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FSICA CUNTICA 1 Introduccin.

La fsica clsica se caracteriza por ser determinista. Cuando un sistema est definido por una serie de magnitudes fsicas como pueden ser la temperatura, la masa, la velocidad, una distribucin de fuerzas, etc., los estados subsiguientes del mismo estn perfectamente determinados y se pueden medir con una precisin infinita, entendiendo por esto que, solamente est limitado por la calidad tcnica del aparato de medida pero que no existe ley alguna que nos impida mejorar indefinidamente la precisin. En contraposicin a esto, la fsica cuntica nos dice que la naturaleza restringe la precisin con la cual podemos efectuar una medida en el mundo subatmico, bsicamente porque dicha medida implica interactuar con el propio objeto medido y, tratndose de partculas muy pequeas, la interaccin interfiere notablemente con el proceso de medicin, alterndolo de forma sustancial. Aparte de ello, la propia naturaleza de las partculas subatmicas no es exactamente como se pensaba en fsica clsica y ello condujo a una remodelacin del concepto que tenemos de la naturaleza. No se puede pretender hacer un estudio exhaustivo de una materia como la teora cuntica en unas pocas pginas, de forma que aqu se tratarn nicamente los conceptos bsicos sobre este tema. Antes de continuar es menester aclarar que la fsica cuntica est lejos de ser intuitiva. Muy al contrario, en determinados momentos parecer que viola las ms elementales normas del sentido comn y la razn, dotando a las partculas subatmicas de propiedades sorprendentes y aparentemente absurdas como sera el hecho de estar en dos sitios a la vez o que un fenmeno pueda existir y no existir a un mismo tiempo. Hay una cosa importante, y es que todas las certezas de la fsica clsica se transforman en simples probabilidades, y abandonaremos el concepto de determinismo diciendo, simplemente, que la probabilidad de que ocurra un determinado acontecimiento es del 80%, el 50%, etc. A menudo se dice que un buen sntoma de saber fsica cuntica consiste en no comprenderla. Mucho ms sorprendente resulta comprobar que muchas de las leyes aparentemente absurdas que la gobiernan son plenamente cumplidas por las partculas subatmicas. 2 Operadores y valores propios. Una de las caractersticas de la mecnica cuntica es el uso de operadores. Un operador es un elemento simblico que, al ser aplicado a una funcin o variable, produce algn tipo de operacin matemtica. Un buen ejemplo de operador simblico es nabla, que, como es sabido, posee la forma = i /x + j /y + k/z. Adems de efectuar una derivacin, el resultado de aplicar nabla a una funcin escalar produce un vector, al cual se denomina gradiente. Si A es un operador de este tipo, al ser aplicado a una expresin, puede ser usado igual que un nmero, empleando operaciones habituales, como por ejemplo la distributiva:

[ ] )()()()( 2121 xAbfxAafxbfxafA +=+ , (2.1)

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donde f1(x) y f2(x) son funciones de la variable x. Ntese que los operadores se aplicarn normalmente a funciones puesto que A puede contener operaciones de derivacin. Existen diferentes operaciones matemticas que se pueden aplicar a un operador como el producto (AB), por ejemplo, consistente en aplicar sucesivamente primero B y despus A. Por ejemplo, sean dichos operadores A = x y B = d/dx, pudiendo poner que:

)()( xfxxAf = , )()( xfdx

dxBf = ,

y por tanto: [ ] )()()()( xfxxfAxBfAxABf === ,

Como resulta evidente, el producto no es conmutativo. En cuanto a los valores propios, o autovalores, hay que decir que en determinadas circunstancias los operadores se pueden reducir a un simple producto clsico. En el caso que hemos planteado en el ejemplo, con A=x, esto ya ocurre puesto que el operador es una mera multiplicacin por x sin mayores consecuencias. La pregunta es si existen casos en los que un operador de derivacin pueda simplificarse de esta manera, y citaremos el ejemplo de la funcin x2exf =)( , a la cual aplicaremos el operador simblico derivada: B=d/dx, se tiene:

)()( xfxBf x2e == 22 , (2.2) lo que nos lleva a pensar que, en este caso particular, aplicar el operador B es lo mismo que multiplicar por 2. Decimos, entonces, que "2" es un valor propio o autovalor. Ms adelante usaremos este concepto. En el caso en el que el autovalor sea una constante, la aplicacin sucesiva del operador (B en este caso) equivale a sucesivas multiplicaciones por dicho autovalor. Si b es el autovalor constante del operador B, se tiene:

n nB f(x) b f(x)= Finalmente, cuando hay dos operadores A y B, denominamos conmutador [A,B] a la expresin:

[ ],A B AB BA= (2.3) Se dice que A y B conmutan cuando [A,B]=0, ya que en tales circunstancias:

0;AB BA AB BA = = , lo que significa que el orden de aplicacin de A o de B es indiferente (propiedad conmutativa). 3 Naturaleza de la luz

3.1 Emisin de un cuerpo negro

Antes de entrar en materia es importante analizar un fenmeno que produjo confusin en la fsica. La teora electromagntica de Maxwell, presentada en 1865, no estableca relacin alguna entre la frecuencia de una radiacin y su energa. No obstante, los cuerpos, al calentarse, sabemos que comienzan a desprender luz, emitiendo una banda de longitudes de onda como se ve en la figura 3.1, en donde se ha puesto en ordenadas e, que es la densidad de energa emitida. Esta es la radiacin de un cuerpo negro, que es aqul que

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absorbe por igual todo el espectro de una radiacin. Inversamente, cuando radia, no tiene preferencia por una frecuencia en concreto. Pese a ello, a medida que la temperatura aumenta, experimentalmente se ve que el pico de la emisin se desplaza hacia longitudes de onda ms cortas, es decir, frecuencias ms altas. La llamada ley de Wien dice que el producto de la temperatura por la longitud de onda del pico mximo de la curva es una cantidad constante. Daba, pues, la sensacin de que, a mayor energa, la frecuencia aumentaba tambin, y eso llev al fsico Max Planck a enunciar la ley de proporcionalidad entre energa y frecuencia:

nhE = (3.1) donde h es una constante denominada constante de Planck y n la frecuencia de la radiacin. En esta ley se basarn muchos de los razonamientos posteriores. 3.2 El efecto fotoelctrico. Un interesante fenmeno es el efecto fotoelctrico, cuya explicacin le vali a Einstein obtener el premio Nobel en 1905. El hecho consiste en arrancar un electrn de la superficie de un metal haciendo incidir en ella una radiacin. Se observa entonces que para determinadas frecuencias de la luz el electrn es extrado y para otras no. Casualmente, las radiaciones de altas frecuencias eran capaces de hacerlo pero no las bajas. La explicacin es la siguiente: en la superficie de un metal existe una barrera de potencial elctrico que impide a los electrones de conduccin abandonarlo. No obstante, si al electrn le suministrsemos una energa suficiente que supere el valor de dicho escaln de potencial, entonces se ver libre de ataduras y podr salir del metal. Sea f el valor del escaln de potencial y E la energa de la onda incidente. En tal caso, la energa que le queda al electrn ser la diferencia entre ambas, es decir:

fE E= f (3.2)

Ahora bien, se observa, como dijimos, que no cualquier radiacin puede extraer al electrn sino slo cuando la frecuencia es alta. Para bajas frecuencias, an aumentando la intensidad desmesuradamente no es posible arrancar al electrn, lo cual reafirm que la energa de una

radiacin deba depender exclusivamente de su frecuencia. En ese caso, por aplicacin de (3.1) la ecuacin (3.2) queda como:

fE h= n f . (3.3)

Por lo general, lo que se desea conocer es el potencial de arranque f, para lo cual se dispone un experimento como el de la figura 3.2, en donde una lmina de metal a estudiar se bombardea con una determinada radiacin de frecuencia variable. En el lado derecho se dispone una lmina tambin conductora y se aplica al conjunto una diferencia de potencial V, que repele al electrn recin extrado. La

Fig. Fig. Fig. Fig. 3.23.23.23.2:::: Medicin del potencial de arranque de un metal por efecto

fotoelctrico.

