Partculas ElementalesJoaqunGomezCamachoJune6,2001PROLOGOEstosapuntescontienenlamateriadelaasignaturaPartculasElementalesqueseimparte en el quinto curso de la especialidad de Fundamental de la licenciatura de FsicasdelaUniversidaddeSevilla.El objetivo principal de los apuntes es introducir el Modelo Estandar, que es la teoraque describe los componentes fundamentales de lanaturalezaysus interacciones. Sepresuponequeel lector sabequelamateriaestacompuestadeelectrones, protones yneutrones, yqueestosinteraccionanentres medianteinteraccioneselectromagneticas,fuertesydebilesseg unlasleyesdelamecanicacuantica. Apartirdeah, seintroducenlas restantes partculas subatomicas ysedescribensus propiedades, suestructura, laspartculaselementalesquelascomponenysusinteracciones, detal formaque, al nal,el lectorsepaquelamateriaestacompuestadequarksyleptones, queinteractuanporlainteracci ondecolorylainteraccionelectrodebil enel marcodeunaclaseespecial deteorascuanticasdecampollamadasteorasgaugelocales.El captulo primero contiene una breve introduccion historica que describe la evoluciondel paradigma que describe lo que, en cada momento historico, se consideraba como loscomponentesfundamentalesdelanaturaleza. Estaintroducciontienegranimportanciayaqueponeensucontextolaimportanciadel objetivoprincipal delaasignatura, queno es otro que introducir el Modelo Estandar como paradigma actual de los componentesfundamentalesdelanaturaleza.El captulosegundodescribelaspropiedadesdelaspartculasutilizandolasinterac-ciones que aparecen en fsica nuclear (fuerte, electromagnetica y debil), y la teora cuanticanorelativista. Enconcreto, serelaciona, usandolaregladeorodeFermi, el tiempodevidadeunapartculaconelhamiltonianodeinteraccionqueproducesudecaimiento.Elcaptulotercerocontieneunadescripcionfenomenol ogicadelagrandiversidaddepartculassubat omicasquesedescubrieronalolargodeestesiglo. Entrelaspartculassubat omicas,losleptones,quenosientenlainteraccionfuerte,aparecencomopartculaselementales.Estos sonel electron, el muon, latauysus neutrinos respectivos. Loshadrones, que sientenlainteracci onfuerte, nosonelementales. Hande introducirseunaserieden umeroscuanticos(n umerobari onico,extra neza,isospn)pararealizarunaclasicacionpreliminardeloshadrones.Enelcaptulocuartoseintroduceladescripciondelainteraccionentrelaspartculassubatomicas usando la teora cuantica de campos. Esta seccion es breve, ya que se suponeque la mayora de los estudiantes han cursado un asignatura especca de teora cuanticade campos. Si este no fuera el caso, debera ampliarse esta seccion para incluir el conceptodesegundacuantizacionylosdiagramasdeFeynmann.En el captulo quinto se describen las simetras discretas C, P y T en mecanica clasica,mecanica cuantica y teora cuantica de campos, exponiendo sus consecuencias observables,ascomolasevidenciasdesuviolaci onporlainteracciondebil.El captulo sexto se dedica a introducir los conceptos relevantes de la teora de grupos.Seintroducenconelsucienterigorygeneralidadlosconceptosderepresentacionesirre-ducibles,losoperadorestensorialesyelteoremadeWigner-Eckart. SeestudiaendetalleelgruposimetricoS(N).Enel captuloseptimoseestudianlosgruposdeLie, introduciendolosgeneradores.Se estudian en detalle los grupos unitarios U(1), SU(2) y SU(3), utilizando los diagramasdeYoung.1Estosdoscaptulossonautocontenidos, deformaquepuedenservirparaotrasasig-naturas (fsica at omica, fsica nuclear, estado solido) en las que se usa la teora de grupos.Por otro lado, estos captulos podran resumirse u omitirse para estudiantes que hubierandadouncursoespeccodeteoradegrupos.ElcaptulooctavotratadelmodeloSU(3)desabor. ElmodeloSU(3)desaboresunmodelofenomenologicoqueexplotael hechodequeloshadronespuedenagruparseenmultipletesquegeneranrepresentacionesirreduciblesdelgrupoSU(3). Deestaforma,seobtienenlas formulas demasas,probabilidades de decaimientoymuchas relaciones entrelaspropiedadesdelaspartculasdeunmismomultiplete.El captulo noveno trata del modelo de quarks. El modelo de quarks surge del modeloSU(3) al asignarle entidad fsica a los estados de la representaci on fundamental del grupoSU(3). De estamanera, aparecenlos quarks u, dys. Los quarks pesados c, bytsedescubrieronposteriormente. Esdestacablelacapacidaddel modelodequarksparadescribir los momentos magneticos de los bariones. Una vez que se describen los hadronescomoentescompuestosdequarks,lasinteraccionesdeloshadroneshandereferirsealasdelosquarksqueloscomponen. Deestaforma,aparecelainteracciondecolorentrelosquarks.El captulo decimo y ultimo trata de las teoras gauge locales. Se describe explcitamentecomolaexigenciadelainvarianciadellagrangianodeunsistemadefermionessininter-accion frente a transformaciones gauge locales lleva a la aparici on de unos campos gauge,asociadas a partculas de espn uno y masa nula, que interact uan con los fermiones y entresdeformatotalmentedeterminadaporlaspropiedadesdelgrupodesimetra. Estoper-mitedescribirlaspropiedadesdelainteracci onelectromagnetica, enlaelectrodinamicacuantica, y la interaccion de color, en la cromodinamica cuantica. Para describir la inter-acciondebil,enelquelaspartculasasociadasaloscampostienenmasa,seintroduceelmecanismodeHiggsderupturaespontaneadelasimetra. Ellollevaaunadescripcionunicadadelas interacciones debiles yelectromagneticas enlateoraelectrodebil. ElModeloestandaraparececomolateoraquedescribelasinteraccionesentrelosconsti-tuyenteselementales, quesonlosquarksylosleptones, medianteenintercambiodelosbosones gauge de la teora electrodebil y la cromodinamica cuantica,en un marco formaldeteorasgaugelocales.Losapuntesestanconcebidoscomounlibrodetexto, enel cual losconceptosestancon frecuencia expresados en forma escueta, para ser explicados en clase. No obstante, losdesarrollosformalesquecontieneestandetalladossucientemente. Ademas,ellibrocon-tienemuchosejerciciospropuestos,quesonaplicaci ondelateora. Estelibrosesacricala extension en aras de la profundidad. As, el libro no pretende ser una introduccion a lavasta fenomenologa de la fsica de altas energas, sino dar una descripcion en profundidaddelanaturalezadelosconstituyenteselementalesdelamateriaysusinteracciones.Unabibliografacomplementariaaestosapunteseslasiguiente:BurchamandJobes,NuclearandParticlePhysics,Longman1995.Feynman,ElectrodinamicaCuantica,AlianzaEditorial.PartculasElementales,LibrosdeInvestigaci onyCiencia,Labor.ParticlePhysicsBooklet,Springer,1998.Jones,Groups,RepresentationandPhysics,AdamHilger,1990.2Close,Anintroductiontoquarksandpartons,AcademicPress,1979.Lee,ParticlePhysicsandIntroductiontoFieldTheory,Harwood,1981.ChengandLi, GaugeTheoryof ElementaryParticlePhysics, OxfordUniversityPress,1991.Direccionesinteresantesdeinternetsonlassiguientes:TheparticleAdventure: http://ParticleAdventure.org/ParticleDataGruop: http://pdg.lbl.gov/CERN:http://cern.web.cern.ch/CERN/JoaqunGomezCamachoAgostode1999Versionrevisada: Octubrede2000. Juniode2001.3Contents1 IntroduccionHist oricaalasPartculasElementales 71.1 Elparadigmadelafsicaantigua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Elparadigmadelafsicaclasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Elparadigmadelafsicamoderna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Elparadigmadelafsicaactual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Decaimientoycolisionesdepartculas 152.1 Interacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Interaccionelectromagnetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Interaccionfuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3 Interacciondebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1 Densidaddeestados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Estimaciondelasprobabilidadesdeemision . . . . . . . . . . . . . 182.2.3 TeoradeFermidelainteracciondebil . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Seccionesecaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Propiedadesdelaspartculaselementales 223.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Leptones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Hadrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.1 N umerobarionico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2 Extra neza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.3 Isospn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.4 Isospndesistemasdepartculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Partculasestablesyresonancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Conservacionden umeroscuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5.1 Relacionentrelasprobabilidadesdedecaimiento. . . . . . . . . . . 293.5.2 Relacionentreseccionesecaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Interaccionesenunateoracuanticadecampos 334.1 Interaccionfuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Interaccionelectromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Interacciondebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1 Procesosleptonicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Procesossemi-leptonicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3744.3.3 Procesosno-leptonicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.4 Teoradelbosonvectorialintermedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Simetrasdiscretas 405.1 Simetrasdiscretasenmecanicaclasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Simetrasdiscretasenmecanicacuanticanorelativista . . . . . . . . . . . 425.2.1 Inversionespacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.2 Conjugaciondecarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.3 Inversiontemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Simetrasdiscretasenteoracuanticadecampos . . . . . . . . . . . . . . . 435.3.1 Inversionespacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3.2 Conjugaciondecarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3.3 Inversiontemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 Paridadyconjugaci ondecargadesistemasdepartculas . . . . . . . . . . 455.4.1 Sistemasdefotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4.2 Sistemasfermion-antifermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4.3 Sistemasboson-antiboson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4.4 Partculastotalmenteneutras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.5 Conservacionyviolaci ondelassimetrasdiscretas . . . . . . . . . . . . . . 465.5.1 ViolaciondelaparidadPporlainteracci ondebil . . . . . . . . . . 475.5.2 ElteoremaCPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5.3 Loskaonesneutros. Violaci ondeCP. . . . . . . . . . . . . . . . . 495.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 TeoradeGrupos 526.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2 Propiedadesgenerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 Representaciondegrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4 RepresentacionProducto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.5 Operadorestensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.6 Ejemplosdegruposdiscretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.6.1 GrupoS(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.6.2 GrupoS(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.6.3 GrupoS(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 GruposdeLie 647.1 Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 GrupoU(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 GrupoU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.4 GrupoSU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.5 GrupoSU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.5.1 RepresentacionesirreduciblesdeSU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . 697.5.2 Caracterizaci ondelosestados. Diagramasdepesos. . . . . . . . . 707.5.3 Caracterizaci ondelosgeneradores. Diagramasderaces. . . . . . . 717.5.4 RepresentacionesprincipalesdeSU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . 717.5.5 DescomposicionderepresentacionesproductodeSU(3) . . . . . . . 7257.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 ModeloSU(3)desabor 748.1 Octetes,decupletesysingletesdehadrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.2 Formulasdemasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.3 Mezcladerepresentaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.4 AplicacionesdelasimetraSU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.4.1 Decaimientofuertedehadrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.4.2 Constantesdeacoplamientofuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.4.3 Constantesdelacorrientedebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 ModelodeQuarks 809.1 LosquarkscomorepresentacionfundamentaldeSU(3)desabor . . . . . . 