MECÁNICA DE SUELOS Y FUNDACIONES

INGENIERÍA EN CONSTRUCCIÓN

Sesión 2 – Mecánica de Suelos y Fundaciones 26 de abril 2014

UNIDAD 1: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

TEMA 1: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

Esfuerzos principales y círculo de Mohr.

Como en cualquier otro material, el esfuerzo normal en un punto

situado en el interior de una masa de suelo suele ser una orientación

del plano elegido para definir dicho esfuerzo. Carece de significado

hablar del esfuerzo normal o esfuerzo tangencial en un punto. Por

esta razón generalmente se añaden subíndices a los símbolos s y t

para especificar la forma en que se definen estos esfuerzos. Con

mayor generalidad, por supuesto, deberíamos hablar del tensor de

esfuerzos que proporciona una descripción completa del estado de

esfuerzos en un punto. En este cuso hablaremos de los conceptos y

definiciones esenciales.

Esfuerzos principales.

En cualquier punto sometido a esfuerzos existen 3 planos ortogonales

(es decir perpendiculares entre sí) en los cuales los esfuerzos

tangenciales son nulos, estos planos se denominan planos

principales. Los esfuerzos que actúan sobre estos planos principales

se denominan esfuerzos principales. El más grande de estos

esfuerzos principales se denomina esfuerzo principal mayor 𝝈𝟏; el

más pequeño es el esfuerzo principal menor 𝝈𝟑 y el tercero es el

esfuerzo principal intermedio 𝝈𝟐.

Esfuerzos geoestáticos

𝑘 < 1 → 𝜎𝑣 = 𝜎1 ; 𝜎ℎ = 𝜎3 ; 𝜎2 = 𝜎3 = 𝜎ℎ

𝑘 > 1 → 𝜎ℎ = 𝜎1 ; 𝜎𝑣 = 𝜎3 ; 𝜎2 = 𝜎1 = 𝜎ℎ

𝑘 = 1 → 𝜎𝑣 = 𝜎ℎ ; 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎3 (Estado de esfuerzo isotrópico)

TEMA 1: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

TEMA 1: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

Círculo de Mohr

Es la representación gráfica de los esfuerzos en una masa de suelo y

tiene una gran importancia en la mecánica de suelos.

Los aspectos más relevantes son los siguientes:

Analizaremos los Esfuerzos existentes en el plano bidimensional.

Nos interesan el estado de esfuerzos en el plano correspondientes

a los esfuerzos verticales mayor (𝜎1) y menor ( 𝜎3).

Los esfuerzos se consideran positivos cuando sean de compresión.

La magnitud (𝜎1 − 𝜎3) se denomina esfuerzo desviador (∆𝜎).

TEMA 1: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

Círculo de Mohr

Figura 1. Estado de Esfuerzos en un punto.

Figura 2. Diagrama de Mohr para el estado de esfuerzos en un punto. t

es positivo cuando va en sentido contrario a las agujas del reloj; q se

mide en sentido contrario a las agujas del reloj a partir de la dirección de

𝜎1.

TEMA 1: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

Círculo de Mohr

Ecuaciones para determinar esfuerzos en un plano dado:

𝜎𝜃 = 𝜎1 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜎3 ∙ 𝑠𝑒𝑛

2𝜃 =𝜎1 + 𝜎32

+𝜎1 − 𝜎32

∙ cos (2𝜃)

𝜏𝜃 = 𝜎1 − 𝜎3 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝜎1 − 𝜎32

∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)

El esfuerzo tangencial máximo en un punto (tmáx) es siempre igual a 𝜎1−𝜎3

2, es decir el esfuerzo tangencial equivale al radio del círculo de

Mohr. Este esfuerzo tangencial máximo se produce en planos que

forman ±45° con la dirección del esfuerzo principal mayor.

Diagramas p-q

En muchos problemas conviene representar, sobre un diagrama

único, muchos estados de esfuerzos para una determinada muestra

de suelo. En otros problemas se representa en un diagrama de este

tipo el estado de esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales

casos resultado mucho trabajo trazar los círculos de Mohr, e incluso

más difícil ver lo que se ha representado en el diagrama después de

dibujar todos los círculos. Otro método para graficar el estado de

esfuerzos puede ser el cambio a un sistema de coordenadas cuyos

variables corresponde a p y q, lo cual se realiza mediante las

siguientes expresiones.

TEMA 1: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

Diagramas p-q

𝑃 =𝜎1 + 𝜎32

𝑞 = ±𝜎1 − 𝜎32

+ 𝑠𝑖 𝜎1 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 ± 45° 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

− 𝑠𝑖 𝜎1 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒 ±45° 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

En la mayoría de los casos en los que se utiliza la representación puntual , los esfuerzos principales actúan sobre planos verticales y horizontales, en este caso las ecuaciones se reducen a las siguientes:

𝑃 =𝜎𝑣 + 𝜎ℎ

2 ; 𝑞 =

𝜎𝑣 − 𝜎ℎ2

Esto equivale a representar un punto único de un círculo de Mohr: el punto más alto si “q” es positiva o el más bajo si “q” es negativa. Numéricamente, q equivale a la mitad del esfuerzo desviador.

TEMA 1: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

Trayectoria de tensiones

Se utiliza frecuentemente para representar los estados de esfuerzos sucesivos que existen en

una masa de suelo al cargarla. Una forma es graficar una serie de círculos de Mohr, sin

embargo esto resulta bastante confuso, en especial si se representan sobre un mismo

diagrama los resultados de diversas pruebas. Un método más satisfactorio consiste en

representar una serie de puntos (p-q) uniéndolos mediante una curva.

Figura 3. Representación de sucesivos estados de esfuerzos al aumentar 𝜎1 manteniendo constante 𝜎3. Los Puntos

A, B, etc., representan idénticos estados en ambos diagramas a) Círculo de Mohr. b) Diagrama p-q.

TEMA 1: ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO