Los vectores son muy importantes para estudiar fenómenos que suceden anuestro alrededor. Con ellos podemos explicar por ejemplo: ¿Por qué sielevamos una comenta cuando el viento está soplando en contra, yempezamos a correr para mantenerla en el aire, ésta retrocede al punto enque la cuerda con la que la sostenemos, queda inclinada hacia atrás?:

IMPORTANCIA DE ESTUDIAR VECTORES

Para casos como este. Usamos los vectores para representar la velocidad que lleva lacometa y la velocidad del viento. Lo importante es ubicar los vectores en la dirección enla que se mueve cada uno, así:

Este sería el vector que nos permite explicar por qué la cometa se va hacia atrás y no hacia adelante o por qué no se queda fija cuando la elevas contra el viento.

CONCLUSIONESPodemos decir que al hacer uso de los vectores (flechas dirigidas que poseen magnitud), podemos explicar mucho más fácil, problemas que tienen que ver con velocidades, desplazamientos, fuerzas y aceleraciones.

Estos son en realidad, fundamentales para el estudio de la física

Para poder estudiar a cerca de los vectores, es necesario identificar¿Cuándo se usan?. Observa y notarás que estos sólo los empleamoscuando estamos estudiando Magnitudes Vectoriales , porque es cuandonecesitamos saber además de una magnitud (como 30 km/h), de unadirección (ángulo) y un sentido (Norte, sur, este, oeste). Justamente losvectores los podemos construir largos o cortos para representar lamagnitud, los podemos graduar para indicar el ángulo y también lospodemos orientar hacia el norte, el sur, el este o el oeste.

Esto nos permite entonces asegurar que para las magnitudes escalares nonecesitamos vectores. Estas sólo se define con una magnitud (ejemplo: 3segundos., no necesitamos decir 3 segundos al norte. Con sólo decir eltiempo y su cantidad numérica es suficiente).

Un vector, es una flecha dirigida ( inclinada una cantidad de grados y orientada hacia el Norte, Sur, Este, Oeste) que posee un valor numérico y una unidad de medida.

Por ejemplo:Si queremos representar la velocidad de un caballo que se mueve a 30km/h hacia el Este.

Podemos hacer el vector que tenga: valor numérico 30, unidad de medida km/h, dirección 0º y sentido hacia el Este.

Los vectores los podemos simbolizar de dos formas:

1) Mediante una letra que puede ser mayúscula o minúscula y una flecha encima de ella.

2) Otra manera de simbolizar es poner en negrilla la letra

Si este fuera nuestro vector:

lo podríamos simbolizar como se muestra a la derecha:y nos indicaría por ejemplo la velocidad de una bicicleta

Ya vimos que un vector se dibuja como una flecha dirigida. Ahora, es importante reconocer que esa flecha se compone de tres partes:

1) Una cola, también llamada punto inicial

2) Una cabeza, también conocida como punto final

3) Una longitud. Ten en cuenta que si tienes dos vectores y uno de ellos es más largo que el otro, es porque ese representa un vector con mayor magnitud.

presentamos un mapa donde se identifica que los vectores son la forma como se representan las magnitudes vectoriales.

Ahora, es importante mencionar ¿Cuáles son sus 3 características fundamentales?:

1) MAGNITUD: se refiere a ¿Cuanto mide el vector?.Es el valor numérico acompañado de la unidad demedida, por ejemplo 8 N. El 8 es el número y N (selee Newton) es la unidad de medida de la Fuerza.

¿Cómo simbolizamos la magnitud?Recuerda que un vector se simboliza con una letra yuna flecha arriba o con la letra en negrilla. Parareferirnos a la magnitud o a la longitud del vector,usamos la letra con la flecha pero encerrada entredos líneas o la letra sin negrilla, así:

3) SENTIDO: se refiere a ¿Hacia dónde dirijo el vector?Es el que orienta el vector, puede ser hacia el norte, el sur, el este, el oeste,arriba, abajo, derecha o izquierda.