Fig. Fig. Fig. Fig. 3.3.3.3.1:1:1:1: Ley de Wien de la emisin de un

cuerpo negro

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corriente se controla mediante un galvanmetro y al incidir la radiacin adecuada se supone que arrancar electrones del metal, los cuales saldrn con una energa Ef dada por la ecuacin (3.3) y se observar corriente en el galvanmetro. Variando V, se lleva a cero de nuevo la corriente. En ese instante est igualada la energa que la radiacin ha suministrado al electrn con la del campo aplicado y se puede poner en valor absoluto:

fE eV= (3.4)

donde e es la carga del electrn. Combinando (3.3) con (3.4) se obtiene una ecuacin que nos permite calcular el potencial de arranque:

eV h= n f (3.5) La explicacin del fenmeno consiste en suponer que la luz est compuesta de pequeas partculas, llamadas fotones, y que golpean al electrn para hacerle salir. La razn de que no dependa de la intensidad sino de la frecuencia es la siguiente: Supongamos que iluminamos con una radiacin de baja frecuencia que no supera el potencial de arranque. Quiz pensemos que podramos conseguirlo aumentando la intensidad, pero sta consiste simplemente en un aumento del nmero de fotones que inciden en la superficie, y cada uno de ellos sigue siendo bajo en energa, con lo que cada choque con el electrn es insuficiente para sacarlo de su estado, por muchas veces que se produzca. 4 Ondas y corpsculos. Como se dijo anteriormente, conocidas las condiciones iniciales de un sistema, stas producan unos efectos nicos e inamovibles que determinaban de manera precisa su posterior evolucin. Decamos, igualmente, que cuando se pretende medir algo, de alguna manera tenemos que participar en el propio fenmeno a medir, lo que perjudicaba gravemente la objetividad del experimento. Veremos a continuacin un ejemplo que pone de manifiesto en qu forma una medicin es alterada por el propio instrumento de medida. La prctica mostraba que las partculas, unas veces se comportaban como diminutos corpsculos confinados en un recinto espacial bien definido, y otras lo hacan asemejando el comportamiento de ondas. Es clsico el experimento de la doble rendija en donde se hace incidir un haz luminoso sobre una pantalla en donde se han practicado dos aberturas (vase la fig. 4.1). Cuando solamente se abre una de las rendijas, el resultado es aproximadamente (sin tener en cuenta los efectos de la difraccin), una mancha luminosa, a b en la figura, muy fcil de explicar si suponemos que la luz estuviese formada por diminutos corpsculos, quienes se amontonaran preferentemente frente a dicha rendija. No hay que olvidar que Newton ya haba postulado que la luz se compona de pequeas partculas, y este hecho sera confirmado posteriormente por Einstein al mostrar el efecto fotoelctrico del cual ya hemos hablado. No obstante, en el caso de abrir ambas rendijas, la teora corpuscular predice dos manchas aisladas (que supondra la superposicin de las curvas a y b de la figura), cuando la realidad es que se

a

b1

2Fb+a

Fig. Fig. Fig. Fig. 4.14.14.14.1:::: Experimento de la doble rendija. Cuando ambas estn abiertas

aparece una interferencia a+b.

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forma una figura con franjas de interferencia oscuras y claras b+a, muy fcil de explicar si se considera la luz como una onda. El resultado obtenido con otras partculas como electrones o, incluso, neutrones, es anlogo. Las dos teoras parecen en principio irreconciliables puesto que un corpsculo est, por definicin, localizado en un punto concreto del espacio, mientras que las ondas estn dispersas en ste. Un corpsculo pasa por una rendija o por la otra pero no puede pasar al tiempo por ambas, lo que s puede perfectamente hacer una onda. 4.1 Las funciones de probabilidad. Principio de indeterminacin de Heisenberg.

En vista de los resultados obtenidos en el experimento de la doble rendija, el fsico Luis De Broglie postul que cada partcula llevaba una onda asociada que le confera dichas propiedades. Esto acab por convertirse en la conocida naturaleza dual de las partculas, comportndose, bien como ondas, bien como corpsculos. En el caso de la luz, esta ltima circunstancia era particularmente molesta puesto que, al tratarse de partculas sin masa, deban carecer igualmente de cantidad de movimiento en el sentido clsico de la palabra. La solucin de este conflicto fue llevada a cabo cuando Max Planck enunci su frmula (3.1), que reproducimos una vez ms:

nhE = . (4.1) Teniendo en cuenta que la relacin clsica entre energa y cantidad de movimiento es E = pv, para ondas que se desplazan a la velocidad c,1 quedar que pc = hn. Mediante las igualdades c = ln= 2pn/k, (k = 2p/l, o nmero de onda) podemos obtener una ltima expresin para p:

khk

phk

ppc ====p

npn

2

2 ; , (4.2)

donde =h/2p. Ntese que la energa tambin se puede escribir como:

0pnp

== 22

hE . (4.3)

Dado que la cantidad de movimiento es un vector, se define otro vector nuevo, el kkkk que, para una onda, coincide con la direccin de propagacin y es la misma que la de pppp. Entonces se establece que:

kp = . (4.4) Se puede comprender que una partcula se manifieste de forma dual si se analiza una onda desde el punto de vista de su relacin con su espectro. Sabemos que la ecuacin diferencial que rige una onda unidimensional es:

2 22

2 2ct x

=

y y

, (4.5)

donde y es una magnitud fsica cualquiera (campo elctrico, magntico, elongacin de un resorte, presin, etc.), y cuya solucin es y= f(x ct), es decir, una funcin arbitraria de x ct. En nuestro caso veremos ms adelante, al integrar la ecuacin de Schrdinger, que la funcin y representa una distribucin de probabilidad que, por caprichos de la naturaleza, adopta una forma ondulatoria. Se podra decir que es una onda en donde el ente fsico que

1 El lector puede comprobar que si la velocidad de la partcula fuese inferior a la de la luz, la expresin no se

modifica puesto que c es un parmetro que se simplifica, sea cual sea su valor.

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vibra es la probabilidad. Supongamos que existe una determinada onda, de duracin infinita, que supone una nica sinusoide de una determinada frecuencia n (Figura 4.2). La parte de arriba representa una onda desarrollada en su eje de tiempos, y abajo otra grfica con las frecuencias en abscisas y consistente en un segmento vertical de la misma dimensin que la amplitud de la onda situado en la frecuencia n de la onda. El matemtico Joseph Fourier demostr que una funcin peridica cualquiera se puede descomponer en una serie de trminos senoidales de frecuencias mltiplos enteros n, 2n, 3n, etc. A estas

ondas senoidales se las denomina armnicos, y el conjunto de ellas forma el espectro de la radiacin, que es la grfica representada en la parte inferior de la figura 4.2. Tambin demostr que una funcin de forma cualquiera, sin necesidad de que sea peridica, tambin admite una descomposicin de este tipo, excepto que ahora las frecuencias no estn separadas por mltiplos enteros sino que distan una cantidad infinitamente pequea dn, lo que constituye un espectro continuo. Una forma de visualizar esto es con la figura 4.3 en donde se han sumado unos cuantos armnicos a uno y otro lado de una frecuencia central, siendo el resultado que la onda comienza a confinarse. El espacio donde se representa al espectro de denomina espacio recproco. Cuando una onda posee una duracin finita, su espectro se ensancha presentando lo que se llama ancho de banda. Existe un teorema en teora de Fourier que nos dice que el producto de las anchuras de la onda y de su espectro es igual a la unidad. En la figura 4.4 se ilustra este fenmeno: cuando la anchura de la onda aumenta, el ancho de banda (frecuencias en el plano recproco) se estrecha, siendo reducido a un segmento en el lmite como aparece en la figura 4.2. Inversamente, si la anchura del paquete se hace pequea, el ancho de banda aumenta. En la figura 4.4 dichas anchuras se representan por Dt y Dn, y se verifica que:

1t =D Dn (4.6) Aplicando la ley de Planck (4.1):

t E h=D D (4.7)

Tambin se puede considerar una grfica en donde en lugar de tiempos aparezcan longitudes en cuyo caso tenemos una onda dibujada en el espacio y le corresponde un espectro de frecuencias que en este caso se llaman espaciales, y estn determinadas por la inversa de la longitud de onda, y que llamaremos a, siendo a= 1/l. Se puede establecer una igualdad semejante a (4.6) pero en trminos de espacio:

1x =D Da (4.8)

De (4.2) se deduce que: h

p k h= = = al

, y sustituyendo en (4.8) se tiene:

x p h=D D (4.9)

Fig. 4.2Fig. 4.2Fig. 4.2Fig. 4.2 Onda y espectro.

Fig. 4.Fig. 4.Fig. 4.Fig. 4.3333 Resultado de sumar una banda de frecuencias.