809.1.1 Funcionesdeondadesabordeloshadrones . . . . . . . . . . . . . 819.1.2 Losquarkscomofermiones: elcolor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.1.3 Momentomagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.2 Interaccionesentrequarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.2.1 Interaccionfuerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.2.2 Interaccionelectromagnetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.2.3 Interacciondebil.AngulodeCabibbo. MatrizCKM. . . . . . . . . 879.3 Quarkspesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3.1 Quarkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3.2 Quarkb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3.3 Quarkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.4 Evidenciasexperimentalesdelosquarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.4.1 Experimentosdeanalisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.4.2 Experimentosdesntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9110TeorasGaugeLocales 9210.1 Estructurageneraldelasteorasgaugelocales . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.2 Electrodinamicacu antica: grupoU(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.3 Cromodinamicacuantica: grupoSU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.4 Teorapreliminarparalainteraccionelectro-debil: grupoU(2) . . . . . . . 9810.5 MecanismodeHiggsderupturaespont aneadelasimetra . . . . . . . . . 10210.5.1 MecanismodeHiggsenunateoraU(1) . . . . . . . . . . . . . . . . 10210.5.2 MecanismodeHiggsenunateoraU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.6 TeoraElectrodebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.7 ElModeloEstandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.7.1 PartculasElementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.7.2 Interacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.7.3 Marcoteorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086Chapter1IntroduccionHistoricaalasPartculasElementales1.1 ElparadigmadelafsicaantiguaLaciencia, tal comolaconocemosactualmente, partedelaculturagriega. Fuelacivi-lizacion griega la primera que se planteo una descripcion de la naturaleza que no estuvieratotalmentecondicionadaalaactuaciondeseressobrenaturales. Enestesentido,algunascontribucionesfundamentalesaldesarrollodelacienciafueronlassiguientes:Thales: (Mileto,AsiaMenor,624-548a.c.)Establecioque lanaturaleza, apesar de lagranvariedadque presenta, puede sercomprendida,siesobservadacuidadosamente. Planteoquetodaslassustanciasestabanformadas por un principio unico, que identico con el agua, ya que esta poda presentarsecomosolido,lquidoogas.Pit agoras: (Crotona,Napoles,580-500a.c.)Ademas del famoso teorema, descubrio que las subdivisiones enteras o racionalesdeunacuerdaproducansonidosmusicalesarmoniosos. Ellollevoalaideadequeladescripciondelos fenomenos delanaturalezapoda, ydeba, hacenseenterminos den umeros. Es mas, los pitag oricos pensabanquelos n umeros estabanenlaesenciadetodaslascosas.Los pitag oricos sabianque latierraeraredonda, aunque considerabanque noerahabitablemuchomasalladelazonadel mediterraneo. Latierra, el sol, lalunaylosplanetasgirabanentornoaunfuegocentraldelcualrecibaelsolsuluz,delamismaformaquelaluna.Empedocles: (Acragas,Sicilia,490-430a.c.)Planteoque nopodiahaber unprincipio unicodel que todas las cosas estuvierancompuestas, yaque enlanaturalezahabapropiedades contradictorias. Por ejemplo,existencosassecasyh umedas. Comoel aguaesintrinsecamenteh umeda, nopuedeserelprincipio unico. Porello,establecioqueexistancuatroelementos: Agua,Tierra,AireyFuego. Estos elementos tenanpropiedades opuestas. AguayTierrasonpesados,mientras que Aire y Fuego son ligeros. Por otro lado, Agua y Aire son h umedos, mientrasque Fuego y Tierra son secos. Todas las sustancias conocidas estaban compuestas de estoselementosendistintasproporciones.7Los elementos seunanoseparabanpor dos interacciones. El Amortendaaunirloselementos, mientrasqueel Odiolosseparaba. Lanaturaleza, contodassusdiferentesmanifestaciones,surgadelequilibrioentreestasinteracciones.Democrito: (Abdera,Tracia,460-370a.c.)Establecioquetodas las cosas estabancompuestas deatomos. Estos atomos eranpeque nos, indivisibles, de distintas formas ytaman os, perocompuestos por lamismasustancia. Los atomos estaban en continuo movimiento, y estaban separados por el vacio.Lagravedadseexplicabaporunmovimientoderotaci on,quehacaquelosatomosmasgrandes,quecorrespondanasustanciasmaspesadas,tendieranairsehaciaelcentrodela tierra, mientras que los mas ligeros iban hacia fuera. Incluso el alma estaba compuestadeuntipodeatomosespecialmenteligeros, distribuidosportodoel cuerpodelosseresvivos.Arist oteles: (Atenas,384-322a.c.)LaobraFsicade Aristoteles tiene unaaplicaci onmuchomas ampliade loqueactualmente se entiende por el termino. Partiendo del concepto de sustancia (inmutable)yforma(cambiante),Aristotelesdescribeelmovimientocomountipodecambio.Aristoteles describe el universo con la tierra (esferica) en su centro. Separa el universoen la esfera terrestre, situada por debajo de la orbita de la luna, y la esfera celeste, situadoporencimadelaluna, incluyendoesta. El movimientodelosastrosenlaesferacelesteerainmutable, ysedescribaenfunciondecirculos, queeranlasgurasperfectasparalosgriegos. Elmovimientoenlaesferaterrestreveniadescritoporlineasrectas. Dentrodeestemovimiento, sedistinguenlosmovimientosnaturales, porloscualeslosobjetospesados(AguayTierra)sedirigenhaciaelcentrodelatierra, mientrasquelosobjetosligeros(FuegoyAire)sedirigenhaciaarriba,ylosmovimientosforzados,querequierenunacausaexterna.Aristoteles consideraque, enlos movimientos forzados, es necesariaunacausaqueprovoqueel movimiento, detal maneraque, cuandocesalacausa, cesael movimiento.As, la velocidad sera proporcional a la fuerza, e inversamente proporcional a la resistenciadelmedio. Porello,Arist otelesnoadmitalaexistenciadelvaco,yaqueimplicaraunaresistencianula. Portanto, noaceptabalateoraat omicadelosatomosdeDem ocrito,aunqueasumaplenamentelateoradeloscuatroelementosdeEmpedocles.La descripcion de los movimientos forzados requera de una causa o motor para cadamovimiento. Elmovimientodelmotor,asuvez,debeestarcausadoporotromotor.Deestamanera,sellegaauna ultimacausaoMotorinmovil,enelqueestaelorigende todo movimiento. Este Motor es Dios, y sus propiedades vienen descritas en el libroOctavo de la Fisica. La Teologa es, por tanto, para Aristoteles, una rama de la Fsica.LaFsicadeAristoteles, juntoconloscuatroelementosdeEmpedocles, hanconsti-tuidoel paradigmabasicodel sabercienticodurantecasi 2000a nos. Basadosenesteparadigma, Arqumedes descubriolas leyes de lapalanca, yel principioque llevasunombre. Ptolomeodescribioel movimientoceleste congranprecision. Las religionesmonotestasencontraronunabasecientcasolida. Loscuatroelementosconstituianlabase natural para descripcion de los fenomenos de una sociedad basada en la agricultura,ya que tierra, agua, aire y fuego (luz solar) son los ingredientes necesarios para la agricul-tura. Del mismomodo, lasvariacionesestacionalesenlaagriculturapuedenentenderse8comociclosenquedominaelamor(primaverayverano,enqueloselementossecom-binanparaquecrezcanlasplantasylosfrutos),oelodio(oto noeinvierno,enquelasplantassesecan,yloselementosquelasconstituyerseseparan).Enestecontexto, noessorprendenteel empe nodelosalquimistasmedievalesenlatransmutaciondelas sustancias. Si todas las sustancias estabanhechas delos cuatroelementos, podapasarsedeplomo(odecualquier otrasustancia) aoroa nadiendolaproporcionadecuadadefuego, aire, aguaytierra. El paradigmadelafsicaantiguanoseviosustancialmentemodicadodurantelaedadmedia,aunqueesdestacableeldesar-rollodeconceptoslos ocosqueprecedieronal renacimiento. EntreelloscabedestacaraGuillermodeOccam, queplanteosuprincipio, denominadolanavajadeOccam:Pluribus nonest ponendasine necesitate. Nodebe presuponerse lamultiplicidadsinnecesidad.Esteesunprincipiobasicoeneldesarrollodelacienciahastanuestrosdas.De forma esquematica, podemos resumir el paradigma de la fsica antigua como sigue:Elementos: Tierra,Agua,AireyFuego.Interacciones: AmoryOdio. Fuerzasexteriores.MarcoTeorico: FsicadeAristoteles.1.2 ElparadigmadelafsicaclasicaLa sustitucion del paradigma de la fsica antigua por lo que conocemos por la fsica clasica,fueunaevoluciongradualentrelossiglosXVIyXIX.Loshitosmasimportantessonlossiguientes:Copernico: (Cracovia,1473-1543)Establecioel sistemaheliocentrico. Esteyahabasidopropuestopor AristarcodeSamoshaciael280a.c.,aunquenoseacepto.Galileo: (Pisa,1564-1642)Establecioelprincipiodequelaspropiedadesdelossistemassonlasmismassiestanen reposo o en movimiento uniforme. Tambien formulo la ley de la inercia, por la cual loscuerpostiendenamantenersumovimientoenausenciadeaccionesexternas.Newton: (Cambridge,1642-1727)Desarroll o (con Leibnitz) el calculo difrerencial, lo que permitia una descripcion formalde las leyes fsicas, mas all ade lageometriaqueerael instrumentode los cientcosanteriores.Formulosustresleyes. LaprimerayahabiasidoplanteadaporGalileo. Lasegundaestablecia que la fuerza era proporcional a la aceleracion, y no a la velocidad. Notese queladiferenciaestrictaentreaceleracionyvelocidadpudoplantearseapartirdeldesarrollodel calculo diferencial. La tercera, la ley de accion y reaccion, hacia que no fuera necesariaunacadenaderelacionescausalesparaprovocarelmovimiento.Finalmente, planteo la ley de la gravitacion universal, lo cual permitia borrar la sepa-racionentreesferascelesteyterrestre. Todoeluniverso,portanto,satisfacalasmismasleyes.Lavoisier: (Pars,1747-1794)9Consigui odescomponerelaguaenhidr ogenoyoxgeno,asicomorecomponerla. Porotroladodescubrioquelacombustionsedebaalacombinaci ondelassustanciasconeloxgeno. Previamente, se haba considerado que los cuerpos, al arder, emitan una sustan-cia llamada Flogisto. Esto era la prueba denitiva de que los elementos de Empedocles noeranrealmentefundamentales. Porotrolado, comprob oqueenlasreaccionesqumicasseconservabalacantidadtotaldemateria.Dalton: (Manchester,1766-1844)Planteolateoraat omica, partiendodel hechodequelasreaccionesquimicasentregases ocurrianenproporciones sencillas devolumen. Obtuvolarelaciondelas masasat omicasdevarioselementosconladel hidrogeno. Posteriormente, el desarrollodelateoracineticadelosgases, justicoplenamentelateoriaatomica, cuyabasehabasidoyaplanteadaporDemocrito.Maxwell: (Cambridge,1831-1879)Unicaladescripcionde los fenomenos electricos ymagneticos, asi comolaluz yotrasradiacioneselectromagneticasenfunciondecamposelectricosymagneticos, quesatisfacenlasecuacionesquellevansunombre.Mendeleyev: (SanPetersburgo,1834-1907)Clasicaloselementos,quesoncercade90,enlatablaperiodica. Deestaforma,secorrelacionaelpesoat omicoconlaspropiedadesqumicasdeloselementos.El panorama de la ciencia a nales del siglo XIX era brillante. La ciencia constitua unabaseparalasnecesidadestecnologicasdelarevolucionindustrial. LasleyesdeNewtonseveianplenamenteconrmadasporobservacionesastron omicas. Sedesarrollabanlasaplicacionespr acticasdelaelectricidad. Laquimicaprogresabaapartirdelabasedelateoriaat omica, aunquelanaturalezadelasinteraccionesentrelosatomos, el enlacequimico, nofuerabiencomprendida. Labiologaylamedicinaseibandespojandodeprincipiosvitalistas,ysebeneciabandelosavancesdelafsicaylaqumica.Esquematicamente,elparadigmadelafsicaclasicapuedeexpresarsecomosigue:Elementos: 90elementosdelaTablaPeriodica.Interacciones: Gravitacion. Electromagnetismo. Enlacequimico.MarcoTeorico: FsicaClasica(LeyesdeNewton).1.3 ElparadigmadelafsicamodernaAunque la ciencia clasica sigue siendo de plena validez en muchos campos, sus fundamentostuvieronquesermodicadosenfunciondedescubrimientosrealizadosanalesdelsigloXIXyprincipiosdelsigloXX.Thompson:Descubreelelectronen1897. Planteaelprimermodelodelatomo,peronoconsiguedescribiradecuadamenteelespectrodeabsorcionyemision.Becquerel: (Pars,1852-1908)Descubrelaradiactividad(1896). Lasradiacionesdescubiertasseidenticanposteri-ormenteconparticulascargadasextraordinariamenteenergeticas.10Plank: (Berln,1858-1947)Plantealahipotesis delos cuantos (1900) paraexplicar el espectrodeemisiondelcuerponegro.Rutherford: (Manchester,1871-1937)Descubreel n ucleoat omico(1911). Planteael modeloplanetariodel atomo, aunquenoescompatibleconel electromagnetismo. Identicalaradiaci oncomon ucleosdehelio. Producelaprimerareaccionnuclear +14N p +17O: Latransmutaciondeloselementos,queeraelsue nodelosalquimistas,sehabalogrado.Bohr: (Copenhague,1885-1962)Aplica los cuantos al modelo de Rutherford (1913), consiguiendo explicar satisfactori-amentelaabsorcionyemisiondeluzporlosatomos. Contribuyedeformafundamentalaldesarrollodelafsicaat omicaydelafsicanuclear.Heisenberg: (Munich,1901-1976)Formula el principio de indeterminacion, por el cual no es posible conocer con precisionel valor de la coordenada y el momento de una partcula. Desarrolla la mecanica matricial(1925)paradescribirlaemisionderadiaci on.Schrodinger: (Viena,1887-1961)Propone la ecuacion que lleva su nombre (1926), para describir el estado de los sistemascuanticos.Pauli:Plantea el principio de exclusion, que es basico para interpretar la estructura de atomospoliat omicos. Postulaen1931laexistenciadel neutrino, parajusticarlaconservaciondelaenergaeneldecaimientobeta.Chadwick: (Manchester,1891-1974)Descubre el neutr on en 1932, con carga neutra y masa parecida al prot on. Ello permiteexplicarquelasmasasat omicasfueranaproximadamentem ultiplosdeladel atomodehidrogeno.Fermi: (Roma,1901-1954)Plantealaprimerateoradelainteracciondebil (1930)queescapazdeexplicarelespectrodeemisiondeelectroneseneldecaimientobeta.Einstein:Explicael efectofotoelectrico(1905), aplicandolateoradeloscuantos. Introducelateoraespecial delarelatividad(1905), quemodicalaconcepciondel tiempoyelespacio, ycorrelacionamasayenerga, ylateorageneral delarelatividad, queexplicalagravitaci oncomounacurvaturaespacio-temporal.El descubrimiento por Einstein de la relatividad especial y general suponen una mod-icacionmuyimportantedelparadigmaclasico,aunque,masqueinvalidarlo,lollevanasuplenitud. Larelatividadespecial establecequelasleyesdetransformaci onquedejaninvariante un sistema no son las transformaciones de Galileo, que ya entraban en conictoconlasecuacionesdeMaxwell,sinolastransformacionesdeLorentz. Larelatividadgen-eral justica la igualdad entre la masa inercial y la gravitatoria, que era un hecho emprico11enlagravitaci ondeNewton. Ademas, larelatividadgeneral predicelacurvaturadelaluzencamposgravitatorios.Los descubrimientos asociados conlafsicacuanticasuponenunarevoluci onenelparadigmaclasico. El principiode indeterminaci onhace que las leyes de Newtonnoseanaplicables parael atomooel n ucleo. Ensulugar, debeaplicarselaecuaciondeSchrodinger.El paradigma de la ciencia moderna tiene hoy en da una aplicabilidad plena en la in-mensa mayora de los campos de la ciencia. Los fundamentos del enlace qumico estan jus-ticados por la descripcion cuantica del movimiento de electrones en atomos y moleculas.Del mismomodo, lainteracciondeloselectronesconunaredcristalinaeslabasedelafsicadel estadosolido. Paraestas ciencias, lainteraccionelectromagneticaestaenelorigendetodoslosfenomenos. Porotrolado,lagranmayoradelosfenomenosenfsicanuclearpuedendescribirseenesteparadigma, aunqueel origendelainteraccionfuerteyladebilnoquedaplenamentejusticado. Laastrofsica(evolucionestelar,estrellasdeneutrones,supernovas)tambiensedescribeenesteparadigma.El paradigma de la fsica moderna que se establece sobre 1940 puede describirse comosigue:Elementos: Electron,prot on,neutron,(neutrino).Interacciones: Gravitacion, electromagnetismo, interacci on fuerte, interaccion debil.MarcoTeorico: Fsicacuantica(EcuaciondeSchrodinger)1.4 ElparadigmadelafsicaactualEl paradigma de la ciencia moderna, aunque plenamente aplicable hoy en da en la mayoradeloscamposcientcos,resultoinsucientecomobaseparadescribirlapartculasylasinteraccionesrealmentefundamentales. Lascontribucionesprincipalesquellevaronasucuestionamientofueronlassiguientes:Dirac: (Cambridge1902-1984)Plantea una ecuacion cuantica en que la funcion de onda es compatible con la relativi-dad especial. Ello le lleva a postular la existencia de una antipartcula para cada partculadeespinsemi-entero. En1928postulalaexistenciadel positr on, queesdescubiertoen1932. Sienta las bases de la electrodinamica cuantica como una teora cuantica de campos,enlaquelasinteraccionelectromagneticaseproduceporintercambiodefotones.Yukawa: (Tokio1907-1981)Aplicando la teora cuantica de campos a la interaccion fuerte, deduce que debe existiruna partcula que transmite la interaccion fuerte, cuya masa es inversamente proporcionalalrangodelainteraccionm= hc/a. Porello, delrangodelainteracci onfuerte(1fm),deducelaexistenciadeparticulasdemasasobre200MeV,quellamamesones(1935).DescubrimientodeParticulas:Analizandolosrayoscosmicosenlacamaradeniebla,sedescubreen1937emmuon,de masa 107 MeV, pero no puede corresponder a la partcula predicha por Yukawa, porqueno interact ua con la materia por la interaccion fuerte. En 1947 se descubren los piones demasa140MeV,quesseadec uanalosmesonesdeYukawa. Pocodespues,sedescubrenotrasmuchasparticulas, algunasdemasasintermediasentrelospionesylosprotones,12como los mesones K (m=500 MeV), y otras mas pesadas que el prot on, llamadas hiperones,como la (m=1110 MeV). Estas partculas, son inestables, y se descomponen en tiemposdel ordende 108segundos paradar protones, neutrones, electrones (opositrones) yneutrinos.Posteriormente, con el desarrollo de los aceleradores de partculas, se producen muchasmaspartculas,devidacadavezmascorta.Feynmann: (Boston(MIT)1918-1988)Con Schwinger, Tomonaga y muchos otros, contribuye al desarrollo de la teora cuanticade campos en general, y de la electrodin amica cuantica en particular. Esta teora permitedescribirla relaciondelmomento magnetico delelectroncon sucarga ysumasa conunaprecisionde10cifrassignicativas. Ademas, esunateoradetipoGaugeLocal, quesirvedemodeloparalasteorasdelrestodelasinteracciones.Gell-Mann: (Chicago1929-)El y Zweig, de forma independiente, plantean el modelo de quarks (1963), que permitedescribirlagranvariedaddepartculaselementales(mesonesybariones)enterminosdeunas partculas fundamentales llamadas quarks. Esta hipotesis recibio apoyo experimentalenexperimentosdecolisionelectron-nucleonaaltasenergas(1968).Weinberg: (Harvard1933-)Con Salam, plantean en 1967 una teora unicada Gauge Local que permite describirlainteracci onelectromagneticaylainteracciondebil. Predicenlaexistenciadenuevasparticulas, los bosones W y Z0, que junto con el foton describen las interacciones electro-debiles. Las predicciones de la teora electrodebil se ven conrmadas por el descubrimientoexperimentaldeestosbosones.Cromodin amicaCuantica:La interaccionque liga a los quarks cristaliza enuna teora Gauge Local, queadquiere su formulaci on denitiva en 1973, y que relaciona la interraccion a una propiedadde los quarks llamada color, y esta asociada a ocho partculas sin masa llamados gluones.La cromodinamica cuantica no puede tratarse de forma perturbativa a energas peque nas,peroaenergas altas se reduce, locual hapermitidovericar experimentalmente suspredicciones.El paradigmade lacienciaactual, que se establece sobre 1975, yse conoce comoModeloEstandar,puededescribirsedeformaabreviadacomosigue:Elementos: Quarks(u,d,s,c,b,t),contrescolorescadauno,yleptones(e,e,,,,). FaltapordescubrirelbosondeHiggs.Interacciones: Interaccionelectro-debil (, W+, W, Z0), interacciondecolor(8gluones)yGravitacion.MarcoTeorico: TeoriasGaugeLocales.ElModeloEstandarpresentaunadescripcionespecialmenteeleganteysimpledelasinteracciones: estasinteraccionesaparecencomoconsecuenciadelasimetradelossis-temas frente a un conjunto de transformaciones. Las propiedades de la interacci on quedantotalmentedeterminadasporel grupodesimetra, ysuintensidadvienedadaporuna13constante(odosenel casodelateoraelectrodebil. Lateoradelagravitaci ondeEin-stein, aunqueesunateoraclasica, esunateoragaugelocal. Enestecaso, el grupodesimetracorrespondealastransformacionesdeLorentz. El campogravitatoriopreservaesta simetra haciendo, por ejemplo, que un sistema en movimiento acelerado sea comple-tameteequivalenteaunsistemaenreposomasuncampogravitatorio.ElModeloEstandarhasidoavaladoporungrann umerodeobservacionesrealizadasenlos aceleradores dealtas energas. Recientemente, seobserv oexpermentalmenteel ultimoquarkpredicho,eltop(t),ysolamentefaltaencontrarunapartcula,elbosondeHiggs,queesresponsabledelamasanonuladelosbosonesdelainteracciondebilydelosfermiones. Existenevidenciasdequenohaymasneutrinossinmasadelostresquesehanhallado,porloquenodebehabermasfamiliasdepartculas.El modeloestandarhapermitidoavancesimportantesenlacosmologa, porqueper-miteinferirlaevoluci ondel universoapartirdeunafracciondesegundodespuesdelagranexplosion.Aunquelacromodin amicacuanticadeberasercapazdedarlasmasasdetodosloshadrones (partculas compuestas de quarks), y de las interacciones entre ellos, el caracternoperturbativodelateoradicultaestoscalculos,porloquenohaytodavaresultadosables de estas magnitudes. Ello limita la aplicabilidad de la cromodinamica cuantica enlafsicanuclear.14Chapter2DecaimientoycolisionesdepartculasEl paradigmadelafsicamodernaincluyeaprot on, neutron, electronyneutrinocomopartculas fundamentales. Considera las interacciones gravitatoria, electromagnetica,fuerte ydebil. Laprimeraes irrelevante paralafsicanuclear ode partculas. Lasdemassonconsideradasenelmarcodelateoracuantica.Eldesarrollodeesteparadigmallevaaunadescripciondetalladadelaestructuradeatomosyn ucleosat omicos. Tambienpuededescribirseeldecaimientodeestossistemas,ylascolisionesentreellos.2.1 InteraccionesVamosadescribirlascaractersticascualitativasdelasinteracciones:2.1.1 InteraccionelectromagneticaOcurre entre partculas cargadas, y tiene un largo alcance. El potencial escalar viene dadoporlaexpresionV (r) = Z1Z2e240rdondee2/40=1.44MeVfm. Paradistanciastpicasde1fm, lainteraccionentredospartculasdecargaunidadesdel ordende1MeV. As, podemosexpresar1MeV,comounamedidadelordendemagnituddelainteraccionelectromagnetica.2.1.2 InteraccionfuerteOcurreentreprotonesyneutrones,esunainteracci onatractiva,yesresponsabledequeprotones yneutronesformenn ucleosatomicos. Lainteracci ontieneunalcancedelordende 1 fm. La interacci on fuerte tiene una dependencia complicada con la distancia, dependedelaorientaci ondelosespines, delaenergaydel momentoangular. Noobstante, enmuchoscasos, puedenutilizarseparametrizacionessimplesdelainteraccionfuerte. Porejemplo,puedeusarseunpozocuadrado,V (r) = V0r < R ; V (r) = 0 r > R,15obienunaformadetipoYukawa:V (r) = V0exp(r/R)r/RLos parametros R y V0se obtienen ajustando datos experimentales, tales como la energadeligadurayelradiodeldeuteron,queesunestadoligadodeprot onyneutron.El parametroRes del ordende1fm, yparaobtener unaestimaciondeV0bastaconsiderarquelainteracciondebesersucienteparaformarunestadoligadodeprot onyneutron. Estolleva,paraelpotencialdepozocuadrado,alarelaci onV0R22 h28(2.1)Estadesigualdadseconvierteenigualdadcuandolaenergadeligaduradel deuteronpuededespreciarsefrenteaV0. ParaR=1fm,seobtieneV0=103MeV ,queesmuchomayor que la energa de ligadura del deuteron B= 2.22MeV . Por tanto, podemos concluirque< Hf> 100MeV ,comounaestimaciondelainteraccionfuerte.2.1.3 InteracciondebilLa interacion debil es la responsable del decaimiento de un neutr on libre: n p+e+ .La partcula , o antineutrino, es una partcula sin carga ni masa en reposo que se mueveconlavelocidaddelaluz,quefuepostuladaparaquesecumplieralaconservaciondelaenerga, ysedetectoexperimentalmentemuchosa nosdespues. Otrosprocesosposiblesdebidos a la interacci on debil son: n+ p+e (interacci on de neutrinos), p+e n+(capturaelectronica), p n + e++ (emision+). Estos ultimosprocesosnopuededarseparaunprot onlibre,porquenoseconservaralaenerga,perosipuedeocurrirenunprot onquesehalladentrodeunn ucleoat omico.EstosprocesospuedendescribirseenlateoradeFermidelainteracciondebilintro-duciendounterminoenelhamiltonianoqueseexpresacomoHw= GF3(r)(++ )donde +es un operador que transforma un neutron en prot on, y crea o aniquila electronesyneutrinosconservandolacargaelectricayeln umeroleptonico,queveremosposterior-mente. eseloperadorconjugado. Explcitamente,setiene< p[+[n, e+, >=< p, [+[n, e+>=< p, e[+[n, >=< p, e, [+[n >= 1yelrestodeloselementosdematrizsonnulos. LaconstantedeFermiGFtomaelvalorde89.62106MeVfm3. Lafuncionindicaquelainteracci ondebil tieneunalcancemuchomascortoinclusoquelainteraccionfuerte,y estosemaniestaenladistribuciondelosmomentosdelaspartculasproducidasporlainteracciondebil.Una estimacion del valor de la interacci on debil se obtiene promediando su efecto sobreunvolumende1fm3,conlocualsetiene< Hw> 104MeV .2.2 DecaimientoEn mecanica cuantica, una partcula inestable, o un sistema compuesto que tenga una en-erga suciente puede descomponerse o decaer, produciendo varios fragmentos (partculas16ofotones). Paradescribiresteproceso, sedescomponeel chamiltonianoH=H0 + H