2) DIRECCIÓN: se refiere a ¿Qué tanto giro el vector?.Es el que indica cuántos grados gira el vector

OPERACIONES CON VECTORES:

SE PUEDEN SUMAR VECTORES (cumple ley asociativa y conmutativa)

ley conmutativa ley asociativa

SE PUEDEN RESTAR VECTORESSE PUEDEN MULTIPLICAR VECTORES (plano y en espacio)

NO SE PUEDEN DIVIDIR VECTORES (Espacio) Si magnitud vectorial por un

escalar

Existen tres maneras de sumar vectores:(Todas te las explicaremos más adelante)

Existen dos reglas fundamentales para sumar gráficamente un par de vectores:

Veamos un Ejemplo:

Homero sale corriendo de la biblioteca pública a la estación de bomberos para pedir ayuda porque olvidó las llaves de su casa.

¿Cuál será el desplazamiento final de la biblioteca pública a la casa?

Para dar respuesta a esta pregunta, empleamos la suma de vectores, partiendo del hecho que el desplazamiento es una magnitud vectorial y por lo tanto lo podemos representar con vectores.

Ten en cuenta que el desplazamiento es vectorial, pero no el recorrido. Estos dos conceptos son diferentes. El desplazamientos es la distancia que hay al trazar una línea recta que una punto con otro, por ejemplo la de la biblioteca hasta la estación de bomberos, la de la estación de bomberos a la casa. El desplazamiento final sería entonces línea recta desde el punto de inicio con el final, es decir la biblioteca con la casa.

g g ,

Desplazamiento Final (Vector Resultante une pto.de partida con el de

llegada

COLA C/ COLA

CABEZA C/ CABEZA

Matemáticamente puedes sumar dos vectores si tienes en cuenta cómo están ubicados gráficamente y si observas ¿Qué clase de figura forman con la resultante?.

De esta manera, podemos entonces identificar tres clases de figuras que se pueden formar y su proceso matemático para hallar la magnitud del vector suma:

1) Cuando los dos vectores se suman en una dimensión:

2) Cuando la figura que forman los vectores con la resultante es un triángulo rectángulo:

3) Cuando la figura que nos forman los dos vectores con la resultante es un triángulo que no es rectángulo:

Para que te sirva de ayuda en el desarrollo te planteamos una situación en la que Homero muestra los vectores que indican su desplazamiento por las calles de Springfield, desde la Farmacia hasta el Hospital.

Para saber cuál es el desplazamiento final de la farmacia al hospital, lo que hacemos es empezar a sumar los vectores de dos en dos hasta llegar al vector final que termina en el hospital.

Veamos el proceso gráfico:1º Asignamos una letra que simbolice cada vector, para este caso usamos las letras en negrilla

C, así: obtenemos el segundo vector suma:

con D:

ConclusiónPodemos sumar más de dos vectores, peropara hacerlo existen varios métodos. El másfácil y cómo, es el de sumar los dos primerosvectores para luego usar la resultante ysumarlo con el otro vector hasta llegar alvector final, así como se hizo para indicar eldesplazamiento que Homero hace desde laFarmacia hasta el Hospital.

3) Cuando la figura que nos forman losdos vectores con la resultante es untriángulo que no es rectángulo:

SUMAS DE LOS SIGUIENTES VECTORES

U

W

W

UU + w

U + W = V

que u+0=u,

RESOLVER LAS SUMAS DE LOS SIGUIENTES VECTORES1º CASO

2º CASO

C

3º CASO

4º CASO

Restar vectores:Para realizar esta operación basta sumar el primero con el opuesto del segundo.

En la última figura tienes los vectores a y su vector opuesto -a lo mismo que el vector cy su opuesto –c.

Recuerda que el opuesto del número 8 es -8. En el caso de los vectores basta cambiarles el sentido.

Para restar sumas al primer vector el opuesto del segundo:

Resta los vectores siguientes:

Ejemplo 1º:Tomamos los dos primeros vectores del ejercicio:Si observas, las coordenadas del vector a son ( – 3, 4) y las del vector b (4,2).

