fisica i - sem2 - vectores
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EPE – Física 2
- Vectores
- Componentes de vectores
- Suma de vectores
- Vectores Unitarios
- Producto de vectores
Vectores
Semana 2
FÍSICA I
CURSO ACADÉMICO 2012 - I.
CATEDRÁTICO. ÁNGEL AQUINO FERNÁNDEZ
18/03/2012 2
• Elementos
Módulo:
Dirección:
Sentido: Cabeza de la flecha
Magnitudes escalares y vectoriales
• Existen magnitudes físicas como la
velocidad y la fuerza que para quedar
definidas requieren conocer la dirección,
mientras que otras como la temperatura o
la masa, no. A las magnitudes que poseen
dirección se les denomina vectoriales.
Las otras magnitudes se denominan
escalares.
• Las magnitudes vectoriales se representan
mediante vectores, los cuales
geométricamente son segmentos de rectas
orientadas (flechas).
origen
F
|F| o F
Angel A. F.
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• Dos vectores son opuestos si tienen el
mismo módulo pero direcciones opuestas.
• Dos vectores son iguales si tienen el
mismo módulo y la misma dirección.
Vectores iguales y vectores opuestos
A
B
180
A
B
A B
A B
Angel A. F.
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Los vectores libres son aquellos que no tienen
una posición fija en el espacio. Tal cantidad
se representa por un número infinito de
vectores que tienen la misma magnitud,
dirección y sentido.
• Dos o más vectores son deslizantes si
tienen una y solo una recta a lo largo de
la cual actúan. Pueden representarse por
cualquier vector que tenga sus tres
elementos iguales ubicado en la misma
recta.
Vectores deslizantes y vectores libres
A
B
A B
C
D
F
E
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Los vectores de posición son aquellos cuyo
origen coinciden con el origen de las
coordenadas
En el plano o en el espacio cada dos puntos
determinan un vector, a cada uno de ellos se
le llama Vector Fijo
Vectores fijos y de posición
ˆˆ ˆx y za a i a j a k
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Suma de vectores. Método gráfico
• Para sumar vectores con el método
gráfico, se unen de manera consecutiva la
punta de un vector con la cola del
siguiente. La resultante se obtiene
uniendo la cola del primer vector con la
punta del último.
• Esta operación es conmutativa; es decir,
puede cambiarse el orden de los vectores
que se están sumando y la resultante será
la misma.
A
B
R
A B R
R
B A R
A
AB
B
Angel A. F.
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Suma de vectores. Método del polígono
• Para sumar varios vectores se utiliza el método del polígono. Es decir colocar un vector a
continuación de otro en forma sucesiva, la resultante es aquel vector que une el origen
con el extremo del último vector.
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Método Analíticos: Ley de Cosenos y de Senos
Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla del
paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de
cosenos:
• La dirección mediante la ley de senos
2 2
2 cosR A B A B
( )
AR B
sen sen sen
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Ejercicio Pag 11.
Determinar el módulo de la resultante y el ángulo que forman la recta soporte de la resultante
con el eje x
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Método de componentes vectoriales
• El vector A puede representarse como la
suma de dos vectores que se encuentran
sobre los ejes x y y respectivamente.
Estos vectores reciben el nombre de
componentes del vector A.
• Ax y Ay se denominan componentes del
vector A y se pueden calcular mediante la
siguiente relación:
x yA A A
cosxA A
yA Asen
2 2
x yA A A
1tan ( )y
x
A
A
Angel A. F.
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Vector Unitario
• Un vector unitario es un vector con
magnitud 1, no tiene unidades y su único
fin es especificar una dirección.
• Se define como el cociente entre el vector
dado y su modulo correspondiente:
En función a los vectores unitarios
En un sistema de coordenadas x-y el vector
unitario i tiene la dirección del eje +x y el
vector j la dirección +y.
j
A
xA
yA
i
x yA A i A j
Angel A. F.
ˆA
Au
A ˆ
AA A u
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Ejercicio Pag 12Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la resultante de
las fuerzas sobre el perno.
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En el espacio
Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cos
ˆˆ ˆ(cos cos cos )
ˆ
ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )
x y z
x y z
A
A
A A A A
A A i A j A k
A A i A j A k
A A i j k
A Au
u i j k
2 2 2
x y zA A A A
cos xA
A
cos yA
A
cos AzA
cosxA A
cosyA A
coszA A
Cosenos Directores:
Magnitud:
2 2 2cos cos cos 1
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Ejercicio Pag 13
Al bloque de anclaje de la figura se aplican tres fuerzas mediante cables. Determinar el módulo,
dirección y sentido (ángulos θx, θy, θz) de la resultante R de las tres fuerzas
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Suma de vectores. Método de las componentes
• Para sumar dos o más vectores mediante
el método de las componentes, debe
escribir cada uno de los vectores a través
de sus componentes y luego sumar
independientemente las componentes x y
las componentes y de dichos vectores.
• Calcule el desplazamiento total de cartero
del ejercicio anterior utilizando el método
de las componentes.
x yA A i A j
x yB B i B j
x yC C i C j
( ) ( )x x x y y yR A B C i A B C j
Angel A. F.
18/03/2012 Angel A. F. 16
Ejercicio Pag 14
Una marinera en un velero pequeño se topa con vientos cambiantes. Navega 2 km al este, 3,5
km al sureste y luego otro tramo en una dirección desconocida. Su posición final es 5,8 km al
este del punto inicial. Determine la magnitud y dirección del tercer tramo.
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector .
El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector
producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector
producto tiene la misma dirección y sentido de . Por el contrario
si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a .
cA
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Multiplicación de un escalar por un vector
Producto Escalar
El producto escalar o producto punto de dos vectores
A y B denotado por y expresado A multiplicado
escalarmente B, se define como el producto de las
magnitudes de los vectores A y B por el coseno del
ángulo que forman ellos.
18/03/2012 18Angel Aquino F.
Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar es conmutativo
2. El producto escalar es distributivo
3. Producto de un escalar por el producto escalar
4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer
vector
18/03/2012 19Angel Aquino F.
5. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales
6. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.
7. Producto escalar de dos vectores
8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos
vectores son perpendiculares
. 0A B A B
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18/03/2012 Angel A. F. 21
2 3 7a i j k
5 3 4b i j k
c
.a b
.b c
.c a
Dado los vectores: ; y vector que une P1(3; 4; 5)
con P2(3; 3; 6).
Determine a) b) c);
Ejercicio: Pág 15
Producto Vectorial
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, es un
tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los
dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus
magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo
sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La
notación del producto cruz es
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Regla de la mano derecha
Curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al
primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el
vector producto.
18/03/2012 23Angel Aquino F.
Propiedades del producto vectorial
1. El producto vectorial no es conmutativo
2. El producto vectorial es distributivo
3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.
4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios
18/03/2012 24Angel Aquino F.
5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es
6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo que tiene a los vectores A y B
7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son
paralelos.
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )
x y z y z z y x z z x x y y z
x y z
i j k
AxB A A A A B A B i A B A B j A B A B k
B B B
( ) ( )Area AxB A Bsen A h
18/03/2012 25Angel Aquino F.
18/03/2012 26Angel A. F.
En la figura mostrada determinar la magnitud del ángulo que forman FB y FC.
Ejercicio: Pág 15