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que se conoce como el principio de indeterminacin de Heisenberg, y establece un valor mnimo para el producto DxDp. La ley establecida en teora de Fourier (4.6) hace alusin a la magnitud anchura equivalente, que deja encerrada la mayor parte de la energa, pero no es el lmite total porque deja colas fuera de ella. Por consiguiente, a veces se alude al principio de indeterminacin como x p h , o

x p > (dependiendo de las unidades que se tomen). Ahora podemos comprender un poco ms el porqu de la naturaleza dual de una partcula, ya que pasara de extenderse para formar un tren de onda largo a comprimirse hasta formar un impulso, o delta de Dirac. En el primer caso nos encontramos ante una onda bien definida, cuyo espectro es monocromtico, es decir, de una sola frecuencia o una banda infinitamente estrecha (figura 4.2). En tal caso la ecuacin (4.4) nos dice que el valor de la longitud de onda l, y por tanto k y p estn perfectamente definidos. Por el contrario, cuando el paquete se reduce a un impulso, la partcula se manifiesta como un corpsculo, que ocupa una posicin exacta en el espacio o, al menos, muy confinada. No obstante, su espectro se ha extendido y ahora ocupa una banda de

frecuencias casi infinita (ver parte inferior de la figura 4.4); en definitiva, la cantidad de movimiento no tiene un valor nico y definido. Como vemos, cuando la cantidad de movimiento es exacta, entonces la partcula es una onda, ocupando una gran cantidad de espacio (posicin indefinida). Cuando la que es exacta es la posicin, la partcula es un corpsculo y su cantidad de movimiento indefinida dentro de una banda infinitamente ancha. Volviendo a la ecuacin (4.5), si suponemos que en el experimento de la doble rendija los fotones fuesen corpsculos, el resultado coincide con la interpretacin ondulatoria, a condicin de decir que y(x,t) represente la probabilidad de encontrar al fotn en ese lugar del espacio y en el momento t. Dado que tiene la forma de una onda se la conoce como funcin de onda de la partcula, siendo su expresin general:

[ ]0( , ) exp ( )t x i kx t= y y w (4.10)

Para entender un poco este concepto nuevo supongamos una superficie como la del mar, en la cual se deslizan uniformemente olas de una cierta altura h. Existir una funcin h=h0f(x) que permite calcular la altura de las olas a una distancia x. No obstante, estamos suponiendo que a esa distancia x las olas llegan sin traba alguna. Consideremos ahora elementos fortuitos que pudiesen constituir impedimentos para las olas, por ejemplo, la llegada a una playa. Por accin de la arena las olas tienen una probabilidad decreciente de internarse. Si se situase una hilera de rocas, la probabilidad de encontrar una ola detrs de stas sera todava menor. Cuando se sita una doble rendija, la distribucin de probabilidades de encontrar al fotn est dada por la curva de trazo grueso b+a de la figura 2. Esta probabilidad tiene una forma de carcter ondulatorio capaz de crear interferencias. El porqu de esto es uno de los misterios ms profundos que muestra la fsica cuntica; no existe ninguna explicacin

Fig. 4.4Fig. 4.4Fig. 4.4Fig. 4.4: El producto de anchuras de la onda y el espectro permanece constante.

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racional ni smil alguno por el momento que pueda justificar la existencia de estos entes llamados ondas de probabilidad. De acuerdo con la hiptesis de De Broglie, y segn (4.2), cada partcula lleva una onda probabilstica asociada cuya longitud de onda ser:

ph /=l , (4.11) llamada longitud de onda de De Broglie. La cantidad y(x,t) es, adems, un nmero complejo, lo cual aade an mayores dificultades a una posible interpretacin fsica. No puede haber probabilidades negativas y mucho menos imaginarias, de forma que la probabilidad autntica debe ser un nmero real, que al final se traduce mediante el mdulo de y(x,t), desempeando el mismo papel que la intensidad en una onda luminosa. Podemos decir, por ejemplo, que una zona es ms luminosa que otra porque a ella llegan ms fotones que a la segunda (tienen mayor probabilidad de llegar). En definitiva,

t)(xt)(xt)(xtx ,,,),( *2 yyy4 == , (4.12) donde 4(x,t) es la probabilidad real y medible. Dicho con mayor propiedad, ser la densidad de probabilidad, o probabilidad fsica (por unidad de volumen, longitud, etc.), siendo el cuadrado del mdulo de y(x,t). La funcin de onda (4.10) se descompone en tres componentes, x, y, z, definiendo una cantidad vectorial y(r,t):

[ ]0( , ) exp ( )x xt i k x t= rrrry y w , 0( , ) exp ( )y yt i k y t = rrrry y w ,

[ ]0( , ) exp ( )z zt i k z t= rrrry y w ,

donde aparecen tambin las tres componentes del vector k. En ocasiones aparecen constantes resultado de integraciones que, para poder ser determinadas se recurre a lo que se entiende como normalizacin. Para ello se recurre a integrar la probabilidad r, extendida a la totalidad del espacio, ya que en tal caso hay total certeza de encontrar a la partcula (probabilidad igual a 1):

1(r)dV

=r ; 1*(r) (r)dV

=y y (4.13)

4.2 Generalizacin del concepto de onda

Sabemos que la ecuacin clsica de ondas (4.5) tiene una solucin del tipo (4.10) que ya se conoca de antiguo, tanto en sonido como en electromagnetismo. Ahora se plantea justamente la cuestin inversa, es decir, que queremos saber si, aparte de (4.5), la expresin (4.10) es tambin solucin de otras ecuaciones que no sean (4.5). Para ello vamos a hacer unas deducciones apoyndonos en el tema de operadores que vimos en el prrafo 2. Tomemos (4.10) y apliquemos dos operadores: el B, que ya lo conocemos como /x (parcial porque y depende de x y de t), y otro que llamaremos T y que es lo mismo pero respecto del tiempo (/t). Veamos qu sucede cuando aplicamos ambos:

[ ] [ ]0 0( , ) exp ( ) exp ( )B x t i kx t ik i kx t ikx

= = =

y y w y w y

es decir, que el valor propio de B es ik. Si se aplica T el resultado es anlogo:

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[ ] [ ]0 0( , ) exp ( ) exp ( )T x t i kx t i i kx t it

= = =

y y w w y w w y

siendo ahora -iw el valor propio de T. Dado que tanto ik como -iw son constantes, segn se vio en el prrafo 2, la aplicacin sucesiva de B y de T (derivadas segunda, tercera etc.) traer como consecuencia ir multiplicando cada vez por ik y por -iw. Es decir:

( ) ( )n n n nB ik T iw= = y y y y Vamos a expresar (4.5) con estos operadores:

2 22 2 2 2

2 2c T c Bt x

= =

y y

y y

o bien: 2 2 2 0(T c B =) y ,

Si construimos un polinomio arbitrario con T2 y B2, y seguir siendo solucin de la ecuacin, porque siempre equivaldr a otro polinomio de valores propios sin derivadas. Escribiremos entonces:

2 2 0f(T , B =) y El siguiente paso es considerar potencias que sean distintas de 2 y y volver a ser solucin por la misma razn que antes. As pues escribiremos con carcter general:

0n mf(T , B =) y . (4.14) Con equivalencia a un polinomio de valores propios ik y -iw:

0n mf ( iw) , (ik) = y , (4.15) Tal como se apunt antes, ya no tiene derivadas, y por tanto nos dice que dicho polinomio en y es lo mismo que (4.14). Decimos que (4.14) representa una onda generalizada por el hecho de no restringirse n ni m a 2, como en la forma clsica, sino a cualquier valor. Tericamente el polinomio f(Tn,Bm) puede ser arbitrario, pero habr que construirlo con un sentido fsico claro. 5 Ecuacin de Schrdinger.

Antes de comenzar es importante recordar algunos conceptos sobre energa. Para ello vamos a fijarnos en la fig. 5.1 en la cual hay una rampa y una bola de masa m. Inicialmente sta se encuentra en reposo en la posicin A. La energa que posee la bola es nicamente potencial y su valor es VT = mgH. Vamos a empujar la bola de tal manera que la energa comunicada sea muy pequea y la estrictamente necesaria para que la bola caiga por la rampa.

Despreciaremos este pequeo impulso, pudiendo poner que en un punto cualquiera de la rampa se verifica que la energa total es la suma de las energas potencial V y cintica Ec, es

vvf

Hh

A

BC

Fig.Fig.Fig.Fig. 5.15.15.15.1:::: Ejemplo de barrera de potencial.

