Flujo EléctricoResolución de Problemas de Flujo eléctrico

Integrantes del Equipo:

Cruz Dorantes Aldo Steve

Guevara Cabrera Edgar

López Avalos Josué David

Martínez Martínez Juan Carlos

Grupo: 1MM21

INTRODUCCIÓN

Michael Faraday en un simple experimento para estudiar el campo eléctrico, llegó a la conclusión errónea de que existe algún tipo de flujo eléctrico que parte de las cargas.

El experimento consistió en dos esferas metálicas concéntricas, separadas por un dieléctrico; la más grande consistente en dos hemisferios que se podían unir fuertemente. Primero se cargó la esfera pequeña con una carga eléctrica conocida. Se colocó el dieléctrico y se armó la esfera grande. Al descargar la exterior y después medir las cargas restantes en ambas esferas, resultó que ambas eran iguales en magnitudes. Esto es cierto para cualquier aislante.

Faraday supuso que existía un flujo eléctrico, y concluyó que era proporcional a la carga. Fue Carl Friedrich Gauss quién expresó matemáticamente esta relación, dando lugar a la ley que lleva su nombre.

El matemático y físico alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) estableció una relación entre el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie cerrada y la carga almacenada en su interior.

DESARROLLO

Para cualquier distribución de carga podemos dibujar un número infinito de líneas eléctricas. Es claro que si la separación entre las líneas será una indicación estándar de la intensidad del campo, debemos establecer u límite al número de líneas trazadas para cada situación.

E=kq

r2

Partiendo de la fórmula en que se trazan las líneas del campo también podemos decir que el campo en una pequeña porción de su área ∆ A es proporcional al número de líneas ∆ N que penetran en esa área. En otras palabras, la densidad de líneas del campo (líneas por unidad de área) es directamente proporcional a la intensidad del campo. Simbólicamente,

∆ N∆ A

∝ En

El subíndice n indica que el campo es normal al área superficial en todas partes. Esta proporcionalidad siempre es válida, independientemente del número total de líneas N que se pueden trazar. Sin embargo, una vez que se elige una constante de proporcionalidad para la ecuación anterior, se establece automáticamente un límite para el número de líneas que pueden trazarse en cada situación. Se ha encontrado que la elección más conveniente para esta constante de espaciamiento es €o. Eso se conoce como permitividad del espacio libre y se define mediante la expresión.

εo=14 πk

=8.8541 x10−12 C2

N ∙m2

Donde k = 9×109 m2

c2 de la ley de Coulomb. Entonces, la ecuación (24.10) puede escribirse

como:

∆ N∆ A

ε o En

O bien:

∆ N=∆ Aε oEn

Cuando En es constante por toda la superficie, el número total de líneas que se dirigien radialmente hacia fuera de la carga encerrada es

N=Aε o En

Se puede notar que la elección de εo es conveniente sustituyendo la ecuación que tenemos al principio en la tercera ecuación

En= 1

4 π ε0

q

r2

Sustituyendo esta expresión en la penúltima ecuación y recordando que el área de una superficie esférica es A= 4π r2 se obtiene:

N= ε o4 π ε0

q

r2(4 π r2)=q

La elección de ε o como la constante de proporcionalidad ha dado por resultado que el número total de líneas que pasan normalmente a través de una superficie es numéricamente igual a la carga contenida dentro de la superficie. Aunque este resultado obtuvo usando una superficie esférica, se aplicará a cualquier otra superficie. El planteamiento más general de ese resultado se conoce como Ley de Gauss:

El número total de líneas de fuerza eléctricas que cruzan cualquier superficie cerrada en dirección hacia fuera es numéricamente igual a la carga neta total contenida dentro de esa superficie.

N= ∑ ε0 En A = ∑ q

La ley de Gauss se utiliza para calcular la intensidad del campo cerca de las superficies de carga. Esto representa una clara ventaja sobre los métodos desarrollados anteriormente debido a que las ecuaciones anteriores se aplican sólo a cargas puntuales.

FLUJO ELÉCTRICO DE SUPERFICIE CERRADA.

Cuando el flujo de campo eléctrico no uniforme que atraviesa superficies abiertas, es posible deducir que si disponemos de una superficie cualquiera cerrada, el flujo en dicha superficie se puede obtener como la suma de los flujos de cada una de las superficies abiertas que constituyen dicha superficie.

El flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada cualquiera creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión:

Φ = ∮E .dA= qε .

 

DondeΦ= Flujo eléctrico

∮¿integral cerrada respecto a toda una superficie cerrada

E = Campo eléctrico N/CdA = Diferencial del área de la superficieq= Carga cerrada en una superficie (C) ε .= Permitividad del vacio (NC2/m2)

FLUJO ELÉCTRICO DE SUPERFICIE ABIERTA.

Lo más común es que los campos eléctricos no sean uniformes y las superficies no sean planas. En este caso, para calcular el flujo eléctrico es necesario dividir la superficie en pequeñas superficies elementales (dA) cuyo carácter infinitesimal nos permita considerar que E  en cada una de esas superficies elementales es constante.

Una vez conocido el flujo que atraviesa cada superficie elemental, el flujo total que atraviesa toda la superficie será la suma de todos esos diferenciales de flujo.

El flujo eléctrico que atraviesa una superficie no plana y creado por un campo eléctrico no uniforme se puede calcular por medio de la siguiente expresión:para una Superficie Volumétrica

E

Φ = ∫EcosθdA  

DondeΦ= Flujo eléctrico

∫¿Integral respecto a toda una superficie

E = Campo eléctrico N/CCosθ= Angulo entre E y dAdA = Diferencial del área de la superficie

Un cono de radio R en la base y altura h, está sobre una mesa horizontal. Un campo horizontal uniforme E penetra el cono como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico que entra en la mitad superior izquierda del cono.

q=ε 0E (πrg)

g=√r2h2∴ q=ε 0E (π r2 (√ r2h22 ))

Dónde:

g= Hipotenusa

r= Radio de la base

E= campo eléctrico

h= Altura4. Usando Ley de Gauss, deduzca y calcule el campo eléctrico que cruza una superficie gaussiana esférica de 15 cm de radio, si el centro de la superficie esférica hay una carga puntual de 100 µC.

q = ɛ .∫Edcosθ

q = ɛ . E (4πr2) q

(4 πr2) = ɛ . E

E= qɛ .(4 πr 2)

E= 100×10−6µC

8.8541 x10−12 C2

N m2(4 π (0.15m )2)

E=¿39944664.767NC

ε 0= Constante de permitividad en el vacío

E= 4x10 7 NC

Bibliografía.

Libro de texto:

Física Conceptos y aplicaciones. Paul E. Tippens. Editorial McGraw-Hill, Séptima edición , 2011.

Página web:

https://www.fisicalab.com/apartado/flujo-electrico#contenidos