4

OTRO EJEMPLO

-34

2

Ejemplo 2ºLas coordenadas del vector a son (3,5) y las del vector b (6, – 2)

Respuestas:

Comprueba si el 2º resultado es correcto.Respuesta: (-3,7)SoluciónLas coordenadas del vector a son (3,5) y las del vector b (6, – 2)La diferencia será ( 3 – 6, 5 – (– 2)) = (– 3,7)

Ejemplo:Tomamos los dos primeros vectores del ejercicio:Si observas, las coordenadas del vector a son ( – 3, 4) y las del vector b (4,2).Restamos ( – 3, 4) + (–4, –2) = (– 3–4, 4–2) = (–7,2) que son las coordenadas del vector diferencia.

MULTIPLICAR UN VECTOR (Magnitud Vectorial) POR UN NUMERO (Magnitud Escalar)

En la figura siguiente tienes el vector a que lo multiplicamos 3:

Otro ejemplo.

La comprobación consistiría en multiplicar por 3 las coordenadas de a y ver si son iguales a las del vector respuesta:

Dividir un vector (mg. Vectorial) por un número (magnitud escalar)En realidad es algo tan simple que se reduce a un producto.En primer lugar debes recordar que entendemos por inverso de un número.El inverso del número 4 es:

El inverso de

Divide entre 2 el vector siguiente:

Respuesta:

El vector A se localiza en el plano xy. ¿En qué orientaciones de A sus componentes serán negativas? ¿En qué orientaciones sus componentes tendrán signos opuestos?

Ax-Ax

Ay

-Ay

-Ax

-Ay

Divide el vector ( -2, 1) entre 0,2.

Debes tener en cuenta que 0,2 puedes escribir como

El inverso de

Es como si hubieses multiplicado por 5 a las coordenadas (-2, 1) del vector:

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES (espacio)

El producto vectorial de dos vectores produce un vector perpendicular a los dos vectores.

Características del vectorTodo vector tiene sus propias particularidades como son: su módulo, su dirección y susentido.Vamos a estudiar el valor del módulo del vector , su dirección y sentido.Módulo:En la figura siguiente tenemos un plano donde hemos dibujado los vectores y :

Producto vectorial

Dados dos vectores, y , que forman un ángulo θ ( ), se denomina producto vectorial, , a un nuevo vector tal que Móduloes igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno del ángulo que forman. Equivalentemente, es el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

Direcciónla perpendicular al plano definido por los vectores y .

Sentidoel dado por la regla de la mano derecha: si colocamos nuestra mano derecha de forma que los dedos sigan el sentido de giro desde elprimer vector, , hacia el segundo vector, , por el camino más corto, entonces el pulgar extendido apunta en el sentido de .

El módulo del producto vectorial de dos vectores, , es igual al área del paralelogramo que tienecomo lados a ambos vectores, o -lo que es lo mismo- es igual al doble del área del triángulo que tiene aambos vectores como dos de sus lados.

El sen α será igual al cateto opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa:

Podemos escribir también:

de donde vemos que : Si multiplicamos a los dos miembros de la igualdad por el módulo de tenemos:

El producto equivale a la superficie del paralelogramo OABC:

La base es y la altura

También podemos expresar la superficie del paralelogramo OABC con el producto:

Como hemos dicho que equivale a:

Según vemos en la línea anterior, el módulo del producto vectorial equivale al área del paralelogramo que está definido por los dos vectores:

Esto quiere decir que el valor de aumentará o disminuirá si lo hacenque los tenemos en el plano.

Aplicando estos valores en

Disponemos de los datos siguientes:

Si tomas el vector con la mano derecha tal como ves en la figura, cerrando los dedos excepto el pulgar que lo mantienes extendido hacia arriba y giras la mano en el sentido inverso a la marcha de las agujas de un reloj, de por el camino más corto el sentido del vector lo señala el pulgar, en este caso hacia arriba o positivo.

El movimiento de giro lo haces en sentido contrario de la marcha de las agujas de un reloj.

¿Qué sucedería cuando el giro lo tenemos que hacer para ir del vector al coincidiendo con la marcha de las agujas de un reloj, el sentido será opuesto (negativo) al estudiado anteriormente.

GRACIAS POR SU ATENCION

Nuestros mejores deseos en los próximos 5 años ésta carrera que han elegido.