.H0eslapartedelhamiltonianoquedenelapartculaoelsistema, deformaqueesunautoestadodeH0. H

eslapartedelhamiltonianoqueproduceeldecaimiento.LaprobabilidadporunidaddetiempodequeseproduzcaeldecaimientovienedadaporlaregladeorodeFermi:Wi,f=2 h [ < i[H

[f> [2(E)dondees el elementodematrizdelapartedel hamiltonianoresponsabledel decaimiento, entreel estadoinicial iyel estadonal f enel quesehaemitidolosfragmentos, y(E)esladensidaddeauto-estadosdeH0quepuedenproducirsetraseldecaimiento, esdecir, el n umerodeestadosnalesentreEyE + dE, divididopordE.Notesequesi unsistemapuededecaer, suvidamedia vienedadapor 1/Wi,f, ysuenergatendr aunaindeterminacioncaracterizadapor = hWi,f.2.2.1 DensidaddeestadosDecaimientoendospartculas. CasogeneralConsideremosunapartculaAquesedesintegraenB+C. Enel procesoseliberaunaenergatotalE= M(A)c2,yunaenergacineticaEc= (M(A) M(B) M(C))c2.Sea

Pesel momentodeB, queesigual ydesignocontrarioal deC. Notesequesi seespecicaelvalorde

P,sedeterminaelestadotantodeBcomodeC.SupongamosqueByCseconnanaunvolumen=L3(Lsetomar aposteriormentecomo1fm). LosvaloresdelascomponentesPx, PyyPzestancuantizadasdeformaquePx= nx2 h/L. Eln umerodeestadostal queel modulodesumomentoesinferioraPvienedadoporlosposiblesvaloresenterosdenx, nyynztalesque:n2x + n2y + n2z _PL h2_2locuallleva,apartirdelvolumendelaesfera,a:N(P) =4(Pc)3L33(2 hc)3Engeneral,PcesunafunciondeE. SisederivaN(P),seobtiene(E) =dN(P)dE=4(Pc)2(2 hc)3dPcdELa expresion concreta depende de la relaci on entre Pc y E. En el caso general de que B yCseanparticulasrelativistas,laconservaciondelcuadrivectorenerga-momentollevaa:E= M(A)c2=_(M(B)c2)2+ (Pc)2+_(M(C)c2)2+ (Pc)2DecaimientoendospartculasnorelativistasSupongamos quelaenergacineticaEces considerablementemenor quelas masasenreposodeByC, conloqueambas semoverandeformanorelativista. EntoncesEc= (Pc)2/(2c2),dondeeslamasareducidadeByC,y(E) = 2E1/2c(2c2)3/2/(2 hc)317DecaimientoenunapartcularelativistayunapartculapesadaConsideremos que Ec y M(C)c2son mucho mas peque nas que M(B)c2. Este es el casocuando un n ucleo emite un foton. En ese caso, la partcula C se lleva pr acticamente todalaenergacinetica,ysecumplequeE= M(B)c2+_(M(C)c2)2+ (Pc)2dedondepuedeobtenerselaexpresiondeladensidaddeestados.Cuando la partcula C tiene masa nula o mucho menor que Ec (lmite ultrarrelativista),setienequeE M(B)c2= Pcy(E) =4(M(A)c2M(B)c2)2(2 hc)3.Decaimientoendosparticulasligerasyunapartculapesada. CasogeneralConsideramos el proceso en el que un n ucleo at omico, o cualquier otra partcula pesadaA, emitedospartculasdemasapeque naCyD, dejandounapartculapesadaresidualB, demasaparecidaalainicial. Enesecaso, el n ucleoresidual sellevaunapartemuypeque nadelaenergacineticadisponible. Laenergasedistribuyeentrelosfragmentosligeros, y el n ucleo residual se lleva el momento necesario para compensar el de las otras dospartculas. Enestecaso,losmomentosdelaspartculasCyDsondiferentesengeneral,perolasumadesusenergasdebevenirdadaporET= EC+ ED= M(A)c2 M(B)c2.ElmomentoPCdelapartculaCestarelacionadoconsuenergaporE2C= (M(C)c2)2+ (PCc)2yladensidaddeestadosdeestapartculavienedadapor:C(EC) =4EC_E2C (M(C)c2)2(2 hc)3Las mismas expresiones deobtienenparalapartculaB. Paracalcular ladensidaddeestadosnalesenlosquesecumpleET= EC + ED,bastaconintegrar(ET) =_ETM(C)c2+M(D)c2dECC(EC)D(ET EC)Enel limiteenqueETseamuysuperioraM(C)c2yM(D)c2, puedenutilizarselasexpresionesuntrarelativistasparaCyDysetiene:(ET) =(4)2E5T30(2 hc)62.2.2 Estimaci ondelasprobabilidadesdeemisi onInteracci onfuerteConsideremos la emision de un nucleon por un n ucleo. Supongamos que el n ucleo ini-cial tiene la energa suciente para que el nucleon salga con 10 MeV. Entonces, utilizandola expresion no relativista, se tiene (E) = 0.84 103MeV1. Utilizando la estimacion dela interacci on fuerte,se tiene Wi,f 81022s1, 52.8MeV , 0.121022s. Vemos,portanto,quelossistemasquedecaenporlainteracci onfuertetienenvidasmuycortas.18Interacci onelectromagneticaConsideremoslaemisiondeunfotonporunnucleo,considerandotambienelcasoenquelaenergacineticadisponibleesde10MeV. Enesecaso, usandolaexpresiondelaemisiondeunapartculaultrarrelativista,setiene(E) = 0.66106MeV1. Usandolaestimacion de la interacci on electromagnetica, se tiene Wi,f 61015s1, 4106MeV , 1.61016s. Lossistemasquedecaenporinteraccionelectromagneticatienenvidasmaslargasquelosquedecaenporinteraccionfuerte,debidoaquelainteracci onesmasdebil, pero tambien a que la densidad de estados suele ser menor, al producirse partculasrelativistas(fotones).Interacci ondebilConsideremoslaemisiondeunelectronyunneutrinoporunnucleo, considerandotambien el caso en que la energa cinetica disponible es de 10 MeV. En ese caso, usando laexpresion de la emision de dos partculas ligeras y una pesada, en el lmite ultrarrelativista,se tiene (E) = 1.461013MeV1. Usando la estimacion de la interaccion debil, se tieneWi,f 14s1, 91021MeV , 0.07s. Lossistemasquedecaenporinteraccionelectromagneticatienenvidasmuylargas,debidoaquelainteraccionesmuydebil,perotambienaqueladensidaddeestadosesmuchomenor,alemitirsedospartculasligeras.2.2.3 TeoradeFermidelainteracciondebilLateoradeFermi seintrodujoparaexplicarel espectrodeemisiondeelectroneseneldecaimiento beta. La teora parte de la regla de oro de Fermi. Para evaluar el elemento dematriz < i[Hw[f>, se considera que el n ucleo inicial, con una funcion de onda i, describeZprotonesyNneutrones. El n ucleonal, conunafunciondeondaf, describeZ+1protonesyN-1neutrones. El electronyel neutrinovienendescritosporondasplanas,normalizadasenel volumen. SearNlacoordenadadel neutronqueseconvierteenprot on,y rLlacoordenadadondeseproducenelelectronyelneutrino. Sealavariableporlaquedenotamoselrestodelascoordenadasrelevantes. Entonces,< i[Hw[f> =_ddrNdrLi(, rN)Hw(rN, rL)f(, rN)exp(i

kerL)exp(i

krL)Teniendoencuentalaexpresiondelainteracci ondebil,setiene< i[Hw[f>=GF_ddrNi(, rN)f(, rN) exp(i

krN)donde

k = ke+

k. Para energas no muy altas, krN 1, y puede expresarse < i[Hw[f>=GFMi,f/,dondeMi,f=_ddrNi(, rN)f(, rN)dependesolodelaestructuradelosn ucleos.Utilizandolaexpresi ondeladensidaddeestados,setiene,paralaprobabilidadtotaldeemisionbeta,Wi,f=2 h(4GF)2(2 hc)6 [Mi,f[2_ETmec2dEe_E2e (mec2)2Ee(ET Ee)2.19Si queremosobtenerlaprobabilidaddeemisiondeunelectronconenergaentreEeyEe + dEe,tenemosdWi,f/dEe=2 h(4GF)2(2 hc)6 [Mi,f[2_E2e (mec2)2Ee(ET Ee)2.quedalaformadelespectrobeta. Estaforma,noobstante,sevemodicadadebidoalacargaelectricadeln ucleonal,queinteraccionaconelelectron.2.3 SeccionesecacesDescriben procesos en los que inicialmente hay dos partculas que colisionan, dando lugaraotraspartculas,obienalasmismaspartculasincidentesmoviendoseenunadirecciondiferente. Si consideramosqueinicialmentehayunhazdepartculasincidentesconve-locidadvquecolisionanconunblancodepartculasenreposo,laseccionecazsedenecomo= Nc/(iNb)dondeNceseln umerodecolisionesporunidaddetiempo,ieseln umerodepartculasincidentesporunidaddetiempoyunidaddeareayNbesel n umerodepartculasenel blanco. Aefectosdeevaluarestaexpresion, vamosaconsiderarqueel volumendelblancoVsedivideenunn umerodeceldillasdevolumen, talesqueencadavolumende interacci onhayunaprobabilidadpide que hayaunapartculaincidente yunaprobabilidad pb de que haya una partcula del blanco. Entonces, i= piv/, Nb= pbV/,yNc= pipbV/Wi.f. Portanto,setienelarelacion= Wi,f/v,quepuedeexpresarse,usandolaregladeorodeFermi,como=2 hv [ < i[H[f> [2(E)donde [i >= ibexp(i

