file 91a4ee931f 109 probabilidad blanco

1Prof.: David Becerra Rojas

PROBABILIDADES

1

Prof.: David Becerra Rojas

CONCEPTOS BSICOS

1. Experimento: Proceso de realizar una observacin o una medicin.

2. Experimento Aleatorio ( E ): Experimento en que son posibles ms de un resultado, los cuales pueden ser indicados con anterioridad, y se puede repetir muchas veces bajo las mismas condiciones

3. Espacio Muestral ( S ): Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

2


Ejemplos de Espacio Muestral:

E1: Se lanza un dado y se cuenta el nmero de puntos que aparecen en la cara superior.

S1: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

3



E2: Se lanza una moneda 4 veces y se cuenta el nmero de sellos obtenidos.

S2: { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }

4



E3: Se enciende una ampolleta y se anota el tiempo que transcurre hasta que se quema.

S3: { t |R / t > 0 }

5



E4: Se lanza una moneda dos veces, se

registra el signo que aparece.

S4: { CC , CS , SC , SS }

6



E5: Salen artculos en una lnea de produccin. Se cuenta el nmero de artculos defectuosos producidos.

S5: {0, 1 , 2, 3, 4, . . . . . . n }

n: Total de artculos producidos

7



E6: Una caja contiene 10 fichas, de las cuales 3 son verdes. Se extrae al azar una ficha despus de otra y se cuenta el nmero de fichas sacadas de la caja , despus de haber obtenido:

a.- La ltima ficha verdeS6a= { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

S6b= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

b.- La primera ficha verde

8


SUCESO EVENTO

Sea E un Experimento y sea S un espacio muestral asociado a E, entonces A es un suceso si y solo si A se define como un conjunto de posibles resultados del experimento aleatorio, es decir un subconjunto del espacio muestral S.

9


Observacin:

1.- Sean A y B dos suceso asociados a un mismo

experimento E , entonces:

A B: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si ocurre A , ocurre B o ambos.

A B: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si ocurre A y ocurre B.

2.- Sean A1, A2,.......Ak, sucesos asociados a un mismo experimento, entonces:

A1 A2 . Ak: Es un nuevo suceso que ocurresi y solo si ocurre al menos un Ai.

A1 A2 ..... Ak: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si ocurren todo los Ai a la vez.

i

k

i

i

k

i

A

A

1

1

10


SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES(SME)

Sean A y B dos sucesos asociados a un mismo espacio muestral S, se dice A y B son sucesos Mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambos a la vez. Es decir si la interseccin es vaca .

Si A B = A y B son SME

11


FRECUENCIA RELATIVA

Sea E un experimento, y sea A un suceso asociado a E. Supongamos que el experimento E se realiza n veces, y que nA son las veces que ocurre el suceso A, entonces se define Frecuencia Relativaal suceso A como:

n

nf AA

12


FRECUENCIA RELATIVA

Propiedades:

1.- 0 A 1

2.- A = 1 Si cada vez que se realiza el experimento ocurre A.

3.- A = 0 Si A nunca ocurre.

4.- Sean A, B SME , entonces AUB = A +Be.d. Si A B = AUB = A +B

13


FRECUENCIA RELATIVA

Propiedades:

5.- Si E se repite muchas veces, digamos

infinitas, entonces A tiende a la

probabilidad de A ( P(A) )

A P(A) n Intuitivo

14


Probabilidad

Definicin:

Sea E un experimento y sea S un espaciomuestral asociado a E, entonces a todosuceso A, le asociaremos un nmero P(A),que llamaremos, la probabilidad de que elsuceso A ocurra, y que tiene las siguientespropiedades:

15


Propiedades:

1. 0 P(A) 1

2. P(S) = 1

3. Sean A, B SME , es decir, A B = P(A B) = P(A) + P(B)

4. Sean A1, A2,...Ak SME de a pares, entonces: P(A1 .. Ak) = P(A1)+....+P(Ak) P( Ai ) = P(Ai )

16


Teoremas Bsicos:

1.- P() = 0

2.- Si A es el suceso complementario de A, entonces: P(A) = 1 P(A)

3.- Si A B entonces P(A) P(B)

4.- Sean A y B sucesos cualesquiera, entonces:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)

17


Teoremas Bsicos:

5.- Sean A, B, C sucesos cualesquiera, entonces:

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P( A B C )

18


Ejercicio 1

Sea ; P( A ) = x

P( B ) = y

P( AB ) = z

Determine:

_1.- P ( A B ) =

_ _

2.- P ( A B ) =_

3.- P( A B ) =

19


Ejercicio 2

Sea ;

P(A)=P(B)=P( C ) = , P(AB)= P(AC)= 1/8 y

P(BC)= 0 , Determine: P(A B C)=

Respuesta: Segn Teo. 5 , Tenemos:

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P( A B C )

Luego;

P(ABC) = 1/4 + 1/4 + 1/4 1/8 - 1/8 0 + 0 = 1/2

20


A B

C

S

1/4 1/4

1/4

1/8

1/8

21


Espacios Muestrales FinitosSea E un experimento y sea S = { s1,s2,....sk } un

espacio muestral finito, entonces, a cada suceso de la

forma si = {si } : lo llamaremos suceso elemental.

(el formado por un solo elemento), y le asociaremos

un nmero pi, que llamaremos, la probabilidad que el

suceso {si} ocurra ( pi=P({si}) ) y que cumple con las

Siguientes condiciones:

1.- pi 0 i= 1,2,......k

2.- pi = 1

22


Espacios Muestrales Finitos

Sea A S un suceso cualesquiera talque:

A={s1 , s2 ,----, sr} ; r k

luego;

A = {s1 } {s2 } ---- {sr }

P(A) = P(s1) + P(s2) + --- + P(sr)

por lo tanto; P(A) = p1 + p2 + ----- + pr Prp. 4

23


Espacios Muestrales Finitos

Ejemplo:

Supongamos que solo son posibles 3 resultados en un experimento aleatorio, de tal manera que S = {s1, s2, s3}. Supongamos adems que la ocurrencia de s1, es dos veces ms probable que s2, y que s2 es dos veces ms probable que s3. cul es el valor de p1, p2 y p3?

24


Sea P({si}) = pi i, i = 1,2,3

Tenemos que : p1 = 2p2p2 = 2p3

Luego p1 = 2(2p3) = 4p3

Pero p1 + p2 + p3 = 1

por lo tanto:

4p3 + 2p3 + p3 = 1

luego:

p3 = 1/7 , p2 = 2/7 , p1 = 4/7

25


Sucesos Equiprobables

Dos sucesos se dicen que son equiprobablessi tienen igual probabilidad.

Sea S= {s1,s2,------sk} y

sea p1,p2,....,pk sus probabilidades respectivas, si los sucesos elementales son equiprobables.

26


Puesto que:

Si S = { s1,s2,......sk}, y como los {si} son

equiprobables entonces, p1= p2 = ......= pk = p

Luego como:

k

i

k

i

ik

pkpppEntonces1 1

1:

k

i

ip1

1

27

10



De igual manera si A es un suceso cualesquiera tal que:

A = {s1,s2,------sr}

Donde, p1,p2,....,pr sus probabilidades respectivas, y

equiprobables entonces:

P(A) = p1 + p2 + - - - - - + pr = r p

y como p = 1/k , entonces:

P(A) = r / k

28



Observacin:

Si S es un espacio muestral, donde sus sucesos elementales son equiprobables y A Sentonces:

P(A) = #A / #S

#A: Nmeros de elementos que tiene A y se

lee el cardinal de A.

posiblescasos

favorablescasos

k

r

29


Ejemplo

Sea E : se lanza un dado equilibrado y se cuenta el nmero

de puntos que aparecen en la cara superior. Determine:

a.- El espacio muestral

b.- Sea A: sale un nmero par

B: sale el dos o el tres

Determine:

_ _

P(A) , P(B) , P(AB) , P(AB)

30

11


1.- El espacio muestral es : S = { 1,2,3,4,5,6}

2.- A = { 2,4,6 } Luego #A = 3

B = { 2,3} Luego #B = 2

Por lo tanto ;

P(A) = 3/6 = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3

_

P(A B) = 5/62/6 = 1/3_

P(A B) =

31


Mtodos de Enumeracin

1.- Principio de Adicin: ( Regla del o )

E1 n1E2 n2

} E1 o E2 n1+n2

Ejemplo:

P Q

Valpso. Stgo.

E1:Areo

E2:Tierra

Luego: n1 + n2 = 2 + 3 =5

Avin

Helicptero

Bus

Auto

Moto

32



2.- Principio de Multiplicacin: ( Regla del y )

E1 n1E2 n2

} E1 y E2 n1 x n2

Ejemplo:

P Q

Chile Europa

R

Brasil

E1:n1

E2:n2Luego: n1 x n2 = 3 * 2 = 6

A

M

T

M

A

A

MA

M

Diagrama del rbol

33

12


Mtodos de Enumeracin3.- Permutacin:

Si tenemos n objetos distintos, y queremos

ordenarlos tomando r de ellos. El nmero de

formas de hacer esta operacin, esta dado por:

)!(

!

rn

nP

n

r

34


Mtodos de Enumeracin4.- Combinacin:

Si tenemos n objetos y queremos escoger r de ellos

sin que nos importe el orden. El nmero de maneras

de hacer esta operacin, esta dado por:

!)!*(

!

rrn

nC

n

r

35



Observacin:

1.- n! : Se lee n-factorial, y esta dado por:

n! = n x (n-1) x (n-2) x ......x 3 x 2 x1

= n x (n-1)!

2.- 0! = 1

Ejemplo : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

= 5 x 4! = 120

36

13


Ejercicio

1.-Supongamos que una oficina cuenta con 18 personas; determine:

a.-Cuntas comisiones de 3 se pueden formar?

b.-Cuntas directivas con un presidente, un secretario y un tesorero, se pueden formar?

c.- Si en la oficina hay 10 mujeres.

c1.- Cuntas comisiones de 3 persona se pueden formar,

cuando debe haber una mujer por lo menos?

c2.- Cuntas directivas de 3 personas se puede formar, si

solo una mujer puede pertenecer?

37


Tarea N__

1.-Demostrar:

a.-

b.-

n

rn

n

r CC

11

1

n

r

n

r

n

r CCC

2.- Si en una oficina de 15 persona 8 son mujeres, y se eligen

al azar 4 para un trabajo. Cual es la probabilidad de que:

a.- dos sean mujeres?

b.- al menos dos sean mujeres?

38


Ejercicio:

Se lanza una moneda dos veces, se registra el

signo que aparece; determine:

1.- El espacio muestral S.

2.- La probabilidad de que salga a lo menos un sello.

3.- La probabilidad de que salgan ms caras que sello.

39

14


Ejercicio

Una oficina cuenta con 18 personas, 10 de ellas mujeres. Se seleccionan al azar dos personas, una despus de otra, y se clasifican segn el sexo. Determine:

1.- El espacio muestral

2.- La probabilidad de que, al me nos una sea mujer

3.- La probabilidad de que, hallan mas hombres que mujeres.

40


Probabilidad CondicionalSupongamos que tenemos 100 artculos, 20de ellos defectuosos. Se escogen al azar 2, uno despus del otro, y se definen los siguientes eventos:A = el primer artculo es defectuoso B = el segundo artculo es defectuoso.

Determinar la probabilidad de A y B cuando el experimento se realiza:

a.- con devolucin b.- sin devolucin.