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decir: ET = Ec+V. La energa total es constante. Si la bola cae, la energa cintica crece a expensas de la potencial, que disminuye, y si la bola subiese por la pendiente se frena haciendo crecer la energa potencial a expensas de la cintica. En la posicin A la energa total es igual a VT (mgH) porque la cintica es cero y en C es igual a la energa cintica mvf

2. Es fcil deducir la velocidad en cualquier punto de la trayectoria sin ms que plantear:

)(; hHgvmghmv2

1VEmgH 2c =+=+= 2 , (5.1)

siendo H y h las alturas indicadas en 3. En el problema inverso, una bola se lanza desde C en sentido contrario con una velocidad vf. Supongamos que sta es la velocidad justa para que la bola suba la rampa y quede inmvil, con lo que toda la energa cintica se transforma en potencial, es decir:

mgHmv2

1 2f = . (5.2)

Si se lanza la bola con velocidad v vf, es decir Ec VT existe un excedente de energa y el objeto continuar su camino por la parte superior aunque, naturalmente, con velocidad menor. Cuando se d la circunstancia de que Ec VT, la bola nunca podr subir la rampa porque carece de la suficiente velocidad. Decimos entonces que la posicin A est prohibida porque existe una barrera de potencial. Primeramente vamos a expresar la conservacin de la energa para una partcula ayudndonos de la ley de Planck. Las leyes de la mecnica nos dicen que ET = Ec + V, que es lo que acabamos de discutir. Pondremos entonces que la energa total, para el caso de un fenmeno ondulatorio ser, por aplicacin de (4.3):

cw E V= + Pero la energa cintica se puede expresar tambin como:

221

2 2cp

E mvm

= = ,

y ahora, segn (4.4): 2

2c( k)

Em

=

, pudiendo obtener una expresin para la conservacin de la energa

en el caso de ondas: 2

2( k)

w Vm

= +

(5.3)

Pasando todo a un miembro, haremos algunos ajustes empleando la unidad imaginaria y sabiendo que su cuadrado i2 = -1:

2

02

( k)w V

m =

2 2

02(ik)

i ( iw) Vm

+ =

.

o bien: 2

2 02

i ( iw) (ik) Vm

+ =

.

Acabamos de obtener un polinomio en ik y -iw del tipo (4.15), que como hemos visto, ser solucin de una onda general (4.14):

11

22 0

2i T B V

m

+ =

y

.

Sustituyendo T y B respectivamente por sus valores simblicos /x y /t:

2 2

2 02i (x, t) (x, t) V (x, t)

t m x

+ =

y y y

(5.4)

conocida como ecuacin de Schrdinger y que constituye la pieza clave de la fsica cuntica. (5.4) es la expresin en una dimensin x, pero se puede generalizar fcilmente al espacio:

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2i ( , t) ( , t) ( , t) ( , t) V( ) ( , t)

t m x m y m z

+ + + =

r r r r r rr r r r r rr r r r r rr r r r r ry y y y y

siendo ahora y una funcin de r. La ecuacin suele resumirse mediante el operador laplaciano (nabla cuadrado):

22

2i ( , t) ( , t) V( ) ( , t)

t m

+ =

r r r rr r r rr r r rr r r ry y y

. (5.5)

6 Estados estacionarios. La integracin de la ecuacin de Schrdinger es uno de los problemas ms laboriosos de la mecnica cuntica. Vamos a probar una solucin compuesta por el producto de dos funciones separadas, es decir, una dependiente nicamente del tiempo y otra del espacio:

)()(),( tt yyy = rr . Entrando en la ecuacin de Schrdinger (5.4),

22

2i ( ) (t) (t) ( ) V( ) ( ) (t)

t m

+ =

r r r rr r r rr r r rr r r ry y y y y y

,

2

21 12

i (t) V( ) ( )(t) t ( ) m

= +

r rr rr rr rrrrr

y yy y

.

Esta ecuacin tiene su primer miembro dependiente del tiempo y el segundo del espacio. Eso significa que podemos igualar ambos a una constante E (que como intuimos, ser la energa segn se vio en la demostracin de esta ecuacin):

/)(;/)(;)()(iEtAetiEttLEt

dt

d

ti === yyy

y

1.

Como la forma general de una onda es tiAe 0 resulta ser /E=0 , que si se compara con (4.3) se comprueba que la constante es la energa. Para el otro miembro se tiene:

12

0yy

==

+ EV

m2

2

)()()( rrr 21

,

22

2V( ) ( ) E ( )

m

+ =

y yr r rr r rr r rr r r . (6.1)

El operador del primer miembro se denomina hamiltoniano H, pudiendo poner que:

)()( rr yy EH = , (6.2) encontrando una vez ms que el resultado de aplicar un operador a la funcin y(r) es lo mismo que multiplicar por E, es decir, que E es un valor propio. Como

)()(),( tt yyy = rr , el resultado final es iEtet = )(),( rr yy y el problema se centra en la resolucin de (6.2). A continuacin estudiaremos varios casos, reducindolos a su forma unidimensional. 6.1 Partcula libre. Este caso implica que no existe potencial en ningn punto del espacio. Por tanto V(r) = 0, quedando (6.1) en una dimensin:

02

=+ )()( xEdx

xd

m 2

22

yy , (6.3)

Sustituyendo el operador derivada por su valor propio ik (-k2 para segunda derivada) se tiene:

22 20 ;

2mE

k E km

+ = =

, (6.7)

Como la solucin se conoce: [ ]0exp(x) ikx=y y escribimos simplemente ambas soluciones:

1 0 2 0( ) exp( ) exp( )A x A ixk A ixk= + y , (6.8) donde k0 viene dado por (6.7) y el subndice expresa "partcula libre". (6.7) representa una onda con su correspondiente reflejada y extendida a la totalidad del espacio.

6.2 Escaln de potencial. Estudiaremos el caso unidimensional en el cual aparece una distribucin de potencial representado en la figura 6.1, es decir:

.)()(

==

xVxV

xxV

0

00

En la zona A la funcin de onda es la de una partcula libre, adoptando la forma (6.8), con una onda que se propaga hacia la derecha y otra reflejada hacia la izquierda. Adoptaremos la notacin kA y kB para los nmeros de onda en las zonas A y B respectivamente, de

x

V

0

A B

Fig. Fig. Fig. Fig. 6.16.16.16.1:::: Escaln de potencial.

13

forma que ser kA = k0. En la zona B (6.1) se expresar como:

2 2

2 02d

(E V)m dx

+ =y

y

,

que es igual a (6.3) pero sustituyendo E por E-V, con lo que se tiene para k:

2B

m(E V)k

=

, (6.9)

con solucin:

1 2( ) exp( ) exp( )B B Bx B ik x B ik x= + y . (6.10)

Cuando VE. Ahora k es imaginario, dando exponentes reales en (6.10), produciendo una curva amortiguada (onda evanescente) y escribiremos k = - rB, siendo rB el coeficiente de amortiguamiento:

1 2( ) exp( ) exp( )B B Bx B x B x= +y r r . (6.11) de valor

2B

m (V E)= r

(6.12)

A diferencia del caso anterior, la solucin general en B no posee onda reflejada, siendo B2 =0. La razn es simple porque si una onda viaja hacia la derecha no tiene sentido que aparezca otra reflejada desde el infinito, mientras que en la zona A s aparecer una onda reflejada por el propio escaln. Entonces se tiene:

( ) exp( )B Bx B x= y r . (6.13)

x

E>Vy(x)

x

y(x)E V y b: E < V.

14

Recordemos que este ltimo caso pertenece a una barrera de potencial prohibida para la partcula en fsica clsica (es la bola marchando de derecha a izquierda en la figura 5.1 con velocidad insuficiente para remontar la pendiente). No obstante, en el caso cuntico se permite a sta una probabilidad de penetrar en la zona prohibida. Por supuesto, el escaln posee un desvanecimiento con un factor V-E, que ser tanto ms enrgico cuanto mayor sea dicho valor, es decir, cuanto ms se aparte la energa de la partcula E del potencial que debe superar (fig. 6.2). Igual que en el caso anterior tendremos onda directa y reflejada, esta vez una mayor proporcin de la ltima.