kr)/. Notesequeladependenciaexplcitaensecancela.Para el caso de la interaccion fuerte, por ejemplo, en una colision prot on-neutron a 10MeV,setiene 2fm2= 0.02barn. Paralainteracci onelectromagnetica,porejemplo,en una colision electron-prot on a 10 MeV, esta estimacion daria 2108fm2, aunqueseestaignorandoel largoalcancedelainteraccionculombiana, por locual estevaloresmuyinferioral real. Paralainteracciondebil, porejemploenunprocesoneutrino-neutronparadarelectronyprot on,con10MeV,seobtiene 21016fm2.Laseccionecaz puede relacionarse conel recorridolibre medio, por laexpresion=1/n, dondenes el n umeroden ucleos por unidaddevolumen, quees, paralamateriasolidanormal,n 1015fm3. Seobtiene,paralainteraccionfuerte,f 1m,que corresponde al recorrido libre medio de un neutron. Sin embargo, para la interacciondebil, setienew 1014m, queesmuchomayorqueel radiodelatierra 107m. Laestimacion del recorrido libre medio para la interacci on electromagnetica no es realista yaque, ademasdeignorarellargoalcancedelainteraccion, noconsiderariaelefectodelainteracci onconloselectrones.202.4 Problemas1)Demostrarque, paraqueexistaunestadoligadoprot on-neutronconunpotencialdeinteracci ondetipopozocuadrado,V (r) = V0, r < R ; V (r) = 0, r > Rsiendolamasareducidaprot on-neutron,debecumplirsequeV0R22 h28.Nota: La funcion de onda radial l(r) puede escribirse como ul(r)/r, donde ul(r) debesatisfacerlaecuacion:_ h22d2dr2+ V (r) + h2l(l + 1)2r2_ul(r) = Bul(r).Considerarelcasol = 0yB V0.2) Demostrar que la densidad de estados correspondientes a la emision de una partcularelativistademasamconunaenergatotalEenunvolumenV vienedadapor(E) =4V(2 hc)3E(E2m2c4)1/2ObtenercomocasoslmiteslaexpresionultrarrelativistaE mc2ylanorelativistaEc= E mc2mc2.3) Obtener la densidad de estados para la emision de dos partculas relativistas a partirdeldecaimientodeunapartculademasaM(A)enotrasdosdemasasM(B)yM(C)4) Obtener la densidad de estados correspondiente al decaimiento del K+en a) ++0,b)++ .Teniendoencuentaquelavidamediadel K+es1.2386108s, yqueel procesoa)ocurreenel 21.16%, yel b)enel 63.51%deloscasos, obtenerlasprobabilidadesdedecaimientodelosdosprocesosporunidaddetiempo.Obtener, a partir de la regla de oro de Fermi, los elementos de matriz de la interaccionque generanestos decaimientos. Inferirque interacci on(fuerte,electromagneticao debil)esresponsabledeldecaimiento.21Chapter3Propiedadesdelaspartculaselementales3.1 IntroduccionLadescripcionrelativista delas interacciones implicaque cadainteraccionlleva asociadael intercambiodeunapartcula, quedebeser unbos on. Enel casodelainteraccionelectromagnetica, lapartculaintercambiadaes el foton. Engeneral, el alcancedelainteracci onestaasociadaconlamasadelapartculaintercambiada.Puede demostrarse que,si una interaccion entre partculas de masa M,esta generadaporel intercambiodeunapartculademasam M, lainteraccionpuededescribirseenel lmite norelativistacomounpotencial de laformaV (r) =V0 exp(r/)/(r/),donde= h/mc. Estaexpresion, quesedemuestraestrictamenteenTeoraCuanticadeCampos,puedeinterpretarsedelaformasiguiente. Paracrearunapartculademasam, senecesitaunaenergamc2. Deacuerdoconel principiodeindeterminacion, estaenergapuedecrearseduranteuntiemposucientementecorto, = h/(mc2), yduranteeste tiempo,la partcula puede viajar una distancia dada por = c = h/(mc),que es elalcancedelainteraccion.Como la interaccionfuerte tiene unalcance 1fm, debe llevar asociada unapartculademasamc2200MeV . Esteargumento, planteadoporYukawa, llevoalab usquedadepartculasdemasaintermediaentreelprot onyelelectron. Estab usquedasellevoacaboprimeramenteanalizandolosrayoscosmicos, yaqueenaquellasfechas(1940-1950)nosehabandesarrolladoaceleradoresdepartculasconenergasuciente.El estudiodelos rayos cosmicos serealizabaenlas camaras deniebla, enlas quelaspartculasquecomponenlosrayoscosmicosatraviesanunvolumenconvapordeaguasobresaturado. Las partculas con carga electrica producan una cierta ionizacion del aire,lo cual provocaba la condensacion del vapor de agua a lo largo de la trayectoria. Situandolacamaradenieblaencamposelectricosymagneticos,yestudiandolacurvaturadelastrayectorias, podaconocerselacargaelectrica, laenergaylamasadelasparticulas.Porotrolado,muchasdelaspartculasasdetectadaseraninestables,ysedescomponenenotraspartculas. Estudiandolalongituddelastrazasquedejabanlaspartculasenlacamaradeniebla,podadeducirsesuvidamedia.Laprimerapartculaquesedetectodeestaformafueel muon, cuyamasa(105.6MeV)podasercompatibleconladelapartculapredichaporYukawa. Noobstante,seencontr oquelaformaenlaqueinteractuabaconlaspartculasdelacamaradeniebla22indicabaquenointeractuabamedientelainteraccionfuerte. Estoesincompatibleconque fuera la partcula de Yukawa. El muon tiene carga electrica negativa y se comportabaatodos los efectos comounelectrondemasamas grande. Por otrolado, el muonesinestable, ysedescomponeenuntiempode2.2106senunelectronydospartculasindetectables (neutrinos). El tiempodevidadel muonsugeraquesudecaimientoseproduceporlainteracciondebil.Posteriormente, sedescubrioel pion, queaparecaconcargaelectricapositiva+,negativaoneutra0. Lamasadel pionesde139.6MeVpara+y, yde135.0MeVpara0. El pions interactuabafuertemente conprotones yneutrones, por loque correspondaalapartculade Yukawa. Lavidade +yes de 2.6 108s,descomponiendoseprincipalmenteenunmuon(oanti-muon)yunneutrino,mediantelainteracci ondebil. El0sedescomponeendosfotonesenuntiempode8.41017s,porlainteracci onelectromagnetica.M asadelanteseencontraronloskaonesK+, K, K0,K0,cuyamasaesde493.7MeVparaK+, K, yde497.7paraK0,K0. K+yKsedescomponenprincipalmenteenmuon y neutrino, o en dos piones,con un tiempo de vida de 1.2108s,mientras que loskaonesneutrosdecaenendosotrespiones, consemividasde0.891010sy5.2108s.Estos decaimientos ocurren por la interaccion debil. Notese que resultaba parad ojico queloskaones,quesientenlainteracci onfuerte,talcomosededucedesusseccionesecaces,decaen en piones (que tambien sienten la interaccion fuerte) mediante la interaccion debil.Porello,aloskaonesselesconsideropartculasextra nas.Conmasassuperioresaladelprot on,seencontraronpartculas,llamadashiperones.Entreestas partculas estala, demasa1115.7MeVyvida2.61010s, quedecaeprincipalmente ennucleon(protononeutron) ypion, por interacci ondebil. Estaestambienunapartculaextra na. La+, demasa1189.4MeVyvida2.61010s, quedecaeprincipalmenteennucleonypion, porinteracciondebil. La, demasa1197.4MeVyvida1.51010s, quedecaeprincipalmenteennucleonypion, porinteracciondebil. La 0, de masa 1192.6 MeV y vida 7.41020s, decae en y foton por interaccionelectromagnetica. Lascascadas0,demasa1314.9MeVyvida2.901010sy,demasa1321.3MeVyvida1.601010s,decaenenypion,porinteracci ondebil.Estas,juntoconelprot on,neutron,electronyneutrino,ysusantipartculas,eranlaspartculas conocidas en 1956. Posteriormente, con el advenimiento de los aceleradores, sedescubrieronotrasmuchaspartculas,porlocualseviolanecesidaddeclasicarlas.3.2 LeptonesSecaracterizanporquenosientenlainteracci onfuerte. El electron, el muonyel tautienencargaelectricanegativa. Losneutrinostienencarganula. Todostienenespn1/2,yson,portanto,fermiones. Paracadapartculaexistesuantipartcula.El momentomagnetico, enunidadesdee h/2m, es1enlateoradeDiracparaunapartculaelemental conespn1/2ycargae. Ladesviacionconrespectoa1del valorexperimentalseexplica,contodassuscifrassignicativas,teniendoencuentalascorrec-cionesradiativasqueaparecenellaelectrodinamicacuantica. Portanto, losleptonesseconsideranpartculaselementales.Losneutrinosnosientenlainteraccionelectromagnetica,porquetantosucargacomosumomentomagneticoescero. Solamentesientenlainteracciondebil. Losneutrinostienenmasanula(ver los lmites enlatabla). Por tanto, se muevenalavelocidad23delaluz. EnlateoradeDirac, sedescribenpor espinores dedos componentes, quecorrespondenatenerunahelicidad(proyecciondelespnenladirecciondelmovimiento)biendenida. Dehecho, losneutrinosqueseobservanenlanaturalezatienenhelicidadnegativa (s =

J p = 1/2), mientras que los anti-neutrinos tienen helicidad positiva. Lahelicidad es invariante frente a transformaciones de Lorentz solamente para partculas quesemuevenalavelocidaddelaluz. Silosneutrinostuvieranmasanonula, semoveranavelocidadesinferioresaladelaluz, conlocuallahelicidaddependeradelsistemadereferencia.Losneutrinos, altenermasanula, sonnecesariamenteestables. Porunlado, nohayunapartculamas ligeraalaque puedandecaer, ypor otrolado, aunque sutiempopropiofueranito,comoseobservandesdeunsistemaconrespectoalcualsemuevenala velocidad de la luz, la dilataci on del tiempo de Lorentz hara que ese tiempo aparecieracomoinnito. Si seencontraraunamasanonulaparalos neutrinos, quizas podranobservarsetransicionesdeuntipodeneutrinoaotro.Elelectroneslapartculam asligeraconcargaelectrica. Laconservaci ondelacargaelectricaexigequeelelectronseaestable.El muon decae por interaccion debil en e+ e+. Se sabe que se emiten dos neutrinosporque el electron que aparece tiene una distribucion de energas consistente con la teoradeFermi. Elproceso e + noseobservaexperimentalmente(suprobabilidadesmenorque4.91011). Siesteprocesofueraelmasimportante,nosllevaraaconsiderarqueel muonesunestadoexcitadodel electron. Estenoesel caso. Porcontra, el valordel momentomagneticodel muonnosllevaaconsiderarqueel muonesunapartculaelemental.Eltau, altenerunamasarelativamentegrande, puededecaer, porinteracci ondebil,enmuchascombinacionesdepartculas, aunquesiempreseproduceun. Lasformasmas probables de decaimiento son: e + e +(17.4%), + +(17.6%), + (10.1%), + (21.8%).Enlosprocesosdeinteracci ondebil, cuandodesapareceunelectron, unmuonountau,apareceelneutrinocorrespondiente. Porotrolado,tambienocurrenprocesos(comoel decaimiento beta) en los que se crea un electron (muon o tau) y el anti-neutrino corre-spondiente. Ellollevaaintroducirunosn umeroscuanticos, losn umerosleptonicos, queseconservanenlainteracciondebil. Estosson:N umero leptonico electronico (Le): Vale 1 para ey e, -1 para e+y e, y 0 para elrestodepartculas.N umeroleptonicomuonico(L): Vale1paray,-1para+y ,y0paraelrestodepartculas.N umeroleptonicotau onico(L): Vale1paray,-1para+y ,y0paraelrestodepartculas.La interaccion electromagnetica no afecta a los neutrinos, pero puede aniquilar o pro-ducirparejaslepton-antilepton,conloqueconservalosn umerosleptonicos.Lainteraccionfuertenoact uasobrelosleptones,porloqueconservatrivialmentelosn umerosleptonicos.Hastaahoranohayevidenciasdelaviolaciondelosn umerosleptonicos,locualestarelacionadoconlamasanuladelosneutrinos. Siseencontraraquelosneutrinostienen24masa no nula, podran darse procesos, tanto mas improbables cuanto menor fuera la masadelosneutrinos,deviolaci ondeln umeroleptonico.Lepton(Julio2000) masa(MeV) (e h/2m) (s)e 0.510998902(21) 1.001159652187(4) Estable 105.658357(5) 1.0011659160(6) 2.19703106 1777.03(28) 1.003(55) 2.9061013e0(< 3106) 0(< 1.81010) Estable0(< 0.19) 0(< 1.5107) Estable0(< 18.2) 0(< 1.8103) Estable3.3 HadronesSientenlainteracci onfuerte. Puedendividirseenmesones(bosones, conespnentero),ybariones(fermiones, conespnsemi-entero). Paradescribirlosseutilizanlosn umeroscuanticossiguientes:3.3.1 N umerobarionicoSeintroduceparajusticarelhechodequeelprot onseaestable, yqueotraspartculas(neutr on, , , ..) decaenal prot on. SeasignaB=1al prot onyalos hadrones quedecaenenel, B=-1asusantipartculas, yB=0aloshadronesquenodecaenalprot on.Empricamente, se encuentra que los bariones tienen B=1, sus antipartculas (anti-bariones)tienenB=-1,ylosmesonestienentodosB=0.Hasta ahora, no hay evidencias de que se viole la conservaci on del n umero bari onico. Lavida media del prot on es superior a 1031a nos. Si embargo, las teoras de gran unicacionpredicenqueelprot ontieneunavidanita,aunquemuylarga.3.3.2 Extra nezaSeintroduceparaexplicarel hechodequealgunoshadrones(K, , , ...), tenganvidasrelativamentelargas, locual implicaquenodecaenaotroshadronesmasligeros(p, )por la interaccion fuerte o la electromagnetica, sino por la debil. Por otro lado, los exper-imentosdelacamaradenieblaindicabanqueestaspartculasseproducenconseccionesecacesconsistentesconlainteraccionfuerte. Estoeraunaaparenteparadoja, yaqueestas partculas extra nas sentan la interaccion fuerte cuando eran producidas,pero noparecansentirlacuandodecaan. Lasoluciondelaparadojasurgiodelaobservaciondequelaspartculasextra nasaparecenporparejas.Se introdujo un n umero cuantico S, que deba ser conservado por la interaccion fuerteyelectromagnetica, peropodiaser violadopor lainteracciondebil. Svale ceroparaloshadronesnormales(p, n, ), yseleasignoel valorS=1paraloskaonesK0yK+.DebidoalaconservaciondeSporlainteracci onfuerte,enlosprocesosdecolisionentrehadronesnormalesqueprodujeranK0oK+, laotrapartculaextra nadebetenerS=-1. As seasign oS=-1paraK0, K, , +, , 0. Las cascadas 0, tienenS=-2.Las antipartculas tienen extra neza opuesta a las partculas,para que puedan aniquilarseconellassinviolaci ondeS. Cuandounhadr onconextra nezaSdecae, si existenotroshadrones mas ligeros alos quepuedadecaer conservandoS(adem as delacargayeln umero bari onico), entonces el decaimiento sera rapido, pues ocurre por interaccion fuerte25o electromagnetica (p. ej. 0 +). Si este no es el caso, el decaimiento ocurrir a porlainteracci ondebil,quepuedecambiarlaextra nezaenunaunidad(enprimerorden).Formalmente,el n umero cuantico S puede considerarse como el autovalor de un oper-ador S, que conmuta con el hamiltoniano fuerte [Hf, S] = 0 y electromagnetico [Hem, S] =0. Noobstante,elhamiltonianodebilnoconmutaconS: [Hd, S] ,= 0. LoshadronessonautoestadosdeScorrespondientesaunautovalorS. Comoel operadorSesaditivo, unsistemadehadronesesunautoestadodeScuyoautovaloreslasumadelosvaloresdeSdeloshadrones. Porello, el hamiltonianofuerteyel electromagneticosoloconectanestados(sistemasdepartculas)conlamismaextra neza.3.3.3 Isospn.Seintroduceapartirdel hechodequeloshadronesaparecenengruposdepartculas,llamadosmultipletes, conmasamuyparecida, yconpropiedadesmuysimilares(mismoespn, paridad, n umero barionico, extra neza), excepto que tienen carga electrica que varadeunoenuno. Porejemplo,estanelprot onyelneutr on,lospiones(+, 0, ),etc.Para describir este hecho, se denen tres operadores, I+, I, I3, que cumplen las reglasdeconmutaci ondeunmomentoangular. I3estarelacionadoconlacargaelectrica, ypuedeescribirsecomoI3= Y/2 +Q/e,dondeYesunaconstanteparacadamultipletellamada hipercarga, que es dos veces la carga media del multiplete. Gell-Mann y Nishijimaencontraronempricamentequelahipercargaestabarelacionadaconlaextra nezayeln umerobari onicoatravesdelarelacionY= B + S.LaspartculasdeunmultipletesonautoestadosdeI3. As,paralosnucleones,Y=1,I3[p>=1/2[p>yI3[n>= 1/2[n>. Paralos piones, Y=0, I3[+>=+1[+>,I3[0>=0[0>, I3[>= 1[>. I+actuandosubreunapartcula, laconvierteenotradecargasuperiorpertenecientealmultiplete: I+[n >= [p >,I+[p >= 0. Idismin-uyelacargadelapartcula. Poranalogaconel momentoangular, todaslaspartculasdel multiplete son autoestados del operador I2= 1/2(I+I+II+) +I32correspondientesa un autovalor I(I +1). I, que es el isospn del multiplete, esta relacionado con el n umerodepartculasenelmultiplete,quees2I + 1.Laintroducciondel isospnpermiteconsiderar quelas partculas deunmultipleteson,atodoslosefectos,partculasidenticas,que,adem asdevenircaracterizadasporsufunci ondeondaorbital ysufunciondeondadeespn, tienenunafunciondeondadeisospn. As, el protonesunestadodel nucleontal quesufunciondeondadeisospnesautoestadodel operadorI3correspondienteal autovalorI3=1/2, yel neutronesunestadodelnucleoncuyoautovaloresI3= 1/2.Comolaspartculasdeunmultipletetienenmasasparecidas, seconsideraque, delhamiltoniano total que describe las partculas, H= Hf +Hem+Hd, [Hf,

