Resumen y repasoResumenUna forma práctica de describir objetos en movimiento con-siste en analizar su velocidad o su aceleración. En este capí-tulo se presentaron diversas aplicaciones que incluyen esas cantidades físicas.

• La velocidad media es la distancia recorrida por unidad de tiempo, y la aceleración media es el cambio de veloci-dad por unidad de tiempo

v = a =vf - v0

Las definiciones de velocidad y aceleración conducen al establecimiento de cinco ecuaciones básicas correspon-dientes al movimiento uniformemente acelerado:

f v 0 + VAX =

V X )

vf = v0 + at

1 .x = v0t H— a f

2

1 .x = vf r a f

2

2ax = vf -~ Vo

Si se conocen tres de los cinco parámetros (v0, vf a, x.y t), los otros dos se determinan a partir de una de estas ecuaciones.Para resolver problemas de aceleración, lea el problema analizando cuáles son los tres parámetros proporcionados y cuáles son los dos desconocidos. Puede escribir colum-nas como éstas:

Dados: a = 4 m s2

x = 500 m

t = 20 s

Encontrar: v = ?v = 9

Este procedimiento le ayuda a elegir la ecuación apropia-da. Recuerde que debe elegir una dirección como positiva y aplicar sistemáticamente este criterio en toda la resolu-ción del problema.

Aceleración gravitacional: los problemas relativos a la aceleración gravitacional pueden resolverse de forma si-milar a otros problemas de aceleración. En este caso, uno de los parámetros se conoce de antemano:

a = g = 9.8 m/s2 o 32 ft/s2

El signo de la aceleración gravitacional es + o —, según se elija la dirección positiva hacia arriba o hacia abajo. Movimiento de proyectiles', la clave para resolver pro-blemas que incluyen movimiento de proyectiles es tratar el movimiento horizontal y el vertical por separado. La mayor parte de los problemas de proyectiles se resuelven utilizando el siguiente procedimiento:• Descomponga la velocidad inicial v0 en sus componen-

tes x y y:

vo, = vo cos V0v = V0Sel1

Las componentes horizontal y vertical de su posición en cualquier instante están dadas por

Las componentes horizontal y vertical de su velocidad en cualquier instante están dadas por

v = v, +y o?

• Es posible obtener la posición y la velocidad finales a partir de sus componentes.

Un aspecto importante que es necesario recordar al aplicar estas ecuaciones es que deben ser congruentes en su conversión de signos y unidades.

Conceptos claveaceleración 121 aceleración gravitacional 121 aceleración uniforme (aceleración

constante) 114 alcance 129

desplazamiento 121 inercia 121 proyectil 126 rapidez constante 112 rapidez instantánea 113

rapidez media 112 velocidad 121 velocidad instantánea 113

132

Preguntas de repaso6.1. Explique con claridad la diferencia entre los térmi-

nos rapidez y velocidad. Un piloto de carreras de automóviles recorre 500 vueltas en una pista de 1 mi en un tiempo de 5 h. ¿Cuál fue su rapidez media? ¿Cuál fue su velocidad media?

6.2. Un conductor de autobús recorre una distancia de 300 km en 4 h. Al mismo tiempo, un turista recorre los mismos 300 km en un automóvil, pero se detie-ne y hace dos pausas de 30 minutos. Sin embargo, el turista llega a su destino en el mismo instante que el conductor del autobús. Compare la rapidez media de los dos conductores.

6.3. Presente varios ejemplos de movimiento donde la rapidez sea constante pero la velocidad no.

6.4. Una bola de boliche desciende en una canal con incli-nación de 30° una distancia corta y después se nivela unos cuantos segundos para iniciar finalmente un as-censo en otro tramo inclinado 30°. Comente la acelera-ción de la bola a medida que pasa por cada segmento de su trayecto. ¿La aceleración es la misma cuando la pelota sube por el tramo inclinado que cuando baja con esa misma inclinación? Suponga que la bola recibe un impulso inicial en la parte superior del primer tramo inclinado y después viaja libremente a mayor veloci-dad. ¿Será diferente la aceleración en cualquiera de los segmentos?

6.5. Una piedra es arrojada verticalmente hacia arriba. Asciende hasta la máxima altura, regresa al punto de partida y continúa descendiendo. Comente los signos de su desplazamiento, velocidad y acelera-ción en cada punto de su trayectoria. ¿Cuál es su aceleración cuando la velocidad llega a cero en el punto más alto?

ProblemasSección 6.1 Rapidez y ve loc idad

6.1. Un automóvil recorre una distancia de 86 km a unarapidez media de 8 m/s. ¿Cuántas horas requirió para completar el viaje? Resp. 2.99 h

6.2. El sonido viaja con una rapidez media de 340 m/s. El relámpago que proviene de una nube causante de una tormenta distante se observa en forma casi inmediata. Si el sonido del rayo llega a nuestro oído 3 s después, ¿a qué distancia está la tormenta?

6.3. Un cohete pequeño sale de su plataforma en direc-ción vertical ascendente y recorre una distancia de 40 m antes de volver a la Tierra 5 s después de que fue lanzado. ¿Cuál fue la velocidad media de su re-corrido? Resp. 16 m /s

6.4. Un automóvil transita por una curva en forma de U y recorre una distancia de 400 m en 30 s. Sin embar-go, su posición final está a sólo 40 m de la inicial.

6 .6 . Cuando no existe la resistencia del aire, un proyectil requiere el mismo tiempo para llegar al punto más alto que para regresar al punto de partida. ¿Seguirá siendo válida esta afirmación si la resistencia del aire no es insignificante? Trace diagramas de cuerpo libre para cada situación.

6.7. ¿El movimiento de un proyectil disparado a cier-to ángulo es un ejemplo de aceleración uniforme? ¿Qué sucede si es disparado verticalmente hacia arriba o verticalmente hacia abajo? Explique.

6.8. ¿En qué ángulo se debe lanzar una pelota de béisbol para lograr el máximo alcance? ¿Con qué ángulo debe lanzarse para lograr la máxima altura?

6.9. Un cazador dispara directamente una flecha contra una ardilla que está en la rama de un árbol y el ani-mal cae en el instante que la flecha sale del arco. ¿Lesionará la flecha a la ardilla? Trace las trayecto-rias que cabe esperar. ¿En qué condiciones no heri-ría la flecha a la ardilla?

6.10. Un niño deja caer una pelota desde la ventanilla de un automóvil que viaja con una rapidez constante de 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad inicial de la pelota en relación con el suelo? Describa el movimiento.

6.11. Un coche de juguete es arrastrado sobre el suelo con ra-pidez uniforme. Un resorte unido al coche lanza una canica verticalmente hacia arriba. Describa el movimien-to de la canica en relación con el suelo y con el coche.

6.12. Explique el ajuste que es necesario realizar en la mira de un rifle cuando la distancia del blanco se va incrementando.

6.13. Explique el razonamiento en que se basa el uso de trayectorias altas o bajas para realizar las patadas de despeje en un juego de fútbol americano.

¿Cuál es la rapidez media y cuál es la magnitud de la velocidad media?

6.5. Una mujer camina 4 min en dirección al Norte a una velocidad media de 6 km/h; después camina hacia el Este a 4 km /h durante 10 min. ¿Cuál es su rapidez media durante el recorrido? Resp. 4.57 km/h

6 .6 . ¿Cuál es la velocidad media de todo el recorrido descrito en el problema 6.5?

6.7. Un automóvil avanza a una rapidez media de 60m i/h durante 3 h y 20 min. ¿Cuál fue la distancia recorrida? Resp. 200 mi

6 .8 . ¿Cuánto tiempo lleva recorrer 400 km si la rapidez media es de 90 km/h?

6.9. Una canica rueda hacia arriba una distancia de 5 m en una rampa inclinada y luego se detiene y vuelve has-ta un punto localizado 5 m más abajo de su punto de partida. Suponga que x 0 cuando t = 0. Todo

Capítu lo 6 Resumen y repaso 133

el recorrido lo realiza en solamente 2 s. ¿Cuál fue la rapidez media y cuál fue la velocidad media?

Resp. 7.5 m /s, —2.5 m /s

Sección 6.3 Aceleración uniforme

6.10. El extremo de un brazo robótico se mueve hacia la derecha a 8 m/s. Cuatro segundos después, se mue-ve hacia la izquierda a 2 m/s. ¿Cuál es el cambio de velocidad y cuál es la aceleración?

6.11. Una flecha se acelera de cero a 40 m /s en 0.5 s quepermanece en contacto con la cuerda del arco. ¿Cuál es la aceleración media? Resp. 80 m /s2

6.12. Un automóvil se desplaza inicialmente a 50 km/h y acelera a razón de 4 m /s2 durante 3 s. ¿Cuál es la rapidez final?

6.13. Un camión que viaja a 60 m i/h frena hasta detener-se por completo en un tramo de 180 ft. ¿Cuáles fue-ron la aceleración media y el tiempo de frenado?

Resp. —21.5 f t /s 2, 4.09 s6.14. En la cubierta de un portaaviones, un dispositivo de

frenado permite detener un avión en 1.5 s. La acele-ración media fue de 49 m /s2. ¿Cuál fue la distancia de frenado? ¿Cuál fue la rapidez inicial?

6.15. En una prueba de frenado, un vehículo que viaja a 60 km /h se detiene en un tiempo de 3 s. ¿Cuáles fueron la aceleración y la distancia de frenado?

Resp. -5 .5 6 m /s2, 25.0 m6.16. Una bala sale del cañón de un rifle de 28 in a 2700

ft/s. ¿Cuáles son su aceleración y su tiempo dentro del cañón?

6.17. A la pelota de la figura 6.13 se le imparte una ve-locidad inicial de 16 m /s en la parte más baja de un plano inclinado. Dos segundos más tarde sigue moviéndose sobre el plano, pero con una velocidad de sólo 4 m/s. ¿Cuál es la aceleración?

Resp. —6.00 m /s 2

6.18. En el problema 6.17, ¿cuál es el desplazamiento máximo desde la parte inferior y cuál es la veloci-dad 4 s después de salir de la parte inferior?

6.19. Un tren monorriel que viaja a 22 m /s tiene que de-tenerse en una distancia de 120 m. ¿Qué aceleración media se requiere y cuál es el tiempo de frenado?

Resp. —2.02 m /s 2, 10.9 s

Sección 6.7 G ravedad y cuerpos en caída libre

6.20. Una pelota en estado de reposo se suelta y se deja caer durante 5 s. ¿Cuáles son su posición y su velo-cidad en ese instante?

6.21. Se deja caer una piedra a partir del estado de reposo. ¿Cuándo alcanzará un desplazamiento de 18 m por debajo del punto de partida? ¿Cuál es su velocidad en ese momento? Resp. 1.92 s, —18.8 m /s

6.22. Una mujer suelta una pesa desde la parte más alta de un puente y un amigo, que se encuentra abajo, me-dirá el tiempo que ocupa el objeto en llegar al agua en la parte inferior. ¿Cuál es la altura del puente si ese tiempo es de 3 s?

6.23. A un ladrillo se le imparte una velocidad inicial de 6 m /s en su trayectoria hacia abajo. ¿Cuál será su velo-cidad final después de caer una distancia de 40 m?

Resp. 28.6 m /s hacia abajo6.24. Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba y

regresa a su posición inicial en 5 s. ¿Cuál es su ve-locidad inicial y hasta qué altura llega?

6.25. Una flecha se dispara verticalmente hacia arriba conuna velocidad inicial de 80 ft/s. ¿Cuál es su altura máxima? Resp. 100 ft

6.26. En el problema 6.25, ¿cuáles son la posición y la velocidad de la flecha después de 2 y de 6 s?

6.27. Un martillo es arrojado verticalmente hacia arribaen dirección a la cumbre de un techo de 16 m de al-tura. ¿Qué velocidad inicial mínima se requirió para que llegara ahí? Resp. 17.7 m /s

Sección 6 .9 Proyección horizon ta l

6.28. Una pelota de béisbol sale despedida de un bate con una velocidad horizontal de 20 m/s. En un tiempo de 0.25 s, ¿a qué distancia habrá viajado horizontal-mente y cuánto habrá caído verticalmente?

6.29. Un avión que vuela a 70 m /s deja caer una caja de provisiones. ¿Qué distancia horizontal recorrerá la caja antes de tocar el suelo, 340 m más abajo?

Resp. 583 m6.30. En una explotación maderera, los troncos se des-

cargan horizontalmente a 15 m /s por medio de un conducto engrasado que se encuentra 20 m por en-cima de un estanque para contener madera. ¿Qué distancia recorren horizontalmente los troncos?

6.31. Una bola de acero rueda y cae por el borde de una mesa desde 4 ft por encima del piso. Si golpea el suelo a 5 ft de la base de la mesa, ¿cuál fue su velo-cidad horizontal inicial? Resp. vQx = 10.0 f t/s

6.32. Una bala sale del cañón de un arma con una veloci-dad horizontal inicial de 400 m/s. Halle los despla-zamientos horizontal y vertical después de 3 s.

6.33. Un proyectil tiene una velocidad horizontal inicialde 40 m /s en el borde de un tejado. Encuentre las componentes horizontal y vertical de su velocidad después de 3 s. Resp. 40 m /s, —29.4 m /s

134 Capítu lo 6 Resumen y repaso

Sección 6.10 El problema másgeneral de las trayectorias

6.34. A una piedra se le imprime una velocidad inicial de 20 m /s a un ángulo de 58°. ¿Cuáles son sus despla-zamientos horizontal y vertical después de 3 s?

6.35. Una pelota de béisbol sale golpeada por el bate con una velocidad de 30 m/s a un ángulo de 30°. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su veloci-dad después de 3 s? Resp. 26.0 m/s, -1 4 .4 m /s

6.36. En el caso de la pelota de béisbol del problema 6.35, ¿cuál es la altura máxima y cuál es el alcance?

6.37. Una flecha sale del arco con una velocidad inicial de 120 ft/s a un ángulo de 37° respecto a la horizontal. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su desplazamiento al cabo de dos segundos?

Resp. x = 192 ft, y = 80.4 ft

*6.38. En el problema 6.37, ¿cuáles son la magnitud y la di-rección de la velocidad de la flecha después de 2 s?

*6.39. En la figura 6.14, una pelota de golf sale del punto de partida, al ser golpeada, con una velocidad de 40 m /s a 65°. Si cae sobre un green ubicado 10 m más arriba que el punto de partida, ¿cuál fue el tiempo que permaneció en el aire y cuál fue la distancia ho-rizontal recorrida respecto al palo?

Resp. 7 .11 s, 120 m *6.40. Un proyectil sale disparado del suelo con una ve-

locidad de 35 m /s a un ángulo de 32°. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

*6.41 . El proyectil del problema 6.40 se eleva y cae, gol-peando una cartelera de anuncios instalada 8 m por encima del suelo. ¿Cuál fue el tiempo de vuelo y qué distancia horizontal máxima recorrió el proyectil?

Resp. 3.29 s, 97.7 m

Problemas adicionales6.42. Un cohete surca el espacio a 60 m /s y entonces re-

cibe una aceleración repentina. Si su velocidad se incrementa a 140 m /s en 8 s, ¿cuál fue su acelera-ción media y qué distancia recorrió en este tiempo?

6.43. Un vagón de ferrocarril parte del reposo y desciende libremente por una pendiente. Con una aceleración media de 4 ft/s2, ¿cuál será su velocidad al cabo de 5 s? ¿Qué distancia habrá recorrido en ese tiempo?

Resp. 20 ft/s, 50 ft *6.44. Un objeto es arrojado horizontalmente a 20 m/s. Al

mismo tiempo, otro objeto, ubicado 12 m más aba-jo, se deja caer desde el reposo. ¿En qué momento chocarán ambos y a qué distancia se hallarán abajo del punto de partida?

6.45. Un camión que transita a una velocidad inicial de30 m /s se detiene por completo en 10 s. ¿Cuál será la aceleración del vehículo y cuál fue la distancia de frenado? Resp. -3 .0 0 m /s2, 150 m

6.46. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 23 m/s. ¿Cuáles serán sus posiciones y sus velocidades después de 2, de 4 y de 8 s?

6.47. Una piedra se arroja verticalmente hacia abajo des-de la parte más alta de un puente. Al cabo de 4 se-gundos llega al agua que corre abajo. Si la velocidad final fue de 60 m/s, ¿cuál fue la velocidad inicial de la piedra y cuál es la altura del puente?

Resp. v0 = 20.8 m /s hacia abajo; y = 162 m6.48. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una

velocidad inicial de 80 ft/s. ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de (a) 1 s, (b) 3 s y (c) 6 s?

6.49. Un avión que vuela horizontalmente a 500 mi/h suelta un paquete. Al cabo de cuatro segundos, el pa-quete llega al suelo. ¿Cuál era la altitud del avión?

Resp. +256 ft6.50. En el problema 6.49, ¿cuál fue el alcance horizontal

del paquete arrojado y cuáles son las componentes de su velocidad final?

6.51. El green de un campo de golf está a 240 ft horizon-talmente y 64 ft verticalmente del punto donde el palo golpea una pelota. ¿Cuáles deben ser la magni-tud y la dirección de la velocidad inicial si la pelota llega al green en este lu^ar después de 4 s?

Resp. 100 ft/s, 53.1°

Capítulo 6 Resumen y repaso 135

Preguntas para la reflexión crítica6.52. Una larga franja de pavimento tiene marcas a interva-

los de 10 m. Los estudiantes usan cronómetros para registrar los tiempos en que un automóvil pasa por cada marca. Así han obtenido los datos siguientes:

Distancia, m 0 10 20 30 40 50Tiempo, s 0 2.1 4.2 6.3 8.4 10.5

Dibuje una gráfica que represente las distancias en el eje y y los tiempos en el eje x. ¿Cuál es el significado de la pendiente de esta curva? ¿Cuál es la rapidez media del vehículo? ¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia es igual a 34 m? ¿Cuál es la aceleración del automóvil?

Resp. La pendien te es v, 4.76 m /s, 7.14 s, 0

6.53. Un astronauta intenta determinar la gravedad de la Luna dejando caer una herramienta desde una altu-ra de 5 m. Los datos siguientes fueron registrados electrónicamente.

Altura, m 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0Tiempo, s 0 1.11 1.56 1.92 2.21 2.47

Trace una gráfica con estos datos. ¿Es una línea rec-ta? ¿Cuál es la rapidez media durante toda la caída? ¿Cuál es la aceleración? ¿Cómo son estos resultados en comparación con los de la gravedad de la Tierra?

6.54. Un automóvil se desplaza inicialmente hacia el Norte a 20 m/s. Después de recorrer una distancia de 6 m, el vehículo pasa por el punto A, donde su velocidad sigue siendo en dirección Norte, pero se ha reducido a 5 m/s. (a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración del vehículo? (b) ¿Cuánto tiempo se requirió? (c) Si la aceleración se mantiene constante, ¿cuál será la velocidad del ve-hículo cuando regrese al punto A lResp. (a) 31.2 m /s2, Sur; (b) 0.48 s; (c) - 5 m /s

*6.55. Una pelota que se desliza hacia arriba por una pen-diente se halla inicialmente a 6 m de la parte más baja de dicha pendiente y tiene una velocidad de 4 m/s. Cinco segundos después se encuentra a 3 m de la parte más baja. Si suponemos una aceleración constante, ¿cuál fue la velocidad media? ¿Cuál es el significado de una velocidad media negativa? ¿Cuá-les son la aceleración media y la velocidad final?

*6.56. Se ha calculado que la aceleración debida a la grave-dad en un planeta distante equivale a la cuarta parte del valor de la gravedad en la Tierra. ¿Significa esto que si se deja caer una pelota desde una altura de 4 m en ese planeta, caerá al suelo en la cuarta parte del tiempo que demora en caer en la Tierra? ¿Cuáles serían los tiem-pos de caída de la pelota en ese planeta y en la Tierra?

Resp. t = 1 .8 1 s, tT = 0.904 s

*6.57. Considere las dos pelotas A y B que aparecen en la figura 6.15. La pelota A tiene una aceleración cons-tante de 4 m /s2 dirigida a la derecha, y la pelota Btiene una aceleración constante de 2 m /s2 dirigida a la izquierda. La pelota A se desplaza inicialmente a la izquierda a 2 m /s y la pelota B se desplaza inicial-mente a la izquierda a 5 m/s. Encuentre el tiempo ten que las dos pelotas chocan. Además, suponiendo que x = 0 en la posición inicial de la pelota A, ¿cuál es su desplazamiento en común cuando chocan?

Resp. t = 2.0 s, x = + 4 m

- 2 m / s ^ - 5 m /s ^ —x

x = 0 x = 18 m

Figura 6.15

*6.58. Inicialmente, un camión con una velocidad de 40 ft/s está a una distancia de 500 ft adelante de un automó-vil. Si el automóvil parte del reposo y acelera a 10 f t /s \ ¿cuándo alcanzará al camión? ¿A qué distancia de la posición inicial del automóvil está ese punto?

*6.59. Una pelota que está en reposo se deja caer desde el techo de un edificio de 100 m de altura. En el mis-mo instante, una segunda pelota se lanza hacia arriba desde la base del edificio, con una velocidad inicial de 50 m/s. ¿Cuándo chocarán las dos pelotas y a qué distancia estarán entonces sobre el nivel de la calle?

Resp. 2.00 s, 80.4 m *6.60. Una persona asciende verticalmente en un globo con

una velocidad de 4 m /s y suelta una bolsa de arena en el momento en que el globo está a 16 m sobre el nivel del suelo. Calcule la posición y la velocidad de la bolsa de arena en relación con el suelo después de 0.3 s y 2 s. ¿Cuántos segundos después de haber sido soltada llegará al suelo la bolsa de arena?

*6.61 . Se dispara verticalmente hacia arriba una flecha con una velocidad de 40 m/s. Tres segundos después, otra flecha es disparada hacia arriba con una veloci-dad de 60 m/s. ¿En qué tiempo y posición se encon-trarán las dos flechas? Resp. 4.54 s, 80.6 m

*6.62. Una persona desea incidir en un blanco que tiene un alcance horizontal de 12 km. ¿Cuál debe ser la velocidad de un objeto proyectado con un ángulo de 35° para que caiga en el blanco? ¿Cuánto tiempo permanecerá en el aire?

*6.63. Un jabalí arremete directamente contra un cazador a la velocidad constante de 60 ft/s. En el instante en que el jabalí está a 100 yardas de distancia, aquél le dispara una flecha a 30° respecto al suelo. ¿Cuál debe ser la velocidad de la flecha para que alcance su blanco? Resp. 76.2 ft/s

136 Capítulo 6 Resumen y repaso