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Universidad de Antioquia Vicerrectora de Investigacin

VICERRECTORA DE INVESTIGACIN Actualizacin

FICHA TCNICA CONVOCATORA

Da Mes Ao

02 03 2012

La ficha tcnica, de una extensin mxima de seis pginas, debe contener la informacin ms relevante del proyecto y dialogar con las observaciones de los pares evaluadores; ste es el documento que recibe el jurado final del CODI.

Anexe las observaciones de los pares evaluadores.

Ttulo completo del proyecto

Modelizacin, Diseo y Propuesta de Control de Levitador Magntico MIMO mediante Elementos Finitos y Modelizacin de Sistema de Cojinetes Magnticos para Sistema Rotatorio.

Seleccin el rea de conocimiento ms cercana a su investigacin en la que se inscribe el proyecto

Ciencias Agrarias Ciencias Exactas y de la Tierra Ingenieras

X

Ciencias Biolgicas Ciencias Humanas Lingstica Letras y Artes

Ciencias de la Salud Ciencias Sociales Aplicadas Otros. Indique cul

Centro de investigacin que tramita el proyecto Centro de Investigaciones Ambientales y de

Ingeniera.

Grupo de investigacin que avala el proyecto

GEPAR (Grupo de Electrnica de Potencia,

Automatizacin y Robtica)

Cdigo Colciencias del Grupo

ltima clasificacin Colciencias B Ao: 2011

Programa acadmico que apoya el proyecto* Ingeniera Electrnica

Nombre del investigador principal

Juan Esteban Martnez Pabn (ASESOR)

Jos Alejandro Montes Romero.

Documento de identidad

Dependencia del investigador principal Ingeniera Electrnica

Convocatoria a la que se presenta Menor Cuanta

Duracin del proyecto (en meses) 5 meses

Resumen del presupuesto en millones

Rubros

FUENTES DE FINANCIACIN

Total CODI

1

APORTE U. de A.

APORTE EXTERNO(GEPAR)

indique la dependencia o grupo de investigacin

indique la entidad

2

Personal $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Pasantas $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Jvenes inv. Colciencias $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Eventos $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Servicios tcnicos $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Material fungibles $ 0 $ 0 $ 100.000 $ 100.000

Equipos $ 0 $ 0 $ 1.500.000(Computador) $ 1.500.000

Telecomunicaciones $ 0 $ 0 $ (internet) $ 0

Trabajo de campo $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Software $ 0 $ 0 $ 1.400.000(flexpde upgrade from 2D to 3D)

$ 1.400.000

Publicaciones $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Bibliografa $ 0 $ 0 $200.000 $ 200.000

TOTAL $ 0 $ 0 $ 0 $ 3.200.000

*Especialmente para proyectos de investigacin de mediana cuanta

I. MARCO TEORICO

La presente propuesta de investigacin, tal como su ttulo lo indica, est orientada a

obtener un modelo matemtico de un sistema de levitacin magntica usando el mtodo

de Elementos Finitos (MEF, en ingls: FEA, FEM). Generalmente este tipo de sistemas se

modela a partir de dos ejes principales: el primero est relacionado con las leyes de

Newton y la teora electromagntica; el segundo tipo de modelamiento est basado en el

mtodo de los Elementos Finitos. Se propone en el presente trabajo desarrollar un anlisis

basado en el segundo mtodo (MEF) por ser ste de mayor precisin y de mejor ajuste a la

realidad del sistema. Por otra parte resulta de enorme atraccin porque permite al usuario

el aumento de la resolucin en el resultado final, es decir, se puede lograr un resultado

aproximado o una solucin exacta de las ecuaciones que rigen el comportamiento del

sistema en consideracin, adems es llamativo porque contrario a sus homlogos el MEF

respeta la geometra del sistema considerado, permitiendo obtener resultados ms

cercanos al comportamiento real del objeto de anlisis.

Descripcin bsica del mtodo de Elementos Finitos.

En ingeniera, una de las maneras como se describen los sistemas fsicos es a partir de un

modelo matemtico determinado por ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera

nicas para cada situacin. El MEF consiste de una transformacin de tal planteamiento de

clculo diferencial e integral a un problema de forma matricial, es decir, un problema de

algebra lineal fundamentado en las mismas ecuaciones constitutivas iniciales. El mtodo

es fcilmente adaptable a cualquier problema en dos o tres dimensiones y permite la

introduccin de dominios de clculo complejos.