I] = 0, indicandoquelainteraccionfuerteconmutacontodaslascomponentesdelisospn. Porotrolado,lasdiferenciasdemasasentrelaspartculasdeunmultipletesondel ordendel MeV, locual indicaquelainteraccionelectromagneticanoconmutaconlosoperadoresI. Sinembargo,sconmutaconI3,yaqueconservalacargaelectrica,eln umerobari onicoylaextra neza. Lainteracciondebilnoconservaningunadelascomponentesdelisospn.En general, si solo existiera la interaccion fuerte, los hadrones de un mismo multipletetendranexactamentelamismamasa, ycorresponderanaautoestadosdegeneradosdelhamiltoniano. La interacci on electromagnetica rompe esta degeneraci on, desdoblando lasmasas del multiplete enfunciondel valor de I3. Lainteracciondebil tiene unefecto26mnimosobrelasmasas,siendoresponsabledelosdecaimientos.3.3.4 IsospndesistemasdepartculasElisospntotaldedospartculasAyBseobtienedelaformasiguiente: lapartculaAtiene unos valores del isospn y su tercera componente dados por IA, I3A. Por tanto, el ketque caracteriza el estado interno de la partcula A puede escribirse como [A >= [IAI3A>,dondecalracterizalosn umeroscuanticosnecesariosparacaracterizarel multipletedepartculas al que pertenece A, y I3Aespecica que partcula es A dentro de su multiplete,determinando su carga electrica. Analogamente, [B>= [IBI3B>. El sistema AB puededescribirsecomoelproductodeunafunciondeondaquedescribaelmovimientodeAyB, porunafunciondeondaquedescribasusespines, porunafunciondeondainterna,Esta ultimapuedeescribirsecomo[A, B>= [IAI3A, IBI3B>=

IT,I3T< IT, I3T[IAI3A, IBI3B> [IA, IB; IT, I3T>Portanto, el sistemaABvienedescritoporunacombinaciondevaloresdeITquevande [IA IB[ aIA+IB. Estacombinaci onviene determinadapor los coecientes deClebsh-Gordan.Si laspartculaspertenecenal mismomultipletedeisospn, entonceslosvaloresdelisospntotal quedanrestringidos por laexigenciadequelafunciondeondadebesersimetricafrente al intercambiode todas las variables de las partculas, enel casodebosones,yantisimetricaenelcasodefermiones.Sea un sistema de dos partculas A y B, pertenecientes a un multiplete , con espn Se isospn I. Las partculas tienen un momento angular orbital relativo L, y un espn totalST, y consideramos la componente de su estado en la que su isospn total es IT. Frente alintercambiodelaspartculas,lafunciondeondaorbitalsemodicaenunfactor(1)L.Lafunciondeondadeespin, porlaspropiedadesdeloscoecientesdeClebsh-Gordan,semodicaenunfactor(1)(ST2S). Lafunciondeondadeisospn, an alogamente, semodicaenunfactor(1)(IT2I). Elproductodetodosestosfactoresdebeser+1parabosonesy 1parafermiones. TeniendoencuentaqueSessemienteroparafermionesyenteroparabosones, resultaque, enamboscasos, debecumplirsequeL + ST+ IT 2Iseapar.3.4 Partculasestablesyresonancias.Enfsica de partculas se distingue entre partculas estables yresonancias. Lasprimerassonestablesodecaenporinteracciondebiloelectromagnetica. Porello,tienenvidas medias relativamentelargas quepermitensuobservaciondirecta. Las segundasdecaenpor interaccionfuerte. Tienenvidasmuycortas, yaparecencomoresonancias(maximos enlaseccionecaz) enlas colisiones delas partculas enlas quedecaen, aenergascorrespondientesalamasadelapartculadescritaporlaresonancia.Partculasestables(Julio2000).27Mesones I S JI3masa(MeV) vida(s) Deca.1 0 01 139.57018 2.6033108 + 01 0 00 134.9766 8.410172 0 0 00 547.30 6.310192K+(K) 1/2 1(-1) 01/2(1/2) 493.677 1.23861082, + K0( K0) 1/2 1(-1) 01/2(1/2) 497.672 0.8935101025.171083Bariones I S JI3masa(MeV) vida(s) Deca.p 1/2 0 1/2+1/2 938.27200 -n 1/2 0 1/2+-1/2 939.56533 886.7 p + e + e 0 -1 1/2+0 1115.683 2.6321010N+ +1 -1 1/2+1 1189.37 0.80181010N+ 01 -1 1/2+0 1192.642 7.41020 + 1 -1 1/2+-1 1197.449 1.4791010N+ 01/2 -2 1/2+1/2 1314.83 2.901010 + 1/2 -2 1/2+-1/2 1321.31 1.6391010 + 0 -3 3/2+0 1672.45 0.8211010 + KResonancias(solamentealgunassemuestranenlatabla):Mesones I S JMasa(MeV) Anchura(MeV) Decaimiento(770) 1 0 1769.3 150.2 2(783) 0 0 1782.57 8.44 3

(958) 0 0 0957.78 0.202 2(1020) 0 0 11019.417 4.458 KKK(892)pm 1/2 1 1891.66 50.8 KK(892)01/2 1 1896.10 50.7 KBariones I S JMasa(MeV) Anchura(MeV) Decaimiento(1242) 3/2 0 3/2+1232 120 N(1405) 0 -1 1/21406 50 (1385)+1 -1 3/2+1382.8 35.8 (1385)01 -1 3/2+1383.7 36 (1385)1 -1 3/2+1387.2 39.4 (1530)01/2 -2 3/2+1531.8 9.1 (1530)1/2 -2 3/2+1535.0 9.9 3.5 Conservacionden umeroscuanticosEn una reaccion entre partculas,o en el decaimiento de una partcula,se debe conservarsiemprelaenergayel momento. Porejemplo, unfotonaisladonopuedecrearunparee+, oviceversa. Tambiendebeconservarseel momentoangulartotal. Ellohacequeeneldecaimientodeunfermion,conespnsemientero,debanaparecerunn umeroimparde fermiones, mientras que en el decaimiento de un bos on deban aparecer un n umero par(incluido el cero) de fermiones. Estas leyes de conservacion estan asociadas a la invarianciadelsistemafrenteatransformacionesdeLorentz.28Tambien deben conservarse siempre la carga electrica Q, el n umero bari onico B, y losn umeros leptonicos Le, L, L. Estas leyes de conservacion son leyes empricas,y pudieraserqueseviolaran, peroconunaprobabilidadmuypeque na, pordebajodeloslmitesexperimentales. La conservacion de la carga electrica tiene una consideracion especial, yaqueestaasociadaaunasimetraGaugequegeneralainteraccionelectromagnetica.Losprocesosqueocurrenporinteraccionfuerteoelectromagneticaconservanlaex-tra neza. Ello hace que la suma de los valores de S de las partculas iniciales en una reacciondebe ser igual a la de las partculas nales (los leptones y los fotones se toman con S=0).Losprocesosdebilespuedencambiar(ono)laextra neza. Seobservaempricamentequelos procesos que ocurren en primer orden por la interacci on debil cumplen que S= 1, 0.Losprocesosque ocurrenporinteraccionfuerteconservanelisospn. EsoquieredecirnosoloqueconservanI3,sinoqueconservanelisospntotalI.ParaqueunapartculaCpuedadecaerel AyBconservandoel isopntotal, debeocurrirquelosisospinesdeAyBpuedanacoplarsealdeC,osea,que [IAIB[ IC (IA +IB). Porotrolado,paraquedelacolisiondeAyBpuedansurgirlaspartculasCy D conservando el isospn total debe haber al menos un valor de ITque pueda obtenerseacoplandotantoIAeIB,comoICeID.Los procesos que ocurren por interaccion electromagneticaconservan I3,pero no con-servan I. En los procesos en primer orden en la interaccion electromagnetica, I= 1, 0.Enlosprocesosdebiles, noseconservaI3ni I. Noobstante, seencuentraque, enlosprocesosenprimerordenenlainteracciondebil,siS= 1,I= 1/2,ysiS= 0,I= 1, 0.3.5.1 Relaci onentrelasprobabilidadesdedecaimientoLaconservaciondel isospnpermite relacionar las probabilidades de los procesos queocurren por interacci on fuerte entre partculas que pertenecen a multipletes determinados.SiunaresonanciaC,descritapor [C>= [ICI3C>decaeendoshadronesAyBporinteracci onfuerte,laprobabilidaddedecaimientoporunidaddetiempopuedeescribirsecomoP(C A + B) = [ < C[Hf[AB> [22 hAB(E)Elelementodematrizdelhamiltonianopuedeexpresarseusandoeldesarrollodelestado[AB>,deformaque:< C[Hf[AB>=

