final de geometría con regla y compás

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

Construcciones

geométricas con regla

y compás

Alumna:

Fernández Pego, Romina

Docentes:

Dr. Araujo, Jose

Lic. LLinas, Graciela

Lic. Ross, Ricardo

Introducción

La geometría del triangulo es una fuente inagotable de problemas

geométricos que se prestan mucho para interesar a los alumnos y ejercitar

el ingenio y razonamiento. Se pueden graduar los niveles de dificultad

desde los apropiados para los distintos años de la escuela media, hasta los

que se pueden proponer en los cursos de profesorado. Existen problemas

en apariencia simples y que, sin embargo, no se pueden resolver con regla

y compás (por ejemplo, construir un triangulo dadas las tres bisectrices), lo

que puede servir como motivación para estudiar el método algebraico para

decidir si un problema es resoluble o no con regla y compás.

Desarrollo

1. Primeros cálculos interesantes:

Existen determinadas fórmulas que conducen al cálculo de las longitudes de las alturas, de las medianas y de las bisectrices relativas a cualquier triángulo oblicuángulo. Estas deducciones, además de la del inradio y circunradio correspondiente al triángulo en cuestión, se prueban en función de los lados, del perímetro y del área de cierto triangulo.

Para demostrarlas, se tomarán como válidos los siguientes “datos” (teoremas, lemas, fórmulas vistos en la cursada) sirviendo de ayuda para las pruebas de éstas:

Hipótesis 1: El perímetro de un triangulo es igual a la suma de las medidas de los lados de éste, esto es: p=a+b+c. Por lo tanto, el semiperímetro de éste (semisuma de las longitudes de un triángulo) va a ser igual a la mitad del perímetro, es decir:

s=a+b+c2

= p2

Hipótesis 2: El área de un triangulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta, esto es:

( ABC )=b×h2

Hipótesis 3, formula de Herón: Mediante ésta fórmula también es posible calcular el área de un triángulo en términos de las longitudes de los lados a, b, c definida de la siguiente manera:

T=( ABC )=√ p . (p−a ) . (p−b ) . (p−c )

Hipótesis 4, Teorema de Stewart: Este teorema se usa para calcular la longitud de cualquier ceviana, segmento que une el vértice con un punto

del lado opuesto, en función de las longitudes de los lados del triangulo y de las longitudes de los segmentos que determinan dicha ceviana sobre el

tercer lado: a . ( p2+m .n )=b2 .m+c2. n

Hipótesis 5, Teorema de la bisectriz interior: En todo triángulo, una bisectriz cualquiera, determina sobre el lado opuesto dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz:

mc=n

b

Hipótesis 6, Teorema de los senos generalizado: Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

asin A

= bsin B

= csin C

=2 R

Demostraciones

1.1. ma=√2b2+2c2−a2

2

Ésta fórmula que hay que demostrar permite calcular la longitud de una mediana, en este caso correspondiente al lado a, en función de las longitudes de los lados de un triángulo. Este resultado también es conocido con el nombre de: “Teorema de Apolonio”.

DII

Resulta conveniente realizar, antes de empezar con la prueba, una figura de análisis determinada por un triangulo ABC cualquiera con la mediana correspondiente al lado a trazada.

Como vemos, este es un caso particular del Teorema de Stewart ya que p=ma es una ceviana que divide el lado opuesto a en dos

segmentos congruentes m y n, es decir que m=n=a2(1)

Por lo tanto, por hipótesis 4 sabemos que: a . ( p2+m .n )=b2 .m+c2. n(2) . Ahora reemplazando los datos de la ecuación (1) en la expresión (2), se tiene que:

a .( p2+ a2

4 )=b2 .a2+c2 .

a2=a2. (b2+c2 )

p2+ a2

4=1

a.a2. (b2+c2)= (b2+c2 )

2

p2=(b2+c2 )2

−a2

4=2. (b2+c2 )−a2

4=2b

2+2c2−a2

4

ma=p=√ 2b2+2c2−a2

4=√2b2+2c2−a2

2

Y como las demás relaciones son simétricas, obtenemos que:

ma=√2b2+2c2−a2

2,mb=

√2a+2c2−b2

2,mc=

√2a2+2b2−c2

2 que es lo que queríamos demostrar.

1.2. ha=2a√ p . (p−a ) . (p−b ) .( p−c )

Ésta fórmula permite y facilita el cálculo de la longitud de cierta altura, en este caso correspondiente al lado a, en función también de las longitudes de los lados; ya que a veces es muy difícil determinar el valor de ésta. Este resultado también se conoce como “Teorema de la altura generalizada”, ya que permite calcular las tres alturas de un triangulo no-rectángulo (oblicuángulo) mediante sus tres lados.

DII

Resulta conveniente una vez más realizar, antes de empezar con la prueba, una figura de análisis determinada por un triangulo ABC cualquiera con la altura correspondiente al lado a trazada.

Por Hipótesis 2, sabemos que ( ABC )=b .h2

, en este caso: ( ABC )=a .ha

2(1)

Por Hipótesis 3, sabemos también que

T=( ABC )=√ p . (p−a ) . (p−b ) . ( p−c )(2) siendo p el semiperimetro del triángulo ABC.

Ahora finalmente, igualando las expresiones (1) y (2) resulta:

a .ha

2=√ p . ( p−a ) . (p−b ) . ( p−c )

ha=2a√ p . (p−a ) . (p−b ) . ( p−c )

Razonando de forma análoga se obtienen las demás expresiones de las otras dos alturas sobre los lados b y c respectivamente:

ha=2a√ p . (p−a ) . (p−b ) . ( p−c )hb=

2b

√ p . (p−a ) . ( p−b ) . ( p−c )

hc=2c

√ p . (p−a ) . ( p−b ) . ( p−c )

1.3. wa=2

b+c√bcp . ( p−a )

Esta fórmula posibilita el cálculo de la longitud de la bisectriz interior wa del ángulo A de un triángulo ABC cualquiera, en función de las longitudes de los lados de éste.

DII

Por un lado, sabemos que este también es un caso particular del Teorema de Stewart, ya que wa es una ceviana de longitud p que une el vértice con un punto culaquiera del lado opuesto. Por lo tanto, por Hipótesis 4 se tiene que: BW=m ,WC=n. Dado que

a=m+n Despejandom

⇒

m=a−n(1) .

Por otro lado, como wa es una bisectriz interior del ángulo A, entonces por Hipótesis 5 ésta divide al lado opuesto (a) en la razón de los otros dos lados del triangulo (b y c), es decir:

mc=

nbDespejando

m

⇒

m=c .nb

(2)

Igualando (1) y (2), resulta:

a−n=cnb

Despejandon

⇒

ab−bn=cn⇒

ab=n (b+c )⇒

n=ab

(b+c)(3)

Razonando de la misma manera obtenemos el valor de m:

m= ac(b+c )

(4)

Ahora sustituyendo las expresiones (3) y (4) en la ecuación de Stewart se tiene:

a .( p2+ acb+c

.abb+c )=b2

acb+c

+c2 abb+c

a .( p2+ a2. b . c(b+c )2 )= abc

b+c(b+c )

p2+ a2 .b .c(b+c )2

=abca

=bc

p2=bc−a2 . b . c(b+c )2

=bc .(1− a2

(b+c )2 )=bc .¿

p2=bc .[1−( ab+c )] [1+( a

b+c )]=bc .(b+c−a )

b+c.

(b+c+a )b+c

p2=bc . (b+c−a ) . (b+c+a )

(b+c )2Por H 1

⇒

p2=2 pbc . (b+c−a+a−a )

(b+c )2

p2=2 pbc . (b+c+a−2a )

(b+c )2Por H 1

⇒

p2=2 pbc . (2 p−2a )

(b+c )2=4bc ( p−a)

(b+c )2

Luego finalmente,

wa=p=√ 4 pbc ( p−a)(b+c )2

= 2b+c

√bcp (p−a)

que es lo que queríamos demostrar.

1.4. R=abc4T

Esta fórmula que hay que probar se corresponde con un Teorema: “El área de un triangulo está dada por el producto de sus tres lados entre cuatro veces el circunradio”. En otros términos podemos decir que “El circunradio está dado por el producto de sus tres lados entre cuatro veces el área del triangulo”:

DII

Antes de empezar a demostrar la fórmula, hacemos una figura de análisis:

Dibujamos un triángulo oblicuángulo ABC cualquiera, trazamos las mediatrices respectivas de cada lado para hallar el circuncentro y así poder dibujar la circunferencia circunscrita con su diámetro marcado. Luego unimos cada vértice del triangulo con el centro de la circunferencia circunscrita y finalmente trazamos una altura correspondiente a algún lado que puede servir de ayuda para esta comprobación.

Por Hipótesis 2 sabemos que: ( ABC )=b .h2

(1)

Por Hipótesis 3 conocemos también que:

T=( ABC )=√ p . (p−a ) . (p−b ) . ( p−c )(2)

Por lo tanto igualando ambas expresiones (1 y 2) obtenemos que:

b .h2

=√ p . ( p−a ) . ( p−b ) .( p−c) , siendo b=a ,h=ha, resulta:

a .ha

2=√ p . ( p−a ) . (p−b ) .( p−c)(3)

Por otro lado:

Siendo AFC un triángulo rectángulo y usando la razón trigonométrica seno asociada a éste, tenemos:

sin (c )=ha

b,Despejando

la altura

⇒

ha=b . sin (c )(4)

Por Hipótesis 6 , resulta:

csin(c )

=2R Despejandosin c

⇒

sin (c )=¿c2 R

(5)¿

Sustituyendo la expresión (5) en la ecuación (4):

ha=b . c2R

(6)

Finalmente reemplazando ésta última expresión en la ecuación (3), se llega a:

a .b . c4 R

=√ p . (p−a ) . ( p−b ) .(p−c )DespejandoR

⇒

∴R=abc4T

1.5. r=Tp=√ ( p−a ) (p−b )( p−c)

p

Esta fórmula se corresponde con un Teorema definido de la siguiente manera: “El área del triángulo circunscrito a una circunferencia es el producto entre el semiperimetro del triangulo y el radio de la circunferencia inscrita”; dicho de otra manera, “El radio de la circunferencia inscrita es igual al cociente entre el área del triangulo y el semiperimetro:

DII

Antes de empezar a demostrar la fórmula, hacemos una figura de análisis: Dibujamos un triángulo oblicuángulo ABC cualquiera, trazamos las bisectrices de cada ángulo para hallar el incentro y así poder dibujar la circunferencia inscrita. Luego unimos cada vértice del triangulo con el centro de la circunferencia inscrita y como ésta es tangente a cada lado del triangulo, unimos cada punto tangencial con el incentro.

Observando la figura vemos que ∆ ABC=∆BIC+∆ AIC+∆ AIB(1), por lo tanto empleando la Hipótesis 2 tenemos por un lado que:

En ∆ BIC : (BIC )=a . r2

(2)

En ∆ AIC=( AIC )=b .r2

(3)

En ∆ AIB=(AIB )= c . r2

(4)

Luego como ∆ ABC está definido como señala (1), entonces:

( ABC )=(BIC )+ (AIC )+( AIB )Reemp . (2 ) , (3 )y (4 )

⇒

( ABC )= r2(a+b+c)

Por otro lado sabemos por Hipótesis 1 y 3 que:

T=( ABC )=√ p . (p−a ) . (p−b ) . (p−c ), p=a+b+c2

Por consiguiente T=r . p, es decir que: √ p . ( p−a ) . (p−b ) .( p−c )=r . p, finalmente despejando el inradio:

r=√ p . (p−a ) . (p−b ) . (p−c )p

Aplicandopropiedades

⇒

∴r=√ ( p−a ) . (p−b ) .( p−c )p

2. Construcción de Triángulos:

2.1. Construcción de un triángulo a partir de sus tres medianas:

Antes de empezar a detallar el protocolo de construcción será conveniente realizar una figura de análisis para interpretar el

enunciado y también mencionar algunas propiedades y teoremas útiles para este trazado en particular:

Teorema 1: Las medianas de un triángulo son concurrentes.

Teorema 2: Las medianas de un triángulo lo dividen en seis triángulos de igual área. Es decir que cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos de igual área.

Teorema 3: Las medianas de un triángulo triseccionan unas a las otras. Por lo que el baricentro dista un tercio a los puntos medios de los lados y dos tercios a los vértices correspondientes.

Protocolo de construcción

Dato: medidas de las longitudes de las tres medianas de cierto triángulo.

Procedimiento:

Construyamos una semirrecta de origen T que pase por un punto z;

Con centro en R y con una medida congruente a la longitud de 13ma, cortamos a la semirrecta en un punto s;

Haciendo centro en s y con una medida congruente a la

longitud de 13mb, trazamos un arco;

Haciendo centro en R y con una medida congruente a la

longitud de 13mc, trazamos un arco que corta al arco anterior en

un punto llamado o que será el baricentro del triángulo buscado;

Trazamos una semirrecta de origen R que pase por el punto o (acá estará mcy también una recta que pase por dos puntos, s y o (acá estará mb ¿;

Ahora haciendo centro en oy con una medida igual a la longitud

de 23mb trazamos un arco que corta a la recta que pasa por s y o,

en el punto B (que va a ser un vértice del triángulo buscado); De la misma manera, haciendo centro en R y tomando como

medida la longitud de 23mc, cortamos a la semirrecta que pasa

por R y o, en el punto t. Con la misma medida pero ahora haciendo centro en o, cortamos a la semirrecta que pasa por R y o, en el punto C (que será otro de los vértices del triangulo buscado);

Unimos los punto B yC obteniendo uno de los lados del triángulo buscado;

Con centro en el puntos s y nuevamente con una medida igual

a la longitud 23mb, cortamos a la recta que pasa por s y o en el

punto P ; Ya terminando, trazamos dos semirrectas: una de origen C que

pase por el punto P y otra de origen Bpasando por el punto R ; Finalmente la intersección de las rectas anteriores trazadas

determina el tercer punto A, vértice del triángulo buscado.

2.2. Construcción de un triángulo a partir de dos medianas y una altura:

Antes de empezar a detallar el protocolo de construcción será conveniente realizar una figura de análisis para interpretar el enunciado y también mencionar algunas propiedades y teoremas útiles para este trazado en particular:

Teorema 1Las medianas de un triángulo son concurrentes. El punto donde se cortan recibe el nombre de baricentro.

Teorema 2Las medianas de un triángulo triseccionan unas a las otras. Por lo que el baricentro dista un tercio a los puntos medios de los lados y dos tercios a los vértices correspondientes.


Dato: medidas de las longitudes de dos medianas y una altura correspondientes a los lados a y b de un cierto triángulo.

Procedimiento:

Dibujamos una recta cualquiera R; Trazamos una perpendicular a la recta R con una medida

congruente con la longitud de la altura conocida ha. Esto dará el primer vértice (superior) del triángulo buscado A;

Con centro en el vértice A; y radio igual a la mediana del lado a (ma) trazamos un arco que corte a la recta horizontal R en un

punto que llamaremos D; y que será el punto medio de ese lado;

Unimos mediante un segmento el vértice A con el punto D; Marcamos el baricentro que estará ubicado desde el vértice A

a 23ma llamado G;

Con centro en el baricentro, G, y radio 2/3 la medida de la mediana del lado b¿ mb ¿ trazamos un arco que corte a la recta horizontal R en un punto que llamaremos B y será otro de los vértices del triángulo buscado;

Se toma la medida de la longitud del segmento BE (que es la mitad del lado a ) y se lo prolonga hacia el otro lado de la recta horizontal R, a partir del punto E , dando así el tercer vértice C;

Finalmente unimos mediante segmentos los vértices A ,B y C determinando así el triángulo buscado.

2.3. Construcción de un triángulo a partir de dos alturas y un lado:


Teorema:Todo ángulo inscripto en una semicircunferencia es recto.

Protocolo de construcción:

Dato: medidas de las longitudes de dos alturas respectivas de los lados b y c (hb y hc) del triángulo buscado y la medida de un lado no correspondientes a esas alturas (a).

Procedimiento:

Dibujamos el ladoa del triángulo buscado. Para ello diseñamos una semirrecta de origen B (que será uno de los vértices del triángulo) y con centro en este origen y con una medida congruente a la longitud del lado a, trazamos un arco que la corte en un punto al que nombramos C (que será otro de los vértices del triángulo);

Marcamos el punto medio (G ¿del lado a y con centro en éste y radio de longitud congruente a la mitad del lado a , trazamos una semicircunferencia R pasando por los dos extremos (B yC ¿ que determinan el lado a;

Con centro en el extremo o vértice B trazamos un arco de radio hb cortando a la semicircunferencia R en un punto llamado D ,el cuál será el pie de la altura hb del triángulo buscado;

De la misma manera pero ahora haciendo centro en C, dibujamos un arco de radio hc que corte a la semicircunferencia R en un punto E. Éste punto será el pie de la altura hc del triángulo en cuestión;

Ahora unimos B con E y C con D. Luego prolongamos dichos segmentos hasta que se intersequen.