El MEF comienza por dividir el objeto de estudio en un nmero elevado de subdominios

no-intersectantes entre s denominados elementos finitos, al final del proceso de clculo

se obtiene un resultado exacto al de las ecuaciones diferenciales iniciales para un nmero

3

finito de puntos denominados nodos este resultado se interpola al resto del dominio

donde en este caso la solucin ser aproximada. Los nodos forman una red, denominada

malla formada por retculos. Cada uno de los retculos contenidos en dicha malla es un

elemento finito. El conjunto de nodos se obtiene dividiendo la estructura u objeto de

estudio en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volmenes y barras). [9]

Una importante propiedad destacada en el MEF es la convergencia: cuando son

consideradas particiones de elementos finitos sucesivamente ms finas, el resultado

calculado converge rpidamente hacia la solucin exacta del sistema de ecuaciones, a

cambio de un aumento considerable en el nmero de clculos.

Para llevar a cabo un clculo mediante un programa MEF desde el punto de vista de la

programacin algortmica modular se requieren las siguientes tres etapas fundamentales:

1) Preproceso: En esta etapa se definen aspectos como la geometra relacionada con el

objeto de estudio, generacin de la malla en relacin a los nodos, condiciones de

frontera y asignacin de propiedades a los materiales y otras propiedades.

2) Clculo: El MEF es un mtodo que permite obtener resultados cercanos a la

realidad, esta ventaja en parte radica en el hecho de que el MEF multiplica

abundantemente el nmero de clculos y de ecuaciones con base al planteamiento

inicial. Esto exige que adems del mtodo se haga necesario el uso de un paquete o

software que permita agilidad en los clculos, en este proyecto el paquete

considerado es Flexpde.

Se propone Flexpde como software para la simulacin en elementos finitos por las

siguientes razones fundamentalmente:

i. El costo es significativamente inferior al que tienen otros paquetes similares,

e.g. Comsol Multiphysics.

ii. Permite la simulacin de diversos sistemas fsicos tal como lo hacen otros

paquetes similares pero ms costosos. Entre los problemas que permite

simular se encuentran: sistemas electromagnticos, fluidos, transferencia de

calor, reacciones qumicas, difusin, entre otros.

iii. Actualmente se tiene disponible una licencia 2D de Flexpde, se desea en un

futuro con la consecucin de algunos recursos hasta ahora faltantes dar un

paso a la licencia 3D que por razones obvias ofrecera mayores prestaciones

que la actual.

3) Postproceso: Para esta etapa se calculan magnitudes derivadas de los valores

obtenidos para los nodos, tambin tienen lugar operaciones de suavizado,

interpolacin e incluso determinacin de errores de aproximacin. [9]

En la figura 1 apreciamos una interfaz CAD tpica, bidimensional (2D), con simetra axial,

que resulta al aplicar el mtodo FEM con el paquete de simulacin Flexpde. Esta figura

4

proviene entonces de aplicar las tres etapas anteriormente descritas. El problema

considerado aqu fue la simulacin de un sistema SISO de levitacin con esfera.

Figura 1. Simulacin en Flexpde para el sistema SISO para levitador magntico con esfera. Vase literal A

a continuacin. [1]

II. MODELOS DE SISTEMAS DE LEVITACION MAGNETICA.

En la fecha actual, la levitacin magntica es por s misma atractiva por el solo impacto

visual que produce cualquier demostracin que la relacione. Pero es conveniente resaltar

en este punto varias de sus aplicaciones fundamentales, que la hacen un campo de estudio

atractivo:

En el campo educacional los sistemas de levitacin magntica permiten exponer

conceptos bsicos y avanzados de teora de control, teora y diseo

electromagntico, dinmica, entre otras. [2]

En el mbito industrial estos sistemas se extienden en el amplio campo de los

sistemas rotatorios de donde surgen aplicaciones como son los cojinetes

magnticos, sistemas de transporte de altas prestaciones, refrigeracin magneto

calrica. [2]

5

Actualmente existen diversos desarrollos de sistemas de levitacin que pueden ser

enmarcados en la teora de control moderno conforme a sus entradas y salidas y que

sirven como un punto de apoyo para el desarrollo de la presente propuesta, de tales

desarrollos se har un breve comentario a continuacin.

A. SISTEMA SISO

El sistema SISO (de las siglas en ingls: una entrada, una salida) tiene importancia en este

desarrollo por cuanto es el sistema bsico que permite hacer una extensin al ms

complejo sistema MIMO (mltiples entradas, mltiples salidas).