En el tercer caso a considerar E=V, y entonces (6.1) se convierte en:

0=2

2

dx

xd )(y, es decir, 211 CxCxCdx

xd+== )(,)( yy ,

convirtindose la funcin de onda en una recta. Se puede demostrar que aunque atraviese un potencial discontinuo, la funcin de onda permanece continua y derivable, de forma que podremos hallar informacin adicional igualando tanto las funciones como sus derivadas en dicho punto de discontinuidad, es decir, que si ste se encuentra, por ejemplo, en x = xd, se tiene:

)()(;)()( dddd xxxx BABA yyyy == , (6.14) siendo yA y yB las funciones de onda a ambos lados de la discontinuidad.

En el caso VL. Cuando V

15

infranqueable segn la fsica clsica. En este caso, ilustrado en la figura 6.3, se produce en el primer escaln la solucin (6.13), con una curva amortiguada de coeficiente r, u onda evanescente, que alcanza el borde derecho de la barrera. En ese punto vuelve a ser V = 0 y la onda se propaga libremente de nuevo con solucin (6.8) de un solo trmino positivo para x>L, aunque su amplitud habr disminuido segn sea el valor de L, implicando una probabilidad ms baja a la salida que a la entrada. Este fenmeno se denomina habitualmente como efecto tnel, y se produce en numerosas situaciones, tales como la desintegracin alfa, la inversin de la molcula de amoniaco y el efecto Josephson. 6.4 Pozo de potencial cuadrado. El problema inverso al de la figura 6.3 se plantea cuando tenemos un pozo de potencial. Esto es una zona en donde la partcula es libre rodeada por otra de potencial V (figura 6.4). Cuando E

16

[ ]2( ) exp( ) exp( ) 2 sen( )B B B i Bx B ik x B ik x B k x= + =y , (6.18)

donde se ha simplificado B1 = B. De la segunda condicin x = a, se obtiene igualmente:

00 == 2C Ca)(y

( ) 0 2 sen( ) 0B B Ba Bi k a k a n= = =y p , (6.19) donde n es un nmero entero de medias circunferencias. Ntese que si B fuese cero no habra funcin de onda. Por otro lado se puede deducir para B la expresin siguiente:

2i

Ba

= ,

y sustituyendo este resultado junto con (6.19) en (6.18):

2senB

n x(x)

a a

=

py , (6.20)

que demuestra que las funciones de onda posibles no forman una banda continua sino que estn discretizadas para valores de n = 0, 1, 2,... igual que una cavidad resuena a diferentes armnicos. Si aplicamos la primera ecuacin (6.17) junto con (6.19) se obtienen las energas correspondientes:

2

2222B

2

ma

n

m

kE

22

p== . (6.21)

Este es el caso de un pozo cuyos lados tienen un potencial infinito. En el caso de un potencial que fuese finito, la energa tambin est cuantificada, aunque siguiendo una distribucin diferente a (6.21) que no sigue la ley de mltiplos enteros. El lector interesado en profundizar sobre el tema puede consultar cualquier tratado de fsica cuntica. La cantidad n se denomina nmero cuntico principal. 6.5 El oscilador armnico Otro ejemplo de aplicacin de la ecuacin de onda de Schrdinger es un campo en donde, al igual que un resorte, una partcula est sometida a una fuerza central que es proporcional a la distancia que la separa de dicho centro de atraccin. Este caso compete a vibraciones atmicas en molculas, y en tal caso lo que se tiene es una fuerza de la forma:

F kx= (6.22) Sabemos por fsica clsica que la energa ser:

212

E d kxdx kx = = = F rF rF rF r (6.23) Como sabemos, cuando el resorte se ha alargado hasta su posicin extrema, el movimiento se detiene, habiendo almacenado toda la energa en forma de energa potencial. En ese caso, hay que sustituir el valor de (6.23) en (6.1), considerndolo como V(x):

17

2 22

21

2 2d

kx (x) E (x)m dx

=

y y

(6.24)

Hemos simplificado la laplaciana tridimensional por el caso en una dimensin al estar el movimiento confinado en el eje x. La integracin de (6.24) no resulta sencilla, entre otras

cosas debido a que el potencial no es constante sino dependiente de la longitud. Este caso ni siquiera corresponde a un operador del tipo (4.15) y podra suceder que la ecuacin (6.24) pudiera no ser siquiera una onda generalizada. No obstante, se mantiene la hiptesis de que (6.24) seguir teniendo una solucin de tipo ondulatorio dado que los fenmenos fsicos no deberan depender de formalismos matemticos. Si la resolucin de la ecuacin no condujese definitivamente a una onda entonces toda la base de la fsica cuntica se vendra abajo. De hecho la solucin sigue siendo, efectivamente, una onda como la intuicin fsica nos dice. Pasando por alto la integracin de (6.24), el resultado final para los niveles de energa vienen dados por:

12

E n = +

w (6.25)

siendo n un nmero entero de la misma manera que lo era el nmero cuntico principal del apartado anterior. Las soluciones de la ecuacin de onda se parecen al caso de un pozo y estn dibujadas en la figura 6.5. La constante k del campo (no confundir con el nmero de onda), igual que en el caso clsico de un resorte, tiene por valor:

2k m= w (6.26) 7 El tomo de hidrgeno. El tomo de hidrgeno es un caso de campo sometido a una fuerza central de tipo electrosttico, de forma que el potencial de dicho campo lo conocemos por electricidad, y vale:

2

04Ze

Vr

=

pe (7.1)

Siendo Z el nmero atmico (en nuestro caso 1) y e la carga del electrn. Este potencial habr que sustituirlo en la ecuacin de Schrdinger dependiente del espacio (6.1):

2 22

02 4e

( ) E ( )m r

=

y y

per rr rr rr r (7.2)

Esta ecuacin es de resolucin compleja, de forma que veremos el resultado final, consistente en una serie de estados de energa cuya diferencia entre niveles vien dado por la siguiente

Fig. 6.5Fig. 6.5Fig. 6.5Fig. 6.5: Funcin de onda del oscilador

armnico.

18

ecuacin: 2

2RhcZ

En

= , (7.3)

donde R es la llamada constante de Rydberg y Z el nmero atmico (=1 en nuestro caso). Los valores de la energa son negativos y se considera E = 0 cuando el electrn est en el infinito, de forma que E decrece a medida que n aumenta. Finalmente podemos pasar a comentar otra cosa importante que es sobre la posicin de electrn. La fsica clsica predeca que el electrn perdera energa debido a la radiacin provocada por su giro alrededor del ncleo, pero la fsica cuntica no se pronuncia en cuanto a trayectorias. Muy al contrario, explica que una trayectoria es un concepto errneo ya que implicara saber perfectamente su posicin a cada momento y su cantidad de movimiento, lo que est en contradiccin con el principio de incertidumbre de Heisenberg. Por consiguiente diremos que el electrn no describe trayectorias alrededor de nadie sino que se resume en una nube de probabilidad de tipo esfrico, aumentando dicha probabilidad a medida que nos acercamos al ncleo. Visto de esta manera, el electrn es ms bien un campo de energa y no una pequea esfera o corpsculo giratorio. 8 Momento angular. Refirindonos una vez ms a la figura 5.1, recordemos que la energa de una bola que cae por una pendiente es la suma en cada momento de su energa potencial y cintica.

cE E V= + , y que de esta igualdad se dedujo la ecuacin de Schrdinger usando esta expresin de la energa como polinomio de (4.14). De la misma manera podremos construir otros polinomios de conservacin, como lo es la cantidad de movimiento. A partir de (4.4), y teniendo presente que -i2 = 1, pondremos:

2p k ( i ) k i (ik)= = = (8.1) Pero sabemos que ik es el valor propio del operador B (prrafo 4.1), con lo que obtendremos un polinomio, esta vez muy sencillo:

n nf(T , B ) i B ix

=

, (8.2)

que define el operador, i / x , cuyo autovalor es la cantidad de movimiento (8.1). Este operador se llama igualmente operador cantidad de movimiento, usando tambin la letra pppp. En el caso tridimensional, es costumbre expresar las derivadas en x, y y z mediante nabla:

i= pppp Nos encontramos con que en cuntica, las ecuaciones de la fsica clsica tambin son vlidas pero a condicin de expresar las ecuaciones mediante operadores, propiedad que se denomina primer principio de la fsica cuntica. Este mismo principio nos permite expresar otras ecuaciones de conservacin. Igual que la energa o la cantidad de movimiento, se puede estudiar el momento angular, y que tambin se conserva en fsica cuntica. En este caso