Finalmente el punto donde ambos se cortan corresponde al vértice A del triangulo buscado. Es decir que, los segmentos que unen los vértices determinan el triángulo deseado.

2.4. Construcción de un triángulo a partir de un lado, una altura y una mediana:


TeoremaUna recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia.


Dato: medida de las longitudes de un lado a, de su mediana correspondiente ma y de la altura correspondiente al lado b, hb.

Procedimiento:

Dibujamos el lado a que conocemos. Para eso trazamos una semirrecta de origen B (que será el vértice B del triángulo buscado) y con centro en este origen y con una medida congruente a la longitud del lado a, trazamos un arco que la corte en un punto al que nombramos C (que será otro de los vértices del triángulo);

Haciendo centro en el punto B y con un radio igual a la longitud de hb, trazamos una circunferencia llamada R ;

Ahora trazamos las rectas tangentes a la circunferencia R desde el vértice C;

Marcamos el punto medio del lado a conocido y lo nombramos G;

Haciendo centro en el punto medio del lado a (G) y con un radio de longitud ma, trazamos otra circunferencia P;

Finalmente el punto de intersección de la recta tangente con la circunferencia P, es el vértice A del triángulo buscado;

Uniendo mediantes segmentos los vértices obtenemos el triángulo buscado.

3. Trazado de Circunferencias:

Una circunferencia en el plano queda determinada por 3 condiciones, elegidas entre: pasar por un punto P, ser tangente a una recta R o ser tangente a otra circunferencia C. Algunos de los casos posibles son los siguientes:

3.1. Construcción de una circunferencia que pasa por tres puntos:

Antes de empezar a detallar el protocolo de construcción será conveniente realizar una figura de análisis para interpretar el enunciado:


Dato: tres puntos cualesquiera no alineados

Procedimiento:

Trazamos los puntos A ,B y C no alineados; Luego unimos los tres puntos por los que queremos que pase

la circunferencia; Una vez unidos, trazamos las mediatrices de los dos

segmentos obtenidos al unir los puntos; En la intersección de las dos mediatrices, se encuentra el

centro o de la circunferencia solución. El radio de la circunferencia sera la distancia del centro o a uno de los puntos dados;

Por último, trazamos la circunferencia de centro o y radio congruente a la longitud entre o y cualquiera de los tres puntos.

3.2. Construcción de una circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta:


Dato: dos puntos cualesquiera A ,B y una recta R;

Procedimiento:

Según de como de dispongan los elementos tenemos dos posibles construcciones:

1. Si los puntos están alineados:

Marcamos los puntos A y B, y trazamos la recta dada, R; Trazamos la mediatriz del segmento que se forma al unir

los puntos, congruente a la longitud entre A y B; Marcamos el punto de intersección de la recta Rcon la

mediatriz y lo designamos con la letra P; Unimos el punto A con el punto P mediante un segmento

y luego le trazamos la mediatriz; Finalmente el punto de intersección de las dos

mediatrices será el centro o de la circunferencia buscada; Por último queda trazar la circunferencia de centro o y

radio congruente a la longitud entre el centro de la circunferencia y cualquiera de los dos puntos conocidos;

2. Si los puntos no están alineados:

Marcamos los puntos A y B, y trazamos la recta dada, R; Trazamos una recta que pase por A y B, llamada S pero

que no sea paralela a R; Las dos rectas se intersecan en un punto al que

nombramos P; Dibujamos una circunferencia C1 que pase por los puntos

A y B, pero no por el punto P; Trazamos las dos rectas tangentes a la circunferencia C1

desde el punto P y marcamos los dos puntos de tangencia T 1 , T 2;

Trazamos sobre la recta R y a partir de del punto P, los segmentos T 1R y T2R(uno de cada lado);

Por último trazamos dos circunferencias: una que pase por los puntos A ,B ,D ,C2. Y otra que pase por los puntos A ,B ,E ,C3;

3.3. Construcción de una circunferencia tangente a tres rectas:

Antes de empezar a detallar el protocolo de construcción será conveniente mencionar algunas propiedades y teoremas útiles para este trazado en particular:

Teorema 1:Las bisectrices exteriores de dos ángulos cualesquiera de un triángulo y la bisectriz interior del tercer ángulo se cortan en un punto.Teorema 2:Las bisectrices de los ángulos internos y externos concurren en cuatro puntos distintos. Uno de esos puntos, interior, es el centro del círculo inscrito tangente a los tres lados del triángulo determinados por la intersección de las rectas. Los otros tres restante, exteriores,

son centros de los círculos exinscritos tangente a uno de los lados y a las extensiones de los otros dos.