41


a.- Con devolucin:

P(A) = 20/100 = 1/5

P(B) = 20/100 = 1/5

b.- Sin devolucin:

P(A) = 20/100 = 1/5

P(B) =19/99 si ocurri A_

20/99 si ocurri A{

42

15


Probabilidad Condicional

Notacin:

P(B/A): Probabilidad de B dado que ocurri el suceso A.

En nuestro caso:

_ P(B/A) = 19/99 y P(B/A) = 20/99

43



Ejemplo: Se lanza un dado dos veces, el evento se anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el resultado del lanzamiento i ( i = 1,2):

1.- Determine: El espacio muestral S

Si se definen: A = {(X1 , X2) / X1 + X2 =8 } B = {(X1 , X2) / X1 > X2 }

2.- Determine:

P(A), P(B), P(A B), P( B/A), P(A/B)

44


1.- S = { (1,1) ; (1,2) ; ..........; (1,6)(2,1) ; (2,2) ;...........; (2,6)

-----------------------------

(6,1) ; (6,2) ;...........; (6,6) }

2.- A = {(2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2)} #A = 5

B = {(2,1)(3,1);(3,2)

(4,1);(4,2);(4,3) #B = 15

(5,1);(5,2) (5,3);(5,4)

(6,1);(6,2);(6,3);(6,4),(6,5)}

Luego #S = 36

45

16


Por lo tanto: P(A) = 5 / 36

P(B) = 15 / 36 = 5 / 12

Luego P(B/A) = 2 / 5 P(A/B) = 2 / 15

P(A B) = 2 / 36 = 1 / 18

Observemos que:

P(B/A) x P(A) = 1/18

P(A/B) x P(B) = 1/18

P(A B)} =

y como: (A B) = {(5,3);(6,2)} # (A B) = 2

46



Definicin:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(

)()/(

AP

BAPABP


Ejemplo:

Supongamos que en una oficina hay 100 computadores

personales, 40 conectados a Internet, de los cuales solo 14

tienen lector de disco compacto (CD), el total de

computadores con (CD) es de 30. Se extrae uno del

total de computadores al azar determine la probabilidad

de que:

1.- este conectado a Internet.

2.- tenga lector de CD y este conectado a Internet

3.- si esta conectado a Internet, tenga lector de CD.

4.- si se extraen al azar 4 computadores, cul es la

probabilidad de que al menos dos tengan CD ?

48

17


Desarrollo:

Sea A = El computador esta conectado a Internet.

B = El computador tiene lector de CD.

Luego tenemos:

A A Total

B 14 16 30

B 26 44 70

Total 40 60 100

Luego; 1.- P(A) = 40 / 100 = 2/5

2.- P(A7

3.- P( B/A) = 14 / 40 = 7/20 49


Ejemplo 2:

De una caja que originalmente contiene

2 fichas azules y una ficha blanca, se extraen tres

al azar, en cada extraccin, se saca una, se registra

el color y luego se devuelve a la caja junto con dos

fichas del mismo color. Calcule la probabilidad

de que:

a.- Se obtengan dos fichas azules si hay al menos

una ficha blanca.

b.- Solo dos fichas sean blancas.

c.- Al menos dos fichas sean azules.

50


Sea A: la ficha es azul

B: la ficha es blanca.

A

B

2/3

1/3

Diagrama del rbol

S = {AAA ,AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

4/5

1/5

2/5

3/5

6/7

1/7

4/7

4/7

3/7

3/7

2/7

5/7

2 A

1 B

51

18


a.- Se obtengan dos fichas azules si hay al menos

una ficha blanca.

b.- Solo dos fichas sean blancas.

c.- Al menos dos fichas sean azules.

a.- ( 2/3 x 4/5 x 1/7 ) + ( 2/3 x 1/5 x 4/7 ) + ( 1/3 x 2/5 x 4/7 ) =

8 /105 + 8/105 + 8/105 = 24 / 105=8/35

b.- ( 2/3 x 1/5 x 3/7 ) + (1/3 x 2/5 x 3/7 ) + ( 1/3 x 3/5 x 2/7 ) =

6/105 + 6/105 + 6/105 = 18 / 105=6/35

c.- ( 2/3 x 4/5 x 1/7 ) + ( 2/3 x 1/5 x 4/7 ) + ( 1/3 x 2/5 x 4/7 ) +

(2/3 x 4/5 x 6/7 ) = 8/105 + 8/105 + 8/105 + 48/105 = 72 / 105 = 24/35

d.- La segunda sea blanca

e.- Haya una blanca, y que sea la segunda.

52


Definicin: Sean B1,B2,......Bk sucesos asociados

a un espacio muestral S. Si se cumplen

las siguientes condiciones:

i.- Bij = i j = 1,2,...,k ii.- Bi = S

iii.- P( Bi ) 0 i ; i = 1,2,...,k

Entonces diremos que B1,B2,....Bk forman

una Particin del espacio muestral S

53


Sea A un suceso asociado a un espacio muestral S

y si B1,B2,....Bk una particin de S:

Luego A = (A1) (A) ........... (A)

an cuando algn A i = i i = 1,2,...,k por lo tanto

P(A) = P((A1) (A) ..... (A))

nos queda

P(A) = P(A1) + P(A2) +.....+ P (A)

Como;

Luego tenemos;

P(A) = P(A/1) x P(B1) + P(A/) x P(B2) +......+ P(A/k) x P(Bk)

Esto se conoce como, Teorema de Probabilidad Total

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(*)/()( BPBAPBAP

54

19


El Teorema de Probabilidad Total tambin se puede

Escribir como:

k

i

ii BPBAPAP1

)(*)/()(

55


Ejemplo:

Cierto artculo es manufacturado por tres fbricas: F1, F2, F3.

Se sabe que la F1, produce el doble de artculos que F2 y que esta

y F3, producen el mismo nmero de artculos.

Tambin se sabe que el 2% de los artculos producidos por cada una

de las dos primeras (F1 y F2), son defectuosos, mientras que el 4%

de los producidos por F3, es defectuoso. Se ponen todos los artculos

juntos, de las tres fbricas, y se elige uno al azar ; Determine:

1. Cul es la probabilidad de que el artculo escogido sea defectuoso?

2. Si el artculo escogido es defectuoso, Cul es la probabilidad de que sea de F1 ?

56


Sean los siguientes sucesos:

A = { el artculo es defectuoso}

Bi = { el artculo proviene de la Fi } i = 1, 2, 3

Luego tenemos: B1 B2

B3

P(A) = P( (A1) (A) (A) )

A

S

= P(A/B1) P(B1) + P (A/B2) P(B2) + P (A/B3) P(B3)

57

20


Sea ni: nmero de artculos que produce la Fiy n = n1 + n2 + n3

Por lo tanto como :

n1 = 2 n2n2 = n3

entonces

n1 = 2 n3

y poniendo todo en funcin de n3, tenemos:

n = 2 n3 + n3 + n3 = 4 n3

Luego P(B1) = n1/n = 2n3 / 4 n3 = 1/2

P(B2) = n2/n = n3 / 4 n3 = 1/4

P(B3) = n3/n = n3 / 4 n3 = 1/4

58


Por otro lado tenemos:

P(A/B1) = 0.02

P(A/B2) = 0.02

P(A/B3) = 0.04

Por lo tanto:

P(A) = P(A/B1) P(B1) + P (A/B2) P(B2) + P (A/B3) P(B3)

= 0.02 x 1/2 + 0.02 x 1/4 + 0.04 x 1/4 = 1/40 =0.025

y 2.- la probabilidad de que sea de la F1 dado que es defectuoso ser

P(B1) =

P(B2) =

P(B3) =

59


Podemos decir que:

3

1

111

)(*)/(

)(*)/()/(

j

jj BPBAP

BPBAPABP

4.0

4/1*04.04/1*02.02/1*02.0

5.0*02.0)/1(

ABP

60

21


Generalizando tenemos:

Sea E un experimento, S un espacio muestral, B1.Bk. una particin de S, y A un suceso cualesquiera, Entonces:

ki

BPBAP

BPBAPABP

k

j

jj

iii ...1;

)(*)/(

)(*)/()/(

1

Esto se conoce como Teorema de Bayes

61


Sucesos Independientes

)()/(

)()/(

BPABP

APBAP

Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral S

Diremos que son Independientes, cuando la ocurrencia de

uno no afecta la ocurrencia del otro.

A y B son sucesos Independientes, si y solo si

62


Ejercicio

1. Si A est incluido en B, entonces B es independiente de A?

2. Si A y B son sucesos Mutuamente Excluyentes, entonces son Independientes?

63

22


Sucesos Independientes

Ejemplo: Se lanza un dado dos veces, el evento se anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el resultado del lanzamiento i ( i = 1,2):

Si se definen: A = {(X1 , X2) / X1 es par } B = {(X1 , X2) / X2 es 4 o 5 }

2.- Determine:

P(A), P(B), P(A B), P( B/A), P(A/B)

64


A = { (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

#A=18

B={(1,4), (1,5)

(2,4), (2,5)

(3,4), (3,5)

(4,4), (4,5)

(5,4), (5,5)

(6,4), (6,5) }

#B=12

P(A)= #A / #S = 18/ 36 = 1/2

Sabemos que el #S = 36

P(B) = #B / #S = 12 / 36 = 1/3

AB = {(2,4), (2,5)(4,4), (4,5)

(6,4), (6,5) }

# AB = 6P(AB ) = # AB /#S = 6 / 36 = 1/6

2/13/1

6/1

)(

)()/(

BP

BAPBAP

3/12/1

6/1

)(

)()/(

AP

BAPABP

)(*)()( BPAPBAP )(AP

)(BP

65


Definicin

)(*)()( BPAPBAP

Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral S

Diremos que son Independientes si y solo si:

66

23


Suponga que 192 de 960 trabajos en una universidad son de alta

prioridad; de stos, 128 son propuestos por estudiantes. Del total,

320 no son propuestos por estudiantes. Si se selecciona un trabajo

al azar. Determine:

a.- La probabilidad de que sea de alta prioridad y propuesto por

un estudiante.

b.-La probabilidad de que sea de alta prioridad, dado que

sabemos que fue propuesto por un estudiante.

c.- Es Independiente que el trabajo sea de alta prioridad, con que

sea propuesto por un estudiante?

Ejercicio:

d.- La probabilidad que si es propuesto por estudiante, no sea

de alta prioridad.

e.- La probabilidad de que no sea propuesto por estudiante.

67


R Q

Ejercicio

Supongamos que la probabilidad de que un

rel se cierra independientemente, es de p. Determine la probabilidad de que la corriente pase de R a Q

1

2

3

4

68


Ejercicio

Tres agencias de aduanas A, B y C pretendenexportar 5.000 cajas de manzanas cada una. Sesabe que 1/5 de las cajas de A, y 1/4 de las deB, estn en mal estado. Se juntan todas las cajas( de las tres agencias) , se selecciona una y seobserva que est en mal estado, Cul es laprobabilidad que sea de la agencia A?.

0,44= 4/9

69

24


EjercicioLa probabilidad de que un vehculo tenga un accidente en

Santiago es de 4/9, y la probabilidad de que un vehculo

tengan accidente en Buenos Aires es 8/15. Se elijen al azar un

Vehculo simultneamente en cada ciudad, determine la probabilidad

de que tengan accidentes:

a.- Ambos

b.- Al menos uno

c.- Solo el de Buenos Aires

d.- Solo uno

70


Ejercicio

Si A y B son sucesos Independientes,

entonces, A y B son Independientes?

71


F I N

Nos vemos en Variables Aleatorias

72

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