Figura 2: Componentes bsicos del levitador magntico de esfera. [2]

Hurley y Wlfle proponen un modelo SISO donde el objeto a levitar es una esfera de acero

slida, tal como se aprecia en la figura 2. De acuerdo a este modelo la inductancia de la

bobina vara de acuerdo a la posicin de la bola de la siguiente manera:

L1 es la inductancia cuando no existe la bola en el sistema, L1+L0 es la inductancia cuando

la esfera hace contacto con la bobina, de modo que la inductancia de la bobina est

oscilando entre L1 y L1+L0. As que L0 es el mximo exceso de inductancia que produce la

esfera.

En el modelo se define adems:

W= Co-energa magntica del sistema, es decir la energa inherente al mismo.

i= Corriente que circula por la bobina.

x= Separacin entre la bobina y la esfera.

a= Se denomina constante de longitud en este modelo.

6

(1)

(2)

Resultando en este modelo que la fuerza f que acta sobre la esfera est dada por:

(3)

Oliveira [4] desarrolla un modelo SISO similar al de Hurley y su equipo pero en lugar de

utilizar un modelo basado en la funcin exponencial utiliza un funcin cuadrtica

dependiente de la distancia. Arrendondo [5] y su grupo de trabajo proponen un modelo

similar para la fuerza magntica al desarrollado por Oliveira [4] pero lo aplica al ms

complejo sistema MIMO rotatorio.

B. SISTEMA MIMO (Sistema a modelar en MEF)

a) Con discos cilndricos de neodimio.

En la figura 3 se muestra el esquema de un Levitador magntico MIMO, donde los objetos

a levitar son dos discos cilndricos, y los actuadores son la bobina superior y la bobina

inferior. Este sistema sirve como una primera aproximacin a sistema de cojinetes

magnticos.

Dado que los objetos levitados son discos, las fuerzas magnticas (fmb) son proporcionales

a la corriente y no al cuadrado de la magnitud de esta, como se muestra en el siguiente

conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden que representan la dinmica de este

sistema [3] obtenido mediante el modelo amperiano: aqu las variables de estado son x1

como la posicin del imn inferior respecto a la bobina superior, x3 es la velocidad de este

imn, x2 es la posicin del imn superior con respecto a la bobina inferior y x4 la velocidad

de este ltimo imn. Adems en este modelo se representan los magnetos como corrientes

sobre la superficie externa de los mismos sin considerar la geometra real que les compete,

por lo que se desea modelar el sistema mediante elementos finitos el cual s incluye la

geometra como funcin del resultado final.

En el clculo de fuerzas el mtodo FEM utiliza mtodos como son: el Tensor de Tensiones

de Maxwell, Trabajo Virtual y Fuerza de Lorentz [10].

7

Figura 3: Levitador magntico MIMO de discos de neodimio. [1]

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

8

b) Con esferas de Neodimio. Es otro ejemplo que puede ser interesante ya que

muestra como la geometra del objeto levitado afecta el modelo. En el caso de la esfera

las ecuaciones tienen trminos cuadrticos cosa que no ocurre cuando son discos. Esto

es una diferencia importante con la que se busca explorar qu efectos trae en el

comportamiento del sistema controlado y no controlado.

Este referente [7] utiliza para disear un control difuso Tagaki Sugeno, una planta

similar al sistema MIMO con discos tal como se expuso en el anterior literal pero aqu

la diferencia consiste en que este sistema es MISO (mltiples entradas, una salida) y el

objeto levitado es una esfera. El modelo no lineal del sistema muestra que las fuerzas

magnticas tambin estn modeladas mediante exponenciales similar al modelo

encontrado por los autores de la referencia [3] con la diferencia que las fuerzas son

proporcionales al cuadrado de la corriente que circula por las bobinas como se puede

observar en las ecuaciones 17 y 18 para las fuerzas fem1 y fem2 donde x3 y x4 son las

corrientes para las bobinas superior e inferior respectivamente. As que este referente

[7] puede ser til para disear un controlador difuso para el sistema de levitacin

magntico MIMO mostrado en al figura 3

Figura 4: diagrama de control para levitador con esfera. [2]

(13)

(14)

(15)

(16)

9

(17)

(18)

(19) [7]

C. SISTEMA MIMO ROTATORIO (Similar a motor elctrico con cojinetes

magnticos activos)

Se tiene en cuenta en este literal lo concerniente a cojinetes magnticos por cuanto es

una factible y llamativa aplicacin industrial que se fundamenta en la teora de

levitacin magntica a la que apunta el presente proyecto.

Los cojinetes magnticos son rodamientos que utilizan una fuerza magntica para

sostener partes de mquinas, sin tener contacto real con la parte de s mismo

mientras la mquina est en funcionamiento. La fuerza magntica deber ser lo

suficientemente fuerte que permita levitar la pieza de la mquina involucrada,

adems de que este se mueva mientras se encuentra suspendido en el aire. Con lo

anterior se logra eliminar la friccin entre la pieza y la mquina misma, adems de

lograr un ahorro considerable en mantenimiento de la mquina y gastos de

lubricacin de la misma.

Sobre el sistema citado en este literal se desean proponer los primeros modelos en

MEF para una planta ms cercana al caso de un motor elctrico, e.g motor de

induccin. Resulta llamativo este desarrollo debido a que una de las aplicaciones de

los cojinetes magnticos activos es en motores elctricos con el fin de reducir la

friccin en la rotacin y con ello aumentar la eficiencia de funcionamiento del

equipo.

En Arredondo [5] se presenta el modelamiento de un sistema comercial para

educacin, de suspensin magntica para un sistema rotatorio, que se muestra en la

figura 5. Esta modelizacin se realiza mediante elementos finitos. En la figura 6 se

ilustra un esquema del sistema mencionado donde se pueden apreciar los dos

cojinetes magnticos, en este corte longitudinal del objeto levitado que es un eje se

puede concluir que la configuracin guarda similitud con la configuracin del

sistema MIMO mostrado en la figura 3 pero ahora el objeto a levitar adems de ser

cilndrico (eje) se ubica longitudinalmente y se hace rotar mediante aire comprimido.

10

Figura 5: prototipo MBC 500 rotor dynamics. [4]

Figura6: Esquema interno del MBC 500. [4]

III. PROPUESTAS DE CONTROLADORES INDICANDO VENTAJAS Y POSIBLES

DESVENTAJAS:

Se estudiar la conveniencia de los siguientes controladores para los el sistema MIMO

uniaxial de levitacin magntica (figura 3).

A. Control PID y adaptativo para sistema rotatorio. [5]

Permite manipulacin de perturbaciones.

B. Control por modos deslizantes [6]

Aporta robustez ante perturbaciones cuando estas tienen cotas conocidas.

C. Control difuso Takagi Sugeno [7]

Alta tolerancia al ruido, permite gran precisin, no se requiere un modelo preciso del

sistema a controlar, permite evaluar gran nmero de variables, alta velocidad de

respuesta.

11

Cabe reconocer que existe un estrecho compromiso entre velocidad, precisin y

flexibilidad lo cual puede incrementar costos.

D. Control con Filtro Kalman.[8]

Evita la influencia de posibles cambios estructurales en la estimacin debido a que tiene

una memoria del proceso de control desde su principio. Permite hacer predicciones sobre

el estado del modelo tanto pasadas, presentes y futuras.

Exige un conocimiento amplio en teora de probabilidades.

DESCRIPCIN DEL PROYECTO

1. LNEA, PROGRAMA O AGENDA DE INVESTIGACIN EN LA QUE SE

INSCRIBE EL PROYECTO

Este proyecto se inscribe en la lnea de investigacin de modelamiento de sistemas

dinmicos fsicos mediante elementos finitos como tambin en el control de estos

sistemas.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La levitacin magntica es til en los sistemas dinmicos ya que disminuye la

friccin y por tanto permite la optimizacin de estos sistemas como en los volantes

(para el almacenamiento de energa), ventiladores, motores, bombas elctricas y

sistemas de transporte. Los sistemas electromagnticos y mecnicos que realizan

esta funcin con frecuencia se les denomina en la literatura cojinetes magnticos

activos. El anlisis y modelado de estos sistemas es posible realizarlo con gran

eficiencia mediante el mtodo numrico de elementos finitos como lo demuestra la

literatura y la oferta de software, entre ellos Flexpde y Comsol Multiphysics. Este

modelamiento numrico permitira tener los modelos de los sistemas dinmicos con

mucha mayor exactitud a su geometra real y parmetros que los que ofrece con

frecuencia el modelamiento analtico, as pues el tipo de modelado propuesto

conducira a tener los sistemas deseados modelados (denominada planta en el argot

de sistemas de control) en una plataforma que luego se podra interfazar con las

respectivos algoritmos de control, dando lugar a simulaciones ms cercanas a la

realidad.

Este tipo de proyecto puede fcilmente conducir a iniciativas de mayor

envergadura y presupuesto como es el anlisis y diseo de sistemas de

refrigeracin magneto calrica.

Nuestro propsito con este proyecto es la realizacin de investigaciones

interdisciplinarias que permitan una mayor apropiacin del conocimiento como

12

tambin proyectos ms acordes a las necesidades regionales, nacionales e

internacionales tal como lo propone el plan de desarrollo de la universidad de

Antioquia 2006 2016.

3. OBJETIVOS DEL PROYECTO

Objetivo General:

Disear Levitador magntico MIMO mediante Simulaciones en Elementos Finitos

(Flexpde) y Propuesta de control de este sistema dinmico.

Objetivos Especficos:

Modelar sistema MIMO de levitacin magntica (figura 3) mediante

simulaciones en FEM (FLEXPDE)

Comparar este modelamiento con el modelamiento terico realizado en el

pasado (mtodo amperiano).

Mediante el modelo obtenido proponer un diseo de las dimensiones de las

bobinas, magnetos y distancias entre los mismos.

Proponer sistema de Control para el sistema MIMO (figura 3) diseado en el

primer objetivo especfico.

Proponer Modelamiento en Flexpde basada en objetivos 1 y 2 para un

sistema de cojinetes magnticos activos AMB (Active magnetic bearing) de

un sistema rotatorio.

4. METODOLOGA PROPUESTA

Determinacin del modelo del Levitador magntico MIMO mostrado en la

figura 3 mediante el software Flexpde basado en el mtodo de elementos

finitos.

Consulta del estado del arte de la modelizacin de los sistemas de levitacin

magntica MIMO mostrados en la figura 3 y para sistemas rotantes (motores

elctricos)

Determinacin del modelo analtico mediante los resultados dados por

elementos finitos.

Extrapolacin de los resultados del primer sistema de levitacin magntica

(figura 3) a los sistemas de levitacin magntica con ejes rotantes.

Estudio de varios controladores, seleccin de uno de ellos y simulacin con

el modelo obtenido.

5. RESULTADOS ESPERADOS

13

Modelo de la planta de levitacin magntica mostrado en la figura 3

Modelo de una planta de levitacin magntica con eje rotante similar a un

motor elctrico seleccionado.

Simulaciones en Matlab del sistema de control seleccionado con los

modelos no lineales y/o lineales de las plantas modelizadas.

PRESUPUESTO GLOBAL DEL PROYECTO

Rubros

FUENTES DE FINANCIACIN

Total CODI

1

UDEA: indique la dependencia o grupo de investigacin

Recursos externos:indique la entidad

Rec. Fresco

Rec. Especie Rec. Fresco

Rec. Especie

Personal $ 0 $ 0 $1.450.000 $ 0 $ 0 $1.450.000

Pasantas $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Jvenes investigadores Colciencias

$ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Eventos $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Servicios tcnicos $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Material fungibles $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 100.000

Equipos $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 1.900.000

Telecomunicaciones $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Trabajo de campo $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Software $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 3.590.000