Este problema posee dos casos según de como se dispongan los elementos:

1. Supongamos en primer lugar que las tres rectas dadas se cortan dos a dos formando un triángulo:

En este caso, el problema posee cuatro soluciones: una circunferencia inscrita al triángulo formado por las tres rectas que se cortan y tres circunferencias exinscritas tangentes a la circunferencia inscrita y a las tres rectas dadas.

Dato: tres rectas que se cortan formando un triángulo;

Procedimiento:

Trazamos las tres rectas R ,S yT que se conocen. Éstas se intersecan formando un triángulo ABC;

Dibujamos la circunferencia inscrita C1 del triángulo formado por la intersección de las tres restas dadas. Para eso se deberá trazar las bisectrices de los ángulos interiores y el punto donde éstas se corten será el centro de la circunferencia inscrita buscada, O1;

Ahora para determinar los otros tres centros restantes de las circunferencias exinscritas se deberán trazar las bisectrices de los ángulos exteriores formados por las rectas. Para eso será conveniente prolongar los lados del triángulo formando así sus lados exteriores. Luego se trazan las bisectrices de dichos ángulos exteriores y se prolongan hasta que se corten dos a dos;

Los puntos de intersección de unas con otras (bisectrices interiores y exteriores) determinan los centros de las circunferencias tangentes a las rectas dadas: O1 ,O2 ,O3 ,O4;

Por último, los radios de las circunferencias solución se hallan trazando perpendiculares a las rectas R ,S yT por el incentro y los exincentros correspondientes. Es decir que los radios serán las distancias de los centros a las rectas, tomadas perpendicularmente;

2. Si dos de las rectas son paralelas:

En el caso de que dos de las rectas dadas sean paralelas y la tercera sea secante a ambas, se obtienen dos soluciones: dos circunferencias tangentes tanto a las rectas paralelas como a la recta secante conocida.

Dato: tres rectas: dos paralelas (R¿¿1 y R2)¿ y una secante (T ).

Procedimiento:

Trazamos las rectas paralelas ( R1 y R2 ) y la recta transversal (T );

Luego trazamos la recta media paralela (S) a R1 y R2 (Ya que los centros de las circunferencias tangentes estarán en esta recta);

Trazamos la bisectriz (B1) del ángulo formado por la recta R1 y T (Ya que en la bisectriz estará el centro de una de las circunferencias tangentes);

De la misma manera, trazamos la bisectriz (B2) del ángulo formado por R2 yT (Ya que en esta otra bisectriz estará el centro de otra de las circunferencias tangentes);

Señalamos la intersección de B1 y S, y la intersección de B2 y S, con los puntos P yQ ;

Luego trazamos segmentos que pasen por P yQ perpendiculares respectivamente a R1 y R2 (Aquí se determinan los radios de las circunferencias);

Finalmente trazamos las circunferencias con centros en P yQ respectivamente y con un radio congruente a la distancia entre P y R1, Q y R2.

3.4. Construcción de una circunferencia tangente a dos rectas y a otra circunferencia:


Dato: dos rectas y una circunferencia.

Procedimiento:

Prolongamos las rectas dadas hasta que se corten y luego trazamos la bisectriz de dicha intersección;

Hallamos el simétrico del centro o de la circunferencia dada con respecto a la bisectriz, el punto será o ’;

Trazamos una circunferencia que pase por o y o ’ ; Sobre una de las rectas dadas, trazamos paralelas con una

medida congruente a la longitud del radio de la circunferencia dada;

La recta que pasa por o y o ’ cortará a las paralelas trazadas en M y N ;

Trazamos las rectas tangentes desde M hasta la circunferencia que pasa por o y o ’. Así se obtienenT 1 y T 2;

Dibujamos un arco desde M con radio T 1 y T 2 . Este arco cortará a la paralela donde se encuentra M en A y B ;

Trazamos las rectas perpendiculares a la paralela, que pasen por A y B. Estas rectas cortan a la bisectriz en P yQ, los centros de las circunferencias buscadas;

Para obtener las circunferencias restantes, se trazan las paralelas sobre la otra recta con una medida congruente a la longitud del radio de la circunferencia dada.

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