IT,I3T< IT, I3T[IAI3A, IBI3B>< ICI3C[Hf[IA, IB; IT, I3T>La conservacion del isospn implica que IC= IT, I3C= I3T. Por otro lado, como [Hf, I] =0,loselementosdematrizdebenserindependientesdeI3. Portanto,resulta< C[Hf[AB>=< IC, I3C[IAI3A, IBI3B>< IC[[Hf[[IA, IB; IT>La doble barra es una notaci on que se introduce para indicar que no es necesario especicarI3C, porqueel elementodematrizesindependientedeel. Porotrolado, ladensidaddeestados depende de la energa cinetica de A y B, que, a su vez, depende de las masas de A,B y C, pues Ec= m(C) m(A) m(B). Como las masas de las partculas del multipletesonmuyparecidas,puedeescribirseAB(E) (E),donde(E)esunadensidadde29estadospromedioparatodaslaspartculasdelmultiplete. Portanto,laprobabilidaddedecaimientopuedeescribirsecomo:P(C A + B) = [ < IC, I3C[IAI3A, IBI3B> [2[ < IC[[Hf[[IA, IB; IT> [22 h(E)Estaexpresionindicaquelaprobabilidaddedecaimientodelas resonancias CdeunmultipleteendistintaspartculasAdeunmultipleteyBde, esproporcional alcoecientedeClebsh-Gordanalcuadrado.3.5.2 Relaci onentreseccionesecacesEn un proceso de colision que ocurre por la interaccion fuerte, por el cual A+B D+E,laseccionecazvienedadapor(A + B D + E) =2 hv [ < AB[H[DE> [2DE(E) (3.1)DE(E)dependedelaenergacineticanaldeDyE,ensusistemacentrodemasas,quevienedadaporEc=E m(D) m(E). SustituyendoDE(E)porunpromediopara las partculas delmultiplete,laseccion ecaz dependedelcuadrado delelemento dematriz del hamiltoniano. Los estados [AB> y [DE> pueden desarrollarse en funcion deestados con isopn total IT, I3T. Los elementos de matriz del hamiltoniado son diagonalesenIT, I3T,yporotroladosonindependientesdeI3T. Portanto,resulta< AB[Hf[DE> =