19

concreto, que est definido en fsica clsica como el producto vectorial del vector de posicin rrrr por pppp, es decir: L =L =L =L = rrrrpppp, le corresponder un operador LLLL:

i pppp ; i L rL rL rL r (8.3) Tras esto, el siguiente paso es construir el polinomio de (4.14), que ser simplemente el operador LLLL, aplicndolo a la funcin de onda correspondiente, con la salvedad de que el momento angular se da en los casos sometidos a fuerzas centrales, que son los diferentes tomos, y en ese caso es conveniente expresar la funcin de onda y en coordenadas esfricas, ms que en cartesianas, con el cambio de notacin de y a F. Si bien la ecuacin de Schrdinger nos hablaba de la conservacin de la energa, con el polinomio:

22

2n nf(T , B ) i T B V

m= +

,

ahora se tiene:

n nf(T , B ) i r = LLLL , que expresa la conservacin del momento angular. Recordemos que nabla es B en tres dimensiones, y que la aplicacin del tiempo (operador T) da una solucin trivial que es separable, por lo que no hace falta consignarlo en el polinomio. Solamente queda aplicar este operador a la funcin de onda F, con su correspondiente valor propio:

L=F FLLLL , es decir: i L =rrrr F F , (8.4) Desarrollemos el producto vectorial en cartesianas y, de momento, estudiaremos solamente la proyeccin del vector momento angular sobre el eje OZ, es decir, la componente Lz:

x y z

x y z

=

i j ki j ki j ki j k

rrrr z i x yy x

= LLLL (8.5)

y ahora haremos el cambio a esfricas. Recordemos las ecuaciones de transformacin:

sen cos

sen sen

cos

x r

y r

z r

=

=

=

q f

q f

q

(8.6)

y que, dada una funcin f(x,y) se puede escribir:

f f x f y x yf

x y x y

= + = + f f f f f

(8.7)

Fig. 8Fig. 8Fig. 8Fig. 8.1.1.1.1: Coordenadas esfricas.

20

y escribindola con la notacin para operadores:

x yf f

x y

= + f f f

, o sea x y

x y

= +

f f f (8.8)

Ahora usaremos las relaciones (8.6) para deducir las derivadas parciales de (8.8)

sen sen

sen cos

xr y

yr x

= =

= =

q ff

q ff

, y sustituyendo en (8.8):

Finalmente, entrando con este resultado en (8.5):

z i

=

LLLL

f, (8.9)

pudiendo poner finalmente para la ecuacin angular (8.4), componente z:

;z z zi L i L

= =

LLLL

FF F F

f (8.10)

Estableceremos un nmero ml tal que:

lL m= , (8.11) con lo que se obtiene:

lnl l ld

i m ; im d ; im

= = =

F F

F; f F ff F

,

y por tanto: limCe= fF . (8.12)

Ahora bien, el ngulo f de esfricas, repite la posicin cada 2p (una vuelta), de forma que la funcin f debe ser igual:

2 2l l l lim im ( ) im imCe Ce Ce e+= = =f f p f pF (8.13) deducindose que 2lime p =1, lo que supone que:

2 cos 2 sen 2 1lim l le (m ) i (m )= =p p p . (8.14)

Como la unidad es un nmero real, deber ser 1 el coseno y nulo el seno:

cos 2 1sen 2 0

l

l

(m )

(m )

=

=

p

p, (8.15)

es decir, que el argumento es mltiplo de 2p, lo que hace que ml sea un nmero entero ml = 0, 1, 2, 3, .... As, los electrones se distribuyen segn direcciones del espacio que se denominan orbitales, y cuya forma geomtrica veremos despus. En cuanto al valor de la componente Lz, sta se deduce inmediatamente de (8.11):

y xx y

= +

f

21

z lL m= . (8.16)

Al ser ml un nmero entero, (8.16) nos dice que la proyeccin del momento est cuantificada, es decir, que la direccin del vector LLLL no puede ser cualquiera sino que est gobernada por el nmero cuntico ml. Todo este razonamiento se ha basado en la componente Lz del momento angular. Para estudiar el mdulo de LLLL es menester expresar una nueva ecuacin completa en esfricas, de laboriosa resolucin, que nos ofrezca todas las componentes y que nos informe sobre el mdulo. No entraremos en tal demostracin, sino que daremos el resultado, que nos dice que debe verificarse la siguiente relacin:

2

2 1L

l(l )= +

, siendo l un entero l = 0, 1, 2, 3.... (8.17)

definiendo una vez ms un nuevo nmero cuntico l, que muestra la cuantificacin del mdulo L. Se demuestra que l tiene valores de 0 hasta n-1 (nmero cuntico principal). Teniendo en cuenta que la proyeccin de un vector nunca puede ser mayor que su mdulo, se tiene que zL LLLL , y de (8.16) y (8.17) se deduce:

1lm l(l ) + , (8.18) y teniendo presente que, tanto ml como l deben ser enteros, si ml fuese mayor que l, por ejemplo, l+1, entonces: 2 1 2 1l l l(l )+ + > + y no se cumplira la desigualdad (8.18). De ello se desprende que los valores de ml estn acotados entre 0 y l. Elaboramos la siguiente tabla:

n l ml Nombre del orbital 0 0 0 1 0 0 1s

2 0 0 2s 1 0, 1 2p

3 0 0 3s 1 0, 1 3p 2 0, 1, 2 3d

4

0 0 4s 1 0, 1 4p 2 0, 1, 2 4d 3 0, 1, 2, 3 4f

Tambin podemos ver un esquema geomtrico uniendo (8.16) y (8.17):

1z lL

L ml(l )

=

+.

Para l = 1, ml = 0, 1, lo que da los valores 0 y 2

2 2zL

L L= = (vase figura 8.2), y

para l = 2, ml= 0, 1, 2, lo que da los valores 0, 6

6zL L= , y

63z

L L= , ilustrados

22

en la misma figura. Podramos pensar que un razonamiento anlogo al que hemos empleado para deducir Lz nos llevara a conocer igualmente Lx y Ly. No obstante, esto no es cierto. Se puede demostrar que existe una indeterminacin muy semejante a (4.9), que nos dice que:

x y zL L L= , de forma que no nos es posible conocer la direccin del momento angular con precisin. Este hecho nos va a dar una pista sobre la forma del orbital, ya que, si conocemos bien Lz, al menos eso nos dice que la proyeccin de LLLL sobre OZ es la misma, y en cuanto a LLLL lo nico que vamos a poder decir es que se halla en alguna parte del cono que se describe en la fig. 8.3.

En cuanto a la forma de los orbitales, habra que determinar la funcin de onda, lo cual no es sencillo. Normalmente, al recurrir a coordenadas esfricas, se vuelve a probar una solucin para y que sea el producto de otras dos funciones: una exclusivamente dependiente del radio y otra de los ngulos q, f, de forma que la relacin sera:

(r, , ) R(r) Y( , )= y q f q f , y el resultado es que Y(q, f) resulta no depender de los ngulos cuando l = 0. Este tipo de orbital se denomina s, y est representado por una esfera, ya que no existen direcciones preferentes (ver fig 11). Cuando l =1, el orbital se denomina p, y la funcin esfrica adopta las formas:

k cos , k sen cos , k sen sen q q f q f ,

que son parejas de esferas tangentes a los planos coordenados (nuevamente figura 8.4). Estas soluciones se obtienen de multiplicar R(r) y Y(q,f):

Fig. Fig. Fig. Fig. 8.28.28.28.2: Relacin entre los nmeros cunticos l y ml.

Fig. Fig. Fig. Fig. 8.38.38.38.3: Cono de probabilidad del momento angular LLLL.

