estos valores y el valor promedio de S, puede irse a la ecuación para determinar AL. En los problemas de tarea se pedirá al lector resolver planteamientos como éste.

2. Otro problema es calcular, para una corta distancia AL aguas abajo a lo largo del lecho, cuál es la profundidad. Este problema puede resolverse utilizando valores de prueba sucesivos de y2 y remplazando los valores correspondientes de Ay en la ecuación (14.69) con los valores conocidos de R,, A, b y SO de la sección 1 hasta que se encuentre la distancia AL deseada en el miembro derecho de la ecuación. Un procedimiento más exacto es calcular, en la sección 2, los valores de R,, b y A para cada valor de prueba de y2 y emplear estos valores promedio entre las secciones 1 y 2 al igual que la pendiente promedio S,. Se continúa con valores de prueba sucesivos de y2 hasta que se encuentre el AL correcto, utilizando la ecuación. Nuevamente, este procedimiento no se ilustrará aquí, pero se deja para los problemas de tarea.

3. Finalmente, está el caso donde se desea el perjil de la superjicie libre a lo largo de una distancia AL mayor, o donde se desea un cálculo más exacto de AL para un y2 dado (caso 1) & finalmente, donde se desea un cálculo más exacto de y2 para un AL dado (caso 2). En todos estos casos, para trabajar se escogen incrementos de Ay pequeños. Cuanto menor sea el valor de Ay, más exactos serán los resultados, aunque esto incrementa el trabajo de manera considerable. Ahora, para el primer Ay al ir de la sección 1 a la sección 2, donde se considera que termina el primer Ay, se procede como se describe en el caso 1 calculando (AL),., entre las secciones 1 y 2. Luego se hace lo mismo para el siguiente Ay, que va desde la sección 2 hasta la sección 3 para calcular (AL),,. Se procede hasta que se hayan utilizado todos los incrementos. Luego puede hacerse una gráfica de y versus L utilizando los valores calculados de Ay y AL en cada sección para formar el perfil deseado. Si se resuelve el caso 1 por medio de este procedimiento más detallado, bastará utilizar Ay suficientemente pequeños para alcanzar la profundidad final deseada. La suma de los AL pequeños es la distancia total (AL),,deseada para la profundidad final estipulada. En el caso 2, sólo se llevan a cabo los cálculos utilizando Ay pequeños sucesivos hasta que la suma de los AL sea igual a la distancia total (AL) estipulada.