IT,I3T< IT, I3T[IAI3A, IBI3B>< IT, I3T[IDI3D, IEI3E>< IA, IB; IT[[Hf[[ID, IE; IT>Apartirdelconocimientodeunospocoselementosdematrizreducidos,correspondi-entesalosvaloresdeITalosquepuedenacoplarsetantoIAeIBcomoIDeIE,puedenobtenersetodaslasseccionesecacesdelascolisionesdepartculasdelmultipleteconlasdelparadarpartculasdelyel.Cuandolaenergatotalenelsistemacentrodemasasestacercanaalamasadeunaresonancia C, el proceso ocurre de forma secuencial seg un A+B C D+E. En estecaso, la contribucion correspondiente a IT= ICes dominante, y la seccion ecaz aumentaconsiderablemente.3.6 Problemas1) Considerar las sigientes reacciones,que ocurren con secciones ecaces compatibles conlainteracci onfuerte: + p + K00+ p + K+ + p 0+ K0 + p + K+30++ p ++ K+ + p + K0+ K+ + p 0+ K0+ K0++ p 0+ K++ K+ + p n + K++ K + p n + K0+K0Partiendodeque, porconvenio, setomaqueS(p)=S(n)=S()=0, yS(K+)=1,deducirlosvaloresdelaextra nezadelasotraspartculas. Obtenerlaenergacineticamnimainicial enel sistemacentrodemasasparaquepuedaproducirselareaccionencadacaso.2)Consideralasreaccionessiguientes: p + p ++ + 0p + K ++ + 0p + K n + K++ + p ++ n e + p e++ + K0 + e++ e ++ Comprobar si se conservan los numeros cuanticos aditivos relevantes. Indicar si es posiblelareaccion,yqueinteraccion(fuerte,electromagneticaodebil)laproduce.3) Obtener los estados de isospn de los pares de partculas siguientes: +p, +n, 0p,0n,p,n. Comprobarqueestosestadossonortogonales,yqueformanunabasedelosestados [(N)II3>.4) Obtener la expresion de las secciones ecaces siguientes en terminos de los elementosdematrizreducidosrelevantes. Deducirlasexpresionesquerelacionanlasseccionese-caces. Si la energa total en el sistema centro de masas es cercana a 1230 MeV (resonancia),comoseranestasrelaciones?a)++ p ++ p b)++ n ++ nc)++ n 0+ p d)0+ p ++ ne)0+ p 0+ p f)0+ n 0+ ng)0+ n + p h) + p 0+ ni) + p + p j) + n + n5) Obtener la expresion de las secciones ecaces siguientes en funcion de los elementosdematrizreducidos,ylarelaci onentreellos.a)0+ p + K+b)++ n + K+31c)0+ n + K0d) + p + K0e) + n + K6) El principiodePauli generalizadopuedeenunciarsediciendoqueunsistemadenucleones(protonesyneutrones)vienedescritoporunafunciondeondaqueseaanti-simetricafrenteal intercambiodelas variables orbitales, deespnydeisospndedosnucleonescualesquiera. Partiendodeello,deducirqueeldeuteron(J= 1+)tieneI=0.7) Obtener la funcion de onda de isospin de un sistema + con un momento angularrelativoL.Hacerlopropioparaunsistema00conmomentoangularL.SonposiblestodoslosvaloresdeL?8)Consideraunsistemadetrespiones+0y000conmomentoangulartotalinterno 0. Obtener la funcion de onda de isospn. Nota: El momento angular total internoeslacomposiciondelmomentoangularrelativodedospiones(porejemplo, +)L12,coneldelterceroconrespectoalcentrodemasasdelosotrosdosL3.32Chapter4InteraccionesenunateoracuanticadecamposEnunateoracuanticadecampos,laspartculaslibresysusinteraccionessedescribenapartir de la densidad lagrangiana L. Esta densidad es una funcion de los campos asociadosa las partculas interactuantes (x), (x), A(x), que a su vez son funciones de x = (r, ict),y de sus derivadas = /x. En segunda cuantizacion, los coecientes del desarrollo deFourier de los campos (x), (x), A(x), corresponden a operadores que crean o aniquilanpartculas de momento determinado. En concreto, (x) aniquila mesones de espn cero, ocrea sus anti-partculas, y (x)hace lo contrario. (x) aniquila fermiones de espn 1/2, ocrea sus anti-partculas, y(x)hace lo contrario. A(x) aniquila o crea fotones de espnuno. Laformadellagrangianosininteracci on,tomando h = c = 1,eslasiguiente:Bosonesdeespn0(mesones).El campo asociado a una partcula de espn cero (x) es una funcion escalar (invariantedeLorentz)dex. Ladensidadlagrangianaparaestaspartculasvienedadapor:L = (x)(x) m2(x)(x)UtilizandolasecuacionesdeEuler-Lagrange,seobtienelaecuaciondeKlein-Gordon2(x) m2(x) = 0quecorrespondeaunapartculademasam,(E2p2m2)(x) = 0.Porotrolado, si buscamossolucionesestacionariasalaecuaciondeKlein-Gordon, unasoluci onregularentodoelespaciosalvoenelorigenes:(x) = C exp(rm)/rSi se introducen explcitamente los factores h y c, se tiene (x) = C hc exp(r/( h/mc))/r,quecorrespondealpotencialdeYukawa.El analisis dimensional de estas ecuaciones indica que [x] = E1, [] = E, y [L] = E4.Portanto,tienedimensionesdeE.Fermionesdeespn1/2.33Elcampoasociadoaunapartculadeespn1/2(x)esunespinordecuatrocompo-nentes. Ladensidadlagrangianaparaestaspartculasvienedadapor:L = (x)( + m)(x)UtilizandolasecuacionesdeEuler-Lagrange,seobtienelaecuaciondeDirac(x) m(x) = 0Elan alisisdimensionalindicaquetienedimensionesdeE3/2.Bosonesdeespn1.El campoasociadoaunapartculadeespn1A(x) es uncuadrivector decuatrocomponentes. Ladensidadlagrangianaparaestaspartculasvienedadapor:L = 1/4(A(x) A(x))21/2m2(A(x))2El lagrangianodel campoelectromagneticose obtiene poniendom=0. Eneste caso,utilizandolasecuacionesdeEuler-Lagrange, seobtienenlasecuacionesdeMaxwell, enausenciadefuentes(A(x) A(x)) = 0Elan alisisdimensionalindicaqueAtienedimensionesdeE.4.1 Interacci onfuerteDescribeel acoplamientodelosbarionesconlosmesones, obiendelosmesonesentres. Laformadeladensidadlagrangianadeinteraccionparabarionesdeespn1/2conmesonesdeespn0,requeridaporlainvarianciadeLorentz,vienedadaporLf= g(BM, C)C(x)M(x)B(x)dondeg(BM, C)esunaconstantedeacoploadimensionalasociadaalprocesoenqueseaniquilaunbari onByunmesonMparacrearunbari onC.Lasconstantesdelosprocesosdeinteraccionfuertesondel ordendelaunidad. Laconservaciondelosn umeroscuanticosaditivoshaceque, si losn umeroscuanticosdeC(extra neza, etc) no son iguales a los de B mas los de M, g(BM, C) = 0. La conservaci on delisospn implica que las constantes de acoplo de todas las partculas B,M,C pertenecientesamultipletes, , puedenexpresarseenfunciondeuna unicaconstanteg(, )comog(BM, C) = g(, ) < IBI3B, IMI3M[ICI3C>Elefectodelainteracci onfuertesedescribemedianteelcalculodelosdiagramasdeFeynmannrelevantes. Aefectos deestimar las secciones ecaces ylas probabilidadesdedecaimiento, puedeutilizarselaregladeorodeFermi, teniendoel cuentaqueel ele-mento de matriz delhamiltoniano puedenestimarse deforma grosera porlas expresionessiguientes:Procesosenqueintervienendosbarionesrealesyunmesonreal(unvertice):< i[H[f>gEM( hc)334Procesosenqueintervienencuatrobarionesrealesysepropagaunmesonvirtual(dosvertices):< i[H[f>g1g2E2M p2Mc2(mMc2+ iM/2)2( hc)3dondeEMypMsonlaenergayel momentodel mesonvirtual, queseobtienenusando la conservacion de la energa y el momento en cada vertice. mMes su masa,yMsuanchura.Procesosenqueintervienendosbarionesrealesydosmesonesrealesysepropagaunbarionvirtual(dosvertices):< i[H[f>g1g2_E2Bp2Bc2(mBc2+ iB/2)21EM1EM2( hc)3dondeEBypBsonlaenergayel momentodel barionvirtual, queseobtienenusando la conservacion de la energa y el momento en cada vertice. mBes su masa,yBsuanchura.Cuando las condicones cinematicas de la colision son tales que para la partcula virtualque se propaga se cumple que E2p2c2 c4m2, se produce un aumento muy importanteen< i[H[f>,quesetraduceenunaumentoenlaseccionecaz. Estopermiteestudiarlasresonancias.4.2 Interacci onelectromagneticaDescribe el acoplamiento de corrientes generadas por campos fermionicos o bosonicos conelcampoelectromagnetico.Lem= eA(x)j(x)Laformadelacorrientej(x)vienedado,parafermionesdecargae,porj(x) = i(x)(x)Paramesonesdeespnceroycargae,vienedadaporj(x) = i(x)(x)Laconstantedeacoploe,enunidadesnaturales,vale_4/137.0359895 = 0.3028.Paradescribirelprocesoelectromagnetico0 + ,setomaj(x)(0, ) = iC(, )(x)0(x)donde C(, ) es una constante de acoplamiento electromagnetico que se determinafenomenologicamente. LascorrientestienendimensionesdeE3.El efectode lainteracci onelectromagneticase describe mediante el calculode losdiagramas de Feynmannrelevantes. Aefectos de estimar las secciones ecaces ylasprobabilidades de decaimiento, puede utilizarse lareglade orode Fermi, teniendoelcuentaqueelelementodematrizdelhamiltonianopuedenestimarseporlasexpresionessiguientes,enlasqueEeslaenergatotalenelsistemacentrodemasas:35Procesosenqueintervienendosfermionesrealesyunfotonreal(unvertice):< i[H[f>eC(F1, F2)_E( hc)3Procesosenqueintervienencuatrofermionesrealesysepropagaunfot onvirtual(dosvertices):< i[H[f>e2E2 p2c2( hc)3donde Ey pson la energa y el momento del foton virtual, que se obtienen usandolaconservaciondelaenergayelmomentoencadavertice.Procesosenqueintervienendosfermionesrealesydosfotonesrealesysepropagaunfermionvirtual(dosvertices):< i[H[f>e2_E2F c2p2F (mFc2+ iF)21_E1E2( hc)3dondeEFypFsonlaenergayel momentodel fermionvirtual, queseobtienenusando la conservacion de la energa y el momento en cada vertice. mFes su masa,yFsuanchura.4.3 Interacci ondebilLaprimerateoracuanticadecamposdelainteracciondebilfuedesarrolladaporFermi.Describe el acoplamiento entre corrientes de leptones o de hadrones. Podemos distinguir:4.3.1 Procesoslept onicos.Sonlosprocesosenlosqueintervienen unicamenteleptones,comoeldecaimientodeunmuonenelectronyneutrinos. Ladensidadlagrangianaenestecasovienedadapor:Ld=GF2jelj+mudondejel= iel(x)(1 5)n.el(x)crea un electron y un anti-neutrino electronico en este caso, por tanto crea una carga netanegativa,yj+mu= in.mu(x)(1 5)mu(x)creaunneutrinomuonicoyaniquilaunmuon, porloquecreaunacarganetapositiva.De esta forma,se construyenlas corrientes jel,mu,tau. Las corrientes asconstrudas con-servanlosn umerosleptonicos. Lacargaelectricaseconservayaquesoloseconsideranproductosdecorrientespositivasynegativas. El operador5determinalaquiralidad.Susautoestadosson+1, correspondienteaquiralidadpositiva, y-1, correspondienteaquiralidadnegativa. Elfactor(1 5)hacequesololosleptonesconquiralidadnegativasientanlainteracci ondebil. Laquiralidadestarelacionadaconlahelicidadcuandola36velocidaddel fermiontiendealadelaluz. As, fermionesconquiralidadnegativacor-respondenahelicidads= 1/2, yantifermionesconquiralidadnegativacorrespondenahelicidads=+1/2. Elloimplicaquesololosneutrinosconhelicidadnegativaylosantineutrinosconhelicidadpositivasientanlainteracciondebil y, portanto, soloellospuedenproducirseodetectarseenprocesosdebiles.LaconstanteGF/( hc)3vale1.16639105GeV2, yes unicaparatodoslosprocesosdebiles.4.3.2 Procesossemi-lept onicos.Sonprocesosdebilesenlosqueintervienentantohadronescomoleptones. El ejemplotpicoesel decaimientobetadel neutron. Paradescribirlo, seutilizaunadensidadla-grangianadadaporLd=GF2jelj+npdondejelvienedadoporlaexpresionanterior,yj+np= ip(x)(gnpV+ gnpA5)n(x)gnpVygnpAsonconstantes fenomenol ogicas, llamadas constantes vector yaxial, quetomanlosvalores0.983y-1.245. Losprocesosdebilesqueviolanlaextra neza, comoeldecaimientobetadela, sedescribendeformaanaloga, conotrasconstantesgpVygpA,quetomanvalorescuyococientegA/gV= 0.718,ytalesquegpV/gnpV= tanc,dondec 13eselangulodeCabibbo, querelacionalaintensidaddelosprocesosconcambiodeextra nezaconaquellossincambiodeextra neza.Losprocesossemileptonicosenlosquesecreanoaniquilanmesones, porejemplo, eldecaimientodel,sedescribendeformaanaloga,tomandoj+= f(x)dondefeslaconstantededecaimientodebildelpi on,quevale128MeV.4.3.3 Procesosno-lept onicos.Sonlosprocesosenlosquesolamenteintervienenhadrones,comoeldecaimientodelaenprot onypion. Porsimilitudconloscasosanteriores, el lagrangianopuedeescribirsecomo:Ld=GF2jj+pEnestecaso, todas las constantes estandeterminadas por los procesos semileptonicosasociados, por lo que pueden hacerse comparaciones directas con medidas experimentales.Estas comparaciones avalanlavalidezdeladescripcion. Noobstante, el los procesosnoleptonicos, lainteracci onfuertejuegaunpapel muyimportante, ypuedemodicardeformaimportantelosresultadosdel calculoqueconsidere unicamenteel efectodelainteracci ondebil.El efectodelainteracciondebil sedescribemedianteel calculodelosdiagramasdeFeynmannrelevantes. Aefectosdeestimarlasseccionesecacesylasprobabilidadesdedecaimiento, puede utilizarse la regla de oro de Fermi, teniendo el cuenta que el elementodematrizdelhamiltonianopuedenestimarseporlasexpresionessiguientes:37Procesosenqueintervienencuatrofermionesreales(unvertice):< i[H[f>GF( hc)3( hc)3Procesosenqueintervienendosfermionesrealesyunmesonreal(unvertice):< i[H[f>GF( hc)3fM_EM( hc)3dondefMeslaconstantededecaimientodebildelmeson,yEMsuenerga.4.3.4 Teoradelbos onvectorialintermedio.LateoradeFermideldecaimientodebilvienecaracterizadaporunaconstanteGF,quenoesadimensional. Ellohacequelateoranosearenormalizable, ynopuedallevarsemasalladelprimerorden.Noobstante, laestructuradel lagrangianosugierequelainteraccionentredoscorri-entes puede ser considerada como un proceso de segundo orden en el cual una corriente seacoplaauncampoasociadoaunbosonvectorial(deespnuno),yestecamposeacoplaa la otra corriente. El boson vectorial intermedio tiene una masa muy alta, de forma que,enprocesosdebajaenerga,aparececomounapartculavirtualduranteuntiempomuycorto.As, la interaccion debil se describe como el acoplamiento con dos campos conjugados,WyWtalesqueWaniquilaunapartculademasamWdecarganegativa,ocreasuantipartcula,mientrasqueWhacelocontrario. Eldecaimientodelneutron,portanto,vendra descrito por un proceso de segundo orden, en el cual primero el neutron decae enunprot onyunapartculavirtualW,medianteelterminodellagrangianoLd=gw8W(x)j+np(x)yluegolapartculaWdecaeenelectronyantineutrino,porLd=gw8W(x)jel(x)Elfactor8seintroduceparaqueestaexpresionseaequivalentealaqueseobtieneenlateoraelectrodebil. LarelaciondeGFcongwvienedadaporGF2=g2w8m2W.estaexpresionimplicaque si gwes del ordende e, entonces mWes del ordende 37GeV. El bosonvectorial Whasidodetectado, ysumasaesde80.41GeV. Portantogw=0.6531>e. Podradecirsequelainteracci ondebil esmasfuertequelaelectro-magnetica, perosevereducidaporel hechodequesubosonintermediario(el W)esmuchomasmasivoqueel foton. Noobstante, enprocesosqueocurrenaenergasaltas,lainteracci ondebilcompiteconlaelectromagnetica,ylosneutrinosinteraccionanconlamateriatantoomasqueloselectrones.38Enprincipiocabralaposibilidaddequeexistancorrientesneutras, enlasque, porejemplo, unneutrinofueradispersadopor unprotonounneutron, sinconvertirseenelectron. Estosprocesosestaranasociadosaunbosonintermediodecarganula, el Z0.Conel desarrollodelosaceleradores, fueronencontrandoseindiciosdelaexistenciadeestascorrientesdebilesneutras.4.4 Problemas1) Considerar las sigientes reacciones,que ocurren con secciones ecaces compatibles conlainteracci onfuerte: + p + K00+ p + K+ + p 0+ K0 + p + K+++ p ++ K+ + p + K0+ K+ + p 0+ K0+ K0++ p 0+ K++ K+ + p n + K++ K + p n + K0+K0Obtener los diagramasdeFeynmannmas simples paralos procesos anteriores debidosalainteraccionfuerte. Evaluar losvaloresdelasconstantesdeacoplodelosverticesatendiendoalaconservaciondelisopin.2)Consideralasreaccionessiguientes: p + p ++ p + K ++ p + K n +K0 + p ++ n e + p e++ + Ke++ e ++ a)Indicarqueprocesosocurrenporinteraccionfuerte,electromagneticaydebil.b)Obtenerencadacasoel diagramadeFeynmannmassimplequecontribuyealareaccion.c)Obtenercualeslaenergacineticamnimadelaspartculasinicialesenelsistemacentrode masas paraque ocurralareaccion. Paraeste caso, obtener las energas ymomentosdelaspartculasnales,ydelapartculavirtual,ensucaso.d)Estimarelelementodematrizdelhamiltoniano.39Chapter5SimetrasdiscretasUnsistema tiene una simetra determinada cuando sus propiedades no se modicancuandoel sistemasesometeaunatransformaci ondeterminada. Ejemplosdetransfor-macionessonlastraslacionesespaciales, lasrotaciones, lastraslacionestemporales, etc.Estastransformacionessoncontinuas,puesvienendeterminadasporvariablescontinuas(vectordesplazamiento, anguloderotaci on,desplazamientodetiempos). Lasimetradeunsistemafrenteaestetipodetransformaciones, llevaasociadalaconservaciondeunamagnituddel sistema. Paralos casos anteriores, estas sonel momentolineal total, elmomentoangulartotalylaenergatotal.Noobstante,existeotrotipodetransformacionesquesondiscretas. Estasson:InversionespacialoparidadPConsiste en invertir el signo de todas las coordenadas de las partculas que componenelsistema: ri ri. Porextension,suponequetodoslosvectorespolares(como ro p)cambiandesigno,mientrasquelosvectoresaxiales(como l = rp)nosemodican.La inversion espacial exige tomar un origen de coordenadas determinado, y, por tanto,laoperacioninversionespacial dependedeesteorigen. Noobstante, si el sistemaqueconsideramosesinvariantefrenteatraslaciones,laelecciondelorigendecoordenadasesirrelevante. Si el sistema no es invariante frente a traslaciones (por ejemplo, una partculaenuncampoexterno),peroesinvariantefrentearotacionesentornoaunorigenO(porejemplo,uncampocentral),esteorigeneselquedebeelegirsepararealizarlainversion.Laconsecuenciadelainvarianciadeunsistemafrenteainversionespacial esquelaprobabilidaddeunprocesodecolisioneslamismadeladel procesoobtenidomedianteinversionespacial,esdecir,cambiandodesignolasposicionesyvelocidadesdetodaslaspartculasparticipantes.Conjugaci ondecargaoparidadCConsisteencambiarel signodelacargaelectricaydelosdemasn umeroscuanticosaditivos de todas las partculas del sistema. Ello hace que todas las magnitudes derivadasdelacarga(momentomagnetico, campoelectrico, campomagnetico, potencial vector)cambien de signo. La masa no es un n umero cuantico aditivo. Para un sistema relativista,vienedeterminadapor m2=E2p2yes intrnsecamentepositiva. Por tanto, nosemodicaporlaconjugaci ondelacarga.La consecuencia de la invariancia de un sistema frente a conjugaci on de carga es que laprobabilidad de un proceso de colision que ocurre entre partculas es la misma del procesoqueocurreentrelasantipartculascorrespondientes.40InversiontemporalTConsiste en cambiar el signo del tiempo. Hace que las magnitudes derivadas (velocidad,momentolineal,momentoangular)cambiendesigno.En este caso, como en la inversion espacial, la operaci on inversion temporal depende delorigen de tiempos. No obstante, si el sistema es invariante frente a traslaciones temporales(y,portanto,conservalaenergatotal),laelecciondelorigendetiemposesirrelevante.Laconsecuenciadelainvarianciadeunsistemafrenteainversiontemporal esquelaprobabilidaddeunprocesodecolisioneslamismadel procesoinverso, enel quesecambianlaspartculasincidentesporlassalientes.5.1 Simetrasdiscretasenmecanicacl asicaEnmecanicaclasica,lainvarianciadeunsistemafrentealastransformacionesdiscretassemaniestaenque, si partimosdeunasoluciondelasecuacionesdel movimientodelsistema y realizamos la transformaci on discreta, se obtiene otra solucion de las ecuacionesdemovimiento. Elloesequivalenteaconsiderarqueel lagrangiano(oel hamiltoniano)delsistemasoninvariantesfrentealastransformaciones.El hamiltoniano de un sistema clasico, en ausencia de fuerzas externas, debe ser invari-ante frente a rotaciones. Por ello, los terminos que aparecen en el hamiltoniano deben serescalares,opseudo-escalares. Sielhamiltonianoes,adem as,invariantefrenteainversionespacial, los terminos deben ser escalares estrictamente hablando. Terminos de tipo

Lp,quesonpseudo-escalares, cambiandesignofrenteainversionespacial, porloque, siunhamiltonianolos contiene, noes invariantefrenteatransformaciones deparidad. Loshamiltonianosclasicoshabituales(sistemasdepartculasconinteracci ongravitatoriaoelectromagnetica,solidorigido,...) soninvariante