23

Cuando l = 2 los orbitales son d y presentan las formas siguientes:

Fig. Fig. Fig. Fig. 8.48.48.48.4: Formas de los orbitales s y p. (l = 1)

Fig. Fig. Fig. Fig. 8.58.58.58.5: Formas de los orbitales d. (l = 2)

24

9. Espn 9.1. Experimento de Stern-Gerlach

En electromagnetismo se puede demostrar que cuando un objeto que posee momento magntico se encuentra en un campo magntico no homogneo (es decir, que vara en una direccin determinada), el campo ejerce una fuerza que es proporcional, tanto a dicho momento como a la variacin del campo. Si consideramos un campo magntico que vara en la direccin del eje z, escribiremos:

zz z

BF

z

m

en donde Fz es la fuerza ejercida, con direccin z; Bz la componente z del campo magntico y mz la del momento magntico. El vector F tiene la direccin z, haciendo que el objeto se mueva, bien hacia arriba o bien hacia abajo segn m apunte en el sentido de la variacin de B o en el contrario. Para conseguir un campo creciente se utiliza un imn, como se muestra en la figura 9.1, en donde uno de los polos est afilado, produciendo que las lneas de campo se concentren (lneas azules) y que el campo vare segn nos movemos en sentido ascendente. El dispositivo tiene una pantalla (no representada para hacer la figura ms clara) que se ubicara donde estn situados los puntos P y P'. A continuacin vamos a mostrar que un objeto que gira en torno a otro genera un momento magntico. Vamos a considerar dos esferas cargadas (Fig. 9.2), una de las cuales es

negativa, -q, y gira alrededor de otra positiva +q. Si el radio del crculo descrito es r, el momento magntico se define como el producto de la intensidad de corriente elctrica I por el rea pr2. Supongamos igualmente que la velocidad angular de la esfera es 0, obteniendo de una manera simple la intensidad mediante el producto de la carga q por la frecuencia del giro n=0/2p, puesto que la carga pasa n veces por un mismo punto cada segundo. Por tanto,

22 2

2 2q q r

M I r r= = =w

p wpp

(9.1)

Por otro lado, recordemos que el momento angular es L = r p. Sabemos, por mecnica, que L tambin se expresa como J0, siendo J el momento de inercia. En nuestro caso J0=0mr2, siendo m la masa de la esfera, ya que sta se encuentra concentrada en la esfera giratoria. Con todo ello podemos escribir que:

2L J mr= =w w

Combinndolo con (9.1) y estableciendo la igualdad vectorial:

2q

m=M LM LM LM L , (9.2)

Fig. Fig. Fig. Fig. 9.9.9.9.1111: Experimento de Stern-Gerlach

+-

M

M s

Fig. Fig. Fig. Fig. 9.29.29.29.2:::: Momento magntico de dos partculas en rotacin

25

en donde se ha puesto una relacin vectorial por ser M y L de igual direccin, y sentido dependiendo de la carga q. Ahora que ya sabemos que el giro de un objeto alrededor de un centro de atraccin genera un momento magntico, podemos volver a la figura 9.1 y haremos circular por el entrehierro un chorro de tomos2, tal como se muestra en la figura (lneas rojas). Por el principio que acabamos de citar, las partculas con momento magntico ascendente (mismo sentido que el campo creciente) sern desviadas hacia arriba y las que lo tienen descendente, hacia abajo. Este experimento se conoce con el nombre de Stern-Gerlach. Si las partculas se comportasen de acuerdo a la mecnica clsica, los momentos magnticos estaran orientados al azar, con lo que la proyeccin del momento sobre la vertical podra tomar cualquier valor y se desplazaran con diversos ngulos. Como consecuencia, cada tomo sera desviado con una fuerza diferente, mostrando sobre la pantalla una mancha extensa de impactos que estara comprendida entre los puntos P y P' de la figura 9.1. No obstante, lo que se observa es solamente dos manchas correspondientes a las posiciones extremas P y P'. Esto era de esperar puesto que sabemos que el momento angular est cuantificado, y como consecuencia tambin lo estar M por la relacin (9.2). Sin embargo, la cosa no acaba aqu porque al cotejar los resultados del experimento Stern-Gerlach, se aprecia que no concuerdan con las predicciones tericas del apartado anterior. Vamos a repetir el experimento, pero esta vez con tomos de hidrgeno en estado fundamental, es decir, cuando l = 0, que supondr ml = 0 y la proyeccin del momento sobre z es nula. Como consecuencia, nuevamente por aplicacin de (9.2), tampoco debera haber momento magntico y los tomos no tendran que ser desviados. La experiencia dice que eso no sucede. Los tomos se desvan en dos direcciones opuestas, incidiendo en la pantalla en sendos puntos simtricos, lo que pone de manifiesto que hay un momento magntico que no hemos considerado. La pregunta es: quin est produciendo ese momento? 9.2. Momento angular asociado a rotacin

Los electrones que estamos estudiando estn sometidos a una fuerza central pero, aparte de girar con respecto al centro de atraccin, no podra la propia partcula tener un movimiento de rotacin sobre s misma igual que lo hara la Tierra alrededor del Sol? En tal caso, tendramos un momento angular adicional que bien podra ser el responsable de esta anomala. De ser cierto, el momento angular resultante de la partcula debera componerse del L con respecto al centro de atraccin, que ya conocemos, ms otro nuevo momento angular asociado a una rotacin sobre s misma al que llamaremos SSSS. De esta manera la partcula poseera un momento angular total dado por:

T = +L L SL L SL L SL L S (9.3)

Por analoga con el caso anterior, si suponemos por un momento que la partcula fuese una esfera en rotacin sobre su eje, y sabiendo que el momento de inercia para una esfera es

225

J mr= , siendo r el radio de la esfera, se tendra:

225

S J mr= =w w ; 25

2L r

m= w

y, por tanto, sustituyendo en (9.1): 52 2s

q

m=M SM SM SM S .

2 En el experimento se emplearon tomos de plata vaporizados.

26

Ahora bien, la rotacin de la partcula, y que sta sea una esfera, no es ms que una suposicin puesto que el considerar un modelo as para el electrn es bastante ingenuo despus de haber estudiado los complejos mecanismos cunticos. As pues, el razonamiento que nos lleva a deducir esta ecuacin no es tan simple y debe ser corregida con una constante g, llamada factor giromagntico que permita incorporar la estructura interna de la partcula. Sustituyendo 5/2 por g, la ecuacin que rige el fenmeno queda transformada entonces en:

2sq

m=M SM SM SM Sg , (9.4)

En el caso del electrn, g= 2,0024, que no se corresponde con 2,5 como sucedera si se tratase de una esfera clsica. No obstante, no hay nada que impida que tratemos esta rotacin de la misma manera que se hizo con L puesto que se trata de un fenmeno semejante, y lo vamos a hacer incorporando los conceptos cunticos. Concretamente, podremos establecer, como siempre, una ecuacin con valores propios tal que:

S=SSSSy y

La mecnica de resolucin es la misma y se llega a idnticos resultados, nada ms que deberemos hacer un cambio de notacin para diferenciar cundo estamos hablando de momento angular respecto del centro de atraccin y cundo lo hacemos aplicado a la rotacin de la propia partcula, para lo cual, aparte de cambiar L por S, tambin renombraremos los nuevos nmeros cunticos, cambiando l por s, y ml pasar a ser ms. Repasando los ecuaciones del apartado 8, establecemos el paralelismo:

2 2

2 2( 1) ( 1)L S

l l s s= + = +

, de donde ( 1)S s s= + , (9.5)

y para las proyecciones sobre el eje z se tiene:

z l z sL m S m= = (9.6)

Hay, empero, una importante diferencia, y viene aportada directamente por el experimento de Stern-Gerlach. Se trata del hecho de que el haz de tomos de hidrgeno sean desviados nicamente en dos direcciones P y P', y nada en el centro. Esto nos crea un pequeo conflicto, y vamos a ver por qu: de acuerdo con lo dicho en el apartado 8, los valores del nmero cuntico ml se extienden desde -l hasta l, es decir:

{ }, ( 1), ( 2), ..., 2, 1, 0,1, 2, ... ( 2), ( 1),lm l l l l l l ,

que hacen un total de l valores negativos, l positivos y el cero, es decir 2l+1 valores posibles para ml. A este nmero posible de valores de m lo llamaremos g. Si, por extensin, aplicamos este mismo principio al momento angular de rotacin sobre s mismo, tendremos: 2 1g s= + . Ahora bien, la cantidad 2s+1 debera ser un nmero impar, pero el experimento de Stern-Gerlach nos dice que el haz de tomos es desviado solamente en dos direcciones, es decir, solamente dos valores para m, lo que resulta chocante con el hecho de que g debera ser un nmero impar. Aplicando el resultado experimental de que, para el caso de rotacin sobre s mismo g = 2, se tiene:

27

12 2 1;2

g s s= = + = . (9.7)

La solucin al conflicto es que, para que el resultado sea coherente con la experiencia, esta vez el nmero cuntico s no puede ser entero sino fraccionario.

