INSTITUTO POLITECNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICAUNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO

ASIGNATURA:

Resistencia De Materiales II

PROFESOR:

Jorge Gómez Villareal

TRABAJOS:

Muelles (Ballestas, Resortes Helicoidales); Flexo-torsión

ALUMNO:

Castillo Martínez Jesús

BOLETA:

2009360099

GRUPO:

5RM1

Flexo-torsión.

En los perfiles abiertos de paredes delgadas con dos ejes de simetría (centro de corte coincidente con el centro de gravedad), el pandeo puede darse según algunos de estos ejes o por torsión.

En el caso de tener un sólo eje de simetría o ninguno, la pieza puede fallar por alguno de estos tres casos o por una combinación de flexión con torsión, lo que se denomina “Pandeo por Flexo-torsión”.

Ecuación general de pandeo:

Cuando se estudia la flexión simple se obtiene que:

∂M x

∂z

=−Q y

∂2M x

∂z2 =−qy

Y el Mx está dado por:

M x= yE {J} rsub {x} = {{∂} ^ {2} Y} over {{∂} rsub {z} rsup {2}} E {J} rsub {x} {{∂} ^ {4} Y} over {{∂} rsub {z} rsup {4}} E {J} rsub {x} = {q} rsub {y} (1∴

Análogamente para el otro eje:∂4 X∂z

4 EJ y=qx (2)

Por otra parte, al estudiar el problema de estabilidad, se obtiene según el eje y:

EJ X∂4Y∂z

4 =−PcrY (3)

Según el eje X:

EJ y∂4 X∂z

4 =−Pcr X (4 )

Derivando 3 y 4:

EJ x∂4Y∂ z

4 =−Pcr∂2Y∂ z

2 ; E J y∂4 X∂ z

4 =−Pcr∂2 X∂z

2

Reemplazando en 1 y 2:

q y=−Pcr∂2Y∂z

2(5 );qx=−Pcr

∂2X∂z

2 (6)

Luego para encontrar la ecuación general de pandeo, provocaremos una perturbación infinitesimal en las direcciones x e y, compuestas con una rotación θ. (Figura 1)

Como se observa en la figura 1, se dan a la sección, los desplazamientos X e Y, y un giro θ que se verifica alrededor del centro de corte de la misma (M); pero como éste también se ha desplazado el giro es alrededor de su nueva posición (M’).

Las nuevas coordenadas del centro de gravedad (G) serán:

XG } =X+ overline {G'D} X+ overline {G'G''} sen≅ ¿

Pero:

G'G' '≅ G'M 'θ=GMθ→XG' '=X+GMθ senα∴ XG' '=X+Y mθ (7)

Análogamente:Y G} =Y- overline {G''D } overline {G'G''} cos≅ ¿

→Y G' '=Y +GM θcosα∴Y G' '=Y +Xmθ(8)

Como la carga está ubicada en el centro de gravedad, al desplazarse éste, se generan los momentos:

M X=PY G ''=P (Y +Xmθ ) ;M Y=P XG ''=P(X+Y mθ)

Reemplazando en 3 y 4:

EJ X∂4Y∂z

4 =−P (Y +X mθ )=−M X (9)

Y

EJ y∂4 X∂z

4 =−P (X+Y mθ )=−M y (10)

Considerando un punto cualquiera sobre la línea media de la sección, como por ejemplo el punto B (XB, YB), su desplazamiento será similar al de G:

Y B' '=Y B+Y +B' F ≅Y B+B'B ' ' senβ

B' B' '≅ B'M ' θ=BM θ

Y B' '=Y B+Y +BM θsenβ

Y B' '=Y B+Y−θ ( XM−XB )(11)

X B' '=XB+X+B ' F cos β

X B' '=XB+X+θ (Y M−Y B )(12)

Reemplazando 11 y 12 en 5 y 6:

q y=−Pcr∂2Y∂z

2 =−Pcr∂2Y∂z

2 [Y B+Y−θ ( XM−XB ) ]=−Pcr∂2Y∂z

2 [Y−θ (XM−XB )]

qx=−Pcr∂2X∂z

2 =−Pcr∂2 X∂z

2 [X B+X+θ (Y M−Y B ) ]=−Pcr∂2 X∂z

2 [ X+θ (YM−Y B ) ]

Tomando Momento torsor con respecto al centro de corte y siendo:

∂q y=∂ Pcr∂2Y∂ z

2 [Y−θ (XM−X B ) ] ;∂ Pcr=σtds

∂qx=∂Pcr∂2X∂z

2 [X+θ (Y M−Y B )];∂ Pcr=σtds

∂T ( z )=σtds∂2Y∂ z

2 [Y−θ ( XM−X B ) ] (XM−X B )−¿

σtds∂2 X∂z

2 [X+θ (Y M−Y B ) ] (Y M−Y B )

Integrando a lo largo de toda la línea media de la sección:

T ( z )=∫s

❑

σ t∂2Y∂z

2 (XM−X B )ds−∫s

❑

σt∂2θ∂z

2 ( XM−XB )2ds

−∫s

❑

σ t∂2 X∂z

2 (YM−Y B )ds−∫s

❑

σ t∂2θ∂ z

2 (YM−Y B )2ds

T ( z )=σ Xm∂2Y∂z

2 ∫s

❑

t ds−σ∂2Y∂z

2 ∫s

❑

t X Bds−σ∂2θ∂z

2 (Xm )2∫s

❑

t ds+2σ∂2θ∂z

2 Xm∫s

❑

t X Bds−σ∂2θ∂z

2 ∫s

❑

t (X B )2ds−σ∂2 X∂z

2 Y M∫s

❑

t ds+σ ∂2 X∂z

2 ∫s

❑

t Y Bds σ∂2θ∂ z

2 (Y m )2∫s

❑

t ds+2σ∂2θ∂z

2 Y m∫s

❑

t Y Bds−σ∂2θ∂z

2 ∫s

❑

t (Y B )2ds

T ( z )=σ Xm∂2Y∂z

2 A−σ∂2θ∂z

2 ( Xm )2 A−σ∂2θ∂z

2 J y−¿

σ Y m∂2 X∂z

2 A−σ∂2θ∂z

2 (Y m )2 A−σ∂2θ∂z

2 J x

T ( z )=P (Xm∂2Y∂z

2 −Y m∂2 X∂z

2 )− P∂2θA ∂z

2 (XM2 A+J y+Y M

2 A+J x )

Llamando:J0=(XM

2 +YM2 ) A+J y+J x

T ( z )=P (Xm∂2Y∂z

2 −Y m∂2 X∂z

2 )− P∂2θA ∂z

2 J0(13)

T(z) es un momento torsor distribuido en la longitud de la pieza. En la “referencia 1” se calculó el momento torsor que absorbe un perfil abierto de paredes delgadas con alabeo restringido, cuando el momento aplicado es constante a lo largo de la pieza.

T=CM E∂3θ∂z

3 −G J t∂θ∂Z

Por lo tanto para obtener la expresión correspondiente al caso de un momento distribuido se hace:

T ( z )dz=T + dTdz

dz−T=dTdz

=CM Ed4θdz4 −GJ t

d2θdz2 (14)

Reemplazando 13 en 14

P(Xm∂2Y∂z

2 −Y m∂2X∂z

2 )− P∂2θA∂ z

2 J 0=CM Ed4θdz4 −GJ t

d2θdz2

CM Ed4θdz 4 −(GJ t−J 0

PA ) d

2θdz2 −P Xm

∂2Y∂z

2 +PY m∂2 X∂z

2 =0(15)

Resolvemos la ecuación general para el caso que presenta las siguientes condiciones de borde:

En z = 0 y z = L; X = Y = 0; θ=0 y además M x=M y=0

O sea:d2Ydz2 =d2 X

dz2 =d2θdz2 =0 enz=0 y z=L

Proponiendo la siguiente solución:

X=A1 sen ( πzL )Y=A2 sen( πzL )θ=A3 sen ( πzL )Reemplazando en 9 y 10:

−E J X ( πL )2

A2 sen ( πzL )=−P A2 sen( πzL )−PY M A3 sen( πzL )[P−E J X ( πL )

2] A2−P XM A3=0(16)

−E J y ( πL )2

A1 sen( πzL )=−P A1 sen ( πzL )−P XM A3 sen ( πzL )[P−E J y ( πL )

2]A1−PY M A3=0(17)

De la 15

CM E( πL )4

A3 sen ( πzL )+(GJ t−J 0PA )( πL )

2

A3 sen ( πzL )+P X m( πL )2

A2 sen ( πzL )−PY m( πL )2

A1 sen ( πzL )=0

PY m A1−P Xm A2−[CM E ( πL )4

+GJ t−PAJ 0]A3=0(18)

Se obtuvo entonces un sistema de 3 ecuaciones (16, 17 y 18) con tres incógnitas (A1, A2 y A3); para encontrar una solución única el determinante deberá ser nulo:

[ 0 [P−E J X ( πL )2] −P XM

[P−E J y( πL )2] 0 PY m

PY m −P XM [ PA J 0CM E ( πL )2

−GJ t ]]=0

[P−E J X ( πL )2]{(PY m )2−[P−EJ y ( πL )

2][ PA J 0CM E ( πL )2

−GJ t]}+(P XM )2[P−EJ y ( πL )2]=0 (19)

Considerando ahora el caso en que el centro de corte coincida con el centro de gravedad, de las ecuaciones 16, 17 y 18 se obtiene:

Pcrx=( πL )2

EJ X (20 )

Pcry=( πL )2

E J y (21 )

Pcrθ=AJ0

[CM E ( πL )2

+G J t ] (22 )

Estas ecuaciones dan las cargas críticas de pandeo por flexión en ambos ejes y por torsión. La menor de estas tres será la carga crítica de la columna y determinará entonces la forma de pandeo de la misma.

Considerando las 20, 21 y 22; y desarrollando 19 en P, se obtiene la ecuación general de pandeo por flexo-torsión:

P3[ J x+J y

J 0]−P2[Pcrx+Pcry+Pcrθ−(PcrxYM

2 +PcryXM2 ) A

J 0]+¿

P [Pcrθ (Pcrx+P cry )Pcrx Pcry ]−PcrxP cryPcrθ=0(23)

Para el caso de tener un solo eje de simetría se debe resolver el determinante reducido, suponiendo YM = 0, se obtiene:

[P−E J X ( πL )2] [ PA J 0CM E( πL )

2

−G J t ]+(P XM )2=0

[P−Pcrx ] [P−Pcrθ ]J 0

A+P2 XM

2 =0

P2(1−XM2 AJ 0

)−P (PcrxPcrθ )+PcrxPcrθ=0(24 )

Para el caso de tener dos ejes de simetría, las cargas se calculan por las ecuaciones 20, 21 y 22. La carga crítica será entonces la menor de las tres.