Publicaciones $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0

Bibliografa $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 100.000

SUBTOTAL $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 7.140.000

Administracin 3% $ 0 $ 214.200

TOTAL $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 7.354.200

DESCRIPCIN DE LOS GASTOS EN PERSONAL

NOMBRE DEL INVESTIGADOR

FUNCIN EN EL PROYECTO

DEDICACIN

FUENTES

horas/se CODI UDEA ENTIDAD TOTAL

14

DESCRIPCIN DE EQUIPOS

EQUIPO JUSTIFICACIN

FUENTES

TOTAL CODI

UDEA ENTIDAD

Rec. Fresco

Rec. Especie

Rec. Fresco

Rec. Especie

Computador

Computador para

instalar el software

de Elementos finitos

y realizar todo el

proceso de diseo y

simulacin $1.500.000 $ 1.500.000

Monitor Monitor de

dimensiones

apropiadas para

CAD $400.000

$ 400.000

$ 0

$ 0

$ 0

$ 0

TOTAL $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 1.900.000

mana Rec. Fresco

Rec. Especie Rec. Fresco

Rec. Especie

Juan Esteban Martnez Pabn

Asesor de Proyecto de Grado de Investigacin 4 $1.450.000 $ 1.450.000

Jos Alejandro Montes Romero

Estudiante en Formacin No 1 10 $ 0

$ 0

TOTAL 43 $ 0 $ 0 $ 1.450.000 $ 0 $ 0 $ 1.450.000

15

DESCRIPCIN DE OTROS RUBROS

OTROS RUBROS JUSTIFICACIN

FUENTES

TOTAL CODI

UDEA ENTIDAD

Rec. Fresco

Rec. Especie

Rec. Fresco

Rec. Especie

Material fungible

Papel, tinta de

impresora,

lapiceros, etc.

$ 100,000 $ 100,000

Seguros de equipos $ 0

Telecomunicaciones y acceso a Internet

$ 0

Trabajo de campo $ 0

Software FEM Flexpde 6.0 2D $ 1.790.000 $ 1.790.000

Actualizacin Software FEM (tentativo)

Flexpde 6.0 2D a 3D

$ 1,800,000 $ 1,800,000

Bibliografa

Libros necesarios

para el estudio

terico inicial.

$ 100.000 $ 100.000

$ 0

TOTAL $ 6,000,000 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 3,790,000

16

6. CRONOGRAMA

Actividad

1

2

3

4

5

Identificacin de teoras y herramientas

computacionales para la modelacin

del sistema electromagntico y

mecnico

Modelacin del sistema dinmico.

Modelacin y simulacin del diseo de

los sistemas de controles lineales y/o no

lineales.

Optimizacin

Redaccin de Informes

mensuales

Elaboracin de artculo para publicar

7. COMPROMISOS Y ESTRATEGIA DE COMUNICACIN

Los compromisos del estudiante consisten en cumplir con los objetivos planteados

para este proyecto y publicar los resultados obtenidos en una publicacin C, B A

en el boletn que proyecta publicar el grupo GEPAR en forma seriada y con ISSN.

8. FUNCIONES DEL ESTUDIANTE

Realizar los objetivos de este proyecto con la asesora del profesor.

17

9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS (Opcional)

1. Tomado de la presentacin del seminario realizado en el Proyecto codi mc08-1-01.

Investigador principal: Juan E. Martnez. Joven investigador: Carol L. Bedoya.

2. W. G. Hurley y W. H. Wlfle. Electromagnetic Design of a Magnetic Suspension

System. IEEE Transactions on education. Vol 40, 1997. pp 124 130.

3. Juan E. Martnez y Carol L. Bedoya. Modelo dinmico no lineal y lineal para una

planta de levitacin magntica uniaxial a partir de principios magnetostticos. En

proceso de Evaluacin Revista de Ingeniera UdeA, 2012.

4. V. Oliveira, E. Costa, and J. Vargas. Digital Implementation of a Magnetic

Suspension Control System for Laboratory Experiments. IEEE transactions on

education, vol. 42, no. 4, noviembre 1999.

5. Arredondo, J. Jugo, S. Alonso-Quesada, I. Lizarraga, y V. Etxebarria. Modelizacin,

Anlisis y Control de Sistemas de Cojinetes Magnticos Activos. Revista

Iberoamericana de Automtica e Informtica Industrial. Vol. 5, Nm. 4, Octubre 2008,

pp. 17-27.

6. M.Aliasghary, A.Jalilvand, M. Teshnehlab, M. Aliyari Shoorehdeli. Sliding Mode

Control of Magnetic Levitation System Using Radial Basis Function Neural

Networks. IEEE, 2008.

7. Claudia-Adina Dragos, Stefan Preitl , Radu-Emil Precup , Raul-Gherasim Bulzan,

Claudiu Pozna y Jozsef K. Tar. Takagi-Sugeno Fuzzy Controller for a Magnetic

Levitation System Laboratory Equipment. IEEE International Joint Conferences on

Computational Cybernetics and Technical Informatics (ICCC-CONTI 2010) May

27-29, 2010.

8. Jos Gregorio Daz, Ana Mara Mejas y Francisco Arteaga. Aplicacin de los

Filtros de Kalman a sistemas de control. Facultad de Ingeniera UC.

9. Wikipedia. Mtodo de los elementos finitos [en lnea].

. [Citado en 4 de

noviembre de 2011].

10. AC/DC user guide. Comsol. Versin 3.5. pag. 55. 2008.