Sustituyendo este valor en ( 1)S s s= + :

1 1 3( 1) 12 2 2

S s s

= + = + =

. (9.8)

Veamos ahora la proyeccin de S sobre z, igual que se hizo con L. Si para ml se cumpla que ll m l < < ,

ahora deber ser: ss m s < < , o sea:

1 12 2s

m < < .

Pero el experimento de Stern-Gerlach nos dice que ms solamente puede tener dos valores, as pues, hay que eliminar el cero, que corresponde a un haz sin desviar, quedando:

12s

m = (9.9)

Este nuevo nmero cuntico se denomina espin3. Sustituyendo en (9.6):

12z

S = (9.10)

Representemos grficamente los resultados de las ecuaciones (9.8) y su proyeccin (9.10) en la figura 9.3. Todo lo dicho hasta aqu es igualmente aplicable a protones, e incluso, neutrones porque se pueden considerar estos ltimos como una combinacin de una partcula negativa orbitando alrededor de una positiva con un factor giromagntico de -3,8263. El espn es una magnitud cuya representacin visual resulta muy poco clara puesto que, al ser un momento angular, asociado en principio a una rotacin, parece evocar, tal como hemos apuntado en la demostracin, la imagen de una esfera girando sobre sus polos, como si se tratase de una peonza. Naturalmente, si las partculas se considerasen corpsculos, esta visin del espn sera correcta. El gran problema de la mecnica cuntica es que las partculas no tienen una estructura tan simple, y el concepto de espn queda nebuloso, no pudiendo concretarse en ninguna imagen fsica de nuestro mundo habitual. El estudio del momento angular LLLL implica que el giro de la partcula alrededor del centro de atraccin es incierto y acaba formando nubes de probabilidad. Lo mismo habr que tener en cuenta en relacin al espn, ya que lo mismo que rezaba para Lx, Ly y Lz, que no se pueden determinar simultneamente, tambin se aplica a Sx, Sy y Sz. Al analizar partculas como el fotn desde su faceta de onda, nos encontramos con que, al carecer de masa y de carga, no se puede aplicar ni (9.2) ni (9.3) y el razonamiento que hemos seguido no es vlido. De hecho, el

3 Castellanizado de la palabra inglesa spin (giro)

Fig. Fig. Fig. Fig. 9.39.39.39.3: El espn y sus proyecciones.

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espn representa en este caso los dos estados de polarizacin. Si pensamos en luz circular, por ejemplo, sta puede girar en ambos sentidos dando una imagen bastante grfica al espn en este caso. El autntico espn se podra imaginar como un hbrido entre el giro de una polarizacin circular de este tipo y la rotacin de un corpsculo. Para el caso de fotones se puede demostrar que los estados de espn no son fraccionarios y tienen por valores 1. Al igual que para los electrones, para protones y neutrones se puede aplicar el razonamiento anterior, adoptando los valores 1/2 que ya sabemos, pero para neutrinos, que carecen tambin de carga, se llega a la conclusin de que nicamente hay un estado de espn de valor 1/2. 10 Fermiones y bosones.

Si dos partculas poseen el mismo nmero cuntico principal n, es porque ocupan el

mismo nivel. Sin embargo puede suceder que tengan diferente momento angular, y entonces poseer nmeros cunticos l distintos. Por ltimo pueden tener los mismos n y l pero diferir en sus espines, esto es, nmeros cunticos s diferentes.

El fsico alemn Wolfgang Pauli enunci su principio de exclusin diciendo que dos partculas no pueden tener todos sus nmeros cunticos iguales. Las partculas que cumplen este principio son denominadas fermiones. No obstante, hay partculas que no lo cumplen sino que, muy al contrario, su tendencia es a tener todas los mismos estados cunticos formando aglomeraciones. Estas partculas se llaman bosones. En el caso de fermiones, stos no pueden ocupar estados cuyos nmeros cunticos sean idnticos. Por el contrario, en el caso de bosones la limitacin no existe, pudiendo compartir dos o ms partculas los mismos nmeros cunticos. 11 Interacciones.

En relatividad se dice que dos sucesos A y B pueden ser vistos desde dos sistemas

inerciales4 de referencia S y S'. Si suponemos que A y B son simultneos en S no lo sern vistos desde S' y a la inversa, lo que significa que no tiene sentido hablar de acciones a distancia. Cuando se sita una carga elctrica en un punto del espacio, no podemos decir que el campo que genera se propague instantneamente hasta cualquier punto del universo. Una propagacin instantnea significara que existen al menos dos puntos separados del espacio en donde la accin de la llegada del campo es simultnea. En tal caso, siempre podramos encontrar un sistema inercial de referencia desde el cual estos acontecimientos no fuesen simultneos destruyendo, por consiguiente, la hiptesis de propagacin instantnea. Por esta razn, no hay argumentos que permitan afirmar la accin a distancia. En la fsica clsica estamos acostumbrados a pensar que una carga en el espacio lleva all desde un tiempo infinito, cuando lo cierto es que la realidad fsica obliga a tener que colocarla en algn momento dado. Situar una carga implica que sta se debe desplazar desde un cierto lugar apartado hasta el punto del espacio en donde quedar ubicada, de forma que ya existe un movimiento relativo y dos sistemas inerciales de entrada: el de la carga y el de los cuerpos que sern afectados posteriormente por el campo elctrico. Sabemos que una carga en movimiento produce un campo magntico y al experimentar ste una variacin desde cero hasta un valor determinado producir igualmente un campo elctrico, propagndose ambos por el espacio.

Concluimos, pues, que durante la operacin de colocacin de la carga, sta emite una onda electromagntica que ser la responsable de la existencia posterior del campo. En definitiva, ha transcurrido un tiempo desde que la carga queda situada hasta que el campo

4 Se dice que dos sistemas son inerciales cuando se separan a velocidad constante.

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afecta a los cuerpos circundantes, justamente lo que tarda la onda en recorrer la distancia que los separa. Esta velocidad es c, y sabemos que puede considerarse como el desplazamiento de un fotn desde la carga hasta los cuerpos. El fotn es el responsable de la aparicin de un campo, y debemos admitir que el intercambio de este fotn entre carga y cuerpo es quien hace aparecer una fuerza. Por un lado, el campo es creado donde no lo haba por el fotn, pero por otro, un fotn es la oscilacin del campo, lo que nos lleva al conocido dilema de preguntarnos quien fue antes, si el huevo o la gallina.

Ya no est tan clara la sencilla imagen de ver una onda electromagntica como la oscilacin del campo elctrico pues ste y el fotn son una misma cosa, pudiendo ambos tener carcter corpuscular y ondulatorio. En resumidas cuentas volvemos al principio, pudiendo solamente afirmar que la onda electromagntica no es otra cosa que la onda de probabilidad de encontrar al fotn.

Si el intercambio de un fotn produce la llamada interaccin electromagntica, no hay razn por la cual suponer que no existan interacciones en donde la partcula intercambiada sea de otro tipo. De hecho, la atraccin gravitatoria, al ser mucho ms dbil que la repulsin elctrica, es insuficiente para mantener unidas las partculas de un ncleo atmico. Es menester que entre las partculas nucleares exista otra interaccin fuerte que las una. sta recibe justamente ese nombre: interaccin fuerte y consiste en el intercambio de una partcula de masa intermedia entre el protn y el electrn, llamada mesn p (o pin). Tambin es equivalente al intercambio de partculas llamadas gluones entre quarks, siendo estos ltimos los constituyentes de neutrones y protones.

Si recordamos otra de las formas del principio de incertidumbre de Heisenberg, dada por la ecuacin (4.9), vemos que en un proceso hay una indeterminacin entre la energa involucrada y la duracin del mismo. Cuanto ms corto sea este ltimo, mayor ser el rango de energa. Teniendo en cuenta que, segn la relatividad especial, energa y masa son una misma cosa, relacionadas ambas mediante la ecuacin E = mc2, podemos incluir en el proceso de la interaccin la masa de la partcula en cuestin, llegando a la conclusin de que los procesos rpidos a distancias cortas implican grandes masas. De hecho, la interaccin dbil, que es la ltima interaccin conocida, se produce por el intercambio de una partcula de masa muy elevada llamada W.

Segn el modelo del fsico Hideki Yukawa, cada partcula est rodeada de una aureola de partculas virtuales, constantemente emitidas y reabsorbidas, y que, en un momento dado, pueden entrar en contacto con otras partculas exteriores producindose as la interaccin.